Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

BAB 6

Fungsi Trigonometri

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. . sin 1 csc ; cos 1 sec sin cos cot ; cos sin tan cos ; sin 6 5 4 3 2 1 θ = θ = θ = θ = θ θ = θ = θ θ = θ = θ = θ = y y y y y y (6.1)

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1. O P Q θ -1 1 -1 _[0,0] 1 _x y r P’ -θ

6-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka

PQ PQ sinθ= =

r (6.2) PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh 0 360 sin ; 1 270 sin ; 0 180 sin ; 1 90 sin ; 0 0 sin o o o o o = − = = = =

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

OQ OQ cosθ= =

r (6.3) OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat

1 360 cos ; 0 270 cos ; 1 180 cos ; 0 90 cos ; 1 0 cos o o o o o = = − = = =

Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ2 + OQ2 = OP2 =1, maka

1 ) ( cos ) ( sin2 θ + 2 θ = (6.4.a) Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

θ − = − = ′ = θ − ) PQ PQ sin sin( r r (6.4.b) θ = = θ − ) OQ cos cos( r (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1. Fungsi Tangent. OQ PQ tan =θ (6.4.d) θ − = − = ′ = θ − tan OQ PQ OQ Q P ) tan( (6.4.e) Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.

Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.

Fungsi Cotangent. PQ OQ cot =θ (6.4.f) θ − = − = ′ = θ − cot PQ OQ Q P OQ ) cot( (6.4.g) Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0.

Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.

6-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Secan dan Cosecan

OQ cos 1 sec = r θ = θ (6.4.h) PQ sin 1 csc = r θ = θ (6.4.i) Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7.

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan

mengunakan Gb.6.2., yaitu Gb.6.2. Relasi-relasi β α − β α = β + α β α + β α = β + α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( (6.5) Karena sin(−β)=−sinβ dan cos(−β)=cosβ maka kita peroleh pula

β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( (6.6) sinα α -1 1 -1 _{[0,0] 1 x} y β cosα cosα cosβ cosα sinβ β sinα sinβ sinα cosβ

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan

θ = = θ s r r s , (6.7) Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka ukuran sudut rad. adalah 180 θ1= o π rad. 0,5 adalah 90 θ₂= o π rad. ) 180 / ( adalah 1 θ3= o π dst.

Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri

akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus

) sin(x

y = (6.8) terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360o; inilah satu perioda.

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. x y -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 −π π 2π −2π θ s r

6-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus

) cos(x

y = (6.9) terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π.

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

) cos( ) cos( sedangkan ) sin( ) sin(x =− −x x = −x (6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut memiliki simetri genap.

Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus ) 2 / cos( ) sin( = −π = x x y (6.11)

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi

) cos( ) sin( ) tan( x x x y= = (6.12) perioda -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 _x y 2π π −π

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan −π/2.

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

) tan( 1 ) sin( ) cos( ) cot( x x x x y= = = (6.13) Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6. Gb.6.6. Kurva y = cot (x) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

y

Gb.6.5. Kurva

y =

=

=

=

tan(x

)

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

6-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

) cos( 1 ) sec( x x y= = (6.14.a) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

) sin( 1 ) csc( x x y= = (6.14.b) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.

(a) y = sec(x)

(b) y = csc(x)

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:

x

y=2sin ; y=3sin2x; y=2cos3x;

) 4 / 2 cos( 3 +π = x y ; y =2tan(x/3)

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan

y =

sin(x

)

, maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai

x y

x

y=arcsin atau =sin−1 (6.15) Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x.

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi

x

y=sin−1 tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a.

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus inversi pada

2 2 π ≤ ≤ π

− y . Dengan pembatasan ini

maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai utama y=sin−1x terletak pada

2 sin 2 1 _≤π ≤ π − − x . Kurva fungsi x

y=sin−1 yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.

Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh: y=sin−1(1)=0,5π; π − = − =sin−1( 1) 0,5 y 6 ) 5 , 0 ( sin 1 =π = − y ; 6 ) 5 , 0 ( sin 1 − =−π = − y

6-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

a) b) Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang

2 2 π ≤ ≤ π

− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

x x y 1 sin 1 2 cos− =π− − = (6.16) Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β=π/2−α dan sinα=cosβ. Oleh karena itu jika sinα= x maka cosβ=x sehingga

x x 1 1 sin 2 / 2 / cos− =β=π −α=π − − x y -1 0 0 1 −π π 2π −2π -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -1 -0,5 0 0,5

_x

1

y

Karena dengan pembatasan 2 2 π ≤ ≤ π

− y pada fungsi sinus inversi memberikan 2 sin 2 1 π ≤ ≤ π

− − x maka nilai-nilai utama dari cos−1x akan terletak pada 0≤cos−1x≤π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama.

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang 0≤ x≤π.

a) b) Gb.6.9. Kurva y=cos−1x

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

x

y

=

tan

−1 (6.17) dengan nilai utama

2

tan

2

1

_<

π

<

π

−

−

x

Untuk fungsi ini, nilai

y

=

±

(π

/

2

)

tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva

y

=

tan

−1

x

lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai

−

0

,

5

π

<

y

<

0

.

5

π

.

x y -1 0 0 1 −π π 0 0,25π 0,5π 0,75π 1π -1 -0,5 0 0,5

_x

1

y

6-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

a) b) Gb.6.10. Kurva

y

=

tan

−1

x

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang 2 tan 2 1 π < < π − − x

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

x x y 1 tan 1 2 cot− =π− − = (6.18) dengan nilai utama

0

<

cot

−1

x

<

π

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β=π/2−α dan tanα=cotβ. Oleh karena itu jika tanα=x maka cotβ=x sehingga

x x 1 1 tan 2 / 2 / cot− =β=π −α=π − −

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

y

x

-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -10 -5 0 5 x 10 y

Gb.6.11. Kurva y=cot−1x

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

x x

y=sec−1 =cos−11 (6.19)

dengan nilai utama 0≤sec−1x≤π.

Gb.6.12. Kurva y=sec−1x

Fungsi Cosecan Inversi.

x x sin 1

csc−1 = −1 (6.20) dengan nilai utama

2 csc 2 1 π ≤ ≤ π − − x 0 0,5π 1π -10 -5 0 5 10

y

x

0 0,25 π 0,5π 0,75π π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6-14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.

Gb.6.12. Kurva y=csc−1x

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi

dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku.

1). Dari fungsi y=sin−1x, yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

Dari gambar ini selain fungsi y=sin−1x dan siny =x, kita dapat peroleh 2 1 cosy= −x , 2 1 tan x x y − = , dst. x 1 2

1

−

x

y y -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4

2). Dari fungsi cosinus inversi y=cos−1x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

Selain cosy=x dari gambar ini kita dapatkan

2 1 siny= −x , x x y 2 1 tan = − , dst.

3). Dari fungsi y=tan−1x, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini.

Selain tany =x, kita peroleh

2 1 sin x x y + = , 2 1 1 cos x y + = , dst

4). Dari fungsiy=sec−1x kita gambarkan

Dari gambar ini kita peroleh x

1

2

₋

x

y 1 x 1 2

1

+

x

y x 1 ₂

1

−

x

y

6-16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral 2 1 tany= −x , x x y 1 sin 2₋ = , dst. Soal-Soal:

1) Dari fungsi y=cot−1x tentukan siny dan cosy