Modul 9. (Pertemuan 19 s/d 26)
INTEGRAL FOURIER
9.1 DEFINISI INTEGRAL FOURIER
Mari kita mengasumsikan kondisi yang berikut pada f(x) :
1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L). 2.
∫
∞f
(
x
)
dx
∞
− konvergen, jika f(x) integrasi absolut dalam (-L,L). Maka Teorema Integral Fourier :
(1)
{
A
α
α
x
B
α
α
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
(
)
sin
)
(
di mana⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ −dx
x
x
f
B
dx
x
x
f
A
sin
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
1 1α
α
α
α
π π (2)Dengan melihat hasil ( 1), jika x adalah suatu titik kesinambungan f(x). Jika x adalah suatu titik kesinambungan, kita harus menggantikan f(x) dengan
2
)
0
(
)
0
(
x
+
+
f
x
−
f
seperti di kasus Deret Fourier. Jangan catat bahwa itu di atas kondisi-kondisi adalah cukup tetapi perlu.
Persamaan ( 1) dan ( 2) dengan bersesuaian hasil untuk Deret Fourier adalah nyata. Sisi tangan kanan ( 1) kadang-kadang disebut suatu Perluasan Integral Fourier f(x).
Teorema (Integral Fourier)
Jika f(x) fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada setiap interval berhingga, memiliki derivatif kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik, dan integral →−∞
∫
+
→∞∫
b b a af
x
dx
0f
x
dx
0)
(
lim
)
(
lim
ada , maka f(x) dapat
{
A
α
α
x
B
α
α
x
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
(
)
sin
)
(
}
di mana⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ −dx
x
x
f
B
dx
x
x
f
A
sin
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
1 1α
α
α
α
π πDi titik di mana f(x) tak kontinu, nilai interval sama dengan rata-rata dari limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut.
Contoh :
Cari representasi integral Fourier dari fungsi
⎩
⎨
⎧
>
<
=
1
x
jika
,
0
1
x
jika
,
1
)
(x
f
Penyelesaian :( )
( )
( )
( )
α
α
( )
α
[
α
]
[
α
( )
α
]
α
α
α
α
α
πα πα α π π π π−
−
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
− − − − ∞ − ∞ − ∞ ∞ −∫
∫
∫
∫
∫
∫
sin
sin
sin
cos
cos
1
cos
0
cos
1
cos
0
cos
)
(
)
(
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x
x
d
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
f
A
[
]
πα
α
α
α
α
)
παsin
sin
2
sin
(
=
1+
=
A
.( )
( )
( )
( )
α
α
( )
α
[
α
]
[
α
( )
α
]
α
α
α
α
α
πα πα α π π π π−
−
−
=
−
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
+
⋅
+
⋅
=
− − − − ∞ − ∞ − ∞ ∞ −∫
∫
∫
∫
∫
∫
cos
cos
cos
sin
sin
1
sin
0
sin
1
sin
0
sin
)
(
)
(
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x
x
d
xx
dx
xx
dx
xx
dx
xx
dx
xx
dx
x
x
f
B
[
cos
cos
]
0
)
(
α
=
−
1α
−
α
=
παB
.{
A
α
α
x
B
α
α
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
(
)
sin
)
(
,∫
∫
∞=
∞⋅
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
0 0d
cos
sin
2
sin
0
cos
sin
2
)
(
α
α
α
α
π
α
α
α
πα
α
x
d
x
x
x
f
.Latihan Soal :
Carilah representasi integral Fourier fungsi
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=
<
=
0
x
jika
e
0
x
jika
0
x
jika
0
)
(
x -2π
πx
f
Kunci Jawabanya :f
x
α
x
α
α
α
d
α
1
x
sin
cos
)
(
0 2∫
∞+
+
=
INTEGRAL COSINUS DAN INTEGRAL SINUS FOURIER
Jika f(x) fungsi genap, maka integrand f(x)cosαx merupakan fungsigenap dalam x, dan f(x)sinαx fungsi ganjil dalam x.
Dengan demikian :
0
sin
)
(
)
(
=
1∫
∞=
∞ −f
x
x
dx
B
α
πα
,∫
∫
−∞∞=
∞=
0 2 1(
)
cos
(
)
cos
)
(
f
x
x
dx
f
x
x
dx
A
α
πα
πα
,{
A
α
α
x
B
α
α
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
(
)
sin
)
(
{
A
α
α
x
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
0
)
(
α
α
α
x
d
A
x
f
(
)
(
)
cos
0∫
∞=
yang merupakan Integral CosinusFourier.
Jika f(x) fungsi ganjil, maka integrand
f
(
x
)
cos
α
x
merupakan fungsiganjil dalam x, dan
f
(
x
)
sin
α
x
fungsi genap dalam x. Dengan demikian :0
cos
)
(
)
(
1∫
∞ ∞ −=
=
f
x
x
dx
A
α
πα
,∫
∫
−∞∞=
∞=
0 2 1(
)
sin
(
)
sin
)
(
f
x
x
dx
f
x
x
dx
B
α
πα
πα
,{
A
α
α
x
B
α
α
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
0(
)
cos
(
)
sin
)
(
{
x
B
α
α
x
}
d
α
x
f
=
∫
∞+
00
(
)
sin
)
(
α
α
α
x
d
B
x
f
(
)
(
)
sin
0
∫
∞=
yang merupakan Integral Sinus Fourier.Contoh :
Cari Integral Cosinus dan Integral Sinus Fourier dari , kx
e
x
f
(
)
=
−(
x
>
0
,
k
>
0
)
Penyelesaian :∫
∫
∫
−∞∞=
∞=
∞ −=
0 2 0 21
(
)
cos
(
)
cos
cos
)
(
f
x
x
dx
f
x
x
dx
e
x
dx
A
α
πα
πα
π kxα
,( )
{
( )
}
⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − ⋅ = ⋅ = − ∞ → − ∞ →∫
p kx p p kx p k k x x e dx x e A 0 2 2 02 lim cos 2 lim cos sin
) (
α
α
α
α
π
α
α
π ,(
)
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+
⋅
=
− ∞→
cos
sin
cos
0
sin
0
lim
2
)
(
2 2 0 2 2α
α
α
α
α
α
π
α
k
k
e
p
p
k
k
e
A
kp p ,(
)
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
+
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
⋅
+
−
⋅
=
2
0
21
20
2
21
2)
(
α
π
α
α
π
α
k
k
k
k
A
.∫
∫
∫
−∞∞=
∞=
∞ −=
0 2 0 21
(
)
sin
(
)
sin
sin
)
(
f
x
x
dx
f
x
x
dx
e
x
dx
B
α
πα
πα
π kxα
,( )
{
( )
}
⎥⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − ⋅ = ⋅ = − ∞ → − ∞ →∫
p kx p p kx p k k x x e dx x e B 0 2 2 02 lim sin 2 lim sin cos
) ( α α α α π α α π ,
(
)
(
)
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + ⋅ = − ∞→ sin cos sin0 cos0
lim 2 ) ( 2 2 0 2 2 α α α α α α π α k k e p p k k e B kp p ,
(
)
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
+
⋅
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
⋅
−
⋅⋅
+
−
⋅
=
2 2 2 22
1
0
1
0
2
)
(
α
α
π
α
α
π
α
k
k
k
B
.Maka Integral Cosinus Fourier :
α
α
α
x
d
A
x
f
=
∫
∞ 0(
)
cos
)
(
,α
α
α
π
α
α
α
π
k
d
x
k
d
k
k
x
f
∫
∞∫
∞⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
⋅
=
0 2 2 0 2 2cos
2
cos
1
2
)
(
.Maka Integral Sinus Fourier :
α
α
α
x
d
B
x
f
(
)
(
)
sin
0∫
∞=
,α
α
α
α
π
α
α
α
α
π
k
d
x
d
k
x
f
∫
∞∫
∞⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
⋅
=
0 2 2 0 2 2sin
2
sin
2
)
(
. Soal Latihan :1. Carilah representasi Integral Cosinus Fourier fungsi
⎩
⎨
⎧
>
<
<
=
1
x
jika
,
0
1
x
0
jika
,
1
)
(x
f
Kunci Jawaban :f
x
π
∫
α
α
α
x
d
α
∞⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
=
0cos
sin
2
)
(
2. Carilah representasi Integral Sinus Fourier fungsi
⎩
⎨
⎧
>
<
<
=
1
x
jika
,
0
1
x
0
jika
,
)
(
xe
x
f
Kunci Jawaban :
f
x
π
α
e
(
α
α
α
α
)
sin
α
xd
α
1
sin
cos
2
)
(
0 2∫
∞⎢⎣
⎡
−
+
−
⎥⎦
⎤
=
FORMAT PADANAN DARI TOREMA INTEGRAL FOURIER
Teorema Integral Fourier dapat juga ditulis dalam bentuk :∫ ∫
∞= ∞ −∞ =−
=
0 1(
)
cos
(
)
)
(
α π uf
u
α
x
u
du
d
α
x
f
(3)α
α
α π α α π∫ ∫
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − −=
=
d
du
e
u
f
du
e
u
f
d
e
x
f
x u i u i x i)
(
)
(
)
(
) ( 2 1 2 1 (4)di mana jika f(x) tidak kontinu di sebelah kiri x harus diganti dengan
2
)
0
(
)
0
(
x
+
+
f
x
−
f
.These results can be simplified somewhat if f(x) is either an odd or an even function, and we have :
∫
∞∫
∞=
0 0 2cos
(
)
cos
)
(
x
x
d
f
u
u
du
f
πα
α
α
, if f(x) is even (5)∫
∞∫
∞=
0 0 2sin
(
)
sin
)
(
x
x
d
f
u
u
du
f
πα
α
α
, if f(x) is odd (6)9.2 DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER
DefinisiFungsi
F
(
α
)
disebut transformasi Fourier dari fungsif
(x
)
ditulis{
(
)
}
,
)
(
f
x
F
α
=
F
bila dari (4), akan diperoleh berikut ini :
∫
∞ ∞ −=
f
u
e
du
F
iαuπ
α
(
)
2
1
)
(
. (7)Sedangkan fungsi
f
(x
)
disebut transformasi Fourier inverse dari fungsi)
(
α
F
dan ditulis{
(
)
}
,
)
(
x
1F
α
f
= F
− bila∫
∞ ∞ − − = ( ) . 2 1 ) (α
α
π
α d e F x f i x (8) Contoh :Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
=
a
x
bila
a
x
bila
x
f
,
0
,
1
)
(
di mana a konstanta positif. Gambarlah grafik dari
f
(x
)
dan{
(
)
}
)
(
f
x
F(x)
α
a
-a
1
) (α F Solusi a 2 2 4 2 2 1 2 1 ) 0 ( ) sin( 2 ) sin( 2 4 , 0 , ) sin( 2 4 2 2 2 ) ( 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ) ( 2 1 ) (π
π
π
π
α
α
π
α
α
π
α
α
α
π
π
α
α
π
α
π
π
π
α
α α α α α α = = = = = = ≠ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⋅ = =∫
∫
∫
− − − ∞ ∞ − − a a dx F a a a i e e e e i a a e i du e du e u f F a a ia ia ia ia iau a a u i u i Jadi,⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
≠
=
.
0
,
a
2
0
,
)
sin(
2
)
(
α
π
α
α
α
π
α
bila
bila
a
F
Soal - soal
1. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
=
,
,
0
,
,
2
1
)
(
a
x
bila
a
x
bila
a
x
f
di mana a konstanta positif.
2. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
−
=
.
1
,
0
1
,
1
)
(
2x
bila
x
bila
x
x
f
TRANSFORMASI COSINUS FOURIER
Bila f(x) fungsi genap, buktikan bahwa :,
)
cos(
)
(
2
)}
(
{
)
(
0du
u
u
f
x
f
F
c∫
∞=
=
α
π
α
F
dan.
)
cos(
)
(
2
)}
(
{
)
(
0 1α
α
α
π
α
F
x
d
F
x
f
c∫
c ∞ −=
= F
Solusi (a)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ −=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
+
=
=
0 0 0)
cos(
)
(
2
)
(
)
cos(
)
(
2
4
)
cos(
)
(
2
2
1
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
2
1
)]
sin(
)
)[cos(
(
)
(
2
1
)
(
du
u
u
f
F
du
u
u
f
du
u
u
f
du
u
u
f
i
du
u
u
f
du
u
i
u
u
f
du
e
u
f
F
c u i cα
π
α
α
π
α
π
α
α
π
α
α
π
α
αmengingat bahwa
f
(
x
)
cos(
α
x
)
adalah fungsi genap danf
(
x
)
sin(
α
x
)
adalah fungsi ganjil (keduanya terhadap variable x). (b)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − −=
=
=
−
=
−
=
=
0 0 0)
cos(
)
(
2
)
(
)
cos(
)
(
2
4
)
cos(
)
(
2
2
)
sin(
)
(
2
)
cos(
)
(
2
1
)]
sin(
)
)[cos(
(
2
1
)
(
2
1
)
(
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
α
π
α
α
π
αd
x
F
x
f
d
x
F
d
x
F
d
x
F
i
d
x
F
d
x
i
x
F
d
e
F
x
f
c c c c c c x i cmengingat
F
c(
α
)
adalah fungsi genap yaituF
c(
−
α
)
=
F
c(
α
)
untuk tiapα
, di mana f(x) adalah Transformasi cosinus Fourier ( Fourier Cosine Transform )TRANSFORMASI SINUS FOURIER
DefinisiFungsi Fs(
α
) disebut transformasi sinus Fourier dari fungsi danditulis
)
(x
f
{
(
)
}
,
)
(
f
x
F
sα
=
F
s bila∫
∞=
0)
sin(
)
(
2
)
(
f
u
u
du
F
sα
π
α
.Sedangkan fungsi disebut transformasi sinus Fourier inverse dari fungsi
)
(x
f
)
(
α
sF
dan ditulis{
(
)
}
,
)
(
x
s 1F
sα
f
= F
− bila∫
∞=
0)
sin(
)
(
2
)
(
α
α
α
π
F
x
d
x
f
smengingat
F
s(
α
)
adalah fungsi ganjil yaituF
s(
−
α
)
=
−
F
s(
α
)
untuk tiap α ,Contoh-contoh
1. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi
⎩
⎨
⎧
>
<
<
=
.
1
,
0
1
0
,
1
)
(
x
bila
x
bila
x
f
Solusi0
,
2
cos
1
)
1
(cos
1
2
)
(
,
)
0
cos
(cos
1
2
0
1
)
cos(
1
2
)
sin(
0
)
sin(
1
2
)
sin(
)
(
2
)
(
0 1 0 1≠
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
=
=
∫
∫
∫
∞ ∞α
π
α
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
π
α
S SF
u
du
uu
du
uu
du
u
u
f
F
2. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
f
(
x
)
=
e
−x,
x
≥
0
.
Solusi
( )
(
( )
)
(
)
(
)
(
)
⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = − ∞ → − ∞ → − ∞ → ∞ ∞ −∫
∫
∫
2 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 1 1 2 0 1 1 1 0 2 0 sin 0 cos 1 ) sin( ) cos( 1 2 sin ) cos( ) 1 ( 1 2 ) cos( 2 ) cos( 2 ) cos( ) ( 2 ) (lim
lim
lim
α
π
α
π
α
α
α
α
α
α
π
α
α
α
α
π
α
π
α
π
α
π
α
e
e
e
e
e
p p u u du u du u du u u f F p p p u p p u p u cJadi,
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
21
1
2
)
(
α
π
α
cF
Soal - soal 21. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
⎩
⎨
⎧
>
<
<
=
.
1
,
0
1
0
,
1
)
(
x
bila
x
bila
x
f
2. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi-fungsi : (a) f(x)=e-x , x≥ 0
(b) f(x)=e-2x , x ≥ 0.
9. 3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER
Dalam hal ini digunakan notasi)
(
)
(
x
F
α
f
↔
untuk menunjukkan pasangan transformasi
{
}
∫
∞ ∞ −=
=
f
x
f
x
e
dx
F
iαxπ
α
(
)
2
1
)
(
)
(
F
{
}
∫
∞ ∞ − − −=
=
α
α
π
α
αd
e
F
F
x
f
(
)
i x2
1
)
(
)
(
F
1Sifat-sifat Elementer
1. Linieritas
Bila
f
1(
x
)
↔
F
1(
α
)
danf
2(
x
)
↔
F
2(
α
),
maka2 1 2 2 1 1 2 2 1 1
f
(
x
)
a
f
(
x
)
a
F
(
)
a
F
(
),
a
,
a
a
+
↔
α
+
α
konstanta.2. Time-shifting
Bilaf
(
x
)
↔
F
(
α
),
maka.
)
(
)
(
0 0 x ie
F
x
x
f
−
↔
α
α3. Frequency-shifting
Bilaf
(
x
)
↔
F
(
α
),
maka.
)
(
)
(
x
e
−α0↔
F
α
−
α
0f
i x4. Scaling
Bila
f
(
x
)
↔
F
(
α
),
maka untuk konstanta a yang bernilai nyata (real) dan tidak sama dengan nol berlaku.
)
(
1
)
(
a
F
a
ax
f
↔
α
5. Time-reversal
Bilaf
(
x
)
↔
F
(
α
),
maka.
)
(
)
(
−
x
↔
−
F
−
α
f
6. Simetri
Bilaf
(
x
)
↔
F
(
α
),
maka).
(
)
(
x
↔ f
−
α
F
Contoh-contoh
1. Buktikan sifat linieritas di atas.
Solusi
)],
(
[
)]
(
[
)
(
)
(
]
)
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1x
f
a
x
f
a
dx
e
x
f
a
dx
e
x
f
a
dx
e
x
f
a
x
f
a
x
f
a
x
f
a
i x i x i xF
F
F
+
=
+
=
+
=
+
∞ − ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ −∫
∫
∫
α α α di manaa
1
, a
2
kostanta. 2. Buktikan sifat frequency-shifting di atas.Solusi
