Fungsi dan Grafik. Fungsi 8/3/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham

1

Pokok Bahasan mencakup

1. Pengertian Tentang Fungsi

2. Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier

4. Mononom dan Polinom

5. Bangun Geometris

6. Fungsi Trigonometri

7. Gabungan Fungsi Sinus

8. Fungsi Logaritma Natural

9. Fungsi Eksponensial

10. Fungsi Hiperbolik

11. Fungsi dalam Koordinat Polar

2

Pembatasan

Pembahasan Fungsi dan Grafik

dibatasi hanya padafungsi dengan peubah

bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

3 4

Fungsi

Apabila suatu besaran y

maka dikatakan bahwa

memiliki nilai yang tergantung

dari nilai besaran lain x

y merupakan fungsi x

5

panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x)

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan )

(x f y= y disebut peubah tak bebas

nilainya tergantung x

x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang

Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenaibilangan kompleks. Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x

tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Contoh:

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.

a b

rentang terbuka

a < x < b _{a dan b tidak termasuk dalam rentang}

rentang setengah terbuka a b

a ≤≤≤≤x < b _{a masuk dalam rentang, tetapi b tidak}

rentang tertutup a b

a ≤≤≤≤x≤≤≤≤b a dan b masuk dalam rentang Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

7

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] -4 -3 -2 -1 1 2 3 y 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x IV I II III sumbu-x sumbu-y

Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.

Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)

Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam

koordinat [x, y]

8

Kurva dari Suatu Fungsi

x y=0,5

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

x -1 0 1 2 3 4 dst. y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst. -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 0 1 2 3 4x y ∆x ∆y P R Q x y=0,5 Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

x y ∆ ∆ Kita lihat fungsi:

(kita baca: “delta x per delta y”)

9

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1)fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2)nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). ) ( ) ( limf x fc c x→ = 10 Contoh: y = 1/x y = 1/x y x -1 0 1 -10 -5 0 5 10 Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x) 1 y x 0 0 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1)

(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)

11

Simetri

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: y = 0,3x2 y = 0,05x3 y2_{+ x}2 _{= 9} x -6 -3 0 3 6 -6 -3 0 3 6 y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika: x diganti −x

x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y

(simetris terhadap sumbu-y)

(simetris terhadap titik [0,0])

13

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8 1 1 2 2 2 2 2 = + + = = = + y xy x x y xy y x ) (x f y= Pernyataan fungsi Pernyataan bentuk implisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/ 1 1 2 x y x y x y = = − = 0 ) 8 (2 2_{+ + − =} x xy y 2 ) 8 ( 4 2 2 2_{− −} ± − = x x x y disebut bentuk eksplisit.

-8 -4 0 4 8 -4 -2 0 2 4 x y 14

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0 4 8 -1 0 1 2 3 4x y 2 5 , 0 x y= 0 0,8 1,6 0 1 2x y x y=+ -1,6 -0,8 0 0 1 2x y _{y=− x} -0,8 0 0,8 0 1 2 3 4 x y y=log10x 0 2 4 -4 -2 0 2 4x y 2 x x y= = Contoh: 15

Fungsi Bernilai Banyak

-2 -1 0 1 2 0 1 2 3 x y x y=±

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10 -5 0 5 10 0 1 2 3 x y x y2₌1/ _y=±1/x Contoh: 16

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: ) , , , , (xyzuv f w=

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya 2 2 2 2 z y x + + = ρ

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

2 2 2 z y x + + + = ρ 17

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang

terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar

adalah sebagai berikut θ =rsin y θ =rcos x 2 2 y x r= + ) / ( tan−1yx = θ x P θ r y rsinθ rcosθ 18

Contoh: -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)

cos

1

(

2

−

θ

=

r

19 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y r θ P[r,θ] y = 2

2

=

θ

r

Contoh: 20 21 Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞sampai +∞. k y= x -4 0 5 -5 0 5 y y = 4 5 . 3 − = y Contoh: 22

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mx y=

kemiringan garis lurus

      ∆ ∆ = = " delta " " delta " : dibaca , kemiringan x y x y m 0 1 2 -1 0 1 2 3 4x y ∆x ∆y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 4x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh:

garis lurus melalui [0,0]

23

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x y−2 = 2x -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 x y mx b y− )= ( y = 2x y =2(x–1) -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 ) (x a m y= − Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar

bke arah sumbu-y positif adalah

menunjukkan pergeseran sebesara

ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x b mx y= + a mx y= +′

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x menunjukkan pergeseran sebesar b ₂₄

Contoh: Persamaan garis: y−4=−2x 2 0 2 4 0 1 2 1 2 ₌₋ − − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y m -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau y=−2(x−2) y=−2x+4

dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu

y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

25 1 2 1 2 x x y y m − − = x x x y y mx y 1 1 1 2 − − = = Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x1,y1] [x2,y2] -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 3 x y 2 -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 4 x y 0 [1,4] [3,8] ₂ 1 3 4 8 1 2 1 2 ₌ − − = − − = x x y y m

persamaan garis:y−b=2x atau y=2(x−a) 2 4−b= 8=2(3−a) 2 = b a=−1 x y−2=2 y=2(x+1) 2 2 + = x y Contoh:

Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui

P dan Q

P Q

Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q

26

Perpotongan Garis Lurus

1 1 1 ax b y= + y2=a2x+b2 2 2 1 1x b ax b a + = + 2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ Contoh: 8 4 dan 3 2 2 1= x+ y = x− y 5 , 5 8 4 3 2 2 1=y → x+ = x− →x= y 14 3 5 , 5 2 3 2 + = × + = = x y

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1maupun y2. Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan -30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10 y x y2 y1 P xP yP Titik potong:P[(5,5),14] 27

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa myang mendapat gaya Fakan memperoleh percepatana ma F= v(t)=v0+at ]]]] anoda katoda l Contoh: Contoh: e e m F a= Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik:

l V E= Gaya pada elektron:

l eV eE Fe= = Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dariV percepatan fungsi linier dariFe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

28

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan.

Contoh:

kx F=

Contoh:

Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar ijika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R V GV i= = R G=1 A l R=ρ RA V A i j= =

gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjang konduktor 29 Contoh: materi masuk di xa materi keluar di x xa x Ca Cx ∆x

Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materiCadi xadan

Cxdi xbernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx dC D Jx=− gradien konsentrasi koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

31

Fungsi Anak Tangga

0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u ) (x ku y= muncul pada x = 0 amplitudo

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0 Fungsi anak tangga satuan

Secara umum 0 2 0 _x5 y 1 1 ) (x u y= ) (x u y= Contoh: -4 0 5 0 x5 y y=3,5u(x) ) ( 5 , 2 ux y=− 32 ) (x a ku y= −

Fungsi anak tangga tergeser

-4 0 5 0 _x5 y 1 ) 1 ( 5 , 3 − = ux y

Pergeseran sebesarake arah sumbu-x positif

Contoh:

33

Fungsi Ramp

_y

₌

_axu

_(x

₎

0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 _x 4 y _y 1= xu(x) y2= 2xu(x) y3= 1,5(x-2)u(x-2)

Fungsi ramp tergeser: y=a(x−g)u(x−g) Fungsi ramp satuan: y=xu(x)

Contoh:

kemiringana = 1 kemiringan

Fungsi ini baru muncul padax = 0 karena ada faktoru(x)yang didefinisikan muncul padax = 0

(fungsi anak tangga)

Pergeseran searah sumbu-x

34

Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu

nilaix1tertentu dan menghilang padax2 > x1

) ( ) (x x1 aux x2 au y= − − − : persamaan 1 2 x −x : pulsa lebar

{

( 1) ( 2)

}

2 − − − = ux ux y1=2u(x-1) y2 = −2u(x−2) y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3x 4 perioda x y Deretan Pulsa: Contoh: 35

Perkalian Ramp dan Pulsa

{

( ) ( )

}

) (x Aux x1 ux x2 mxu y= × − − −

{

u(x x1) u(x x2)

}

mAx y= − − − ramp pulsa

hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya

y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} y3 = y1y2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4_x5 y Contoh: makayjuga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

y2 = {u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y3 = y1y2 = mx{u(x)-u(x-b)} 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 5 y y x b Contoh: 37

Gabungan Fungsi Ramp

... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + − 1 − 1+ − 2 − 2 + =axux bx x ux x cx x ux x y Contoh: y1= 2xu(x) y2= −2(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y -8 -4 0 4 8 12 0 1 2 3 4 x 5

Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan

mulai dari x tertentu

38 y1=2xu(x) y2= −4(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4_x 5 y

y2lebih cepat menurun dariy1 maka y3menurun mulai dari x tertentu

Contoh: 39 y1= 2xu(x) y2= −4(x-2)u(x-2) y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 x 5 y

Pulsa ini membuaty3hanya

bernilai dalam selang 1≤x≤3 Contoh:

40

41

Mononom

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: y=kx2

y = x2 y = 3x2 y = 5x2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x 2 10x y=− 2 2x y=− Contoh:

y memiliki nilai maksimum Karena x2_≥0,maka

jika k > 0 →y > 0 jika k < 0 →y < 0

y memiliki nilai minimum

43

y1= 10x2

y2= 10(x−2)2

y3= 10(x−2)2+ 30 Pergeseran kurva mononom pangkat dua

-5 -3 3 _x 5 0 50 100 -1 1 y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif 44

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y2= 2x4 y3= 2x6 y1= 2x2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 _x1.5 0 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x

Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

( )

2 12 3 dan 2 2 3 6 3 dan 6 : Kurva 4 2 4 2 4 2 = = = → = → = = = y x x x x x y x y

( )

3 81 dan 3 3 3 3 dan : Kurva 6 2 4 6 4 6 = = = → = → = = = y x x x x x y x y Contoh:

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y 45

Mononom Pangkat Ganjil

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = 2x _{y = 2x}5 y = 2x3 y x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

46

Mononom Pangkat Tiga

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -2 -1 0 1 y -5 -4 -3 2 3 4 5 x 3 3x y=− 3 2x y=

Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3_{+ 100} y = 10x3 -5 -3 3x 5 -600 -400 -200 0 200 400 600 -1 1 y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif 47

Polinom

48

Polinom Pangkat Dua

c

bx

ax

y

=

2

+

+

y1=2x2 y3=13 y2=15x x -10 y -150 0 150 0 10 13 15 22+ + = x x y y1=2x2 y4= 2x2+15x y2=15x x = −15/2 y -150 0 150 0 _x -10 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom

pertama dan ke-dua: y=2x2+15x Perpotongan dengan sumbu-x

2 15 15 2 0= x2+ x⇒x=− 49 y4 = 2x2+15x −15/2 x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri −15/4 10 y4 = 2x2+15x x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 10

Sumbu simetri dariy=2x2+15x memotong sumbu-x di:

4 15 − = x Penambahan komponen y3= 13 memberikan: 13 15 22_{+ +} = x x y Koordinat titik puncak:

125 , 15 13 4 15 15 4 15 2 75 , 3 4 / 15 2 − = +      − +      − = = − = y x 50 y = ax2 _{+bx +c} y = ax2 y x 0 0

Polinom Pangkat Dua secara umum

x2 x1 Sumbu simetri: a b x 2 − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − −       + = + −       + = +       + = Pergeseran ke arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah negatif sumbu-y         ₋ − a ac b 4 4 2 51 Penjumlahan: y3= y1 + y2 -2000 0 2000 -10 0 x 10 y y1 y2 200 80 19 43 2 3= x + x − x− y

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua

d cx bx ax

y= 3+ 2+ +

Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2)

-2000 0 2000 -10 0 10 y x y1= 4x3 200 80 19 2 2= x − x− y

y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y152

2000 -10 10 y2 y1 y3= y1 + y2 -2000

Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1di daerah x

negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x

negatif -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3= y1+y2

Kasus: a terlalu positif Penurunan y1di daerah negatif

sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu

di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x

positif 3 1 ax y = d cx bx ax y= 3+ 2+ + 3 1 ax y = 53 y3= y1 + y2 y1 y2 -2000 0 -10 0 15 2000 d cx bx ax y= 3+ 2+ + y3= y1 + y2 -2000 0 2000 -10 0 15 3 3 1 ax kx y = =− d cx bx y2= 2+ + a < 0

Kurva y3berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

55

• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan,

kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x

dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Simetri

56

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh:

1

2 2

₊

₌

x

y

2

1

x

y

=

±

−

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2)_{< 0} 1 1≤ ≤ − y

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

1

1≤ ≤

− x

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

57

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh: 1 2 2_{+x =} y

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

58

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

Contoh: 10 ) (2 2 2_{x −x =x +} y ) 1 ( 10 2 − + ± = x x x y tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1

adalah asimptot dari kurva

-4 0 4 -4 0 4 y x 59

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

2 2 _{( )} ) ( PQ= xp−xq + yp−yq Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 [1,4] [3,8] 20 ) 4 8 ( ) 1 3 ( PQ= − 2+ − 2= 60

Parabola

Bentuk kurva y=kx2 disebutparabola

[0,0]

y

x y=kx2

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik

Titik puncakparabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya x p py y x p y x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) PR ( PQ + + − = + − = + − = p y ) ( PR= + p y x p py y2−₂ + 2+2= + p x y 4 2 = p k 4 1 = k p 4 1 = 2 4 1 x p y= P[x,y] Q[0,p] R[x,−p] 61 Contoh: Parabola y=0 x,52 dapat kita tuliskan

2 2 5 , 0 4 1 2 1 x x y × = = Direktrik:

y

=

−

p

=

−

0

,

5

Titik fokus: Q[0,(0,5)] 62 Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

2 2 _y x r= + 2 2 2 r y x + = persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] 2 2 2 _{( )} ) (x−a + y−b =r Pergeseran titikpusat lingkaran

sejauha kearah sumbu-x dan sejauhbke arah sumbu-y

Persamaan umum lingkaran berjari-jarirberpusat di (a,b)

63 -1 1 -1 1 0,5 0,5 [0,0] _x y r = 1 1 2 2_{+y =} x r 2 2 2 _{( 0,5)} ) 5 , 0 (x− + y− =r Contoh: 64

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y 2 2 ) ( XP= x+c +y XQ= (x−c)2+y2 ( ) a y c x y c x a 2 ) ( ) ( misalkan kita 2 XQ XP 2 2 2 2_{+ + − + =} + ⇒ = + 2 2 ) (x c y x a c a− = − + 2 2 2 2 2 2 2 _{4 4 ( ) ( )} ) (x+c +y = a− a x−c +y +x−c +y 2 2 2 2 _{2 ( )} ) (x+c +y = a− x−c +y 2 2 2 2 2 2 2 _{2 x x 2cx c y} a c cx a− + = − + + _{2 2} 1 2 2 2 = − + c a y a x kwadratkan kwadratkan sederhanakan 2 2 2 2 XQ XP : PXQ segitiga di + =a>c→ a>c 1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2 2 _{a c} b= − 65 1 2 2 2 2 = + b y a x X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [

−

a,0] _[a,0] [0,b] [0,−b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p x 2a=2→a=1 5 , 0 1 2b=→b= 1 -1 0 -1 0 1 x2 y 1 5 , 0 ) 25 , 0 ( 1 ) 5 , 0 ( 2 2 2 2 = − + − y x 5 , 0 = p 25 , 0 = q 66

Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x 2 2 ) ( XP= x+c +y 2 2 ) ( XQ= x−c +y a y c x y c x XQ XP 2 ) ( ) ( ₊ 2₊ 2_{− −} 2₊ 2₌ = − 2 2 2 2 _{2 ( )} ) (x+c +y = a+ x−c +y 2 2 ) ( ) / (cax−a= x−c +y 1 2 2 2 2 2 = − − a c y a x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ →2c < 2a→c2_−a2_{= b}2 1 2 2 2 2 = − b y a x

kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola 67 1 2 2 2 2 = − b y a x +∞ −∞ X(x,y) -c c y x [-a,0] [a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x =

−

adan x = a

2 2 2 _{c a}

b = −

68

Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah 0 2 2_{+ + + + + =} F Ey Dx Cy Bxy Ax Persamaan parabola: B=C=D=F=0; A=1; E=−4p Lingkaran: B=D=E=0; A=1; C=1; F = −1

Bentuk Ax2_{dan Cy}2_{adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah}

sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua,

belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

69

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

a a y a x a y a x ) ( ) ( ) ( ) 2 ( + 2+ + 2− − 2+ − 2= 2 2 _{( )} ) (x a y a a y x+ − = − + − 2 2xy=a

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, 2 2 2 2 _{( ) 2 ( ) ( )} ) (x+a +y+a =a+ x−a +y−a

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o _{berlawanan dengan arah} perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu

sumbu-x. -5 0 5 -5 0 x y P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y] 70

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi sinus PQ PQ sinθ= = r Fungsi Cosinus OQ OQ cosθ= = r Fungsi Tangent θ θ = = θ cos sin OQ PQ tan θ − = − = ′ = θ − tan OQ PQ OQ Q P ) tan( Fungsi Cotangent θ θ = = θ sin cos PQ OQ cot θ − = − = ′ = θ − cot PQ OQ Q P OQ ) cot( Fungsi Secan Fungsi Cosecan OQ 1 cos 1 sec = θ = θ PQ 1 sin 1 cscθ= _θ= P Q θ O [0,0] -1 1 -1 1 x y r = 1 P’ -θ θ + θ =_sin2 _cos2 1 72

Relasi-Relasi sinα α -1 1 -1 [0,0] 1 x y β cosα cosαcosβ cosαsinβ β sinαsinβ sinαcosβ 73 Relasi-Relasi sinα α -1 1 -1 [0,0] 1 x y β cosα cosαcosβ cosαsinβ β sinαsinβ sinαcosβ )

sin(α+β=sinαcosβ+cosαsinβ

)

cos(α+β =cosαcosβ−sinαsinβ

β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( Karena β − = β −) sin sin( β = β −) cos cos( 74 Contoh:

α

α

=

α

α

+

α

α

=

α

+

α

=

α

)

sin(

)

sin

cos

cos

sin

2

sin

cos

2

sin(

a).

α

−

α

=

α

α

−

α

α

=

α

+

α

=

α

₎

_cos(

₎

_cos

_cos

_sin

_sin

_cos

2

_sin

2

2

cos(

b).

α

+

α

=

2 2

sin

cos

1

α

=

+

α

₎

₁

₂

_cos

2

2

cos(

1 cos 2 ) 2 cos(α= 2α− α − = − α_{) 1 2sin}2 2 cos( α − = α 2 sin 2 1 ) 2 cos(

α

−

α

=

α

₎

_cos

2

_sin

2

2

cos(

c).

75

β

α

+

β

α

=

β

+

α

)

sin

cos

cos

sin

sin(

2 ) sin( ) sin( cos sinα β= α+β+ α−β 2 ) cos( ) cos( cos cosα β= α+β+ α−β β α + β α = β −

α ) cos cos sin sin cos( 2 ) cos( ) cos( sin sinα β= α−β− α+β β α − β α = β +

α ) cos cos sin sin cos( β α + β α = β −

α ) cos cos sin sin cos( Contoh:

β

α

−

β

α

=

β

−

α

)

sin

cos

cos

sin

sin(

d).

β

α

=

β

−

α

+

β

+

α

)

sin(

)

2

sin

cos

sin(

e). _{cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ}

β

α

=

β

−

α

+

β

+

α

)

cos(

)

2

cos

cos

cos(

f). β α = β + α − β −

α ) cos( ) 2sin sin cos(

76

Fungsi Trigonometri Normal

77

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda -1 0 1 0 x y 2π π −π x y -1 0 1 0 −π π 2π −2π perioda ) 2 / cos( ) sin( = −π = x x y

pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif

Contoh: o o o o 34 cos ) 90 56 cos( 56 sin = − = ) sin(x y= _y=cos(x)

Fungsi Sinus Fungsi Cosinus

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Tangent θ = θ θ = θ cot 1 cos sin tan asimptot Rentang: -π/4 < tanθ< π/4 π/4 < tanθ< 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2 θ θ cos sin 79 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 -3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Cotangent θ = θθ = θ tan 1 sin cos cot asimptot Rentang: 0 < tanθ< π/2 -π/2 < tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π/2 θ θ cos sin 80 Fungsi Secan Fungsi Cosecan -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π ) cos( 1 ) sec( x x y= = ) sin( 1 ) csc( x x y= = Rentang: -π/2 < tanθ< π/2 π/2 < tanθ< 3π/2 dst. Lebar rentang: π Rentang: 0 < tanθ< π -π< tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π asimptot 81

Fungsi Trigonometri Inversi

82 Sinus Inversi x x y 1 sin atau arcsin − = = x y -1 00 1 −π π 2π −2π -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -1 -0,5 0 0,5 x1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama -π/2 < sin-1_{x <π/2} -1 < x < 1 y x 1 2 1 x− x y=sin−1 2 2 1 tan 1 cos x x y x y − = − = Sudut y yang sinusnya = x

x y= sin 83 Cosinus Inversi x y -1 00 1 −π π 0 0,25π 0,5π 0,75π 1π -1 -0,5 0 0,5x1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama 0 < cos-1_{x < π} -1 < x < 1 x y=cos−1 y x 1 ₂ 1−x x y=cos−1 x x y x y 2 2 1 tan 1 sin − = − = y x=cos 84

Tangent Inversi _y 1_x tan− = -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y x -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -10 -5 0 5 x 10 y 2 tan 2 1 _<π < π − −_x Kurva lengkap

Kurva nilai utama y x=tan y x 1 2 1 x+ x y_=tan−1 2 2 1 1 cos 1 sin x y x x y + = + = 85 Cotangent inversi x y=cot−1 dengan nilai utama

π < < −1_x cot 0 0 0,5π 1π -10 -5 0 5 10 y x π < <_cot−1_x 0 Kurva nilai utama

y x=cot y x 1 2 1 x+ x y_=tan−1 2 2 1 cos 1 1 sin x x y x y + = + = 86 Secan Inversi x x y=sec−1 =cos−11

dengan nilai utama π ≤ ≤ −1_x sec 0 0 0,25π 0,5π 0,75π π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3x4 y π < <_sec−1_x 0 Kurva nilai utama

y x=sec y x 1 2 1 x+ x y=sec−1 2 2 1 tan 1 cos 1 sin x y x y x x y + = = + = 87 Cosecan Inversi x x y=csc−1 =sin−11 2 csc 2 1 _≤π ≤ π − −_x y -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3x4

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2 csc 2 1 _≤π ≤ π − − x y x=csc y x 1 2 1 x+ x y=csc−1 2 2 1 1 tan 1 cos 1 sin x y x x y x y + = + = = 88 89

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan

waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

) 2 sin( ) sin( 0+θ π = θ + = t f A x A y sudut fasa frekuensi siklus amplitudo

Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan

2 0 0= πf

ω

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: 0 0 1 T f =

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus. T0 -A 0 A 0 t y Ts T0 -A 0 A 0 t y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan ) ( ) (t T0 ft f − = perioda 91 Contoh: y y = 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15 t y y = 1 + 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15 t ) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1 f0t f0t y==== ++++ π −−−− π y t -4 0 4 -5 15 ) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1++++ π0−−−− π 0 ++++π ==== ft f t y -4 1 -5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

92

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0

Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0

Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

93

sinus dasar (fundamental). Contoh:

Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi

hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. harmonisa-3 dan

sinus dasar + harmonisa-3.

harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 +

harmonisa-5.

harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.

94

Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang

non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang

amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaksdan fmin

95 Contoh: ) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30 10+ π0 + π 0 −π + π 0 +π = ft ft ft y Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0 Amplitudo 10 30 15 7,5 Sudut fasa − 0 −π/2 π 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0] A m p lit u d o 0 π/2 2π 0 1 2 3 4 5 S u d u t F a s a Frekuensi [×f0] −π/2 −2π Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Suatu persamaan gelombang:

Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

[

]

∑

π + π + = cos(2 ) sin(2 ) ) (t a0 a nf0t b nf0t f n n fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: 1 0 ; 2 / ganjil 0 genap; 1 / 2 / 1 2 0 ≠ = = = − π = π = n b A b n a n n A a A a n n n T0 t y 97 Contoh: Contoh: T0 A t y n b n a n n A a A a n n n semua untuk 0 ganjil 0 genap; 1 / 4 / 2 2 0 = = − π = π = n n A b n a A a n n semua untuk semua untuk 0 2 / 0 π − = = = T0 A t y 98 99 Bilangan Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilanganπ, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284 1 lne= a e a ea= ln = ln 100 Kurva y = ln x Fungsi Logaritma Natural

Definisi ln x x ln x t 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y 1/t

luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

∫

= x dt t x 1 1 ln 1 2 3 x 4 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 y y = ln x 1 lne= e = 2,7182818284….. e 101 Sifat-Sifat 1 untuk negatif bernilai ln ln 1 ln ln ln ; ln ln ln ln ln ln < = = = − = + = x x x e e x n x a x a x x a ax x n 102

103

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

y x=ln Fungsi Eksponensial x e y=

Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif

0 ; ) ( ≥ =_e− _{ux x} y ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

104

Kurva Fungsi Eksponensial

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 y e−x e−2x

Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x ax e y= −

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

105

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

) ( ) (t Ae /ut u Ae y= −at = −t τ

yang dituliskan dengan singkat y=Ae−at=Ae−t/τ

τ= 1/adisebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun

Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ

106

Gabungan Fungsi Eksponensial

1 / 1 τ t Ae y ==== −−−− 2 / 2 Aetτ y ==== −−−−

((((

_e t/τ1 _e t/τ2

))))

A y==== −−−− −−−− −−−− t/τ A 0 1 2 3 4 5 107

Fungsi Hiperbolik Definisi

Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2 sinh ; 2 cosh x x x x _{e e} x e e x − − ₋ = + = Fungsi hiperbolik yang lain

x x x x x x x x e e e e x x x e e e e x x x ₋ − − − − + = = + − = = sinh cosh coth ; cosh sinh tanh x x x x e e x x e e x x _{− −} − = = + = = 2 sinh 1 csch ; 2 cosh 1 sech 109

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

x e y 2 1 1= x e y =− − 2 1 2 x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 sinh x x e e x y − − = = 110 x y=sinh y x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 cosh x x e e x − + = x e y 2 1 1= 111 x y=cosh -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 y x x x y cosh 1 sech = = 112 x y=sinh x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=csch x x y sinh 1 csch = = 113 x y=coth x y 0 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 x x x y cosh sinh tanh = = x x x y sinh cosh coth = = 114

untuksinh xdancosh xterdapat hubungan 1 4 4 4 2 4 2 sinh cosh 2 2 2 2 2 2 _{− =}ex+ +e−x₋ex− +e−x_{= =} x x 1 sin cos2_x+ 2_x= Jika untuksin x dancos x kita kenal hubungan: Identitas

Beberapa Identitas: cosh2v−sinh2v=1 v v 2 2 sech tanh 1− = v v 2 2 csch 1 coth − = v e v v+sinh = cosh v e v v−sinh = − cosh 115 116

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

θ = sin P r y θ = cos P r x P[r,θ] [0,0] x y θ r xP yP •P(xP,yP) 117

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 c y x + = [0,0] _x y

Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

2 2 2 _{(sin )} ) cos (r θ +r θ =c θ r 118 a [0,0] x y

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 ) (x−a +y =c θr

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ−a +r θ =c 119

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 _{( )}

)

(x−a +y−b =c

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ−a +r θ−b =c b a [0,0] x y θ r 120

Contoh: -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)

cos

1

(

2

−

θ

=

r

121 Contoh: θ y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 3 5 r P[r,θ] θ =16cos 2 r 122 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y θ= π θ= 3π θ= 4π θ= 2π r θ P[r,θ] y = 2 2 = θ r Contoh: 123

Persamaan Garis Lurus

O y x l1 a r θ P[r,θ] a r l1: cosθ= 124 O y x b l2 b r l2: sinθ= r θ P[r,θ] 125 α l3 O y x β a A r θ P[r,θ] a r l3: cos(β−θ)= 126

l4 O y x β a r θ P[r,θ] l4: rcos(θ−β)=a 127

Parabola, Elips, Hiperbola

θ − = cos 1 k r Parabola: Eksentrisitas θ + = = cos PD PF r k r es Eksentrisitas: D B θ r P[r,θ] F titik fokus

Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus

parabola, elips, dan hiperbola.

Elips: 1 = s e θ − = cos 1 s s e k e r θ + = θ + =e(k rcos) ek ercos r s s s 1 < s e = ₋ × _θ= _{− θ} cos 2 cos 5 , 0 1 5 , 0 k k r (misal es= 0,5) Hiperbola:es>1 _{− θ} × = cos 2 1 2 k r (misal es= 2) x y A direktriks k 128

Lemniskat dan Oval Cassini

F1[a,π] F2[a,0] P[r,θ] r θ θ= 0 θ= π θ= π/2

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali

jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

( ) (

) (

)

θ + + = θ + + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 1 ar a r r a r

( ) (

) (

)

θ − + = θ − + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 2 ar a r r a r 2 2 1 PF PF× =b Misalkan

(

) (

)

) cos 2 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 θ − + + = θ − + × θ + + = r a a r ar a r ar a r b θ − + =r4 a4 2a2r2cos2 ) 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 4 2 2 _{a a k} r = θ± θ− −

Buat b dan a berrelasi

b = ka k4a4=r4+a4−2a2r2cos2θ 0_=r4₋2_a2_r2cos2_θ+a4(1_−k4)

129

Lemniskat _r2_=a2cos2_θ±a2 cos22_θ−(1_−k4)

Kondisi khusus: k = 1 θ =22cos2 2 a r θ= 0 θ= π θ= π/2 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1

θ= 0 θ= π θ= π/2 -1 -0,5 0 0,5 1 -2 -1 0 1 2 Kurva dengan a = 1 130 Oval Cassini

Kondisi khusus:k < 1, misalkan k = 0,8

θ= 0 θ= π θ= π/2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 -2 -1 0 1 2 ) 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 4 2 2 k a a r = θ± θ− − 131

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham