Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

ii

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

11-1

BAB 11

Turunan Fungsi-Fungsi (3)

(Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri

Inversi, Logaritmik, Eksponensial)

11.1. Turunan Fungsi Trigonometri

Jika

y

=

sin

x

maka

x x x x x x x x x x dx x d dx dy ∆ − ∆ + ∆ = ∆ − ∆ + = = sin sin cos cos sin sin ) sin( sin

Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu x dx x d cos sin _{= (11.1)} Jika

y

=

cos

x

maka

x x x x x x x x x x dx x d dx dy ∆ − ∆ − ∆ = ∆ − ∆ + =

= cos cos( ) cos cos cos sin sin cos

Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu

x dx x d sin cos _{=− (11.2)}

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

x x x x x x x x dx d dx x d 2 2 2 2 sec cos 1 cos ) sin ( sin cos cos sin tan ₌ − − _{= =}       = x x x x x x x x dx d dx x d 2 2 2 2 csc sin 1 sin ) (cos cos sin sin cos cot ₌− − ₌ − ₌₋       =

x

x

x

x

x

x

x

dx

d

dx

x

d

tan

sec

cos

sin

cos

)

sin

(

0

cos

1

sec

2 2

=

=

−

−

=













=

x x x x x x x dx d dx x d cot csc sin cos sin ) (cos 0 sin 1 csc 2 2 =− − = − =       =

11-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

x y

x y

x

y=tan(4 2); =5sin2(3 ); =3cos2 ) 2 cos( ) 2 ( sin ; ) 6 3 cot( x y 3 x x y= + = − 2 4 4 ) cot (csc ; tan sec x x y x x y= − = +

Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat

turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4). 1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC =

200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10-6 farad ini.

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt dv C

i_C = C

Arus yang melalui kapasitor adalah

(

200sin400

)

0,160cos400 ampere 10 2 6 t t dt d dt dv C i_C= C = × × =

Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah watt 800 sin 16 400 sin 400 cos 32 400 cos 16 , 0 400 sin 200 t t t t t i v p_{C CC} = = × = =

Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.

Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan

-200 -100 0 100 200 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 vC pC iC vC iC pC t [detik]

11-3 bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 90o.

Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif.

2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai iL = −0,2cos400t ampere. Berapakah

tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ? Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt di L v_L= L

(

t

)

t t dt d dt di L

v_L= L =2,5× −0,2cos400 =2,5×0,2×sin400 ×400=200sin400 Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.

W 800 sin 20 400 cos 400 sin 40 ) 400 cos 2 . 0 ( 400 sin 200 t t t t t i v pL LL − = − = − × = =

Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.

Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o.

Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.

vL iL pL vL pL iL t[detik] -200 -100 0 100 200 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

11-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral 11.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

1) y=sin−1x

y

x

=

sin

⇒ dx=cosydy ⇒

y dx dy cos 1 = 2 1 1 x dx dy − = 2) y=cos−1x y

x=cos ⇒ dx=−sinydy ⇒

y dx dy sin 1 − = 2 1 1 x dx dy − − = 3) y=tan−1x y x=tan ⇒ dy y dx ₂ cos 1 = ⇒ y dx dy 2 cos = 2 1 1 x dx dy + = 4) y=cot−1x y x=cot ⇒ dy y dx 2 sin 1 − = ⇒ y dx dy 2 sin − = 2 1 1 x dx dy + − = x 1 2

1

−

x

y x 1 2

1

−

x

y x 1 2

1 x

+

y x 1 2

1 x

+

y

11-5 5) y=sec−1x ⇒ y y x cos 1 sec = = ⇒ dy y x dx ₂ cos ) sin ( 0− − = 1 1 1 1 sin cos 2 2 2 2 − =         − × = = x x x x x y y dx dy 6) y=csc−1x y y x sin 1 csc = = ⇒ dy y x dx ₂ sin ) (cos 0 − = 1 1 1 1 cos sin 2 2 2 2 − − = − × − = − = x x x x x y y dx dy Soal-Soal

1). Jika

α

=

sin

−1

(

0

.

5

)

carilah

cos

α

,

tan

α

,

sec

α

, dan

csc

α

. 2). Jika

α

=

cos

−1

(

−

0

.

5

)

carilah

sin

α

,

tan

α

,

sec

α

, dan

csc

α

. 3). Hitunglah

sin

−1

(

1

)

−

sin

−1

(

−

1

)

.

4). Hitunglah

tan

−1

(

1

)

−

tan

−1

(

−

1

)

. 5). Hitunglah

sec

−1

(

2

)

−

sec

−1

(

−

2

)

.

11.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka dx dv v dx dv dv v d dx v d cos ) (sin ) (sin _{= =} dx dv v dx dv dv v d dx v d sin ) (cos ) (cos _{= =−} 1 x

_x

2

₋

₁

y 1 x

1

2

₋

x

y

11-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral dx dv v dx dv x x x v v dx d dx v d 2 2 2 2 sec cos sin cos cos sin ) (tan ₌ + ₌       = dx dv v v v dx d dx v d 2 csc sin cos ) (cot ₌₋       = . (Buktikan!). dx dv v v dx dv v v v dx d dx v d tan sec cos sin 0 cos 1 ) (sec 2 = + =       = dx dv v v v dx d dx v d cot csc sin 1 ) (csc − =       = . (Buktikan!). Jika w = f(x), maka dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (sin − = − . (Buktikan!). dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (cos − − = − . (Buktikan!). dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (tan + = − . (Buktikan!). dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (cot + − = − . (Buktikan!). dx dw w w dx w d 1 1 ) (sec 2 1 − = − . (Buktikan!). dx dw w w dx w d 1 1 ) (csc 2 1 − − = − . (Buktikan!).

Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

x y x y x y x y 4 sec ; 3 tan 3 1 ) 2 ( cos ; ) 5 , 0 ( sin 1 1 1 1 − − − − = = = =

11-7 11.4. Turunan Fungsi Logaritmik

Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi f(x)=lnx didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)

) 0 ( 1 ln ) ( 1 > = =

∫

dt x t x x f x

y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di

selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.

Gb.11.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis. Kita lihat pula

      ∆ = ∆ − ∆ +

∫

xx+ x∆ tdt x x x x x ) ln( ) 1 1 ln( _(11.3)

Apa yang berada dalam tanda kurung (11.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada keadaan batas ini (11.3) akan bernilai (1/x). Jadi

x dx x dln ₌1 _(11.4) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 x y x t 1/x 1/t lnx ln(x+∆x)−lnx x+∆x _1/(x+∆x)

11-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v= x3 2+4

4 3 6 ) 4 3 ( 4 3 1 ln ln 2 2 2 = ₊ + + = = x x dx x d x dx dv dv v d dx v d

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

) ln(ln ; ) ln(cos ; 2 2 ln ; ) 2 ln( 2 y x y x x x y x x y = = + = + =

11.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk

x

e

y = (11.5) Persamaan (11.5) berarti lny= lnx e=x, dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan

1 1 ln _{= =} dx dy y dx y d _atau x e y dx dy_{= = (11.6)}

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang

tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunan-turunan dari y =ex adalah

x

e

y =′ y =′′ ex y =′′′ ex dst.

Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, v =v(x). dx dv e dx dv dv de dx dev ₌ v ₌ v (11.7)

Kita ambil contoh: y=etan−1x

2 tan 1 tan 1 tan 1 1 x e dx x d e dx dy x x + = = − − −

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.

2 ; 2_ex _y ex e x x y − − = =

;

x x x x x x e y e y e e e e y ; = sin 1 ; = 1/ + − = − − −