MODUL 9. (Pertemuan 17 s/d 26) INTEGRAL FOURIER

MODUL 9. (Pertemuan 17 s/d 26)

INTEGRAL FOURIER

9.1 DEFINISI INTEGRAL FOURIER

Mari kita mengasumsikan kondisi yang berikut pada f(x) :

1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L). 2.

∫

∞ f(x) dx

∞

−

konvergen, jikaf(x) integrasi absolut dalam (-L,L). Maka Teorema Integral Fourier :

{

Aα αx B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos ( )sin ) (

(1) di mana     = =

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − dx x x f B dx x x f A sin ) ( ) ( cos ) ( ) ( 1 1 α α α α π π ₍₂₎

Dengan melihat hasil ( 1), jika x adalah suatu titik kesinambungan f(x). Jika x adalah suatu titik kesinambungan, kita harus menggantikan f(x) dengan 2 ) 0 ( ) 0 (x+ + f x−

f _{seperti di kasus Deret Fourier. Jangan catat} bahwa itu di atas kondisi-kondisi adalah cukup tetapi perlu.

Persamaan ( 1) dan ( 2) dengan bersesuaian hasil untuk Deret Fourier adalah nyata. Sisi tangan kanan ( 1) kadang-kadang disebut suatu Perluasan Integral Fourier f(x).

Teorema (Integral Fourier)

Jika f(x) fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada setiap interval berhingga, memiliki derivatif kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik,

dan integral

∫

∫

∞ → −∞ → + b b a a f x dx 0 f x dx 0 ) ( lim ) (

lim ada , maka f(x) dapat

direpresentasikan oleh integral Fourier.

{

Aα αx B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos ( )sin ) (

di mana     = =

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − dx x x f B dx x x f A sin ) ( ) ( cos ) ( ) ( 1 1 α α α α π π

Di titik di mana f(x) tak kontinu, nilai interval sama dengan rata-rata dari limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut.

Contoh :

Cari representasi integral Fourier dari fungsi

   > < = 1 x jika , 0 1 x jika , 1 ) (x f Penyelesaian :

( )

( )

( )

( )

α α

( )

α

[

α

]

[

α

( )

α

]

α α α α α πα πα α π π π π − − = = ⋅ ⋅ = ⋅ =     _{⋅ + ⋅ + ⋅} = = − − − − ∞ − ∞ − ∞ ∞ −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

sin sin sin cos cos 1 cos 0 cos 1 cos 0 cos ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x d x dx x dx x dx x dx x dx x x f A

[

]

πα α α α

α) _πα sin sin 2sin

( = 1 + = A

.

( )

( )

( )

( )

α α

( )

α

[

α

]

[

α

( )

α

]

α α α α α πα πα α π π π π − − − = − = ⋅ ⋅ = ⋅ =     _{⋅ + ⋅ + ⋅} = − − − − ∞ − ∞ − ∞ ∞ −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

cos cos cos sin sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 sin ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x d xx dx xx dx xx dx xx dx xx dx x x f B

[

cos cos

]

0 ) (α ₌₋ 1 α₋ α ₌ πα B

.

{

Aα αx B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos ( )sin ) (

,

∫

∫

∞ = ∞ ⋅       _{+ ⋅}       = 0 0 d cos sin 2 sin 0 cos sin 2 ) ( α α α α π α α α πα α x d x x x f

.

Latihan Soal :

Carilah representasi integral Fourier fungsi

     > = < = 0 x jika e 0 x jika 0 x jika 0 ) ( x -2 π π x f

Kunci Jawabanya :

α α α α α d x x f 1 x sin cos ) ( 0 2

∫

∞ ₊+ =

INTEGRAL COSINUS DAN INTEGRAL SINUS FOURIER

Jika f(x) fungsi genap, maka integrand f(x)cosαx merupakan fungsi genap dalam x, dan f(x)sinαx fungsi ganjil dalam x.

Dengan demikian : 0 sin ) ( ) ( = 1

∫

∞ = ∞ − f x xdx B α _π α

,

∫

∫

−∞∞ = ∞ = 0 2 1 _{( )cos ( )cos} ) ( f x xdx f x xdx Aα _π α _π α

,

{

Aα αx B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos ( )sin ) (

{

Aα αx x

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos 0 ) ( α α α xd A x f( ) ( )cos 0

∫

∞

= yang merupakan Integral Cosinus Fourier. Jika f(x) fungsi ganjil, maka integrand f(x)cosαx merupakan fungsi ganjil dalam x, dan f(x)sinαx fungsi genap dalam x.

Dengan demikian : 0 cos ) ( ) ( 1

∫

∞ ∞ − = = f x xdx Aα _π α

,

∫

∫

−∞∞ = ∞ = 0 2 1 _{( )sin ( )sin} ) ( f x xdx f x xdx B α _π α _π α

,

{

Aα αx B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 ( )cos ( )sin ) (

{

x B α αx

}

dα x f =

∫

∞ + 0 0 ( )sin ) ( α α α x d B x f( ) ( )sin 0

∫

∞

= yang merupakan Integral Sinus Fourier.

Contoh :

Cari Integral Cosinus dan Integral Sinus Fourier dari kx e x f( )= −

,

(

x>0, k >0

)

Penyelesaian :

∫

∫

∫

−∞∞ = ∞ = ∞ − = 0 2 0 2

1 _{( )cos ( )cos cos}

) ( f x xdx f x xdx e xdx A_{α α α} kx _α π π π

,

( )

{

( )

}

_      + − + − ⋅ = ⋅ = − ∞ → − ∞ →

∫

p kx p p _kx p _k k x x e dx x e A 0 2 2 0

2 _{lim cos} 2 _{lim cos sin}

) ( α α α α π α α _π

,

(

)

(

)

      + − + −       + − + ⋅ = − ∞

→ cos sin cos0 sin0

lim 2 ) ( _{2 2 2} 0 ₂ α α α α α α π α k k e p p k k e A kp p

,

(

)

_ _ + ⋅ =     _{− + ⋅} + − ⋅ = 2 0 ₂ 1 ₂ 0 2 ₂ 1 ₂ ) ( α π α α π α k k k k A

.

∫

∫

∫

−∞∞ = ∞ = ∞ − = 0 2 0 2

1 _{( )sin ( )sin sin}

) ( f x xdx f x xdx e xdx B _{α α α} kx _α π π π

,

( )

{

( )

}

_      − − + − ⋅ = ⋅ = − ∞ → − ∞ →

∫

p kx p p _kx p _k k x x e dx x e B 0 2 2 0

2 _{lim sin} 2 _{lim sin cos}

) ( α α α α π α α _π

,

(

)

(

)

      − − + −       − − + ⋅ = − ∞

→ sin cos sin0 cos0

lim 2 ) ( _{2 2} 0 2 2 _α α α α _α α π α k k e p p k k e B kp p

,

(

)

_ _ + ⋅ =     _{− ⋅ − ⋅⋅} + − ⋅ = 2 0 ₂ 1 ₂ 0 1 2 _{2 2} ) ( α α π α α π α k k k B

.

Maka Integral Cosinus Fourier :

α α α xd A x f =

∫

∞ 0 ( )cos ) (

,

α α α π α α α π k d x k d k k x f

∫

∞

∫

∞_ _ + =     + ⋅ = 0 2 2 0 2 2 cos 2 cos 1 2 ) (

.

Maka Integral Sinus Fourier :

α α α xd B x f( ) ( )sin 0

∫

∞ =

,

α α α α π α α α α π k d x d k x f

∫

∞

∫

∞_ _ + =     + ⋅ = 0 2 2 0 2 2 sin 2 sin 2 ) (

.

Soal Latihan :

1. Carilah representasi Integral Cosinus Fourier fungsi    > < < = 1 x jika , 0 1 x 0 jika , 1 ) (x f

Kunci Jawaban :

α α α α π d x x f =

∫

∞_ ⋅ _ 0 cos sin 2 ) (

2. Carilah representasi Integral Sinus Fourier fungsi    > < < = 1 x jika , 0 1 x 0 jika , ) ( x e x f

Kunci Jawaban :

(

)

α α α α α α α π xd e x f sin 1 sin cos 2 ) ( 0 2

∫

∞_ − ₊ − _ =

FORMAT PADANAN DARI TOREMA INTEGRAL FOURIER Teorema Integral Fourier dapat juga ditulis dalam bentuk :

∫ ∫

∞= ∞ −∞ = − = 0 1 _{( )cos ( )} ) ( α π _u f u α x u dudα x f

(3) α α α π α α π

∫ ∫

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = d du e u f du e u f d e x f x u i u i x i ) ( ) ( ) ( ) ( 21 21

(4)

di mana jika f(x) tidak kontinu di sebelah kiri x harus diganti dengan 2 ) 0 ( ) 0 (x+ + f x− f _.

These results can be simplified somewhat if f(x) is either an odd or an even function, and we have :

∫

∞

∫

∞ = 0 0 2 _{cos ( )cos} ) (x xd f u udu f _π α α α , if f(x) is even (5)

∫

∞

∫

∞ = 0 0 2 _{sin ( )sin} ) (x xd f u udu f _π α α α , if f(x) is odd (6)

9.2 DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER

Definisi

Fungsi F(α) disebut transformasi Fourier dari fungsi f(x) dan ditulis

{

( )

}

, )

( f x

F α =F bila dari (4), akan diperoleh berikut ini :

∫

∞ ∞ − = f u e du F iαu π α ( ) 2 1 ) ( . (7)

Sedangkan fungsi f(x) disebut transformasi Fourier inverse dari fungsi ) (α F dan ditulis

{

( )

}

, ) (_x 1 _{F α} f =F− bila

∫

∞ ∞ − − = ( ) . 2 1 ) ( α α π α _d e F x f i x ₍₈₎ Contoh :

Carilah transformasi Fourier dari fungsi     > < = a x bila a x bila x f , 0 , 1 ) (

di mana a konstanta positif. Gambarlah grafik dari f(x) dan F(α)=F

{

f(x)

}

tersebut. F(x)

α

a

-a

1

) (α F

Solusi a 2 2 4 2 2 1 2 1 ) 0 ( ) sin( 2 ) sin( 2 4 , 0 , ) sin( 2 4 2 2 2 ) ( 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( π π π π α α π α α π α α α π π α α π α π π π α α α α α α α = = = = = = ≠ =       − =     ₋ =       − = ⋅ = =

∫

∫

∫

− − − ∞ ∞ − − a a dx F a a a i e e e e i a a e i du e du e u f F a a ia ia ia ia iau a a u i u i Jadi,       = ≠ = . 0 , a 2 0 , ) sin( 2 ) ( α π α α α π α bila bila a F Assignment 1

1. Carilah transformasi Fourier dari fungsi     > < = , , 0 , , 2 1 ) ( a x bila a x bila a x f

di mana a konstanta positif.

2. Carilah transformasi Fourier dari fungsi

    > < − = . 1 , 0 1 , 1 ) ( 2 x bila x bila x x f

TRANSFORMASI COSINUS FOURIER

Bila f(x) fungsi genap, buktikan bahwa :

, ) cos( ) ( 2 )} ( { ) ( 0 du u u f x f F_c

∫

∞ = = α π α F dan . ) cos( ) ( 2 )} ( { ) ( 0 1 _{α α α} π α F x d F x f _c

∫

_c ∞ − ₌ =F Solusi (a)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − = =       =       + = + = = 0 0 0 ) cos( ) ( 2 ) ( ) cos( ) ( 2 4 ) cos( ) ( 2 2 1 ) sin( ) ( ) cos( ) ( 2 1 )] sin( ) )[cos( ( ) ( 2 1 ) ( du u u f F du u u f du u u f du u u f i du u u f du u i u u f du e u f F c u i c α π α α π α π α α π α α π α α

mengingat bahwa f(x)cos(αx) adalah fungsi genap dan f(x)sin(αx) adalah fungsi ganjil (keduanya terhadap variable x).

(b)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − = = = − = − = = 0 0 0 ) cos( ) ( 2 ) ( ) cos( ) ( 2 4 ) cos( ) ( 2 2 ) sin( ) ( 2 ) cos( ) ( 2 1 )] sin( ) )[cos( ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( α α α π α α α π α α α π α α α π α α α π α α α α π α α π α d x F x f d x F d x F d x F i d x F d x i x F d e F x f c c c c c c x i c

mengingat F_c(α) adalah fungsi genap yaitu F_c(−α)=F_c(α) untuk tiap α ,

di mana f(x) adalah Transformasi cosinus Fourier ( Fourier Cosine

Transform )

TRANSFORMASI SINUS FOURIER Definisi

Fungsi F_s(α) disebut transformasi sinus Fourier dari fungsi f(x) dan ditulis

{

( )

}

, ) ( f x F_s α =F_s bila

∫

∞ = 0 ) sin( ) ( 2 ) ( f u u du F_s α π α .

Sedangkan fungsi f(x) disebut transformasi sinus Fourier inverse dari fungsi F_s(α) dan ditulis

{

( )

}

, ) ( 1 _α s s F x f =F− bila

∫

∞ = 0 ) sin( ) ( 2 ) ( α α α π F x d x f _s

mengingat F_s(α) adalah fungsi ganjil yaitu F_s(−α)=−F_s(α) untuk tiap α , di mana f(x) adalah Transformasi Sinus Fourier ( Fourier Sine Transform )

Contoh-contoh

1. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi

   > < < = . 1 , 0 1 0 , 1 ) ( x bila x bila x f

Solusi 0 , 2 cos 1 ) 1 (cos 1 2 ) ( , ) 0 cos (cos 1 2 0 1 ) cos( 1 2 ) sin( 0 ) sin( 1 2 ) sin( ) ( 2 ) ( 0 1 0 1 ≠ − =    _{− −} =    _{− −} =       − =       ⋅ + ⋅ = =

∫

∞

∫

∫

∞ α π α α α α π α α α π α α π α α π α π α S S F u du uu du uu du u u f F

2. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi _f(_x)=_e−x,_x≥0. Solusi

( )

(

( )

)

(

)

(

)

(

)

_ _ + =     _{− +} + − =         + − + −         + − + =                   + − + − =         =       = = − ∞ → − ∞ → − ∞ → ∞ ∞ −

∫

∫

∫

2 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 1 1 2 0 1 1 1 0 2 0 sin 0 cos 1 ) sin( ) cos( 1 2 sin ) cos( ) 1 ( 1 2 ) cos( 2 ) cos( 2 ) cos( ) ( 2 ) (

lim

lim

lim

α π α π α α α α α α π α α α α π α π α π α π α

e

e

e

e

e

p p u u du u du u du u u f F p p p u p p u p u c Jadi, _ _ + = ₂ 1 1 2 ) ( α π α c F Assignment 2

1. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi

   > < < = . 1 , 0 1 0 , 1 ) ( x bila x bila x f

2. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi-fungsi : (a) f(x)=e-x _{, x≥ 0}

(b) f(x)=e-2x _{, x ≥0.}

9. 3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER Dalam hal ini digunakan notasi

) ( )

(x F α

f ↔

untuk menunjukkan pasangan transformasi

{

}

_∫

∞ ∞ − = = f x f x e dx F iαx π α ( ) 2 1 ) ( ) ( F

{

}

_∫

∞ ∞ − − − ₌ = α α π α _{F e} α _d F x f _{( )} i x 2 1 ) ( ) ( _F 1 Sifat-sifat Elementer 1. Linieritas

Bila f₁(x)↔F₁(α) dan f₂(x)↔F₂(α), maka

2 1 2 2 1 1 2 2 1 1f (x) a f (x) aF( ) a F ( ),a,a a + ↔ α + α konstanta. 2. Time-shifting Bila f(x)↔ F(α), maka . ) ( ) ( 0 0 x i e F x x f − ↔ α α 3. Frequency-shifting Bila f(x)↔ F(α), maka . ) ( ) (x e−α0 ↔F α −α₀ f i x

4. Scaling

Bila f(x)↔ F(α), maka untuk konstanta a yang bernilai nyata (real) dan tidak sama dengan nol berlaku

. ) ( 1 ) ( a F a ax f ↔ α 5. Time-reversal Bila f(x)↔ F(α), maka . ) ( ) (−x ↔−F −α f 6. Simetri Bila f(x)↔F(α), maka ). ( ) (x ↔ f −α F Contoh-contoh

1. Buktikan sifat linieritas di atas. Solusi )], ( [ )] ( [ ) ( ) ( ] ) ( ) ( [ )] ( ) ( [ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x f a x f a dx e x f a dx e x f a dx e x f a x f a x f a x f a i x i x i x F F F + = + = + = + ∞ − ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ −

∫

∫

∫

α α α di mana a₁,a₂ kostanta.

2. Buktikan sifat frequency-shifting di atas. Solusi ). ( ) ( ] ) ( [ ] ) ( [ α0 = α0 α = −(α−α0) = α −α₀ ∞ ∞ − − ∞ ∞ −

∫

∫

F F f x ei x f x ei x e i x dx f x e i xdx Assignment 3