Integral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015

Sesi XIII

INTEGRAL

e-Mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105

Pengampu : Achfas Zacoeb

Integral Garis

Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan adalah seperti Pers. (6.1).

Integral Garis

⁽

lanjutan

⁾

𝑾 = 𝑭_{𝒊 𝒊}. 𝚫𝒓_𝒊 (6.1)

Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2).

𝑾 = 𝑭. 𝒅𝒓_𝒂^𝒃 (6.2)

Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor F.

Integral Garis

⁽

lanjutan

⁾

Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva C yang terdefinisi pada a  t  b, dapat didefinisikan seperti Pers. (6.3).

𝑨. 𝒅𝒓_𝑪 = 𝑨. 𝒅𝒓_𝒂^𝒃

= 𝐴_𝑎^𝑏 ₁𝐢 + 𝐴₂𝐣 + 𝐴₃𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧

= 𝐴_𝑎^𝑏 1dx + 𝐴₂𝑑𝑦 + 𝐴₃𝑑𝑧 (6.3)

Integral Garis

⁽

lanjutan

⁾

Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan Pers. (6.4).

Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup 𝑨. 𝒅𝒓_𝑪 = _𝑪 𝐴₁𝐢 + 𝐴₂𝐣 + 𝐴₃𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧

= _𝐶 𝐴₁dx + 𝐴₂𝑑𝑦 + 𝐴₃𝑑𝑧 (6.4)

Integral Garis

⁽

lanjutan

⁾

Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang bergerak dalam vektor F = yi + x²j, sepanjang kurva x = 2t, y = t² – 1 dari t = 0 hingga t = 2.

Penyelesaian :

𝑭. 𝒅𝒓_𝑪 = _𝑪 𝒚𝐢 + 𝒙^𝟐𝐣 . 𝒅𝒙𝐢 + 𝒅𝒚𝐣

= 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙_𝟎^{𝟐 𝟐}𝒅𝒚

= 𝒕_𝟎^{𝟐 𝟐}− 𝟏 𝟐𝒅𝒕 + 𝟐𝒕 ^𝟐𝟐𝒕𝒅𝒕

= 𝟐𝒕_𝟎^{𝟐 𝟐}− 𝟐 + 𝟖𝒕^𝟑 𝒅𝒕

𝟐 𝟏𝟎𝟎

Integral Permukaan

Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z) melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut dengan integral permukaan.

Fluks 𝑭 yang melintasi 𝑺 = 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺_𝑺 (6.5) Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya.

Integral Permukaan

⁽

lanjutan

⁾

Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺_𝑺 = 𝑨. 𝒏._𝑺 ^{𝒅𝒙.𝒅𝒚}_𝒏.𝐤 (6.6) Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.7).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺_𝑺 = 𝑨. 𝒏._𝑺 ^{𝒅𝒙.𝒅𝒛}_𝒏.𝐣 (6.7) Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.8).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺_𝑺 = 𝑨. 𝒏._𝑺 ^{𝒅𝒚.𝒅𝒛}_𝒏.𝐢 (6.8)

Integral Permukaan

⁽

lanjutan

⁾

Contoh :

Hitunglah 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺_𝑺 dimana A = 18zi – 12j + 3yk, S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.

Penyelesaian :

Suatu normal untuk S adalah 𝛁 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟐𝐢 + 𝟑𝐣 + 𝟔𝐤, sehingga :

𝒏 = ^{𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤}

𝟐^𝟑+𝟑^𝟐+𝟔^𝟐= ^{𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤}_𝟕

Integral Permukaan

⁽

lanjutan

⁾

maka :

𝑨. 𝒏 = 𝟏𝟖𝒛𝐢 − 𝟏𝟐𝐣 + 𝟑𝒚𝐤 . ^{𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤}

𝟕

= ^{𝟑𝟔𝒛−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚}

𝟕

= ^𝟑𝟔

𝟏𝟐−𝟐𝒙−𝟑𝒚

𝟔 −𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚

𝟕

= ^{𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙}

𝟕

Integral Permukaan

⁽

lanjutan

⁾

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar berikut :

Integral Permukaan

⁽

lanjutan

⁾

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 =_𝑺 𝑨. 𝒏._𝑹 ^{𝒅𝒙.𝒅𝒚}_𝒏.𝐤 = ^{𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙}_𝟕 . _{𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤}^{𝒅𝒙.𝒅𝒚}

𝟕 .𝐤

𝑹 = ^{𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙}_𝟕 .^{𝒅𝒙.𝒅𝒚}_𝟔

𝟕

𝑹

= 𝟔 − 𝟐𝒙

𝟏𝟐−𝟐𝒙

𝒚=𝟎𝟑

𝟔

𝒙=𝟎 𝒅𝒙. 𝒅𝒚

= 𝟔𝒚 − 𝟐𝒙𝒚

𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟑

𝟎 𝟔

𝒙=𝟎 𝒅𝒙

= 𝟔 ^{𝟏𝟐−𝟐𝒙}

𝟑 − 𝟐𝒙 ^{𝟏𝟐−𝟐𝒙}

𝟑 𝟔

𝒙=𝟎 𝒅𝒙

= 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒙 +^𝟒𝒙𝟐

𝟑 𝟔

𝒙=𝟎 𝒅𝒙

= 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔𝒙^𝟐+^𝟒𝒙𝟐

𝟗 𝟔

𝟎= 𝟐𝟒 satuan luas

Integral Volume

⁽

lanjutan

⁾

Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka :

𝑨 𝒅𝑽_𝑽 = 𝑨 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛_𝑽 (6.9)

dan

𝝓 𝒅𝑽_𝑽 = 𝝓 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛_𝑽 (6.10)

Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.

Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume 𝚫𝑽_𝒌 = 𝚫𝒙_𝒌𝚫𝒚_𝒌𝚫𝒛_𝒌, 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑴.

Integral Volume

⁽

lanjutan

⁾

Gambar 6.3. Integral volume Jika 𝒙_𝒌, 𝒚_𝒌, 𝒛_𝒌 sebuah titik

dalam kubus, dapat didefnisikan 𝝓 𝒙_𝒌, 𝒚_𝒌, 𝒛_𝒌 = 𝝓_𝒌 . Pandang jumlah :

𝝓_𝒌∆𝑽_𝒌

𝒏

𝒌=𝟏

yang diambil untuk semua kubus yang ada dalam ruang yang ditinjau.

Integral Volume

⁽

lanjutan

⁾

Limit dari jumlah tersebut, jika 𝑴 → ∞, sehingga kuantitas- kuantitas terbesar ∆𝑽_𝒌 akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral volume.

Integral Volume

⁽

lanjutan

⁾

Contoh :

Hitung 𝒇(𝒙)𝒅𝑽_𝑽 dengan V adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan x + y + z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0, jika 𝒇 𝒙 = 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐+ 𝒛^𝟐. Penyelesaian :

Integral Volume

⁽

lanjutan

⁾

𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐+ 𝒛^𝟐

𝑽 = _𝒙=𝟎^𝟓 _𝒚=𝟎^𝟓−𝒙 _𝒛=𝟎^{𝟓−𝒙−𝒚} 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐+ 𝒛^𝟐 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙^𝟐𝒛 + 𝒚^𝟐𝒛 +^𝟏

𝟑𝒛^{𝟑 𝟓−𝒙−𝒚}_𝟎

𝟓−𝒙 𝒚=𝟎 𝟓

𝒙=𝟎 𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐 𝟓 − 𝒙 − 𝒚 + ^{𝟓−𝒙−𝒚𝟑}

𝟑 𝟓−𝒙

𝒚=𝟎 𝟓

𝒙=𝟎 𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙^𝟐 𝟓 − 𝒙 −^{𝒙𝟐𝒚𝟐}

𝟐 + ^𝟓−𝒙

𝟑 𝒚^𝟑−^𝒚𝟒

𝟒 𝟓

𝒙=𝟎

− ^{𝟓−𝒙−𝒚𝟒}

𝟏𝟐 ^𝟓−𝒙_𝟎 𝒅𝒙

= ^{𝒙𝟐𝟓−𝒙}_𝟐 ^𝟐+ ^{𝟓−𝒙𝟒}

𝟔 𝒅𝒙

𝟓 𝟎

= ^𝟐𝟓𝒙_𝟔^𝟑−^𝟓𝒙_𝟒^𝟒+_𝟏𝟎^𝒙𝟓−^{(𝟓−𝒙)}_𝟑𝟎 ^{𝟓 𝟓}_𝟎=^𝟔𝟐𝟓_𝟒 satuan volume

Teorema Gauss

Definisi :

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :

𝛁. 𝐀𝐝𝐕_𝐕 = 𝐀. 𝐧𝐝𝐒_𝐒 = 𝐀. 𝐝𝐒_𝐒 (7.1)

Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan

Teorema Gauss

⁽

lanjutan

⁾

Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal :

Hitunglah 𝐀. 𝐧. 𝐝𝐒_𝐒 dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥²𝑦𝐣 − 𝑥𝑧²𝐤 dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Penyelesaian :

Teorema Gauss

⁽

lanjutan

⁾

Menurut teorema divergensi Gauss : 𝐀. 𝐧𝐝𝐒_𝐒 = 𝛁. 𝐀𝐝𝐕_𝐕 Maka,

𝛁. 𝐀𝐝𝐕_𝐕 = _𝜕𝑥^𝜕 𝐢 + ^𝜕

𝜕𝑦𝐣 + ^𝜕

𝜕𝑧𝐤

1 0 1

0 . 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥²𝑦𝐣 − 𝑥𝑧²𝐤

1

0 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= 2 + 𝑥₀¹ ₀¹ ₀^{1 2}− 2𝑥𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= 2𝑥 +^𝑥3

3 − 𝑥²𝑧 ¹₀

1

0 𝑑𝑦𝑑𝑧

1

0 = ₀¹ ₀^{1 7}₃− 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧

= ₀^{1 7}₃𝑦 − 𝑧𝑦 ¹₀𝑑𝑧= ₀^{1 7}₃− 𝑧 𝑑𝑧

= ⁷

3𝑧 −¹

2𝑧^{2 1}₀=^𝟏𝟏

𝟔

Jadi,

𝐀. 𝐧𝐝𝐒_𝐒 = 𝛁. 𝐀𝐝𝐕_𝐕 =^𝟏𝟏_𝟔 satuan

Teorema Stokes

Definisi :

Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas- batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka :

𝐅. 𝐝𝐫_𝐂 = _𝐒 𝛁 × 𝐅 . 𝐧. 𝐝𝐒 (7.2)

Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.

Teorema Stokes

⁽

lanjutan

⁾

Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal :

Hitunglah _𝐒 𝛁 × 𝐀 . 𝐝𝐒 dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑦 𝐢 + 𝑦𝑧²𝐣 − 𝑦²𝑧𝐤 dimana S adalah separuh dari permukaan bola 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² = 1 bagian atas dan C batasnya.

Penyelesaian :

Teorema Stokes

⁽

lanjutan

⁾

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan 𝑥²+ 𝑦²= 1, 𝑧 = 0 dan persamaan parameternya adalah 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 0, dimana 0  t

 2. Berdasarkan teorema Stokes _𝐒 𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 = 𝐀. 𝐝𝐫_𝐂 . 𝐀. 𝐝𝐫_𝐂 = _C 2𝑥 − 𝑦 𝐢 − 𝑦𝑧²𝐣 − 𝑦²𝑧𝐤 . 𝑑 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝒊

= ₀^2𝜋 2𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦𝑧²𝑑𝑦 − 𝑦²𝑧𝑑𝑧

= ₀^2𝜋 2 cos 𝑡 − sin 𝑡 − sin 𝑡 𝑑𝑡

= ₀^2𝜋 −2 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑡 𝑑𝑡

= − sin 2𝑡 +¹

2−^{cos 2𝑡}

2 𝑑𝑡

2𝜋 0

=¹

2cos 2𝑡 +¹

2𝑡 +¹

4sin 2𝑡 ^2𝜋₀ = 𝜋 Jadi, _𝐒 𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 = 𝐀. 𝐝𝐫_𝐂 = 𝝅 satuan

Teorema Green

Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu dengan menggunakan teorema Green.

Teorema Green

⁽

lanjutan

⁾

Definisi :

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka :

𝐌𝐝𝐱_𝐂 + 𝐍𝐝𝐲 = _𝐑 ^𝛛𝐍_𝛛𝐱−^𝛛𝐌_𝛛𝐲 𝐝𝐱𝐝𝐲 (7.3)

Teorema Green

⁽

lanjutan

⁾

Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana A = Mi + Nj, maka 𝐀. 𝐝𝐫_𝐂 adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C → integral garis, yaitu :

𝐀. 𝐝𝐫_𝐂 = _𝐂 M𝐢 + N𝐣 . 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 + 𝑑𝑧𝐤

= _𝐂 M𝑑𝑥 + N𝑑𝑦

Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah :

𝛛𝐍 𝛛𝐌

Teorema Green

⁽

lanjutan

⁾

Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal :

Periksa teorema Green pada bidang untuk _𝐂 2𝑥𝑦 − 𝑥² 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦² 𝑑𝑦, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥² dan 𝑦² = 𝑥.

Penyelesaian :

Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1), arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar di samping.

Teorema Green

⁽

lanjutan

⁾

Sepanjang 𝑦 = 𝑥², integral garisnya adalah : 2𝑥 𝑥² − 𝑥² 𝑑𝑥

1

𝑥=0 + 𝑥 + 𝑥^{2 2} 𝑑 𝑥²

= _𝑥=0¹ 2𝑥³+ 𝑥²+ 2𝑥⁵ 𝑑𝑥= ⁷

6 Sepanjang 𝑦²= 𝑥, integral garisnya adalah :

2𝑦² 𝑦 − 𝑦^{2 2} 𝑑 𝑦²

0

𝑦=1 + 𝑦²+ 𝑦² 𝑑y

= _𝑦=1⁰ 4𝑦⁴− 2𝑦⁵+ 2𝑦² 𝑑𝑥= −¹⁷

15 Maka integral garis yang diinginkan adalah :

=⁷

6−¹⁷

15 = ^𝟏

𝟑𝟎 satuan

Teorema Green

⁽

lanjutan

⁾

Dengan teorema Green :

𝛛𝐍

𝛛𝒙−^𝛛𝐌

𝛛𝒚 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐑 = ^{𝛛 𝒙+𝒚}_𝛛𝒙 ^𝟐 −^{𝛛 𝟐𝒙𝒚−𝒙𝟐}

𝛛𝒚 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐑

= _𝐑 𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦

= _𝑥=0¹ _𝑦=𝑥^𝑥 ₂ 𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦

= _𝑥=0¹ 𝑦 − 2𝑥𝑦 _𝑥^𝑥₂𝑑𝑥

= _𝑥=0¹ 𝑥¹²− 2𝑥³²− 𝑥²+ 2𝑥³ 𝑑𝑥

= ^𝟏

𝟑𝟎 satuan (Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)

Latihan

1. Teorema Gauss :

Hitunglah 𝐀. 𝐧. 𝐝𝐒_𝐒 dengan𝐀 = 2𝑥𝑦 − 𝑧 𝐢 + 𝑦²𝐣 − 𝑥 + 3𝑦 𝐤 pada daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

2. Teorema Stokes :

Hitunglah _𝐒 𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 dengan 𝐀 = 3𝑦𝐢 − 𝑥𝑧𝐣 + 𝑦𝑧²𝐤, dimana S adalah permukaan paraboloida 2𝑧 = 𝑥²+ 𝑦² yang dibatasi oleh z = 2 dan C sebagai batasnya.

3. Teorema Green :

Hitunglah _𝐂 𝑥²− 𝑥𝑦³ 𝑑𝑥 + 𝑦³− 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 dengan C adalah suatu

Thanks for

your kind attention!