INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Fungsi Turunan Integral

(1)

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL)

Pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Karena itu integral disebut pula anti diferensial (anti turunan).

Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan dari fungsi f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain F.

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) atau 𝑭′_{𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) → f(x) = F’(x)}

A. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR

Rumus integral tak tentu :

dengan n bilangan rasional dan n ≠ − 1 .

Fungsi Turunan Integral

𝑓 𝑥 = 𝑥2 _𝑓′_{𝑥 = 2𝑥} _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 =} 2 1+1𝑥 1+1 _{= 𝑥}2_{+ 𝐶} 𝑓 𝑥 = 𝑥3 _𝑓′_{𝑥 = 3𝑥}2 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥}2_{𝑑𝑥 =} 3 2+1𝑥 2+1 _{= 𝑥}3_{+ 𝐶} 𝑓 𝑥 = 𝑥4 _𝑓′_{𝑥 = 4𝑥}3 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥}3_{𝑑𝑥 =} 4 3+1𝑥3+1 = 𝑥4+ 𝐶 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 _𝑓′_{𝑥 = 𝑛. 𝑥}𝑛−1 _𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛. 𝑥}𝑛−1_{𝑑𝑥 =} 𝑛 𝑛−1+1𝑥𝑛−1+1 = 𝑥𝑛 Contoh :

Selesaikan integral berikut ini : 1. 12𝑥3 𝑑𝑥 2. −18𝑥2 𝑑𝑥 3. 𝑥 2 3 𝑑𝑥 4. 𝑥− 3 4 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. 12𝑥3_{𝑑𝑥 =} 12 3+1𝑥3+1+ 𝐶 = 12 4 𝑥4+ 𝐶 = 3𝑥4+ 𝐶 2. −18𝑥2_{𝑑𝑥 =}−18 2+1𝑥 2+1 _{+ 𝐶 =}−18 3 𝑥 3_{+ 𝐶 = −6𝑥}3_{+ 𝐶} 3. 𝑥23 𝑑𝑥 = ₂1 3+1 𝑥23+1+ 𝐶 =₂1 3+ 3 3 𝑥23+ 3 3+ 𝐶 = 1₅ 3 𝑥53 = 3 5𝑥 5 3+ 𝐶 =3 5 𝑥5 3 4. 𝑥−34 𝑑𝑥 = 1 −3₄+1𝑥 −3₄+1 _{+ 𝐶 =} 1 −3₄+4₄𝑥 −3₄+4₄_{+ 𝐶 =} 1 1 4 𝑥14+ 𝐶 =4 1𝑥 1 4+ 𝐶 = 4𝑥14+ 𝐶 = 4 𝑥4 + 𝐶 𝒂𝒙𝒏_{𝒅𝒙 =} 𝒂 𝒏 + 𝟏 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝒄

(2)

[email protected] 2

Sifat – sifat Integral Tak Tentu :

 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, a adalah Konstanta

 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, a adalah Konstanta  𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥  𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Contoh :

Selesaikan integral berikut : 1. 18𝑥8_{− 25𝑥}4_{+ 3𝑥}2_𝑑𝑥 2. 𝑥 + 1 2_𝑑𝑥 3. 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 4. 2𝑥−2_𝑑𝑥 5. −_𝑥3₂𝑑𝑥 6. 2𝑥3−3𝑥_𝑥₂2+1 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. 18𝑥8_{− 25𝑥}4_{+ 3𝑥}2_{𝑑𝑥 =} 18 8+1𝑥8+1− 25 4+1𝑥4+1+ 3 2+1𝑥2+1+ 𝐶 = 18 9 𝑥 9₋25 5 𝑥 5₊3 3𝑥 3_{+ 𝐶} = 2𝑥9_{− 5𝑥}5_{+ 𝑥}3_{+ 𝐶} 2. 𝑥 + 1 2_{𝑑𝑥 = 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥} =₂₊₁1 𝑥2+1₊ 2 1+1𝑥1+1+ 1𝑥 + 𝐶 =1₃𝑥3₊2 2𝑥 2_{+ 1𝑥 + 𝐶} =1₃𝑥3_{+ 𝑥}2_{+ 𝑥 + 𝐶} 3. 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥2_{− 𝑥 + 2𝑥 − 2 𝑑𝑥} = 𝑥2_{+ 𝑥 − 2 𝑑𝑥} = ₂₊₁1 𝑥2+1₊ 1 1+1𝑥 1+1_{− 2𝑥 + 𝐶} = 1₃𝑥3₊1 2𝑥 2_{− 2𝑥 + 𝐶} 𝑎 + 𝑏 2_{= 𝑎}2_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}2 Note :

(3)

[email protected] 3 4. 2𝑥−2_{𝑑𝑥 =} 2 −2+1𝑥 −2+1_{+ 𝐶} =₋₁2 𝑥−1_{+ 𝐶} = −2𝑥−1_{+ 𝐶 → 𝑎}−1 ₌1 𝑎 =−2_𝑥 + 𝐶 5. −_𝑥3₂𝑑𝑥 = −3𝑥−2_𝑑𝑥 =₋₂₊₁−3 𝑥−2+1_{+ 𝐶} =−3₋₁𝑥−1_{+ 𝐶} = 3𝑥−1_{+ 𝐶 → 𝑎}−1 ₌ 1 𝑎 =_𝑥3+ 𝐶 6. 2𝑥3−3𝑥_𝑥₂2+1 𝑑𝑥 = 2𝑥_𝑥₂3−3𝑥2 𝑥2 + 1 𝑥2 𝑑𝑥 = 2𝑥_𝑥23𝑑𝑥 − 3𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 + 1 𝑥2𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 − 3 𝑑𝑥 + 𝑥−2_𝑑𝑥 = 2 1+1𝑥 1+1_{− 3𝑥 +} 1 −2+1𝑥 −2+1_{+ 𝐶} =2₂𝑥2_{− 3𝑥 +} 1 −1𝑥−1+ 𝐶 = 𝑥2_{− 3𝑥 − 𝑥}−1_{+ 𝐶} = 𝑥2_{− 3𝑥 −}1 𝑥+ 𝐶

Konstanta C dapat ditentukan nilainya asalkan nilai variabel x dan F(x) dari 𝐹′_{𝑥 𝑑𝑥} telah diketahui.

Contoh :

Diketahui f’(x) = 2x + 1 dan f(3) = 6. Tentukan fungsi f(x). Penyelesaian : f(x) = 𝑓′_{𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{+ 𝑥 + 𝐶} f(3) = 6 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{+ 𝑥 + 𝐶} 𝑓 3 = 32_{+ 3 + 𝐶} 6 = 9 + 3 + 𝐶 6 − 12 = 𝐶 −6 = 𝐶 𝐶 = −6 → Jadi, 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{+ 𝑥 − 6}

(4)

[email protected] 4

Soal Latihan

1. Selesaikan integral berikut : a. 2 𝑑𝑥 b. 5𝑥4𝑑𝑥 c. 8𝑥3_𝑑𝑥 d. −9𝑥2𝑑𝑥 e. −10𝑥9_𝑑𝑥 f. 7𝑥−8𝑑𝑥 g. 5𝑥14_𝑑𝑥 h. 𝑥−3_𝑑𝑥 i. −4𝑥−3𝑑𝑥 j. 6𝑥11𝑑𝑥

2. Selesaikan integral berikut : a. 𝑥12𝑑𝑥 b. 𝑥 3 4𝑑𝑥 c. 𝑥12𝑑𝑥 d. 7𝑥 2 5𝑑𝑥 e. 𝑥 𝑑𝑥 f. 7_𝑥4₃𝑑𝑥 g. 4𝑥−13𝑑𝑥 h. _𝑥4₋₃𝑑𝑥 i. 𝑥−312𝑑𝑥 j. 4 𝑥12 𝑑𝑥

3. Selesaikan integral berikut : a. 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 b. 𝑥3_{− 4 𝑑𝑥} c. 3𝑥2_{+ 10𝑥 − 7 𝑑𝑥} d. 5𝑥3_{− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥} e. 𝑥 + 3 2𝑑𝑥 f. 2𝑥 3𝑥2_{− 5𝑥 + 4 𝑑𝑥} g. −5𝑥 3𝑥2_{− 4𝑥 + 5 𝑑𝑥} h. 𝑥 𝑥2+ 2𝑥 − 8 𝑑𝑥 i. 2𝑥2_{4𝑥 − 1 𝑑𝑥} j. 2𝑥 − 5 2_𝑑𝑥 k. 𝑥2+ 1 2𝑑𝑥 l. 𝑥2_{+ 4𝑥}2_𝑑𝑥 m. 𝑥2_{+ 1}2_𝑥3_𝑑𝑥 n. 𝑥 − 3 𝑥 + 5 𝑑𝑥 o. 𝑥2− 2 𝑥 − 5 𝑑𝑥

(5)

[email protected] 5

4. Tentukan fungsi F jika diketahui bentuk berikut : a. 𝐹′_{𝑥 = 3𝑥}5_{dan F(1) = 5}

b. 𝐹′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 dan F(1) = −4 c. 𝐹′_{𝑥 = 1 − 𝑥 dan F(3) = 1} d. 𝐹′ 𝑥 = 4𝑥 − 2 dan F(8) = 15 e. 𝐹′_{𝑥 = 𝑥}2_{dan F(2) = 1}

B. INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR

Integral tentu adalah integral dari suatu fungsi kontinu untuk nilai – nilai x tertentu dalam sebuah interval yang mempunyai batas atas dan batas bawah.

Jika F(x) anti turunan dari f(x) dengan nilai – nilai x pada sebuah interval yang memiliki batas bawah a dan batas atas b maka bentuk 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 disebut integral tentu untuk fungsi

f(x) dari a sampai b.

Andaikan f kontinu pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f, maka pada interval tersebut berlaku sebagai berikut :

Selain sifat integral tak tentu yang juga berlaku pada integral tertentu, terdapat sifat – sifat integral tertentuyang lan sebagai berikut :

1. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 = − 𝒇 𝒙 _𝒃𝒂 𝒅𝒙

2. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒄 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 _𝒂𝒃 𝒅𝒙 + 𝒇 𝒙 _𝒃𝒄 𝒅𝒙 3. 𝒇 𝒙 _𝒂𝒂 𝒅𝒙 = 𝟎

4. Jika f(x) ≥ 0 dalam inerval a ≤ x ≤ b maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≥ 0 Jika f(x) ≤ 0 dalam inerval a ≤ x ≤ b maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≤ 0

Contoh :

Tentukan nilai integral berikut : 1. 𝑥5 2 2 𝑑𝑥 2. 3𝑥3 2_{+ 4𝑥 + 2} 0 𝑑𝑥 3. 3𝑥3 2 2 𝑑𝑥 + 3𝑥2 5 3 𝑑𝑥 4. 𝑥1 2_{+ 3𝑥} −2 𝑑𝑥 𝒇 𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) _𝒂𝒃_{= 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)}

(6)

[email protected] 6 Penyelesaian : 1. 𝑥5 2 2 𝑑𝑥 = 1 3𝑥 3 2 5 = 1₃. 53₋1 3. 2 3 = 1₃. 125 − 1₃. 8 =125 3 − 8 3 =117₃ = 39 2. 3𝑥3 2_{+ 4𝑥 + 2} 0 𝑑𝑥 = 3𝑥3 3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥 ₀ 3 = 𝑥3_{+ 2𝑥}2_{+ 2𝑥} 0 3 = 33_{+ 2. 3}2_{+ 2.3 − 0}3_{+ 2. 0}2_{+ 2.0} = 27 + 18 + 6 − 0 + 0 + 0 = 51 − 0 = 51 3. 3𝑥3 2 2 𝑑𝑥 + 3𝑥2 5 3 𝑑𝑥 = 3𝑥2 5 2 𝑑𝑥 = 3𝑥₃3 2 5 = 𝑥3 2 5 = 53_{− 2}3 = 125 − 8 = 117 4. 𝑥1 2_{+ 3𝑥} −2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 3𝑥2 2 ₋₂ 1 = 1₃3+3.1₂2 − −2 ₃ 3+3. −2 ₂ 2 = 1₃+3₂ − −8₃ +12₂ = 2₆+9₆ − −16₆ +36₆ = 11₆ − 20₆ = −9₆= −13₆= −11₂

(7)

[email protected] 7

Soal Latihan

Tentukan nilai integral berikut : 1. 𝑥5 3 3 𝑑𝑥 2. 3𝑥 − 2 ₁4 𝑑𝑥 3. 3 − 2𝑥 + 𝑥3 2 −1 𝑑𝑥 4. 4𝑥2 3_{+ 7} 1 𝑑𝑥 5. 2𝑥3 3_{+ 6𝑥} 2 𝑑𝑥 6. 4 − 2𝑥 ₋₁1 𝑑𝑥 7. 𝑥 + 5 2𝑥 − 1 ₋₃0 𝑑𝑥 8. 3𝑥3 2_{+ 8𝑥 + 4} −2 𝑑𝑥 9. 2𝑥1 2_{+ 5𝑥 − 3} −1 𝑑𝑥 10. 3𝑥4 2_{− 2𝑥 + 7} 3 𝑑𝑥 11. 𝑥2 2_{+ 6𝑥 + 4} 1 𝑑𝑥 12. 4𝑥2 3_{+ 3𝑥}2_{− 2} 1 𝑑𝑥 13. 6𝑥₋₁3 2+ 4𝑥 𝑑𝑥 14. 3𝑥2 2_{− 3𝑥 + 7} 0 𝑑𝑥 15. 6𝑥3 2_{+ 2𝑥 + 1} 0 𝑑𝑥

C. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

D. INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

E. INTEGRAL SUBSTITUSI

(8)

[email protected] 8

G. MENENTUKAN LUAS DAERAH 1. Luas Daerah di Bawah Kurva

Jika akan dihitung luas daerah di bawah kurva f(x) pada interval a < x < b, maka dapat digunakan integral dari f(x) terhadap x untuk interval (a,b).

Luas Bidang (L) terletak antara kurva y = f(x) > 0, Sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 1, garis x = 1, garis x = 4, dan Sumbu X. Penyelesaian : 𝐿 = 2𝑥 − 1 𝑑𝑥₁4 = 𝑥2_{− 𝑥} 1 4 = 42 _{− 4 − 1}2_{− 1} = 16 − 4 − 1 − 1 = 12 − 0 = 12

Jadi, luas daerah tersebut 12 satuan luas. 𝑳 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

(9)

[email protected] 9

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 4 − 𝑥2_{dan Sumbu X.}

Penyelesaian :

 Menentukan batas bawah dan batas atas yaitu dengan menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, syarat y = 0.

4 − 𝑥2 _{= 0}

2 + 𝑥 2 − 𝑥 = 0

2 + 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 − 𝑥 = 0 𝑥₁ = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥₂ = 2 Kurva 𝑦 = 4 − 𝑥2_{memotong Sumbu X di (− 2, 0) dan (2, 0)}

 Luas daerah di bawah kurva : 𝐿 = 4 − 𝑥2 2_𝑑𝑥 −2 = 4𝑥 −𝑥₃3 −2 2 = 4.2 −2₃3 − 4. (−2) −(−2)₃ 3 = 8 −8₃ − −8 −−8₃ = 8 −8₃ — 8 +8₃ = 24₃ −8₃ —24₃ +8₃ = 16₃ —16₃ = 16₃ +16₃ = 32₃ = 102₃ satuan luas

(10)

[email protected] 10

2. Luas Daerah di Bawah Sumbu X

Luas Bidang (L) terletak antara kurva y = f(x) < 0, Sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2_{− 9 dan Sumbu X.}

Penyelesaian :

 Menentukan batas bawah dan batas atas yaitu dengan menentukan titik potong grafikdengan sumbu X, syarat y = 0.

𝑥2_{− 9 = 0}

𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 0

𝑥 + 3 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = 3

Kurva 𝑦 = 𝑥2_{− 9 memotong Sumbu X di (− 3, 0) dan (3, 0)} 𝑳 = − 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

(11)

 Luas daerah di bawah kurva : 𝐿 = − 𝑥3 2_{− 9 𝑑𝑥} −3 = − 𝑥₃3− 9𝑥 −3 3 = − 3₃3− 9.3 — (−3)₃ 3− 9. (−3) = − 27 3 − 27 − −27 3 − (−27) = − 9 − 27 — 9 + 27 = − −18 − 18 = − −36 = 36 satuan luas

Jadi, luas daerah tersebut 36 satuan luas.

3. Luas Daerah Antara Dua Kurva

Perhatikan gambar berikut :

Jika 𝑦₁ = 𝑓(𝑥) dan 𝑦₂ = 𝑔(𝑥) dua fungsi kontinu pada a ≤ x ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦₁ dan 𝑦₂ untuk 𝑦₂ ≥ 𝑦₁ (𝑦₂ di atas 𝑦₁) ditentukan sebagai berikut :

𝑳 = 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 = 𝒈 𝒙 − 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒃 𝒂

(12)

Jika 𝑥₁ = 𝑓(𝑦) dan 𝑥₂ = 𝑔(𝑦) dua fungsi kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh 𝑥1 dan 𝑥2 untuk 𝑥2 ≥ 𝑥1 (𝑥2 di kanan 𝑥1) ditentukan sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan 𝑦 = 5𝑥.}

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva : 𝑦₁ = 𝑦₂ 𝑥2 _{= 5𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥 = 0} 𝑥(𝑥 − 5) = 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 5) = 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 5

Kedua kurva berpotongan pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 5 𝑳 = 𝒙𝒃 _𝟐− 𝒙_𝟏 𝒅𝒙

𝒂

= 𝒈 𝒚 − 𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 𝒃

(13)

Luas daerah di antara kurva 𝑦₁ = 𝑥2_{dan 𝑦}

2 = 5𝑥 sebagai berikut : 𝐿 = 𝑦_𝑎𝑏 2− 𝑦1 𝑑𝑥 𝐿 = 5𝑥 − 𝑥5 2_𝑑𝑥 0 𝐿 = 5₂𝑥2₋1 3𝑥3 ₀ 5 𝐿 = 5 2. 5 2₋1 3. 5 3₋5 2. 0 2₋1 3. 0 3 𝐿 = 5₂. 25 −1₃. 125 − 5₂. 0 −1₃. 0 𝐿 = 125₂ −125₃ − 0 − 0 𝐿 = 375₆ −250₆ − 0 𝐿 = 125₆ 𝐿 = 205₆ satuan luas

Jadi, luas daerah tersebut 205₆ satuan luas.

Soal Latihan

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 2, sumbu X, garis x = 0, dan garis x = 4.

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 7x + 10, sumbu X,} garis x = 3, garis x = 4.

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, garis x = −1, garis x = 2.

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = 2x.} 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 2 dan y = x.}

6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{− 3x + 1 dan y = − x + 4.} 7. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{+ x dan y = 4x – 2.} 8. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = − 2x + 8.} 9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan y = 2x + 3.} 10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{+ 3x − 10}

(14)

H. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR 1. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X

Jika suatu bangun datar yang di batasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X maka bangun datar tersebut akan membentuk benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan rumus berikut :

Contoh :

Sebuah kerucut terpancung dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu X, x = 0, dan x = 2. Kerucut tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu X seperti gambar berikut. Hitunglah volume kerucut terpancung tersebut.

Penyelesaian : 𝑉 = 𝜋 𝑦𝑏 2_𝑑𝑥 𝑎 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 2)2 2_𝑑𝑥 0 𝑉 = 𝜋 (𝑥2 2_{+ 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥} 0 𝑽 = 𝝅 𝒚𝒃 𝟐_𝒅𝒙 𝒂 = 𝝅 𝒇(𝒙) 𝒃 𝟐_𝒅𝒙 𝒂

(15)

[email protected] 15 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+4𝑥₂2+ 4𝑥 0 2 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 2𝑥2_{+ 4𝑥} 0 2 𝑉 = 𝜋 2₃3+ 2.22_{+ 4.2 −}03 3 + 2.02+ 4.0 𝑉 = 𝜋 8₃+ 2.4 + 8 − 0₃+ 2.0 + 0 𝑉 = 𝜋 8₃+ 8 + 8 − 0 + 0 + 0 𝑉 = 𝜋 22₃+ 16 − 0 𝑉 = 182₃𝜋 satuan volume

Jadi, volume kerucut terpancung tersebut 182₃𝜋 satuan volume.

2. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y

Jika suatu bangun datar yang di batasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a, dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu Y maka bangun datar tersebut akan membentuk benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan rumus berikut :

𝑽 = 𝝅 𝒙𝒃 𝟐_𝒅𝒚 𝒂

= 𝝅 𝒇(𝒚) 𝒃 𝟐_𝒅𝒚 𝒂

(16)

Contoh :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diwarnai pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian : 𝑦 = 𝑥2_→_{𝑥 = 𝑦} 𝑉 = 𝜋 𝑥𝑏 2_𝑑𝑦 𝑎 𝑉 = 𝜋 𝑦 ₀4 2 𝑑𝑦 𝑉 = 𝜋 𝑦 𝑑𝑦₀4 𝑉 = 𝜋 𝑦₂2 0 4 𝑉 = 𝜋 4₂2 − 0₂2 𝑉 = 𝜋 16₂ − 0₂ 𝑉 = 𝜋 8 − 0 𝑉 = 8𝜋 satuan volume

(17)

3. Volume Benda Putar Antara Dua Kurva

Jika 𝑦1 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦2 = 𝑔(𝑥) fungsi kontinu pada a ≤ x ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh 𝑦₁ dan 𝑦₂ apabila diputar terhadap sumbu X (𝑦₂ lebih jauh dari 𝑦₁ terhadap sumbu putar) dirumuskan sebagai berikut :

Perhatikan gambar berikut : 𝑽 = 𝝅 𝒚_𝟐𝟐_{− 𝒚} 𝟏𝟐 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 = 𝝅 𝒈𝒃 𝟐_{(𝒙) − 𝒇}𝟐_{(𝒙) 𝒅𝒙} 𝒂

(18)

Jika 𝑥₁ = 𝑓(𝑦) dan 𝑥₂ = 𝑔(𝑦) fungsi kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh 𝑥₁ dan 𝑥₂ apabila diputar terhadap sumbu Y (𝑥₂ lebih jauh dari 𝑥₁ terhadap sumbu putar) dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan y = x + 6} di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva : 𝑦₁ = 𝑦₂

𝑥2 _{= 𝑥 + 6} 𝑥2_{− 𝑥 − 6 = 0} 𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0

𝑥₁ = −2 atau 𝑥₂ = 3 → nilai 𝑥₁ dan 𝑥₂ sebagai batas bawah dan batas atas

Kedua kurva berpotongan di x = − 2 dan x = 3 Maka volumenya sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 − 𝑦12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 𝑑𝑥− 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 6)3 2_𝑑𝑥 −2 − 𝜋 (𝑥2)2 𝑑𝑥 3 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 𝑑𝑥} −2 − 𝜋 𝑥4 𝑑𝑥 3 −2 𝑽 = 𝝅 𝒙_𝟐𝟐_{− 𝒙} 𝟏𝟐 𝒅𝒚 𝒃 𝒂 = 𝝅 𝒈𝒃 𝟐_{(𝒚) − 𝒇}𝟐_{(𝒚) 𝒅𝒚} 𝒂

(19)

[email protected] 19 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 6𝑥2_{+ 36𝑥} −2 3 − 𝜋 𝑥₅5 −2 3 𝑉 = 𝜋 33 3 + 6. 3 2_{+ 36.3 −}(−2)3 3 + 6. (−2) 2_{+ 36. (−2) − 𝜋}35 5 − (−2)5 5 𝑉 = 𝜋 27₃ + 6.9 + 108 − −8₃ + 6.4 + (−72) − 𝜋 243₅ − −32₅ 𝑉 = 𝜋 9 + 54 + 108 − −8₃ + 24 − 72 − 𝜋 243₅ +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 − −22 3− 48 − 𝜋 275 5 𝑉 = 𝜋 171 + 22₃+ 48 − 𝜋 55 𝑉 = 𝜋 2212₃ − 𝜋 55 𝑉 = 2212₃𝜋 − 55𝜋 𝑉 = 1662₃𝜋 satuan volume

Jadi, volume benda putar tersebut 1662₃𝜋 satuan volume.

Atau 𝑉 = 𝜋 𝑦_𝑎𝑏 22 − 𝑦12 𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋 (𝑥 + 6)3 2 _{− (𝑥}2₎2_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 − 𝑥}4_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥3 2_{+ 12𝑥 + 36 − 𝑥}4_𝑑𝑥 −2 𝑉 = 𝜋 𝑥₃3+ 6𝑥2_{+ 36𝑥 −}𝑥5 5 ₋₂ 3 𝑉 = 𝜋 3₃3+ 6. 32_{+ 36.3 −}35 5 − (−2)3 3 + 6. (−2)2+ 36. (−2) − (−2)5 5 𝑉 = 𝜋 27₃ + 6.9 + 108 −243₅ − −8₃ + 6.4 + (−72) − −32₅ 𝑉 = 𝜋 9 + 54 + 108 −243₅ − −8₃ + 24 − 72 +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 −243₅ − −8₃ − 48 +32₅ 𝑉 = 𝜋 171 −243₅ +8₃+ 48 −32₅ 𝑉 = 𝜋 219 −275₅ + 22₃ 𝑉 = 𝜋 219 − 55 + 22₃

(20)

𝑉 = 𝜋 164 + 22₃ 𝑉 = 1662

3𝜋 satuan volume

Jadi, volume benda putar tersebut 1662₃𝜋 satuan volume.

Soal Latihan

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥3_{, sumbu X,} dan garis x = 3 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = 2x, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 3 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

3. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan garis} y = − x + 2 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_{dan garis} y = x + 2 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.

5. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 𝑦 = 𝑥2_dan 𝑦 = −𝑥2_{+ 4 di putar dengan sumbu X sebagai sumbu putar.}