INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Fungsi Turunan Integral

(1)

banonyuliatmojo@gmail.com 1

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL)

Pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Karena itu integral disebut pula anti diferensial (anti turunan).

Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan dari fungsi f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain F.

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) atau 𝑭′_{𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) → f(x) = F’(x)}

A. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR

Rumus integral tak tentu :

dengan n bilangan rasional dan n ≠ − 1 .

Fungsi Turunan Integral

𝑓 𝑥 = 𝑥2 _𝑓′_{𝑥 = 2𝑥} _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 =} 2 1+1𝑥 1+1 _{= 𝑥}2_{+ 𝐶} 𝑓 𝑥 = 𝑥3 _𝑓′_{𝑥 = 3𝑥}2 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥}2_{𝑑𝑥 =} 3 2+1𝑥 2+1 _{= 𝑥}3_{+ 𝐶} 𝑓 𝑥 = 𝑥4 _𝑓′_{𝑥 = 4𝑥}3 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥}3_{𝑑𝑥 =} 4 3+1𝑥3+1 = 𝑥4+ 𝐶 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 _𝑓′_{𝑥 = 𝑛. 𝑥}𝑛−1 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛. 𝑥}𝑛−1_{𝑑𝑥 =} 𝑛 𝑛−1+1𝑥𝑛−1+1 = 𝑥𝑛 Contoh :

Selesaikan integral berikut ini : 1. 12𝑥3 𝑑𝑥 2. −18𝑥2 𝑑𝑥 3. 𝑥 2 3 𝑑𝑥 4. 𝑥− 3 4 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. 12𝑥3_{𝑑𝑥 =} 12 3+1𝑥3+1+ 𝐶 = 12 4 𝑥4+ 𝐶 = 3𝑥4+ 𝐶 2. −18𝑥2_{𝑑𝑥 =}−18 2+1𝑥 2+1 _{+ 𝐶 =}−18 3 𝑥 3_{+ 𝐶 = −6𝑥}3_{+ 𝐶} 3. 𝑥23 𝑑𝑥 = ₂1 3+1 𝑥23+1+ 𝐶 =₂1 3+ 3 3 𝑥23+ 3 3+ 𝐶 = 1₅ 3 𝑥53 = 3 5𝑥 5 3+ 𝐶 =3 5 𝑥5 3 4. 𝑥−34 𝑑𝑥 = 1 −3₄+1𝑥 −3₄+1 _{+ 𝐶 =} 1 −3₄+4₄𝑥 −3₄+4₄_{+ 𝐶 =} 1 1 4 𝑥14+ 𝐶 =4 1𝑥 1 4+ 𝐶 = 4𝑥14+ 𝐶 = 4 𝑥4 + 𝐶 𝒂𝒙𝒏_{𝒅𝒙 =} 𝒂 𝒏 + 𝟏 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝒄

(2)

Sifat – sifat Integral Tak Tentu :

 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, a adalah Konstanta

 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, a adalah Konstanta  𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥  𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Contoh :

Selesaikan integral berikut : 1. 18𝑥8_{− 25𝑥}4_{+ 3𝑥}2_𝑑𝑥 2. 𝑥 + 1 2_𝑑𝑥 3. 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 4. 2𝑥−2_𝑑𝑥 5. −_𝑥3₂𝑑𝑥 6. 2𝑥3−3𝑥_𝑥₂2+1 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. 18𝑥8_{− 25𝑥}4_{+ 3𝑥}2_{𝑑𝑥 =} 18 8+1𝑥8+1− 25 4+1𝑥4+1+ 3 2+1𝑥2+1+ 𝐶 = 18 9 𝑥 9₋25 5 𝑥 5₊3 3𝑥 3_{+ 𝐶} = 2𝑥9_{− 5𝑥}5_{+ 𝑥}3_{+ 𝐶} 2. 𝑥 + 1 2_{𝑑𝑥 = 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥} =₂₊₁1 𝑥2+1₊ 2 1+1𝑥1+1+ 1𝑥 + 𝐶 =1₃𝑥3₊2 2𝑥 2_{+ 1𝑥 + 𝐶} =1₃𝑥3_{+ 𝑥}2_{+ 𝑥 + 𝐶} 3. 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥2_{− 𝑥 + 2𝑥 − 2 𝑑𝑥} = 𝑥2_{+ 𝑥 − 2 𝑑𝑥} = ₂₊₁1 𝑥2+1₊ 1 1+1𝑥 1+1_{− 2𝑥 + 𝐶} = 1₃𝑥3₊1 2𝑥 2_{− 2𝑥 + 𝐶} 𝑎 + 𝑏 2_{= 𝑎}2_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}2 Note :

(3)

banonyuliatmojo@gmail.com 3 4. 2𝑥−2_{𝑑𝑥 =} 2 −2+1𝑥 −2+1_{+ 𝐶} =₋₁2 𝑥−1_{+ 𝐶} = −2𝑥−1_{+ 𝐶 → 𝑎}−1 ₌1 𝑎 =−2_𝑥 + 𝐶 5. −_𝑥3₂𝑑𝑥 = −3𝑥−2_𝑑𝑥 =₋₂₊₁−3 𝑥−2+1_{+ 𝐶} =−3₋₁𝑥−1_{+ 𝐶} = 3𝑥−1_{+ 𝐶 → 𝑎}−1 ₌ 1 𝑎 =_𝑥3+ 𝐶 6. 2𝑥3−3𝑥_𝑥₂2+1 𝑑𝑥 = 2𝑥_𝑥₂3−3𝑥2 𝑥2 + 1 𝑥2 𝑑𝑥 = 2𝑥_𝑥23𝑑𝑥 − 3𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 + 1 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 − 3 𝑑𝑥 + 𝑥−2_𝑑𝑥 = 2 1+1𝑥 1+1_{− 3𝑥 +} 1 −2+1𝑥 −2+1_{+ 𝐶} =2₂𝑥2_{− 3𝑥 +} 1 −1𝑥−1+ 𝐶 = 𝑥2_{− 3𝑥 − 𝑥}−1_{+ 𝐶} = 𝑥2_{− 3𝑥 −}1 𝑥+ 𝐶

Konstanta C dapat ditentukan nilainya asalkan nilai variabel x dan F(x) dari 𝐹′_{𝑥 𝑑𝑥} telah diketahui.

Contoh :

Diketahui f’(x) = 2x + 1 dan f(3) = 6. Tentukan fungsi f(x). Penyelesaian : f(x) = 𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{+ 𝑥 + 𝐶} f(3) = 6 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{+ 𝑥 + 𝐶} 𝑓 3 = 32_{+ 3 + 𝐶} 6 = 9 + 3 + 𝐶 6 − 12 = 𝐶 −6 = 𝐶 𝐶 = −6 → Jadi, 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{+ 𝑥 − 6}

(4)

Soal Latihan

1. Selesaikan integral berikut : a. 2 𝑑𝑥 b. 5𝑥4𝑑𝑥 c. 8𝑥3_𝑑𝑥 d. −9𝑥2𝑑𝑥 e. −10𝑥9_𝑑𝑥 f. 7𝑥−8𝑑𝑥 g. 5𝑥14_𝑑𝑥 h. 𝑥−3_𝑑𝑥 i. −4𝑥−3𝑑𝑥 j. 6𝑥11𝑑𝑥

2. Selesaikan integral berikut : a. 𝑥12𝑑𝑥 b. 𝑥 3 4𝑑𝑥 c. 𝑥12𝑑𝑥 d. 7𝑥 2 5𝑑𝑥 e. 𝑥 𝑑𝑥 f. 7_𝑥4₃𝑑𝑥 g. 4𝑥−13𝑑𝑥 h. _𝑥4₋₃𝑑𝑥 i. 𝑥−312𝑑𝑥 j. 4 𝑥12 𝑑𝑥

3. Selesaikan integral berikut : a. 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 b. 𝑥3_{− 4 𝑑𝑥} c. 3𝑥2_{+ 10𝑥 − 7 𝑑𝑥} d. 5𝑥3_{− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥} e. 𝑥 + 3 2𝑑𝑥 f. 2𝑥 3𝑥2_{− 5𝑥 + 4 𝑑𝑥} g. −5𝑥 3𝑥2_{− 4𝑥 + 5 𝑑𝑥} h. 𝑥 𝑥2+ 2𝑥 − 8 𝑑𝑥 i. 2𝑥2_{4𝑥 − 1 𝑑𝑥} j. 2𝑥 − 5 2_𝑑𝑥 k. 𝑥2+ 1 2𝑑𝑥 l. 𝑥2_{+ 4𝑥}2_𝑑𝑥 m. 𝑥2_{+ 1}2_𝑥3_𝑑𝑥 n. 𝑥 − 3 𝑥 + 5 𝑑𝑥 o. 𝑥2− 2 𝑥 − 5 𝑑𝑥

(5)

4. Tentukan fungsi F jika diketahui bentuk berikut : a. 𝐹′_{𝑥 = 3𝑥}5_{dan F(1) = 5}

b. 𝐹′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 dan F(1) = −4 c. 𝐹′_{𝑥 = 1 − 𝑥 dan F(3) = 1} d. 𝐹′ 𝑥 = 4𝑥 − 2 dan F(8) = 15 e. 𝐹′_{𝑥 = 𝑥}2_{dan F(2) = 1}

B. INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR

Integral tentu adalah integral dari suatu fungsi kontinu untuk nilai – nilai x tertentu dalam sebuah interval yang mempunyai batas atas dan batas bawah.

Jika F(x) anti turunan dari f(x) dengan nilai – nilai x pada sebuah interval yang memiliki batas bawah a dan batas atas b maka bentuk 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 disebut integral tentu untuk fungsi

f(x) dari a sampai b.

Andaikan f kontinu pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f, maka pada interval tersebut berlaku sebagai berikut :

Selain sifat integral tak tentu yang juga berlaku pada integral tertentu, terdapat sifat – sifat integral tertentuyang lan sebagai berikut :

1. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 = − 𝒇 𝒙 _𝒃𝒂 𝒅𝒙

2. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒄 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 + 𝒇 𝒙 _𝒃𝒄 𝒅𝒙 3. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒂 𝒅𝒙 = 𝟎

4. Jika f(x) ≥ 0 dalam inerval a ≤ x ≤ b maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≥ 0 Jika f(x) ≤ 0 dalam inerval a ≤ x ≤ b maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≤ 0

Contoh :

Tentukan nilai integral berikut : 1. 𝑥5 2 2 𝑑𝑥 2. 3𝑥3 2_{+ 4𝑥 + 2} 0 𝑑𝑥 3. 3𝑥3 2 2 𝑑𝑥 + 3𝑥2 5 3 𝑑𝑥 4. 𝑥1 2_{+ 3𝑥} −2 𝑑𝑥 𝒇 𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) _𝒂𝒃_{= 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)}

(6)

banonyuliatmojo@gmail.com 6 Penyelesaian : 1. 𝑥5 2 2 𝑑𝑥 = 1 3𝑥 3 2 5 = 1₃. 53₋1 3. 2 3 = 1₃. 125 − 1₃. 8 =125 3 − 8 3 =117₃ = 39 2. 3𝑥3 2_{+ 4𝑥 + 2} 0 𝑑𝑥 = 3𝑥3 3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥 ₀ 3 = 𝑥3_{+ 2𝑥}2_{+ 2𝑥} 0 3 = 33_{+ 2. 3}2_{+ 2.3 − 0}3_{+ 2. 0}2_{+ 2.0} = 27 + 18 + 6 − 0 + 0 + 0 = 51 − 0 = 51 3. 3𝑥3 2 2 𝑑𝑥 + 3𝑥2 5 3 𝑑𝑥 = 3𝑥2 5 2 𝑑𝑥 = 3𝑥₃3 2 5 = 𝑥3 2 5 = 53_{− 2}3 = 125 − 8 = 117 4. 𝑥1 2_{+ 3𝑥} −2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 3𝑥2 2 ₋₂ 1 = 1₃3+3.1₂2 − −2 ₃ 3+3. −2 ₂ 2 = 1₃+3₂ − −8₃ +12₂ = 2₆+9₆ − −16₆ +36₆ = 11₆ − 20₆ = −9₆= −13₆= −11₂

(7)

Soal Latihan

Tentukan nilai integral berikut : 1. 𝑥5 3 3 𝑑𝑥 2. 3𝑥 − 2 ₁4 𝑑𝑥 3. 3 − 2𝑥 + 𝑥3 2 −1 𝑑𝑥 4. 4𝑥2 3_{+ 7} 1 𝑑𝑥 5. 2𝑥3 3_{+ 6𝑥} 2 𝑑𝑥 6. 4 − 2𝑥 ₋₁1 𝑑𝑥 7. 𝑥 + 5 2𝑥 − 1 ₋₃0 𝑑𝑥 8. 3𝑥3 2_{+ 8𝑥 + 4} −2 𝑑𝑥 9. 2𝑥1 2_{+ 5𝑥 − 3} −1 𝑑𝑥 10. 3𝑥4 2_{− 2𝑥 + 7} 3 𝑑𝑥 11. 𝑥2 2_{+ 6𝑥 + 4} 1 𝑑𝑥 12. 4𝑥2 3_{+ 3𝑥}2_{− 2} 1 𝑑𝑥 13. 6𝑥₋₁3 2+ 4𝑥 𝑑𝑥 14. 3𝑥2 2_{− 3𝑥 + 7} 0 𝑑𝑥 15. 6𝑥3 2_{+ 2𝑥 + 1} 0 𝑑𝑥

C. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

D. INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

E. INTEGRAL SUBSTITUSI

(8)

G. MENENTUKAN LUAS DAERAH 1. Luas Daerah di Bawah Kurva

Jika akan dihitung luas daerah di bawah kurva f(x) pada interval a < x < b, maka dapat digunakan integral dari f(x) terhadap x untuk interval (a,b).

Luas Bidang (L) terletak antara kurva y = f(x) > 0, Sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 1, garis x = 1, garis x = 4, dan Sumbu X. Penyelesaian : 𝐿 = 2𝑥 − 1 𝑑𝑥₁4 = 𝑥2_{− 𝑥} 1 4 = 42 _{− 4 − 1}2_{− 1} = 16 − 4 − 1 − 1 = 12 − 0 = 12

Jadi, luas daerah tersebut 12 satuan luas. 𝑳 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

(9)

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 4 − 𝑥2_{dan Sumbu X.}

Penyelesaian :

 Menentukan batas bawah dan batas atas yaitu dengan menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, syarat y = 0.

4 − 𝑥2 _{= 0}

2 + 𝑥 2 − 𝑥 = 0

2 + 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 − 𝑥 = 0 𝑥₁ = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥₂ = 2 Kurva 𝑦 = 4 − 𝑥2_{memotong Sumbu X di (− 2, 0) dan (2, 0)}

 Luas daerah di bawah kurva : 𝐿 = 4 − 𝑥2 2_𝑑𝑥 −2 = 4𝑥 −𝑥₃3 −2 2 = 4.2 −2₃3 − 4. (−2) −(−2)₃ 3 = 8 −8₃ − −8 −−8₃ = 8 −8₃ — 8 +8₃ = 24₃ −8₃ —24₃ +8₃ = 16₃ —16₃ = 16₃ +16₃ = 32₃ = 102₃ satuan luas

(10)

2. Luas Daerah di Bawah Sumbu X

Luas Bidang (L) terletak antara kurva y = f(x) < 0, Sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2_{− 9 dan Sumbu X.}

Penyelesaian :

 Menentukan batas bawah dan batas atas yaitu dengan menentukan titik potong grafikdengan sumbu X, syarat y = 0.

𝑥2_{− 9 = 0}

𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 0

𝑥 + 3 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = 3

Kurva 𝑦 = 𝑥2_{− 9 memotong Sumbu X di (− 3, 0) dan (3, 0)} 𝑳 = − 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

(11)

 Luas daerah di bawah kurva : 𝐿 = − 𝑥3 2_{− 9 𝑑𝑥} −3 = − 𝑥₃3− 9𝑥 −3 3 = − 3₃3− 9.3 — (−3)₃ 3− 9. (−3) = − 27 3 − 27 − −27 3 − (−27) = − 9 − 27 — 9 + 27 = − −18 − 18 = − −36 = 36 satuan luas

Jadi, luas daerah tersebut 36 satuan luas.

3. Luas Daerah Antara Dua Kurva

Perhatikan gambar berikut :

Jika 𝑦₁ = 𝑓(𝑥) dan 𝑦₂ = 𝑔(𝑥) dua fungsi kontinu pada a ≤ x ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦₁ dan 𝑦₂ untuk 𝑦₂ ≥ 𝑦₁ (𝑦₂ di atas 𝑦₁) ditentukan sebagai berikut :

𝑳 = 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 = 𝒈 𝒙 − 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒃 𝒂

(12)

Jika 𝑥₁ = 𝑓(𝑦) dan 𝑥₂ = 𝑔(𝑦) dua fungsi kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh 𝑥1 dan 𝑥2 untuk 𝑥2 ≥ 𝑥1 (𝑥2 di kanan 𝑥1) ditentukan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan 𝑦 = 5𝑥.}

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva : 𝑦₁ = 𝑦₂ 𝑥2 _{= 5𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥 = 0} 𝑥(𝑥 − 5) = 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 5) = 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 5

Kedua kurva berpotongan pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 5 𝑳 = 𝒙𝒃 _𝟐− 𝒙_𝟏 𝒅𝒙

𝒂

= 𝒈 𝒚 − 𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 𝒃

(13)

Luas daerah di antara kurva 𝑦₁ = 𝑥2_{dan 𝑦}

2 = 5𝑥 sebagai berikut : 𝐿 = 𝑦_𝑎𝑏 2− 𝑦1 𝑑𝑥 𝐿 = 5𝑥 − 𝑥5 2_𝑑𝑥 0 𝐿 = 5₂𝑥2₋1 3𝑥3 ₀ 5 𝐿 = 5 2. 5 2₋1 3. 5 3₋5 2. 0 2₋1 3. 0 3 𝐿 = 5₂. 25 −1₃. 125 − 5₂. 0 −1₃. 0 𝐿 = 125₂ −125₃ − 0 − 0 𝐿 = 375₆ −250₆ − 0 𝐿 = 125₆ 𝐿 = 205₆ satuan luas

Jadi, luas daerah tersebut 205₆ satuan luas.

Soal Latihan

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 2, sumbu X, garis x = 0, dan garis x = 4.

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 7x + 10, sumbu X,} garis x = 3, garis x = 4.

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, garis x = −1, garis x = 2.

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = 2x.} 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 2 dan y = x.}

6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 3x + 1 dan y = − x + 4.} 7. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{+ x dan y = 4x – 2.} 8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = − 2x + 8.} 9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = 2x + 3.} 10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{+ 3x − 10}

(14)

H. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR 1. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X

Jika suatu bangun datar yang di batasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X maka bangun datar tersebut akan membentuk benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan rumus berikut :

Contoh :

Sebuah kerucut terpancung dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu X, x = 0, dan x = 2. Kerucut tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu X seperti gambar berikut. Hitunglah volume kerucut terpancung tersebut.

Penyelesaian : 𝑉 = 𝜋 𝑦𝑏 2_𝑑𝑥 𝑎 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 2)2 2_𝑑𝑥 0 𝑉 = 𝜋 (𝑥2 2_{+ 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥} 0 𝑽 = 𝝅 𝒚𝒃 𝟐_𝒅𝒙 𝒂 = 𝝅 𝒇(𝒙) 𝒃 𝟐_𝒅𝒙 𝒂

(15)

banonyuliatmojo@gmail.com 15 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+4𝑥₂2+ 4𝑥 0 2 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 2𝑥2_{+ 4𝑥} 0 2 𝑉 = 𝜋 2₃3+ 2.22_{+ 4.2 −}03 3 + 2.02+ 4.0 𝑉 = 𝜋 8₃+ 2.4 + 8 − 0₃+ 2.0 + 0 𝑉 = 𝜋 8₃+ 8 + 8 − 0 + 0 + 0 𝑉 = 𝜋 22₃+ 16 − 0 𝑉 = 182₃𝜋 satuan volume

Jadi, volume kerucut terpancung tersebut 182₃𝜋 satuan volume.

2. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y

Jika suatu bangun datar yang di batasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a, dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu Y maka bangun datar tersebut akan membentuk benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan rumus berikut :

𝑽 = 𝝅 𝒙𝒃 𝟐_𝒅𝒚 𝒂

= 𝝅 𝒇(𝒚) 𝒃 𝟐_𝒅𝒚 𝒂

(16)

Contoh :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diwarnai pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian : 𝑦 = 𝑥2_→_{𝑥 = 𝑦} 𝑉 = 𝜋 𝑥𝑏 2_𝑑𝑦 𝑎 𝑉 = 𝜋 𝑦 ₀4 2 𝑑𝑦 𝑉 = 𝜋 𝑦 𝑑𝑦₀4 𝑉 = 𝜋 𝑦₂2 0 4 𝑉 = 𝜋 4₂2 − 0₂2 𝑉 = 𝜋 16₂ − 0₂ 𝑉 = 𝜋 8 − 0 𝑉 = 8𝜋 satuan volume

(17)

3. Volume Benda Putar Antara Dua Kurva

Jika 𝑦1 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦2 = 𝑔(𝑥) fungsi kontinu pada a ≤ x ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh 𝑦₁ dan 𝑦₂ apabila diputar terhadap sumbu X (𝑦₂ lebih jauh dari 𝑦₁ terhadap sumbu putar) dirumuskan sebagai berikut :

Perhatikan gambar berikut : 𝑽 = 𝝅 𝒚_𝟐𝟐_{− 𝒚} 𝟏𝟐 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 = 𝝅 𝒈𝒃 𝟐_{(𝒙) − 𝒇}𝟐_{(𝒙) 𝒅𝒙} 𝒂

(18)

Jika 𝑥₁ = 𝑓(𝑦) dan 𝑥₂ = 𝑔(𝑦) fungsi kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh 𝑥₁ dan 𝑥₂ apabila diputar terhadap sumbu Y (𝑥₂ lebih jauh dari 𝑥₁ terhadap sumbu putar) dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan y = x + 6} di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva : 𝑦₁ = 𝑦₂

𝑥2 _{= 𝑥 + 6} 𝑥2_{− 𝑥 − 6 = 0} 𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0

𝑥₁ = −2 atau 𝑥₂ = 3 → nilai 𝑥₁ dan 𝑥₂ sebagai batas bawah dan batas atas

Kedua kurva berpotongan di x = − 2 dan x = 3 Maka volumenya sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 − 𝑦12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 𝑑𝑥− 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 6)3 2_𝑑𝑥 −2 − 𝜋 (𝑥2)2 𝑑𝑥 3 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 𝑑𝑥} −2 − 𝜋 𝑥4 𝑑𝑥 3 −2 𝑽 = 𝝅 𝒙_𝟐𝟐_{− 𝒙} 𝟏𝟐 𝒅𝒚 𝒃 𝒂 = 𝝅 𝒈𝒃 𝟐_{(𝒚) − 𝒇}𝟐_{(𝒚) 𝒅𝒚} 𝒂

(19)

banonyuliatmojo@gmail.com 19 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 6𝑥2_{+ 36𝑥} −2 3 − 𝜋 𝑥₅5 −2 3 𝑉 = 𝜋 33 3 + 6. 3 2_{+ 36.3 −}(−2)3 3 + 6. (−2) 2_{+ 36. (−2) − 𝜋}35 5 − (−2)5 5 𝑉 = 𝜋 27₃ + 6.9 + 108 − −8₃ + 6.4 + (−72) − 𝜋 243₅ − −32₅ 𝑉 = 𝜋 9 + 54 + 108 − −8₃ + 24 − 72 − 𝜋 243₅ +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 − −22 3− 48 − 𝜋 275 5 𝑉 = 𝜋 171 + 22₃+ 48 − 𝜋 55 𝑉 = 𝜋 2212₃ − 𝜋 55 𝑉 = 2212₃𝜋 − 55𝜋 𝑉 = 1662₃𝜋 satuan volume

Jadi, volume benda putar tersebut 1662₃𝜋 satuan volume.

Atau 𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 − 𝑦12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 6)3 2 _{− (𝑥}2₎2_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 − 𝑥}4_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 − 𝑥}4_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 6𝑥2_{+ 36𝑥 −}𝑥5 5 ₋₂ 3 𝑉 = 𝜋 3₃3+ 6. 32_{+ 36.3 −}35 5 − (−2)3 3 + 6. (−2)2+ 36. (−2) − (−2)5 5 𝑉 = 𝜋 27₃ + 6.9 + 108 −243₅ − −8₃ + 6.4 + (−72) − −32₅ 𝑉 = 𝜋 9 + 54 + 108 −243₅ − −8₃ + 24 − 72 +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 −243₅ − −8₃ − 48 +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 −243₅ +8₃+ 48 −32₅ 𝑉 = 𝜋 219 −275₅ + 22₃ 𝑉 = 𝜋 219 − 55 + 22₃

(20)

𝑉 = 𝜋 164 + 22₃ 𝑉 = 1662

3𝜋 satuan volume

Jadi, volume benda putar tersebut 1662₃𝜋 satuan volume.

Soal Latihan

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥3_{, sumbu X,} dan garis x = 3 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = 2x, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 3 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

3. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan garis} y = − x + 2 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan garis} y = x + 2 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

5. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_dan 𝑦 = −𝑥2_{+ 4 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.}