TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.

TURUNAN FUNGSI

IKA ARFIANI, S.T.

DEFINISI TURUNAN

h - f(x) h)

lim f(x 0 (x) h

f' dx y'

dy

: dengan kan

didefinisi Turunan dari y f(x) terhadap x

 









RUMUS DASAR TURUNAN

' ^{ } 1



_



 



 



 



 



 





x  k x ⁿ  f x  k n x ⁿ

f

0

' 







 



 



 





x k f x

f

'

' x n u ¹ u

f u

x

^_^

ⁿ

^_^{ }_^{ }_^{ }_^

^{n  }





  

f

1 2 3

2

) ( ' )

(

3 ) ( ' )

(

2 ) ( ' )

(

1 ) ( ' )

(

0 ) ( ' )

(

 





























n

n

f x nx

x x

f

x x

f x

x f

x x

f x

x f

x f x

x f

x f c

x

f

RUMUS JUMLAH DUA FUNGSI

V' U'

V) dx (U

d

atau

(x) V'

(x) U'

(x) '

f '

y

: maka

V(x), U(x)

f(x) y

dan

diturunkan dapat

yang x

dari fungsi

- fungsi adalah

V dan U

Jika



















RUMUS SELISIH DUA FUNGSI

v' - u' v)

dx (u d

atau

(x) V'

- (x) U'

(x) '

f '

y

maka V(x),

- U(x) f(x)

y dan diturunkan

dapat yang

x dari

fungsi -

fungsi adalah

V dan U

Jika













RUMUS PERKALIAN DUA FUNGSI

) U.(V' U'.(V)

(U.V) dx

d

atau

(x) U(x).V'

(x).V(x) U'

(x) '

f

: maka

U(x).V(x), f(x)

dan diturunkan

dapat yang

x dari

fungsi -

fungsi V

dan U

Jika











RUMUS PEMBAGIAN DUA FUNGSI

 

2 2

V

UV' V

U' V

U dx

d

atau

V(x)

(x) U(x).V'

- (x).V(x) (x) U'

' f

: maka 0,

V(x) V(x) ,

f(x) U(x) dan

, diturunkan dapat

yang x

dari fungsi

- fungsi V

dan U

Jika

 

 

 







1 ) 3

( ₂



  x x x

f

2 2

2 2

1 2 6

1

) x

(

x x

x







 

2 2

2

1

3 2

1 1

) x

(

) x ( x ) x

) .(

x ( '

f 





 

3.Tentukan turunan pertama dari

. ) x

(

x x

2 2

2

1 1 6







  1. Tentukan turunan pertama dari f (x)  x³ 3x² 4

Jawab :

0 2

. 3 3

) (

' x  x²  x

f  3x²  6x

2. Tentukan turunan pertama dari f (x) (x³ 1)(x² 2x3) Jawab :

) 2 2

)(

1 (

) 3 2

( 3 ) (

' x  x² x²  x   x³  x  f

2 2

2 2

9 6

3 ⁴  ³  ²  ⁴  ³  

 x x x x x x

2 2

9 8

5 ⁴  ³  ²  

 x x x x

Jawab : CONTOH :

3x 4x

f(x)  ² 

4.Tentukan turunan pertama dari Jawab :

2 1 2 3x)

2 )(4x (4x 3

(x) f

3) 2 (8x

1 2 3x)

2 (4x (x) 1

f

2 1 3x) (4x

f(x)

3x 4x

f(x)

' '

2 2

 





 













5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x² – 6x) (x + 2) Jawab :

f(x) = (3x

²

– 6x) (x + 2) Cara 1:

Misal :

U = 3x

²

–6x U

^’

= 6x – 6 V = x + 2 V

^’

= 1

Sehingga:

f

^’

(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x

²

+6x).1

f

^’

(x) = 6x

²

+12x – 6x – 12+3x

²

– 6x

f

^’

(x) = 9x

²

– 12

f(x) = (3x

²

– 6x) (x + 2) Cara 2:

f

^’

(x) = 3x

³

+ 6x

²

– 6x

²

– 12x

f

^’

(x) = 9x

²

+12x –12x – 12

f

^’

(x) = 9x

²

– 12

5. Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

( ) 3 4 2 1

 

 x x x

f

Cara 1:

Misal :

U = 3x + 2 U

^’

= 3

V = 4x - 1 V

^’

= 4

' 2

'

1)

(4x 1) (3x 2)4 (x) 3(4x

f

v - UV V

(x) U' f'

: Maka

2

 



 



1 2 8x

16x (x) 11

'f 16x 2 8x 1

8 12x

3 (x) 12x

'f





 









 

Soal Latihan 1

Tentukan fungsi turunan pertama dari :

) 1 2

( ) 1 (

)

( x  x  x

³

 x  f

1 ) 1

( 

  x x x

f

) 1

(

₂

  x x x

f

1 ) 1

(

₂

2



  x x x

f

1 )

( x  x

^1/2



³

x

²

 f

1.

2.

3.

4.

5.

Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini : 1. f(x) = 5x

⁴

+2x

²

-3x +6

2. f(x) = 2x

⁷

+ 5x

3. f(x) = 3x

^-2

+ 4x

^-3

+ 4 4. f(x) =

5. f(x) = ( 2x + 3 )

²

6. f(x) =

7. f(x) =

3 7 2 2 3

3

⁴   ₂  ₃ 

x x x

x

2 2 ) 2 1

(  x

3 3 2 2

2

3 

^{3 2}

   x x

x x

Soal Latihan 2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri



jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x



jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x



jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec

²

x



jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec

²

x



jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x



jika f(x) = cosec x,maka f ’(x) = – cosec x ctg x

Contoh 1

x x

y 

²

sin

Carilah turunan fungsi trigonometri

Jawab

Misalkan

Maka,

x u

x

u 

²

 '  2

x v

x

v  sin  '  cos

' '

' u v uv

y  

) )(cos (

) )(sin 2

( x x  x

²

x



x x

x

x sin cos

2 

²



Contoh 2

Jawab

x x

x

y  sin 5  cos 6  sin 3

Carilah turunan fungsi trigonometri

) 3 )(cos 3

( ) 6 sin )(

6 ( 5

cos )

5 (

' x x x

y    

x x

x

y  sin 5  cos 6  sin 3

x x

x

y '  5 cos 5  6 sin 6  3 cos 3



Contoh 3

x x

x x

y  8 . cos  4

²

sin

Carilah turunan fungsi trigonometri

Jawab

Misalkan

Maka,

HASILNYA :

x u

x

u  4 ²  '8

x v

x

v  sin  '  cos

' '

' u v uv

y  

) )(cos 4

( ) )(sin 8

( x x  x

²

x



x x

x

x.sin 4 .cos

8  ²

 8

'

8  

 x u u

x v

x

v  cos  '   sin

' '

' u v uv

y  

) sin .(

8 cos

.

8 x  x  x



x x

x 8 .sin cos

8 



x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

cos .

4 sin

. 16 cos

8

cos .

4 sin

. 8 sin

. 8 cos

8

) cos .

4 sin

. 8 ( )

sin .

8 cos

8 (

2

2 2























Contoh 4

x y  tan

Carilah turunan fungsi trigonometri

)

2

(

' ' '

v

u v v y  u 

x u

x

u



sin



'



cos

x v

x

v  cos  ' sin

Misalkan Jawab

x x x

y cos

tan  sin



)2

(cos

) sin )(

(sin )

)(cos (cos

x

x x

x

x  



x

x x

2 2 2

cos sin cos





x x

x cos

. 1 cos

1 cos

1

2



  sec x sec . x

2

x

 sec

x x x x x x

x 8 .sin 8 .sin 4 .cos cos

8    ²

Contoh 5

x x

y x

cos sin

sin

 

Carilah turunan fungsi trigonometri

)

2

(

' ' '

v

u v v y  u 

x u

x

u



sin



'



cos

x x

v x

x

v  sin  cos  '  cos  sin

Misalkan Jawab

)

2

cos (sin

) )(sin sin

(cos )

cos )(sin

(cos

x x

x x

x x

x x







 

2 2

2 2

2 2

) cos (sin

1 )

cos (sin

sin cos

) cos (sin

) sin . (sin )

cos .

(cos )

sin . (cos )

sin . (cos

) cos (sin

)]

sin . (sin )

sin . [(cos )

cos .

(cos )

sin . (cos

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

 



 







 







 

 

y  2 x  3

¹⁰

y  sin ³ x

 ^{x x} 

y  cos

⁴

4

²



2

1 1





 







 

x y x

A. Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x² + 1 ]

y x x

x x

  

  2

2

2 5

2 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

y  sin 2 x  1

 

y  2x 3 ⁴

y x

 x

 1

 

y  cos

²

 x

B. Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

3.

4.

CONTOH

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1.

f(x) = 4sinx – 2cosx

2.

f(x) = 2sinxcosx Jawab :

1. f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx

=4cosx+2sinx

2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x

=2cos2x

LATIHAN :

4 - x 4cos y

j.

4cos2x 2sinx

y e.

x sin x

cos y

i.

b) (ax

tan y

d.

1 2sin

- y h.

ax

tan y

c.

sin - 1 y g.

b) cos(ax

y b.

4cos2x

3sin2x y

f.

b)

(ax sin

y a.

: berikut fungsi

- Fungsi

Turunan Tentukan

2

2 2

2 2



































x

x

Turunan Fungsi Logaritma

Turunan Fungsi Eksponensial

TURUNAN LOGARITMA

TURUNAN EKSPONENSIAL

CONTOH :

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI

dx .du du dy dx

dy

atau

(x) (g(x)).g' f'

(f(g(x)) dx

(x) d y'

: maka

diturunkan dapat

yang x

dari fungsi

merupakan f(g(x))

y serta

diturunkan dapat

yang x

dari fungsi

merupakan g(x)

u dan

diturunkan dapat

yang u

dari fungsi

merupakan f(u)

y Jika

: RANTAI

DALIL













CONTOH

5 2

5 2

5 2

5

6 2

6 2

3) 5x

)(4x 30

- 48x (

5 8x

. 3) 5x

6(4x

dx . du du dy dx

dy

5 dx 8x

du

3) 5x

6(4x du 6U

dy

U y

maka

3 5

4x U

: SOLUSINYA

) 3 5

(4x y

dari Turunan

Tentukan

















































x

x

LATIHAN :

 ^{x 3 1} 

²³

f(x)

b.

5 2x

- 7x

f(x)

a.

: berikut fungsi

Turunan Tentukan

.

2

2 x

u dan 4u

y b.

1 - 2x u

dan 3u

y a.

ini berikut

soal dx pada

Tentukan dy

1.

2

2

2 3

- 15





















x

x

TURUNAN TINGKAT TINGGI

 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

 Turunan pertama

 Turunan kedua

 Turunan ketiga

 Turunan ke-n

 Contoh : Tentukan dari

 Jawab :

f x df x 

' ( )  dx

 

2 2

) (

"

dx x f x d

f 

 

3 3

) ( '

"

dx x f x d

f 

 

 

n n n

dx x f x d

f ( ) 

 ^{( )} 

)

(

^{( 1)}

)

(

f x

dx x d

f

ⁿ



^n

x x

y  4

³

 sin x

x

y '  12

²

 cos ^{maka y ' '}

^

^{24 x}

^

^{sin x} '

'

y



Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’.



Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f .



Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari

y = f(x) sebagai

Contoh :

Jika f(x) = 3x

⁴

+ 7x – 8, tentukan f ’’(x).

Contoh :

Jika f(x) = (3x

⁵

+ 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).

 

y  sin 2 x  1

 

y  2x  3 ⁴

y x

 x

 1

 

y  cos

²

 x

f "( )c  0

f x ( )



x

³ 

3 x

² 

45 x



6

g x ( )



ax

² 

b x



c

3

) 1 ( ' 

g g ''(1)  4 A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

T ^URUNAN F ^UNGSI I ^MPLISIT

 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi

implisit dari x.

Contoh :

 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

³

y

²

 x

²

 y 

1 )

sin(

.

2 xy  x

²

 y

²





Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa

terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang

persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.



Contoh

Tentukan dari persamaan x

²

+ 5y

³

= x + 9.



Penyelesaian.

Lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada

persamaan.



Contoh :

Tentukan jika diberikan persamaan x

²

+ 2xy + 3y

²

= 4



Penyelesaian :

 Contoh :

Jika x² + y² – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dan di titik x = 3 dan y = 2.

 Penyelesaian: