Turunan dan Integral

(1)

Bab 5

Turunan dan Integral

Pada bagian ini kita memandang turunan sebagai invers dari integral. Secara sederhana, kita perlu menjawab beberapa pertanyaan berikut:

Kapankah

'( ) ( ) ( )

b

a f x dx = f b − f a

∫

^?

Kapankan

( ) ( )

x a

d f y dy f x

dx

∫

= ^?

Dari teori integral Riemann telah diketahui bahwa hubungan kedua akan dipenuhi jika f kontinu di x. Kita perlu menunjukkan bahwa hubungan ini secara umum dipenuhi hampir dimana-mana.

Sehingga turunan merupakan invers/kebalikan dari integral. Pertanyaan pertama, jauh lebih sulit walaupun menggunakan Integral Lebesgue, dan bernilai benar hanya untuk beberapa kelas fungsi.

Pada Integral Riemann, turunan suatu fungsi di titik tertentu merupakan kemiringan (gradien) garis singgung di titik tersebut. Perhatikan ilustrasi berikut:

Untuk garis l,

( ) ( )

l

f a h f a

m h

= + − ; garis singgung di 0

( ) ( )

a limh

f a h f a

m ^→ h

= + − Untuk garis k,

( ) ( )

k

f a f a h

m h

− −

= ; garis singgung di 0

( ) ( )

a limh

f a f a h

m ^→ h

− −

=

5.1. Turunan Fungsi Monoton

Misalkan ℑ = {I₁, . . .} adalah koleksi interval-interval. Koleksi ℑ disebut selimut Vitali untuk E jika untuk setiap ε >0 dan apapun x E∈ , terdapat interval I∈ ℑ sedemikian sehingga x I∈ dan

( )

l I <ε. Interval-interval ini mungkin buka, tutup, atau setengah tutup. Yang jelas, interval tersebut tidak boleh hanya terdiri dari satu titik.

Lemma Vitali :

Jika ℑ adalah selimut Vitali untuk E dengan * ( )m E < ∞ maka untuk setiap ε >0 ada koleksi berhingga interval di ℑ yang saling lepas {I₁, I₂, . . ., I_N} sehingga

1

* ~ ^N _n

n

m E I ε

=

⎡ ⎤<

⎢ ⎥

⎣

∪

⎦

a–h a a+h f(a)

f(a+h) f(a–h)

l k

(2)

Bukti:

(see ‘Real Analysis’, H.L. Royden, 3^rd ed, page 98–99) Dari Lemma di atas,

1 1 1

* ~ ^N _n * ( ) * ^N _n * ^N _n * ( )

n n n

m E I ε m E m I ε m I m E ε

= = =

⎡ ⎤< ⇒ − ⎛⎜ ⎞⎟< ⇔ ⎛⎜ ⎞⎟> −

⎢ ⎥

⎣

∪

⎦ ⎝

∪

⎠ ⎝

∪

⎠

Selanjutnya, dalam tujuan kita membahas mengenai turunan (derivatif) dari suatu fungsi f, kita perlu mendefinisikan 4 macam turunan dari fungsi f di x sebagai berikut:

0

( ) ( )

( ) lim

h

f x h f x D f x

h

+

→

= + −

0

( ) ( )

( ) lim

h

f x h f x D f x

h

+ +

→

= + −

0

( ) ( )

( ) lim

h

f x f x h D f x

h

+

−

→

− −

=

0

( ) ( )

( ) lim

h

f x f x h D f x

h

− +

→

− −

=

Dari pendefinisian di atas, jelas bahwa D f x⁺ ( )≥D f x₊ ( ) dan D f x⁻ ( )≥D f x₋ ( ). Jika

( ) ( ) ( ) ( )

D f x⁺ =D f x₊ =D f x⁻ =D f x₋ ≠ ±∞ maka f dikatakan terturunkan (differentiable) di x dan kita menuliskan f’(x) sebagai nilai turunan f di titik x. Jika D f x⁺ ( )=D f x₊ ( ) maka f dikatakan memiliki turunan kanan (right-hand derivates) di x dan menuliskan f’₊(x) sebagai nilai turunan kanan f di x.

Demikian juga untuk yang lain, dituliskan f’_–(x) sebagai nilai turunan kiri f di x.

Proposisi :

Jika f kontinu pada [a, b] dan salah satu turunannya tak negatif pada (a, b) maka f adalah fungsi tak turun pada [a, b]

Bukti :

Misalkan f kontinu pada [a, b] dan salah satu turunannya, katakan D f x₊ ( ) 0, ( , )≥ ∀ ∈x a b . Dari definisi,

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim sup inf

h h

f x h f x f x h f x

D f x

h δ ^δ h

+ → + > < <

+ − + −

= =

Karena D f x₊ ( ) 0, ( , )≥ ∀ ∈x a b maka

0

( ) ( )

inf 0

h

f x h f x h

δ

< <

+ − ≥

Karena h > 0, maka haruslah

( ) ( ) 0

( ) ( )

f x h f x

+ − ≥

+ ≥ Jadi, untuk setiap x ≤ x + h berlaku

( ) ( )

f x ≤ f x h+ Bukti lain:

Misalkan f kontinu pada [a, b] dan salah satu turunannya, katakan D f x⁺ ( ) 0, ≥ ∀ ∈x ( , )a b . Diambil sebarang x∈( , )a b . Dari definisi,

0

( ) ( )

( ) lim 0

h

f x h f x D f x

h

+

→

= + − ≥

Diambil y = x + h, diperoleh h= −y x dan jika h→0⁺ maka y x− > ⇔ >0 y x. Maka,

0

( ) ( )

inf sup 0

x y x

f y f x y x

δ^> < < +δ

⎛ − ⎞≥

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

(3)

Jadi, untuk setiap δ >0 ada x< < +y x δ sehingga ( ) ( )

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

f y f x

f y f x f x f y

y x

− ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤

− Contoh Soal (Problem 5.1) :

Misalkan f fungsi yang didefinisikan dengan f(0) = 0 dan f(x) = x sin(1/x) untuk x ≠ 0.

Tentukan D⁺f(0), D₊f(0), D^–f(0), D_–f(0) Jawab :

Pertama, perlu ditunjukkan bahwa limit-nya ada. Digunakan prinsip apit:

0 , 0 x → ⁺ x ≠

( ) ( )

1 1

1 sin 1

.sin

x

x x x x

− ≤ ≤

Karena

lim (0 ) 0

x ₊ x

→ − = dan

lim0 0

x ₊x

→ = maka

( )

¹

lim .sin0 _x 0

x ₊x

→ = .

0 , 0 x → ⁻ x≠

( ) ( )

1 1

1 sin 1

.sin

x

x x x x

− ≤ ≤

− ≥ ≥

Karena

lim (0 ) 0

x ₋ x

→ − = dan

lim0 0

x ₋x

→ = maka

( )

¹

lim .sin0 _x 0

x ₋x

→ = .

Jadi,

( )

¹

( )

¹

( )

¹

0

0 0

lim .sin _x lim .sin _x lim .sin _x (0) 0

x

x ₊x x ₋x x f

→ = → = → = =

Selanjutnya, diambil sembarang δ >0.

1 1

0 h δ h

< < ⇒ >δ

Maka 1

sup sin 1

h

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ . Akibatnya 1

inf sup sin 1 h

⎛ ⎛⎜ ⎞ =⎟⎞

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠ . Dari hasil ini diperoleh,

1

( )

1

0 0 0

.sin( )

(0 ) (0)

(0) lim lim ^h lim sin _h 1

h h h

h

f h f

D f ⁺ h ⁺ h ⁺

+

→ → →

= + − = = =

1

( )

1

0 0 0

.sin( )

(0 ) (0)

h h h

h

f h f

D f⁺ →⁺ h → ⁺ h → ⁺

= + − = = = −

1

( )

1

0 0 0

.sin( )

(0) (0 )

h h h

h

f f h

D f ⁺ h ⁺ h ⁺

− −

→ → → −

− −

= = = =

1

( )

1

0 0 0

.sin( )

(0) (0 )

h h h

h

f f h

D f ⁺ h ⁺ h ⁺

− − −

→ → →

− −

= = = = −

Contoh Soal (Problem 5.2) :

a. Tunjukkan bahwa D⁺[–f(x)] = –D₊f(x) b. Jika g(x) = f(–x), maka D⁺g(x) = –D_–f(–x) Jawab :

a.

[ ] [ ] [ ]

0

( ) ( )

( ) lim

h

f x h f x

D f x

h

+

→

− + − −

− =

[ ]

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

lim li (

( ) m )

h h

f x h f x f x h f x

D f x

h h

D f x ₊

+ +

→ →

+ − = −⎛⎜⎝ + − ⎞⎟⎠= − + − = −

b. 0

( ) ( )

( ) lim

h

g x h g x D g x

h

+

→

= + −

(4)

0 0 0

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) ( )

lim lim lim

( )

) h h h

f x h f x f x f x h f x f x h

h h h

D D f x

f x

+ + +

→ → →

+

−

− − − − − − − − − − − −

= = − = −

= − − Teorema :

Jika f fungsi naik dan bernilai real pada [a, b] maka f terturunkan hampir di mana-mana dan '( ) ( ) ( ) ( )

b

a f x d x ≤ f b − f a

∫

Bukti :

(Buktinya ada 10 kasus)

Pertama, akan dibuktikan bahwa D f x⁺ ( )=D f x₊ ( )=D f x⁻ ( )=D f x₋ ( ). Akan dibuktikan untuk satu kasus, misalkan D f x⁺ ( )=D f x₋ ( ) hampir dimana-mana. Hal ini ekuivalen dengan membuktikan ^m^*

( {

^{x D f x}^: ⁺ ^{( )}^>^{D f x}⁻ ^{( )}

} )

⁼⁰. Misalkan

{

^{[ , ] :} ^{( )} ^{( )}

}

E= x∈ a b D f x⁺ >D f x₋ Dengan menggunakan aksioma Archimedes, E dapat ditulis sebagai

{ }

,

[ , ] : ( ) ( )

u v

E x a b D f x⁺ u v D f x₋

∈

=

∪

∈ > > >

Misalkan, untuk suatu u, v

{ }

, [ , ] : ( ) ( )

Eu v = x∈ a b D f x⁺ > > >u v D f x₋ maka,

, ,

u v u v

E E

∉

=

∪

Jadi, cukup dibuktikan m*

( )

E_{u v}, = =s 0. Dari D f x⁺ ( )> > >u v D f x₋ ( ) ditinjau kasus berikut i) ∀ ∈x E_{u v}_, ⇒D f x₋ ( )<v

0

( ) ( )

lim

h

f x f x h h v

→ +

− −

<

Karena supremum, maka ada h cukup kecil sehingga pada [x – h, h] berlaku

( ) ( )

f x f x h

v f x f x h vh h

− − < ⇒ − − < ………. (1) Karena m*

( )

E_{u v}, < ∞ maka ada himpunan terbuka O sehingga E_{u v}_, ⊂O dan

* ( ) m O < +s ε

Karena m*

( )

E_{u v}, < ∞ maka menurut Lemma Vitali, ada koleksi berhingga interval {I₁, I₂,

…, I_N} yang saling lepas dan A⊂E_{u v}_, sehingga a) A⊂

∪

I_n

b) m* ( )A > −s ε

Misalkan I_n =

[

x_n −h x_n^, _n

]

, 1, 2,...,n= N Dari (1), f x( )_n − f x( _n −h_n)<vh_n. Sehingga

1 1 1

( ) ( )

N N N

n n n n n

n n n

f x f x h vh v h

= = =

− − < =

∑ ∑ ∑

Karena

∪

I_n ⊂O^makam

( ∪

In

)

≤

∑

l I^{( )}n =

∑

hn <m O^{( )}^{. Jadi,}

1

( ) ( ) ( ) ( )

N

n n n

n

f x f x h vm O v s ε

=

− − < < +

∑

………(2)

(5)

ii) ∀ ∈ ⇒x A D f x⁺ ( )>u

0

( ) ( )

hlim

f x h f x h u

→ +

+ − >

Karena infimum, maka ada h cukup kecil sehingga pada [x, x + h] berlaku

( ) ( )

f x h f x

u f x h f x uh h

+ − > ⇒ + − > ………. (3)

Karena ^m^*

( )

^A ^{< ∞} maka menurut Lemma Vitali, ada koleksi berhingga interval {J₁, J₂, …, J_M} yang saling lepas dan B⊂ A sehingga

a)

1 M

i i

B J

=

⊂

∪

b) m B* ( )> −s 2ε

c) Karena x B∈ ⇒ ∈x J_i untuk suatu i ⇔ ∈ ⇒ ∈x A x I_n untuk suatu n maka J_i ⊂I_n Misalkan J_n =

[

y y_n^, _n +k_n

]

, 1, 2,...,n= M

Dari (3), f y( _n +k_n)− f y( _n)>uk_n. Sehingga

1 1 1

( ) ( ) ( 2 )

M M M

n n n n n

n n n

f y k f y uk v k u s ε

= = =

+ − > = > −

∑ ∑ ∑

^………(4)

Sekarang, misalkan J J J₁, ,₂ ₃ ⊂I₁

Jadi,

1

( 2 ) ( ) ( )

( ) ( )

( ), 0

M

n n n

n N

n n n

n

u s f y k f y

f x f x h v s

ε

ε ε

=

− < + −

≤ − −

≤ + ∀ >

∑

Maka,

1 1

( 2 ) ( ),

( ) 0

n n

u s v s n

us vs u v s

− ≤ + ∀ ∈

≤

− ≤

Karena u – v > 0, maka s ≤ 0. Padahal s ≥ 0. Jadi haruslah s = 0.

Kedua, akan dibuktikan bahwa ^b '( ) ( ) ( ) ( )

a f x d x ≤ f b − f a

∫

^.

Misalkan

0

( ) ( )

( ) lim '( )

h

f x h f x

g x f x

h

→

= + − = terdefinisi (ae)

Didefinisikan

J1 J2 J3

x1–h1 y2 y3 y4 x1

f(x1)– f(x1+h1)

I1

(6)

1 1

( ) ( )

( ) ⁿ

n

f x f x

g x = + − dan ( )f x = f b( ) untuk x > b Jadi, lim _n

n g g

→∞ = (ae) dan karena f fungsi naik maka g_n ≥ 0. Lemma Fatou,

( )

1

1 1

1

' lim lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

lim ( )

. . . . .

( ) ( ) ( )

lim ( ) ( )

n n

b b b b

n n

a a n a n a

b b

a n a

n

b b

a a

n

b b a b

a b a a

n

b a

n

f g g n f x f x

n f x f x

n f x f x f x f x

n f x f x

→∞ →∞

→∞

+

→∞ +

+ +

→∞

+ +

→∞

= ≤ = + −

= + −

= −

= + − −

= −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Karena f fungsi naik, maka ∀ ∈x [ ,a a+¹_n] berlaku ( )f a ≤ f x( )⇔ −f x( )≤ −f a( ). Akibatnya

(

¹ ¹

) ⁽

¹ ¹

⁾

' lim ⁿ ( ) ⁿ ( ) lim ( ).( ) ( ).( ) ( ) ( )

b b a

n n

a f n n b⁺ f b a⁺ f a n n f b b b f a a a f b f a

→∞ →∞

≤ − = + − − + − = −

∫ ∫ ∫

5.2. Fungsi Bervariasi Terbatas

Misalkan f fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval [a, b] dan misalkan a = x₀ < x₁ < . . . < x_k = b merupakan sebarang partisi dari [a, b]. Didefinisikan

[

1

]

1

( ) ( )

k

i i

i

p f x f x₋ ⁺

=

∑

−

[

1

]

1

( ) ( )

k

i i

i

n f x f x₋ ⁻

=

∑

−

1 1

( ) ( )

k

i i

i

t p n f x f x₋

=

= + =

∑

−

dimana max(0, )r⁺ = r , max(0,r⁻ = −r), dan | |r =r⁺+r⁻. Dari pendefinisian ini diperoleh,

[

1

] [

1

]

1 1

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

i i i i

i i

k

i i

i k

p n f x f x f x f x

f x f x f x f x f b f a

+ −

− −

= =

−

=

− = − − −

= −

∑ ∑

∑

Kemudian, didefinisikan

P = sup p, N = sup n, T = sup t,

yaitu mengambil supremum dari semua partisi-partisi yang mungkin pada [a, b].

Karena,

[

1

]

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

k k

i i i i

i i

p f x f x₋ ⁺ f x f x₋ t

= =

=

∑

− ≤

∑

− =

maka,

sup p≤supt=sup(n p+ ) sup≤ p+supn Akibatnya

P T≤ ≤ +P N

P, N, dan T masing-masing disebut positif, negatif, dan variasi total dari f pada [a, b]. Variasi total dari f

(7)

pada [a, b] ditulis T f_a^b( ) atau T_a^b. Contoh :

Jika f fungsi terukur dan naik monoton pada [a, b], maka

[

1

]

1 1 0 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( )

k k

i i i i k k

i i

p f x f x₋ ⁺ f x f x₋ f x f x f x f x ₋ f b f a

= =

=

∑

− =

∑

− = − + − = −

[

1

]

1 1

( ) ( ) 0 0

k k

i i

n f x f x₋ ⁻

= =

=

∑

− =

∑

=

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

i i i i

i i

t f x f x₋ f x f x₋ f b f a

= =

=

∑

− =

∑

− = −

T = sup t = f(b) – f(a) N = sup n = 0 P = sup p = f(b) – f(a) T = N + P

Definisi (Fungsi Bervariasi Terbatas):

Fungsi f dikatakan bervariasi terbatas pada [a, b] jika T_a^b < ∞ dan dinotasikan dengan f ∈BV . Lemma :

Jika f bervariasi terbatas pada [a, b] maka

b b b

a a a

T =P +N dan

( ) ( ) _a^b _a^b f b − f a =P −N Bukti :

Diambil sebarang partisi pada [a, b]. Menurut definisi,

( ) ( ) ( ) ( )

p n− = f b − f a ⇔ = +p n f b − f a Dari sini, maka

sup sup( ( ) ( )) sup ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

p n f b f a n f b f a

P N f b f a P N f b f a

= + − = + −

⇔ = + −

⇔ − = −

Juga,

{

( ) ( )

}

t = + = + −p n p p f b − f a Maka,

{ } { }

{ }

sup sup( ( ) ( ) ) sup 2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

2

t p p f b f a p f b f a

T P f b f a

T P P N P N

= + − − = − −

⇔ = − −

⇔ = − + = +

Teorema :

Fungsi f bervariasi terbatas pada [a, b] jika dan hanya jika f merupakan selisih dua fungsi monoton dan bernilai real pada [a, b]

Bukti :

⇒) Diketahui f ∈BV . Akan dibuktikan bahwa f = −g h dengan g dan h fungsi monoton.

Karena f ∈BV maka T f_a^b( )< ∞. Dari Lemma di atas,

( ) _a^x _a^x ( ) f x =P −N + f a Diambil

(8)

( ) _a^x

g x =P dan ( )h x =N_a^x Terlihat bahwa,

x y

a a

x y P P

∀ < ⇒ ≤ yang berarti ( )g x =P_a^x tak turun; dan

x y

a a

x y N N

∀ < ⇒ ≤ yang berarti ( )h x =N_a^x tak turun

⇐) Diketahui f = g – h dengan g dan h fungsi monoton. Akan dibuktikan f ∈BV ⇔T_a^b < ∞

( ) ( )

1 1

1

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b k

a i i

i k

i i i i

i

k k

i i i i

i i

t f f x f x

g x h x g x h x

g x g x h x h x

−

=

− −

=

− −

= =

= −

= − − +

≤ − + +

∑

∑ ∑

Karena g(x) dan h(x) fungsi monoton, maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

t fa ≤ g b −g a + h b −h a Dari sini maka,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

T fa ≤ g b −g a +h b −h a < ∞ Jadi, f ∈BV

Akibat :

Jika f fungsi bervariasi terbatas pada [a, b] maka f’(x) ada hampir di mana-mana pada [a, b]

Bukti :

, dan fungsi monoton

' ( )' ' ' (teorema turunan fungsi monoton .

) .

f BV f g h g h

f g h g h

∈ ⇒ = −

⇒ = − = −

Jadi, f’ ada (ae) pada [a, b].

5.3. Turunan Integral

Jika f fungsi terintegralkan pada [a, b] didefinisikan indefinit integral (integral tak tentu) dari f yaitu F yang didefinisikan pada [a, b] dengan aturan

( ) ^b ( ) F x =

∫

a f t dt

Dalam sub-bab ini kita akan melihat bagaimana turunan dari indefinit integral dari suatu fungsi terintegralkan adalah sama dengan integralnya hampir dimana-mana. Kita mulai pembahasan ini dengan melihat beberapa lemma.

Lemma :

Jika f terintegralkan pada [a, b] maka fungsi F dengan ( ) ^b ( ) F x =

∫

a f t dt adalah fungsi kontinu dan bervariasi terbatas pada [a, b].

Bukti :

Ambil sebarang c∈[ , ]a b . Akan dibuktikan F kontinu di c. Ekuivalen dengan membuktikan

0, 0

ε δ

∀ > ∃ > sehingga |x c− < ⇒| δ f x( )− f c( ) <ε . Diambil sebarang ε >0.

Karena f terintegralkan pada [a, b] maka |f| terintegralkan pada [a, b]

Karena |f| ≥ 0 dan terintegralkan pada [a, b] maka ada δ > 0 sehingga untuk setiap A⊂[ , ]a b dengan m A( )<δ maka | |

A f <ε

∫

^.

Ambil A=

{

x∈[ , ] :|a b x c− <| δ/ 3

}

(9)

Jadi, secara umum m A( )≤ ²₃δ δ< . Sehingga

| | ( ) ( ) ^x ( ) ^c ( ) ^c ( ) ^c ( ) ( )

a a x x A

x c− < ⇒δ F x −F c =

∫

f t −

∫

f t =

∫

f t ≤

∫

f t <

∫

f t <ε Selanjutnya, akan dibuktikan f ∈BV . Ekuivalen dengan membuktikan T F_a^b( )< ∞

1

1 2

1 0 1 1

( ) ( ) ( 1)

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

i i

i k

b k

a i i

i k

k x x

a a

i k

k x

i k x

k x x x x b

x x x x a

i k

t F F x F x

f t f t

f t

f t f t f t f t f t

−

− −

−

=

= −

=

≤ = + + + =

∑

∑ ∫ ∫

∑ ∫

∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Karena f terintegralkan maka |f| terintegralkan. Karena ruas kanan tidak bergantung pada partisi, maka

( ) sup ( ) ^b ( )

b b

a a a

T F = t F ≤

∫

f t < ∞ Selanjutnya, dengan mendefinisikan ( ) ^b ( )

F x =

∫

a f t dt^{, [ , ]}^{∀ ∈}^x ^{a b} ternyata diperoleh bahwa fungsi F kontinu dan bervariasi terbatas pada [a, b]. Kita akan melihat bahwa F mempunyai turunan.

Artinya F’(x) ada. Sehingga juga berlaku:

1) '( ) ^b ( ) ( )

a

F x d f t dt f x

=dx

∫

=

2) ^b ( ) ( ) ( )

a f t dt = f b − f a

∫

Untuk itu, kita perlu meninjau beberapa lemma berikut:

Lemma :

Jika f terintegralkan pada [a, b] dan

( ) 0

x

a f t dt =

∫

^,^{∀ ∈}^x ^{[ , ]}^{a b}

maka f(t) = 0 (ae) di [a, b].

Bukti :

(see ‘Real Analysis’, H.L. Royden, 3^rd ed, page 105-106).

Lemma :

Jika f fungsi terbatas dan terukur pada [a, b] dan

( ) ^x ( ) ( ) F x =

∫

a f t dt F a+ maka F’(x) = f(x) (ae) pada [a, b].

Bukti :

(see ‘Real Analysis’, H.L. Royden, 3^rd ed, page 106-107).

Teorema :

Jika f fungsi terintegralkan pada [a, b] dan

c–δ/3 c c+δ/3 c=a c+δ/3

c–δ/3 c=b

(10)

( ) ^x ( ) ( ) F x =

∫

a f t dt F a+ maka F’(x) = f(x) (ae) pada [a, b].

Bukti :

Diketahui f terintegralkan pada [a, b] dan ( ) ^x ( ) ( )

F x =

∫

a f t dt F a+ . Akan dibuktikan F’(x) = f(x) Dari dua lemma di atas, cukup dibuktikan ^x '( ) ( ) ^x

a F t dt = a f t dt

∫ ∫

^,^{∀ ∈}^x ^{[ , ]}^{a b} ^.

Karena f = f⁺– f^– dengan f⁺, f^–≥ 0 (tanpa mengurangi keumuman bukti) maka f ≥ 0. Didefinisikan barisan {f_n} sebagai berikut:

( ), ( )

( ) , ( )

n

f x f x n

f x n f x n

⎧ <

= ⎨⎩ ≥

Dari pendefinisian ini diperoleh

n 0

f ≥ , ∀ ∈n ; f_n f ; f_n ≤n, ∀ ∈n dan f_n terbatas dan terukur. Menurut lemma kedua di atas, maka

( ) ( )

x

n n

a

d f t dt f x

dx

∫

= ^,^{∀ ∈}ⁿ

Kemudian didefinisikan ∀ ∈n

n n 0

G = −f f ≥ Sehingga,

( ) ( )

x x

n n n n

a a

x < ⇒y

∫

f − f ≤

∫

f − ⇔f G x ≤G y Jadi G_n monoton tak turun. Akibatnya¹ G x_n^'( ) 0≥ , ( , )∀ ∈x a b .

Dari hipotesis

( )

'

'( ) ( )

( ) ( )

0 ( )

( ),

x a n

x

n n

a

x x

n n

a a

n n

F x d f t dt dx

d f f f

dx

d d

f f f

dx dx

G x f x f x

f x n

=

= − +

= +

≥ +

= ∀

∫

∫ ∫

Jadi,

( ) '( ), [ , ], ', lim ' '

n n n n

f x F x x a b n f F n f F f F

≤ ∀ ∈ ∀ ⇔ ≤ ∀ ⇔ →∞ ≤ ⇔ ≤

Dari hipotesis diperoleh

( ) ( ) ^x ^x '

a a

F x −F a =

∫

f ≤

∫

F ……… (1) Karena 0f ≥ maka

x y

a a

x < ⇒y

∫

f ≤

∫

f Jadi F tak turun, akibatnya

' ( ) ( )

x x

a F ≤F x −F a = a f

∫ ∫

……… (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

1 Lihat proposisi di halaman 72.

(11)

( ) '( ) ( ) ( )

x x

a f t dt = a F t dt =F x −F a

∫ ∫

Akibatnya,

[ ]

( ) '( ) 0 ( ) ' ) 0,

x x x

a f t dt− a F t dt = ⇔ a f t −F t dt = ∀x

∫ ∫ ∫

Diperoleh

f(t) – F’(t) = 0 ⇔ f(t) = F’(t), ∀t.

Dari teorema terakhir ini, terjawab sudah pertanyaan-pertanyaan yang dimunculkan di awal bab ini. Yaitu bahwa Teorema Dasar Kalkulus I dan II berlaku:

1) F x'( )= f x( )

2) ^b '( ) ( ) ( )

a F t dt =F b −F a

∫

Latihan (Soal Quis) :

Misalkan f fungsi tak negatif dan terintegralkan (ae) pada [a, b]. Didefinisikan ( ) ^x ( )

F x =

∫

a f t dt buktikan bahwa

'( ) ( )

b b

a F t dt ≤ a f t dt

∫ ∫

Jawab :

Pertama ditunjukkan bahwa F tak turun. Karena f ≥ 0, maka

[ , ) [ , ) ^x ^y ( ) ( )

a a

x < ⇒y a x ⊂ a y ⇔

∫

f ≤

∫

f ⇔F x ≤F y Jadi, F tak turun. Maka²

'( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

b b b

a F t dt ≤F b −F a = a f t dt− = a f t dt

∫ ∫ ∫

Contoh :

Diketahui f(x) = sin x, x ∈ [0, π]. Apakah f ∈BV pada [0, π]?

Jawab :

Misalkan L sebarang partisi dari [0, π]. Maka L: 0=x₀ <x₁< <... x_k =π. Ditinjau dua kasus.

Kasus I:

Jika ^π₂∈L, maka ∃n₀, 0≤n₀≤n sehingga

0

0 0

0 1 1

1 1

0

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (0) ( ) ( )

sin sin0 sin

n k

i i i i

i i n

n k

i i i i

i i n

n n k

t f f x f x f x f x

f x f x f x f x

f f f f

π

π π

π

− −

= = +

− −

= = +

= − + −

= − −

=

+

∑ ∑

sin 2

π Kasus 2 : =

Jika ^π₂∉L, maka ∃n₁, 0≤ ≤n₁ k sehingga x_n₁₋₁< <^π₂ x_n₁.

2 Lihat Teorema halaman 74

(12)

1

1 1

1

0 1 1 1

1 1

1

1 2 2 1 1

1 1

1

1 2 2 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

n k

i i n n i i

i i n

n k

i i n n i i

i i n

n

i i n n i i

i

t f f x f x f x f x f x f x

f x f x f x f f f x f x f x

π

π π

−

− − −

= = +

−

− − −

= = +

−

− − −

=

= − + − + −

= − + − + − + −

≤ − + − + − + −

∑ ∑

∑

1

1 1

2 2

)

( ) (0) ( ) ( )

sin sin 0 sin sin

2

k

i n

f ^π f f ^π f

π π

= +

= − + −

=

∑

Jadi,

2 0

2

( ) 2,

2, t f L

L

π π

π

⎧ ∈

= ⎨⎩≤ ∉

Sehingga T₀^π( ) 2f = < ∞. Jadi terbukti f ∈BV pada [0, π]