1
bagaimana menentukan gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik pada kurva
bagaimana menentukan kecepatan sesaat suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus
Definisi: misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Turunan fungsi f di x = a yang dinotasikan sebagai f’(a) adalah
,
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
a
x
a
f
x
f
h
a
f
h
a
f
a
f
a x h
−
−
=
−
+
=
′
→ →
jika limit tersebut ada.
Contoh :
0
lim
)
(
)
(
lim
)
(
konstanta
,
)
(
.
1
0
0
=
−
=
−
+
=
′
=
→
→
h
k
k
h
a
f
h
a
f
a
f
k
k
x
f
h
h
1
1
lim
lim
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
.
2
0 0
0 0
=
=
=
−
+
=
−
+
=
′
=
→ →
→
→ h h h
h
h
h
h
a
h
a
h
a
f
h
a
f
a
f
x
x
f
4
)
(
.
3
f
x
=
x
2−
, tentukan f’(2)<
<
<
−
−
−
≤
≥
≥
−
−
=
−
2
2
-jika
yaitu
0
4
jika
,
4
2
atau
2
jika
yaitu
0
4
jika
,
4
4
2 2
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
)
2
(
4
2
lim
2
)
2
)(
2
(
lim
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
2
4
lim
2 2 2 2 2 2 2 − → → → → →′
=
−
=
+
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
−
− −f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x)
2
(
4
2
lim
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
2
4
lim
2 2 2 2 22 → → → +
→
′
=
=
+
=
−
+
−
=
−
−
=
−
−
++
x
x
f
4
2
−
=
x
y
4
2
−
=
x
y
5 Definisi : Turunan kiri (kanan) fungsi f di x = a adalah
,
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
a
x
a
f
x
f
h
a
f
h
a
f
a
f
a x h
−
−
=
−
+
=
′
− −
→ → −
−
−
=
−
+
=
′
+ +
→ → +
.
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
a
x
a
f
x
f
h
a
f
h
a
f
a
f
a x h
Kembali lagi ke definisi turunan di suatu titik a :
h
a
f
h
a
f
a
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
0
−
+
=
′
→
Bila a diambil sebarang bilangan di himpunan bilangan riil maka diperoleh suatu fungsi yang mengaitkan setiap bilangan riil a ke f’(a) , yaitu
)
(
)
(
:
x
f
x
a
f
a
f
′
→
′
→
ℜ
→
ℜ
′
?
)
(
)
(
.
6
?
)
(
)
(
.
5
=
′
=
′
x
f
x
fgh
n
2
))
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
3
)
(
)
(
)
(
.
2
)
(
)
(
)
(
)
(
.
1
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
fg
x
f
k
x
kf
x
g
x
f
x
g
f
′
−
′
=
′
′
+
′
=
′
′
=
′
′
±
′
=
′
±
7
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
5
fgh
′
x
=
f
′
x
g
x
h
x
+
f
x
g
′
x
h
x
+
f
x
g
x
h
′
x
( )
1.
1
1)
(
asli
bilangan
,
)
(
:
Akibat
− −
=
=
′
=
′
=
n n
n n
nx
nx
x
x
f
n
x
x
f
Untuk
n
= 0 jelas berlaku
Untuk
n
bilangan bulat negatif, maka
n
= -m, m bilangan asli, sehingga
1
1
2
1
2
1
.
1
.
0
)
(
1
)
(
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
′
=
=
n
m
m
m
m
m
m
m
m
nx
mx
x
mx
x
mx
x
x
f
x
x
x
f
bulat
bilangan
,
)
(
)
(
:
Jadi
f
′
x
=
x
n′
=
nx
n−1n
( )
f
nf
f
fff
f
f
ff
f
f
f
f
f
x
f
n
n
n
n
n
′
=
′
+
+
′
+
′
+
′
=
′
−
−
−
−
1
3
2
1
)
(
Teorema: Jika
f’
(
a
) ada maka
f
kontinu di
a
Hati2! Sifat kebalikannya tidak benar!!!!
Demikian pula
Jika f’(a) tidak ada maka tidak selalu mengakibatkan f tak kontinu di a !!!!
Yang benar: Jika f tidak kontinu di a maka pasti f tidak terdiferensialkan di a
Contoh:
f
(
x
)
=
x
2
−
4
Jika f kontinu di a maka tidak selalu mengakibatkan f’(a) ada !!!!
Jelas bahwa f(x) kontinu di x = 2, sebab lim 2 4 0 (2).
2 x f
x
= = −
→
Tetapi
f
(
2
)
tidak
ada.
′
Kesimpulan
Kesimpulan
Kesimpulan
Kesimpulan
ada
)
(
lim
di
kontinu
ada
)
(
a
f
a
f
x
f
a
x
→
→
9
.
di
nsialkan
terdifere
)
(
agar
dan
tentukan
,
2
,
2
,
)
(
Jika
:
Contoh
2
ℜ
≥
<
+
=
x
f
b
a
x
x
x
b
mx
x
f
Jawab: Periksa terlebih dahulu kekontinuan f(x). Karena f(x) berupa polinom untuk x < 2 dan x > 2, maka f(x) kontinu untuk x < 2 dan x > 2. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 2, yaitu
4
4
2
yaitu
),
2
(
)
(
lim
)
(
lim
2 2
=
=
+
=
=
+ −
→ →
b
m.
f
x
f
x
f
x
x 2m + b = 4
Lalu periksa turunan kiri dan turunan kanan di x = 2 :
,
lim
4
4
lim
4
2
lim
4
)
2
(
lim
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
(
0 0
0
0 0
m
h
mh
h
mh
h
b
m
mh
h
b
h
m
h
f
h
f
f
h h
h
h h
=
=
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
=
′
− −
−
− −
→ →
→
→ →
,
4
)
4
(
lim
4
4
4
lim
4
)
2
(
lim
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
(
0 2
0
2
0 0
=
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
=
′
− −
− +
→ →
→ →
+
h
h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f
h h
h h
Agar f(x) terdiferensialkan di x = 2 maka haruslah
4
2
4
dan
,
4
yaitu
),
2
(
)
2
(
=
′
=
=
−
=
−
′
+−
f
m
b
m
f
y = f(x)
y = 4x - 4
2
11
Turunan fungsi trigonometri
Turunan fungsi trigonometri
Turunan fungsi trigonometri
Turunan fungsi trigonometri
?
)
(
maka
,
sin
)
(
Jika
1.
f
x
=
x
f
′
x
=
x
x
x
h
h
s
x
h
h
x
h
h
s
x
h
h
h
x
h
x
s
h
h
s
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h h
h h
h h
h h
cos
1
.
cos
0
.
sin
in
lim
cos
1
cos
sin
lim
in
lim
cos
1
cos
sin
lim
in
in
cos
cos
sin
lim
sin
sin
cos
cos
sin
lim
sin
)
sin(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0 0
0 0
0 0
0 0
=
+
=
+
−
=
+
−
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
′
→ →
→ →
→ →
x
x
x
h
h
s
x
h
h
x
h
h
s
x
h
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h h
h h
h
h h
sin
1
.
sin
0
.
cos
in
lim
sin
1
cos
cos
lim
in
lim
sin
1
cos
cos
lim
cos
sin
sin
cos
cos
lim
sin
)
cos(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0 0
0 0
0
0 0
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
+
=
−
+
=
′
→ →
→ →
→
→ →
?
)
(
maka
,
cos
)
(
Jika
2.
f
x
=
x
f
′
x
=
13
ATURAN RANTAI
ATURAN RANTAI
ATURAN RANTAI
ATURAN RANTAI
(
f
g
)
(
x
)
f
(
g
(
x
)
)
h
(
x
)
y
=
=
=
)
(
))
(
(
)
(
)
(
u
g
x
f
g
x
g
x
f
dx
dg
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
y
′
=
=
=
=
′
′
=
′
′
!
)
(
x
y
′
)
(
)
(
x
u
y
f
u
g
=
→
=
Contoh
(
) (
)
) 1 3
2 sin( ) 3 4
( )
3 4
)( sin( sehingga
) ( )
( )
( )
cos(
maka
1 3
2 ) ( Misalkan
! n tentuka ),
1 3
2 cos(
1.
2 2
2
− +
+ −
= + −
= =
′
= =
= =
− +
= =
′ −
+ =
x x
x x
u dx
du du dy y
x g f x
g f u
f u
y
x x
x g u
y x
(
)
(
)
(
)
(
2 4 5)
cos 5sin(
2 4 5)
sin 5 4
5 4
2 sin 5 sin ) 5 4
2 cos( ) 4 4
( 5
) 4 4
)( cos( 5 )
sin( sehingga
maka
) cos(
sin 5
5 4
2 Misalkan
! n tentuka ,
5 4
2 sin 5 cos
2.
2 2
2 2
2 1 2
1 2
2
2 1 2
1 2
1 2 1
+ −
+ −
+ −
+ −
− −
=
− −
= =
′ = =
=
= =
=
+ −
=
′ +
− =
− −
x x
x x
x x
x x
x
x t u
v w
dx dt dt du du dv dv dw dw
dy y
w w y
v w
u u v
t u
x x
t
y x
15
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk y =f(x) disebut fungsi eksplisit sebab y dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi dari x. Ciri-ciri fungsi eksplisit: biasanya y dan x terpisah di ruas yang berbeda.
y sebagai fungsi dari x juga dinyatakan secara implisit, yaitu dengan mengumpulkan x dan y di ruas yang sama menjadi bentuk F(x,y)=0. Fungsi eksplisit dengan mudah dapat diubah menjadi fungsi implisit, namun fungsi implisit tidak selalu dapat (dengan mudah) diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh
(implisit)
0 cos
5.
(implisit)
0 6 4
8 . 4
(implisit)
0 6 4
8 3.
(implisit)
12 3
2.
(implisit)
0 ) 1 tan(
cos
) (eksplisit
) 1 tan(
cos
1.
2 3 2 3
2 3
4 2
) , (
3 2
3 2
= +
= + −
+
= + −
+
= +
= −
− →
− =
xy (xy)
y y
x x
y y
x x
y x
x x y
x x y
TRIK MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
1. Bila memungkinkan, nyatakan sebagai fungsi eksplisit
2. Bila tidak memungkinkan, turunkan setiap suku dari F(x,y)=0. Dengan
mengingat bahwa y = f(x), gunakan aturan rantai, lalu selesaikan persamaan
untuk
.
dx
dy
Contoh:
(
)
(
)
3 4
2 24
3 4
2 24
0 4
3 2
24
0 4
3 2
24
: dap suku terha setiap
Turunkan
0 6 4
8 1.
2 2
3 2
2 2 3
2
2 2 3
2
2 2 3
2
3 2 3
− + =
= ′
− = +
= −
+ +
= −
+ +
= + −
+
y x
xy x
dx dy y
dx dy y
x xy
x
dx dy y
x xy
x
dx dy dx
dy y x xy
x
x y
