Diferensial dan Integral

Diferensial

Diferensial dan dan Integral Integral

Oleh: Sudaryatno Sudirham

Open Course

Pengantar

Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas

bagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral.

Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik, pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan

pendekatan dari sisi aplikasi.

Cakupan Bahasan

Turunan Fungsi-Fungsi

Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi

Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial

Integral

Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral.

Persamaan Diferensial

Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan

Diferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.

Turunan Fungsi,

Pengertian-Pengertian

Pengertian-Pengertian

Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah

) (

) (

1 2

1 2

x x

y y x m y

−

= −

∆

= ∆

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

Δ ΔΔ Δx

Δ ΔΔ Δy

0 1 2

-1

0 1 2 3 4 x

y

P₁

Δy Δx

x y

P₂ y = f(x)

∆x di perkecil menjadi ∆x*

pada kondisi ∆x mendekati nol

) ) (

( )

lim ( lim

0 0

x x f

x f x

x f x

y

x x

= ′

∆

−

∆

= +

∆

∆

→

∆

→

∆

fungsi turunan dari f (x) di titik P

ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

Turunan Fungsi,

Pengertian-Pengertian

P₁ Δy*

Δx*

x

y y = f(x)

2∗

P

(x₁,y₁)

(x₂,y₂)

x y

f ′(x) di titik (x₁,y₁) adalah turunan y di titik (x₁,y₁), f ′(x) di titik (x₂,y₂) adalah turunan y di titik (x₂,y₂)

) (x f y =

Turunan Fungsi,

Pengertian-Pengertian

maka dikatakan bahwa fungsi f(x)

“dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x y

x ∆

∆

→

∆ 0

Jika pada suatu titik x₁ di mana lim benar ada

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”.

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x y y

dx d dx

dy

x ∆

= ∆

= ∆ →0

lim )

(

Turunan Fungsi,

Pengertian-Pengertian

Fungsi Mononom

Fungsi Mononom

Turunan Fungsi,

^Mononom

k x f

y₀ = ( ) =

0 0 )

( )

lim (

0 0 =

= ∆

∆

−

∆

= +

′ ∆ → x x

x f x x

y f

x

Contoh-1.1

x x

f

y₁ = ₁( ) = 2

2 2 2

) (

lim 2 )

(

1 0 =

∆

= ∆

∆

−

∆

= +

′ ∆ → x

x x

x x

x x f

x

Contoh-1.2

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 x4 5

y

x y₁ = 2

2 )

1′ x( = f

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

2 2

2 f (x) 2x

y = =

x x

x

x

x x

x x x

x

x x

x x f

x

x x

4 ) 2 2

2 ( lim

2 ) 2

( lim 2 2

) (

lim 2 )

(

0

2 2

2 0

2 2

2 0

=

∆ +

×

=

∆

−

∆ +

∆

= +

∆

−

∆

= +

′

→

∆

→

∆

→

∆

Turunan fungsi mononom pangkat 2

berbentuk

mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)

Turunan Fungsi,

^Mononom

Contoh-1.3

3 3

3 f (x) 2x

y = =

2 2

2 2

0

3 3

3 2

3 0

3 3

3 0

6 2

3 2 3

2 lim

2 ) 3

3 (

lim 2

2 )

( lim 2 )

(

x x

x x x

x

x x

x x x

x x

x

x x

x x f

x x

x

=

∆ +

∆

× +

×

=

∆

−

∆ +

∆ +

∆

= +

∆

−

∆

= +

′

→

∆

→

∆

→

∆

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Contoh-1.4

Turunan Fungsi,

^Mononom

mxn

x f

y = ( ) =

) 1

) (

( × ⁻

′ = m n x ⁿ y

Secara umum, turunan mononom

adalah

k x f

y′= ′( )=

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus dan turunannya berupa nilai konstan,

mxn

y =

) (x f y′= ′

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

mxn

y =

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

) (x f

y′′ = ′′ turunan dari y′ = f ′(x) )

(x f

y ′′′ = ′′′ turunan dari y′′ = f ′′(x)

*) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

*)

dx x dy

f

y′ = ′( ) =

2 2

) (

dx y x d

f

y′′= ′′ =

3 3

) (

dx y x d

f

y ′′′ = ′′′ =

disebut turunan pertama,

turunan kedua,

turunan ke-tiga, dst.

Turunan Fungsi,

^Mononom

4 3

4 f (x) 2x

y = =

12

; 12 )

2 ( 6

; 6 )

3 (

2 ^{(3 1) 2} ₄ ^{(2 1)} ₄

4 = = ′′ = = ′′′ =

′ x ⁻ x y x ⁻ x y

y Contoh-1.5:

Turunan Fungsi,

^Mononom

mxn

x f

y = ( ) =

Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100 0 100 200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x4

y =

4x3

y =′ 12x2

y =′′ y ′′′= 24x

= 24

′′

y′′

12 x2

y =′′

4x3

y =′

Contoh-1.6:

4x3

y =′ y =′′ 12x² y ′′′= 24x y′′′′= 24 x4

y = dan turunan-turunannya Fungsi

Fungsi Polinom

Turunan Fungsi,

^Polinom

Contoh-1.7: y₁ = f₁(x) = 4x + 2

{ } { }

2 4 4 2 ) (

lim 4 )

1( =

∆

+

− +

∆

= +

′ ∆ → x

x x

x x f

x x

f₁(x) = 4x + 2

-4 -2 0 2 4 6 8 10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 x 2

y

4 )

'(

1 x =

f Turunan fungsi ini sama dengan turunan f(x)=4x karena turunan dari

tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)

Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

) 2 ( 4 )

2(

2 = f x = x−

y f₂(x)= x4 −8

4 )

2′ x( = f

) 2 ( 4 )

2(x ==== x−−−−

f

4 )

2′′′′ x( ====

f

-15 -10 -5 0 5 10

-1 0 1 2 3 x 4

y

Contoh-1.8:

Turunan Fungsi,

^Polinom

Turunan Fungsi,

^Polinom

Contoh-1.9: y3 = f3⁽x⁾= ⁴x² + ²x −⁵

{ } { }

2 8 2 2 4

5 2 4

5 ) (

2 ) (

lim 4

2 2

3 0

+

= +

×

=

∆

− +

−

−

∆ + +

∆

= +

′ ∆ →

x x

x

x x

x x x

y x

x

5 2 4

5 )

( ^{3 2}

4

4 = f x = x + x + x − y

{ } { }

2 8 15

2 2 4 3

5

5 2 4

5 5 ) (

2 ) (

4 ) (

lim 5

2 2

2 3

2 3

4 0

+ +

= +

× +

×

=

∆

− + +

−

−

∆ + +

∆ + +

∆

= +

′ ∆ →

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

y x

x

Contoh-1.10:

Secara Umum:

Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

Nilai Puncak Suatu Fungsi

Turunan Fungsi,

Nilai Puncak

Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x).

Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol.

Contoh-1.11: Polinom Orde Dua y = 2x² +15x +13 15

= 4 +

′ x

y

Inilah absis titik puncak 0

15

4 + =

′ = x_p

y x_p = −3,175

Jika fungsi turunan pertama ini = 0 maka

Ordinat titik puncak diperoleh dengan memasukkan x_p ke persamaan kurva

125 , 15 13

) 75 , 3 ( 15 2(-3,75)

13 15

2

2 2

−

= +

−

× +

=

+ +

= _{p p}

p x x

y

Jadi koordinat titik puncak adalah: P = (3.15,-15.125)

c bx ax

y = ² + +

0

2 + =

′= ax b y

a x_p b

−2

=

Secara umum, x_p dari fungsi kuadrat

dapat diberoleh dengan membuat

sehingga diperoleh

Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan x_pke persamaan.

a ac c b

a c b

bx ax

y_{p p p}

4 4 4

2

2 2 −

−

= +

−

= + +

=

Turunan Fungsi,

Nilai Puncak

Maksimum dan Minimum

Turunan Fungsi,

Nilai Puncak

Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum?

Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak.

y

x

Q P

y′

y′ y′ (kemiringan garis

singgung) sekitar titik maksimum terus menurun

y″ bernilai negatif di sekitar titik maksimum

y′ (kemiringan garis singgung) sekitar titik minimum terus meningkat

y″ bernilai positif di sekitar titik minimum

Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak tersebut adalah titik maksimum.

Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak tersebut adalah titik minimum

Turunan Fungsi,

Nilai Puncak 13 15

2 ² + +

= x x

y

125 ,

−15

p = y

= 4 y ′′

Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai minimum, karena y ″ > 0 Contoh-1.12:

175 ,

−3

p = x

-30 -15 0 15 30 45

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

Contoh-1.13: y = −2x² +15x +13

−4

′′ =

y Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai maksimum, karena y ″ < 0 75

, +3

p =

x y_p = +41,125

-60 -45 -30 -15 0 15 30 45

-4 -2 0 2 4 6 8

Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > y_min

Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < y_maks

Contoh-1.14:

Turunan Fungsi,

Nilai Puncak 3 3

2 ³ − ² +

= x x

y

0 ) 1 ( 6 6

6 ² − = − =

′ = x x x x

y

1 dan

0

memberikan x_p1 = x_p2 = +3

puncak =

y y_puncak = +2

6 1

Untuk

6 0

Untuk

6 12

+

′′=

⇒

=

−

′′=

⇒

=

−

′′ =

y x

y x

x y

maksimum relatif

minimum relatif

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 P[0,3] Q[1,2]

x y

Turunan Fungsi,

Garis Singgung

Garis Singgung

Kemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurva suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R.

Persamaan garis singgung:

K x y_s =12 +

+ K

×

=12 2 7

17 24

7− =−

= K

17

= 12 − x y

_s

3 3

2 ³ − ² +

= x x

Contoh-1.15: y

) 1 (

6 6

6 ² − = −

′= x x x x y

R

= 2 x

7 3 4 3 8

R = 2× − × + = y

Titik R dengan absis memiliki ordinat

R(2,7) 12 1 2

6× × =

= Kemiringan garis singgung di titik R adalah m

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

x y

y_s

3 R

3 2 ³ − ² +

= x x

y

Fungsi Yang Merupakan

Perkalian Dua Fungsi

Turunan Fungsi

Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

dx w dv dx

v dw dx

vw d dx

dy = ( ) = + vw

y =

) (

) )(

( ) (

v w v

w w v vw

w w

v v

y y

∆

∆ +

∆ +

∆ +

=

∆ +

∆ +

=

∆ +

x w v x

w v x

v w

x

vw v

w v

w w v wv x

y y

y x

y

∆

∆ + ∆

∆ + ∆

∆

= ∆

∆

−

∆

∆ +

∆ +

∆

= +

∆

−

∆

= +

∆

∆

) (

) (

Jika maka

Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Contoh-1.16:

Turunan Fungsi

Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

4 4

4 2

2 2 3

3

30 18

12 6

3 6

) 2 3 2

( x x x x x x x

dx x x

y d × = × + × = + =

′ =

6x5

y = y =′ 30x⁴

Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx vw du dx

uw dv dx

uv dw

dx v du dx

u dv dx w

uv dw dx

uv w d

dx uv dw dx

w uv d dx

uvw d

) ( )

( )

(

) ) (

) ( ) (

)(

( )

(

+ +

=







 +

+

= +

=

= Jika

y = uvw

6x5

y =

4 4

4 4

2

2 2

2

30 12

12 6

) 4 )(

(3x

) 6 )(

2 ( ) 1 )(

3 2

) ( (

x x

x x

x x

x x x

x dx x

uvw d

dx dy

= +

+

=

× +

× +

×

=

= Contoh-1.17:

Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi

Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

v v

v v

y₁ = ⁶ = ³ × ² × Contoh-1.18:

dx v dv

dx v dv dx

v dv dx v

v dv dx

v dv dx

v dv

dx v dv dx

v dv dx v

v dv dx

v dv dx v

v dv

dx v dv dx v

v dv dx v

v dv dx v

dy

5

4 5

5 5

2 2 3 4

5

2 3 3 2

2 1 3

6

2

) ( )

( )

(

=



 



 +

+ +

+

=











 +

 +



 



 +

+

=

+ +

=

dx v dv dx

dv dv dv dx

dv^{6 6} ₅

= 6

=

dx nv dv

dx

dvⁿ _n−1

=

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

Contoh-1.19:

Turunan Fungsi

Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

2 3

3

2 1) ( 1)

( + −

= x x

y

) 1 2

( ) 1 )(

1 (

6

) 1 (

) 1 (

6 ) 1 (

) 1 (

6

2 ) 1 (

3 ) 1 (

) 3 )(

1 (

2 ) 1 (

) 1 ) (

1 ) (

1 ) (

1 (

3 2

2 3

2 2

2 3

3 3 2

2

2 2

2 3

2 3

3 2

3 2 2

2 3 3 3

2

− + +

−

=

+

− +

− +

=

+

− +

− +

=

− +

− + +

=

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

dx x x d

dx x x d

dx dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi Rasional

Turunan Fungsi,

Fungsi Rasional

Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi w

y = v y = vw⁻¹



 



 −

=

− +

= +

−

=

+

=

 =



 



= 

−

−

− −

−

dx v dw dx

w dv w

dx dv w dx

dv w

v dx

w dv dx

vw dv

dx w dv

dx v dw dx

vw d w

v dx

d dx

dy

2

2 1

2

1 1 1

1

1 )

(

w2

dx v dw dx

w dv w

v dx

d 



 



 −

 =



 





atau

Jadi:

Turunan Fungsi,

Fungsi Rasional

3

2 3

x y x −

=

4 2 6

2 4

4

6

2 2

3

9 )

9 3

( 2

) 3 )(

3 (

) 2 (

x x x

x x

x

x

x x

x x

dx dy

+

= −

−

= −

−

= − Contoh-1.20:

2

2 1

x x

y = +

3

2 2

4 2

2 1 2 0

x x x

x x dx

dy × − × = −

+

= Contoh-1.21:

1 dengan

; 1

1 ₂

2

2 ≠

−

= + x

x y x

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

) 1 (

4 )

1 (

2 2

2 2

) 1 (

2 ) 1 (

2 ) 1 (

−

= −

−

−

−

= −

−

+

−

= −

x x x

x x

x x

x

x x

x x

dx dy

(agar penyebut tidak nol) Contoh-1.22:

Fungsi Implisit

Fungsi Implisit

Turunan Fungsi,

Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat

didiferensiasi terhadap x.

Turunan Fungsi,

Fungsi Implisit

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.

Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita

lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

2 8

2 + xy + y = Contoh-1.23: x

y dx x

y dy x

dx y dy dx

y dx dx

x dy x

−

−

= +

= +

+ +

2 )

2 (

0 2

2

y x

y x dx

dy

2 2

+

− +

= 0 ) 2

(x + y ≠ kita peroleh turunan Jika

Turunan Fungsi,

Fungsi Implisit 4 3

4 ^{3 4}

4 + xy − y = x

0 12

4 )

3 ( 4 4

) 0 3 ( )

4 4 (

4

3 3

2 3

3 4 3 3

=

− +

+

=

− +

+

dx y dy dx y

y dy x

x

dx y d dx

x y d

dx x dy x

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan.

Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh-1.24:

0 ) (xy² − y³ ≠

) (

3

) (

3 2

3 3

y xy

y x

dx dy

− +

= −

kita dapat memperoleh turunan Untuk

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Turunan Fungsi,

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

q

n = p dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 Bilangan tidak bulat

dx pv dv

dx

qy^q−1 dy = ^p−1

Jika y ≠ 0, kita dapatkan

dx dv qy

pv dx

v d dx dy

q p q

p

1 1 / )

(

−

−

=

=

( )

^{/ 1 ( / )}

1 p q q p p q

q v v

y ⁻ = ⁻ = ⁻

dx v dv

q p

dx v dv

q p dx

dv qv

pv dx

v d dx dy

q p

q p p p

q p p

p q

p

1 ) / (

) / ( ) 1 ( )

/ (

1 /

) (

−

+

−

−

−

−

=

=

=

=

sehingga

q p

n v

v

y = = ^/ y =^q v ^p

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Kaidah Rantai

Kaidah Rantai

Turunan Fungsi,

Kaidah Rantai

Kaidah rantai

) (t f

x = dapat diturunkan terhadap t, )

(x F

y = dapat diturunkan terhadap x dan Jika

(

f (t)

)

g(t) F

y = = dapat diturunkan terhadap t menjadi maka

dt dx dx dy dy = dt

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.

Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

) ( dan

)

(t y f t

f

x = =

) (x F y =

Diferensial dx dan dy

Diferensial dx dan dy

Turunan Fungsi,

Diferensial dx dan dy

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan dy = F'(x)dx

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi )

( lim

0 f x

x y dx

dy

x

= ′

∆

= ∆

→

∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: y = F(x)

P dx dy

θ

x y

dx P dy

θ x y

P dx

dy θ

x y

Turunan Fungsi,

Diferensial dx dan dy

Penjelasan secara grafis

P dx dy

θ y

x Ini adalah peubah bebas

Ini adalah fungsi (peubah tak bebas)

dx x F

dy= '( ) P

dx

dy

θ y

x

Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia

“mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

θ

= tan dx

dy dy =(tan θ)dx

; besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva,

jika nilai x berubah sebesar dx laju perubahan y

terhadap perubahan x.

Turunan Fungsi,

Diferensial dx dan dy

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan

;

0 =

= c

dx dc

dx c dv dcv =dx

dx dw dx

dv dx

w v

d( + ) = +

cdv dcv =

konstan

;

0 =

= c

dc

dw dv w

v

d( + )= +

dx wdv dx vdw dx

dvw = + d(vw)=vdw+ wdv

w2

dx v dw dx

wdv

dx w

d v −

=



 





w2

vdw wdv

w

d v −

=



 





dx nv dv

dx

dvⁿ _n−1

= dvⁿ = nvⁿ⁻¹dv

−1

= ⁿ

n

dx cnx

dcx d(cxⁿ)=cnxⁿ⁻¹dx Diferensial Turunan Fungsi

Turunan Fungsi,

Diferensial dx dan dy

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh-1.25: y = x³ −3x² + 5x −6 5 6

3 ² − +

′= x x y

dx x

x

dy = (3 ² −6 + 5) sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dx x

x

dx xdx

dx x d

x d x

d x

d dy

) 5 6

3 (

5 6

3 ) 6 ( ) 5 ( )

3 ( ) (

2

2 2

3

+

−

=

+

−

=

− + +

− +

=

Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri

x

x x

x x

x

x

x x

x dx

x d

dx dy

∆

−

∆ +

= ∆

∆

−

∆

= +

=

sin sin

cos cos

sin

sin )

sin(

sin

x

y = sin

maka Jika

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.

Oleh karena itu

dx x x

d sin cos

=

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

x

x x

x x

x

x

x x

x dx

x d

dx dy

∆

−

∆

−

= ∆

∆

−

∆

= +

=

cos sin

sin cos

cos

cos )

cos(

cos

x

y = cos _maka Jika

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.

Oleh karena itu

dx x x

d cos sin

−

=

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

x x

x

x x

x x

x dx

d dx

x

d ₂

2 2

2

sec cos

1 cos

) sin (

sin cos

cos sin

tan − − = =

 =



 



= 

x x

x

x x

x x

x dx

d dx

x

d ₂

2 2

2

csc sin

1 sin

) (cos cos

sin sin

cos

cot − = −

− =

= −



 



= 

x x

x x x

x x

dx d dx

x

d sec tan

cos sin cos

) sin (

0 cos

1 sec

2

2

= =

−

= −

 

 



= 

x x

x x x

x x

dx d dx

x

d csc cot

sin cos sin

) (cos 0

sin 1 csc

2

2 − = −

− =

 =



 



= 

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri Contoh-1.26:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10^-6 farad merupakan fungsi sinus v_C= 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor v_C dan arus kapasitor i_C adalah dt

C dv i_C = ^C

(

^200sin400

)

^{0,160cos400 ampere}

10

2 ⁶ t t

dt d dt

C dv

i_C = ^C = × × =

watt 800

sin 16 400

sin 400 cos 32 400

cos 16 , 0 400 sin

200 t t t t t

i v

p_C = _{C C} = × = =

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah

-200 -100 0 100 200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

v_C i_C p_C v_C

i_C p_C

t [detik]

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

Contoh-1.27:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus i_L = −0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor v_L dan arus induktor i_L adalah dt

L di v_L = ^L

(

^t

)

^{t t}

dt d dt

L di

v_L = ^L = 2,5× − 0,2cos400 = 2,5×0,2×sin 400 × 400 =200sin400

W 800

sin 20 400

cos 400 sin 40 )

400 cos 2 . 0 ( 400 sin

200 t t t t t

i v

p_L = _{L L} = × − = − = −

v_L i_L p_L

v_L i_L p_L

-200 -100 0 100 200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi Trigonometri Inversi x

y = sin

⁻¹

x = sin y

dx = cos ydy

y dx

dy

cos

= 1

1 2

1 dx x

dy

−

x =

1

1 − x

2 y

y dx

dy

sin

−1

= ₂

1 1 dx x

dy

−

= −

x

1 2

1 − x

y

x

y =cos^{−1 x = cos y dx = −sin ydy}

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

x

y = tan⁻¹ x = tan y dy

y dx cos2

= 1

dx y

dy ₂

= cos

1 2

1 dx x

dy

= +

x

1

1 x +

2 y

x

y = cot⁻¹ x =cot y dy

y dx sin2

−1

=

dx y

dy ₂

−sin

= 1 2

1 dx x

dy

+

= −

x

1

1 x +

2 y

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri x

y = sec⁻¹

y y

x cos

sec = 1

= dy

y dx x

cos2

) sin (

0 − −

=

1 1

1 1

sin cos

2 2 2 2

−

=













−

×

=

=

x x

x x y x

y dx

dy

1

x _y

x

²

− 1

x y =csc⁻¹

y y

x sin

csc = 1

= dy

y dx x

sin2

) (cos

= 0 −

1 1

1 1

cos sin

2

2 2 2

−

= −

−

×

−

− =

=

x x

x x y x

y dx

dy

x 1

2

− 1 x

y

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

dx v dv dx

dv dv

v d

dx v

d(sin ) (sin ) cos

=

=

dx v dv dx

dv dv

v d

dx v

d(cos ) (cos ) sin

−

=

= Jika v = f(x), maka

dx v dv dx

dv x

x x

v v dx

d dx

v

d ₂

2 2 2

sec cos

sin cos

cos sin )

(tan + =

 =



 



= 

dx v dv v

v dx

d dx

v

d ₂

sin csc cos )

(cot  = −



 



= 

dx v dv dx v

dv v

v v

dx d dx

v

d sec tan

cos sin 0

cos 1 )

(sec

2 =

= +



 



= 

dx v dv v v

dx d dx

v

d csc cot

sin 1 )

(csc  = −



 



= 

Turunan Fungsi,

Fungsi Trigonometri

dx dw dx w

w d

2 1

1 1 )

(sin

−

− =

dx dw dx w

w d

2 1

1 1 )

(cos

−

−

=

−

dx dw dx w

w d

2 1

1 1 )

(tan

= +

−

dx dw dx w

w d

2 1

1 1 )

(cot

− +

=

−

dx dw w

dx w w d

1 1

) (sec

2 1

−

=

−

dx dw w

dx w w d

1 1

) (csc

2 1

−

−

=

−

Jika w = f(x), maka

Fungsi Logaritmik dan

Fungsi Eksponensial