BAB V PERHITUNGAN INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL)

143 BAB V

PERHITUNGAN INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL)

Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun dua macam persegi–persegi panjang. Persegi−persegi panjang yang pertama seluruhnya

berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x). Jika disajikan :

mi : luas persegi panjang yang seluruhnya berada di bawah grafik,

Mi : luas persegi panjang yang memuat grafik, maka mi = f(xi) n a b− , i = 1, 2, . . . , n−1, Mi = f(xi+1) n a b− , i = 1, 2, . . . , n−1,

Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b). Selanjutnya, tulis m(n) = − = 1 n 1 i i m , M(n) = − = 1 n 1 i i

M . Jika nilai Limm(n)

n→∞ dan Limn→∞ Mn ada dan

berhingga, maka Lim_n→∞ mn = Lim_n→∞ Mn = b a dx ) x ( f . Formulasi b a dx ) x (

f dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah x = a dan batas atas x = b. Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga formulasinya menjadi f(x)dx, maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu

X y = f(x) . . . x2 x1 xn-1 b=xn X0=a Y Gambar V.1. Konsepsi integral

144

hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.

V.1. Fungsi Primitif

Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial. Sebab untuk keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral terlibat operator diferensial, dx.

Definisi

Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku hubungan ) x ( d ) x ( dF _{= f(x)}

untuk setiap x pada domain y = f(x).

Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab ) x ( d ) x ( dSin _{= Cos x}

Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil berikut ini.

Dalil

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), maka b a dx ) x ( f = F(x)_ab = F(b) – F(a) Bukti Perhatikan Gambar V.1.

Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai

145

sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh formulasi F(b) – F(a) = F(xn) – F(xn-1) + F(xn-1) − . . . − F(x1) + F(x1) − F(x0) = = − − n 1 i i i 1 )} x ( F ) x ( F {

Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F′(x) = f(x), maka y = F(x)

merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil nilai tengah, ada xi, xi-1 < xi < xi, sedemikian rupa sehingga

F(xi) – F(xi-1) = f(xi)(xi – xi-1), atau F(b) – F(a) =

= − − n 1 i i i1 i)(x x ) x ( f ,

sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n → ∞, maka

{

F(b) F(a)

}

Lim n→∞ − = →∞ ₌ − − n 1 i i i1 i n f(x )(x x ) Lim .

Karena F(b) – F(a) sebuah konstanta, maka Lim

{

F(b) F(a)

}

n→∞ − = F(b) – F(a), ada dan

merupakan nilai berhingga. Sehingga

= − ∞ → − n 1 i i i 1 i n f(x )(x x )

Lim juga ada dan berhingga.

Berdasarkan konsepsi integral, maka

= − ∞ → − n 1 i i i 1 i n f(x )(x x ) Lim = b a dx ) x ( f = F(b) – F(a). Contoh 1 Tunjukan bahwa 2 1 xdx = 1 2 1 Jawab :

Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) = 2 1 _x2_{, sebab x}2 2 1 dx d ₌ 2 1_.2.x2-1 _{= x.} Karena F(x) = 2 1 x2, maka = = = = 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( F 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( F 2 2 , sehingga 2 1 xdx = 2 − 2 1 = 1 2 1 .

146 Contoh 2 Hitunglan π 4 1 0 dx ) x ( Cos ! Jawab :

Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga F( 4 1 π) = Sin( 4 1 π) = 2 2 1 f(0) = Sin(0) = 0 π 4 1 0 dx ) x ( Cos = Sin( 4 1 π) − Sin(0) = 2 2 1 _{− 0 = 2} 2 1

Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a dengan b pada integral tentu

b a dx ) x (

f dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk f(x)dx, maka dx ) x ( f = F(x) +k,

dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan. Sebelumnya sudah dikemukan, b

a

dx ) x (

f adalah sebuah konstanta, sedangkan f(x)dx

sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa b a

dx ) x (

f = F(b) – F(a), yang merupakan

147 Contoh 3

Hitunglah

(

x+1

)

dx

2

2 , jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !

Jawab :

Fungsi primitif dari f(x) =

(

_{x 1}

)

2 2 + , x −1 adalah F(x) = x 1 1 x + − , sehingga

(

x+1

)

dx 2 2 = _{x 1} 1 x + − _{+ k}

Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi 1 0 1 0 + − + k = 1 k = 2 Sehingga

(

x+1

)

dx 2 2 = _{x 1} 1 x + − + 2 = 1 x 1 x 3 + +

Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika fungsi diferensiabel, maka integrabel. Sebagai contoh fungsi y = x. Fungsi ini integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat

ditelaah pada fakta, xdx =

< + − > + 0 x , K x 2 1 0 x , K x 2 1 2 2

. Yang berarti integralnya ada, tetapi

h ) 0 ( f ) h 0 ( f 0 hLim − + → − = −1, sedangkan _h ) 0 ( f ) h 0 ( f 0 hLim − + → + = 1. Yang berarti h ) 0 ( f ) h 0 ( f 0 hLim − + → tidak ada.

148 V.2. Dalil dasar tentang integral

Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang integral. 1. kdx = kx + c , k, c : konstanta Bukti

(

kx c

)

dx d _{+ = kx}1-1 _{+ 0 = k} 2. xndx ₌ 1 n 1 + x n+1 _{+ k ; n −1 , k : konstanta} Bukti + +1x + K n 1 dx d n 1 ₌ 1 n 1 + (n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn 3. dx x 1 _{= ln x + k ; k : konstanta} Bukti

(

lnx k

)

dx d _{+ =} x 1 _{+ 0 =} x 1 4. exdx _{= e}x _{+ k ; k : konstanta} Bukti

( )

e k dx d x_{+ = e}x _{+ 0 = e}x

5. Sin(x)dx = −Cos(x) + k, dan Cos(x)dx = Sin(x) + k ; k ; konstanta Bukti

149 6.

(

f(x)+g(x)

)

dx = f(x)dx + g(x)dx Bukti

(

)

(

i 1 i

)

1 n 1 1 i i) g(x ) x x x ( f + ₊ − − = = n 1

( )

(

_{i 1 i}

)

1 1 i) x x x ( f ₊ − − = + n 1

( )

(

_{i 1 i}

)

1 1 i x x x ( g ₊ − − =

(

+

)

(

₊ −

)

− = ∞ → i 1 i 1 n 1 1 i i n f(x ) g(x ) x x Lim = −

( )

(

₊ −

)

= ∞ → i 1 i 1 n 1 1 i n f(x ) x x Lim + −

( )

(

₊ −

)

= ∞ → i 1 i 1 n 1 1 i n g(x ) x x Lim

Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga, maka

(

f(x)+g(x)

)

dx = f(x)dx + g(x)dx

7. kf(x)dx = k f(x)dx Bukti

Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas k buah fungsi f(x)

V.3. Cara menghitung sebuah integral

Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.

1. Integral sebagai sebuah antidiferensial

Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa

(

f(x)dx

)

dx

d _{= f(x). Dari}

pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan

150

sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk integrandnya cukup sederhana.

2. Metode subtitusi

Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya a) Subtitusi aljabar Contoh 4 Hitunglah _(2x−3)e

(

x2−3x+1

)

_dx Jawab : Subtitusikan y = x2 – 3x + 1 dy = (2x – 3)dx dx = 3 x 2 dy −

(

− +

)

−3)e dx x 2 ( x2 3x 1 = − − 3 x 2 dy e ) 3 x 2 ( y _{= e}y_{dy = e}y _{+ k = e}(x² - 3x + 1) _{+ k} Contoh 5 Hitunglah (x+1)Tg(x2 +2x−1)dx Jawab : Subtitusikan y = (x2 + 2x – 1) dy = (2x + 2)dx dx = 2 x 2 dy + = x+1 dy 2 1

Dengan menggunakan dalil 7,

− + +1)Tg(x 2x 1)dx x ( 2 ₌ + + 1 x dy 2 1 ) y ( Tg ) 1 x ( = (Tg(y)dy 2 1 _{= }dy} ) y ( Cos ) y ( Sin 2 1

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

dy } ) y ( Cos ) y ( Sin 2 1 = − z dz 2 1 = −ln(z) + k = −ln{Cos(y)} + k = −ln{Cos(x2 _{+ 2x – 1) + k}

151 Contoh 6 Hitunglah Sec(x)dx ! Jawab : Sec(x) = ) x ( Cos 1 = ) x ( Cos ) x ( Cos 2 = _{1 Sin (x)} ) x ( Cos 2 −

Subtitusikan y = Sin(x) dy = Cos(x)dx Sehingga Sec(x)dx = −Sin (x)dx 1 ) x ( Cos 2 = _1−y2 dy Karena ₂ y 1 1 − = (1 y)(1 y) 1 + − = (12y) 1 − + (12y) 1

+ , dengan menggunakan dalil 6, 7, dan 3,

maka −_y2 1 dy ₌ − y 1 dy 2 1 ₊ + y 1 dy 2 1 _. Menghitung − y 1 dy Subtitusikan z = 1 – y dz = −dy, − y 1 dy = − z dz = −ln(z) + K1 = −ln(1−y) + k1 = −ln{1−Sin(x)} + k1 Menghitung + y 1 dy Subtitusikan z = 1 + y dz = dy + y 1 dy ₌ z dz _{= ln(z) + k} 2 = ln(1+y) + k2 = ln{1+Sin(x)} + k2

152 Sehingga dx ) x ( Sec = 2 1 _{[−ln{1−Sin(x)} + k} 1] + 2 1 _{[ln{1+Sin(x)} + k} 2] = − 2 1 ln{1−Sin(x)} + 2 1 ln{1+Sin(x)} + k = − + ) x ( Sin 1 ) x ( Sin 1 ln 2 1 + k, dengan k = 2 1 _k 1 + 2 1 _k 2. b) Subtitusi goniometri

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk _a2 _−x2 _{, a}2 _+x2 _{, x}2 _−a2 _, a2 – x2, a2 + x2, atau x2 – a2; a 0.

Bentuk subtitusinya,

1) untuk bentuk _a2 _−x2 _{atau a}2 _{– x}2

x = aSin(y) dx = aCos(y)dy , y = arc Sin a

x _{, atau}

x = aCos(y) dx = −aSin(y)dy , y = arc Cos

a x Contoh 7 Hitunglah − + dx x 4 1 x 2 Jawab :

Subtitusikan x = 2Sin(y) dx = 2Cos(y)dy y = arc Sin

2 x

153 − + dx x 4 1 x 2 = ₋ + dy ) y ( Cos 2 ) y ( Sin 4 4 1 ) y ( Sin 2 2 = + dy ) y ( Cos 2 ) y ( Cos 2 1 ) y ( Sin 2

=

(

2Sin(y)+ dy1

)

= 2 Sin(y)dy + dy = −2Cos(y) + y + k

= −2Cos

2 x

arcSin + arc Sin 2 x _{+ k}

2) untuk bentuk _a2 _+x2 _{atau a}2 _{+ x}2 x = aTg(y) dx = aSec2_(y)dy

y = arc Tg a x Contoh 8 Hitunglah +x dx 9 x 1 2 Jawab :

Subtitusikan x = 3Tg(y) dx = 3Sec2(y)dy y = arc Tg 3 x +x dx 9 x 1 2 = _{3Tg(y) 9+9Tg (y)}3Sec (y)dy 1 2 2 = _{3Tg(y)3Sec(y)}3Sec (y)dy 1 2 = dy ) y ( Tg ) y ( Sec 3 1 = dy ) y ( Sin 1 3 1 = dy ) y ( Sin ) y ( Sin 3 1 2 = _{1−Cos (y)}dy ) y ( Sin 3 1 2

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

154 −Cos (y)dy 1 ) y ( Sin 2 = _1−z dz 1 2 = ₁₋2_zdz 1 + +zdz 12 1 = − 2 1 _ln(1−z)+ 2 1 _ln(1+z)+k = 2 1 _ln − + z 1 z 1 _{+ k =} 2 1 _ln − + ) y ( Cos 1 ) y ( Cos 1 _{+ k} +x dx 9 x 1 2 = 3 1 _{ 2 1 _ln − + ) y ( Cos 1 ) y ( Cos 1 + k} = 6 1 _ln − + 3 x arcTg Cos 1 3 x arcTg Cos 1 + k

3) untuk bentuk _x2 _−a2 _{atau x}2 _{– a}2

x = aSec(y) dx = aSec(y)Tg(y)dy y = arc Sec a x Contoh 9 Hitunglah − dx x 4 x 3 2 Jawab :

Subtitusikan x = 2Sec(y) dx = 2Sec(y)Tg(y)dy y = arc Sec 2 x − dx x 4 x 3 2 = − 2Sec(y)Tg(y)dy ) y ( Sec 8 4 ) y ( Sec 4 3 2 = Tg(y)dy ) y ( Sec 4 ) y ( Tg 2 2 2 = dy ) y ( Cos ) y ( Sin 2 1 3 =

(

−

)

dy ) y ( Cos ) y ( Cos 1 ) y ( Sin 2 1 2

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

155

(

−

)

dy ) y ( Cos ) y ( Cos 1 ) y ( Sin 2 = −

(

−

)

dz z z 1 2 = − dz z 1 _{+ zdz = −ln(z) +} 2 1 _z2 _{+ k} = −ln(Cos(y)) + 2 1 _Cos2_{(y) + k} − dx x 4 x 3 2 = 2 1 _{{−ln(Cos(y)) +} 2 1 _Cos2_{(y) + k}} = − 2 1 _{ln(Cos(y)) +} 4 1 _Cos2_{(y) + k} = − 2 1 _ln 2 x arcSec Cos + 4 1 _Cos2 2 x arcSec + k

c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik ax2 + bx + c. Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan

1) Merubah bentuk kuadratik ax2_{+bx+c menjadi perjumlahan dua suku kuadrat} (Ax)2+B2 , sebagai berikut

ax2+bx+c = a(x2+ a b x+ a c ) = a{(x+ a 2 b )2+ a c − 2₂ a 4 b } = a{(x+ a 2 b )2+ 2 2 a 2 b ac 4 − } 2) Subtitusikan y = x + a 2 b _{dy = dx} x = y − a 2 b Contoh 10 Hitunglah + − + dx 1 x x 2 2 x 2 ! Jawab :

156 2x2 _{– x + 1 = 2{(x +} ) 2 ( 2 ) 1 (− )2 ₊ 2 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 1 )( 2 ( 4 − − = 2{(x − 4 1₎2 ₊ 2 2 3 _} Subtitusikan : y = x − 4 1 _{dy = dx} x = y − 4 1 + − + _dx 1 x x 2 2 x 2 = + + − dy 2 3 y 2 2 4 1 y 2 2 = + dy 2 3 y y 2 1 2 2 + + dy 2 3 y 1 8 7 2 2 Menghitung integral + dy 2 3 y y 2 2 Subtitusikan z = y2 dz = 2ydy + dy 2 3 y y 2 2 = + 4 9 z dz 2 1 = + dz 4 9 z 1 2 1 = 2 1 ln + 4 9 z +k1 = 2 1 ln + 4 9 y2 _+k 1 = 2 1 ln − + 4 9 4 1 x 2 + k1 = 2 1 ln − + 16 37 x 2 1 x2 _{+ k} 1 Menghitung integral + dy 2 3 y 1 2 2 Subtitusikan y = 2 3_{Tg(z) dy =} 2 3_Sec2_(z)dz z = arc Tg 3 y 2 Sehingga

157 + dy 2 3 y 1 2 2 = + dz ) z ( Sec 2 3 4 9 ) z ( Tg 4 9 1 2 2 = Sec (z)dz 2 3 ) z ( Sec 4 9 1 2 2 = dz 3 2 = 3 2 z + k2 = 3 2 arc Tg 3 y 2 + k2 = 3 2 arc Tg − 3 4 1 x 2 + k2 = 3 2 arc Tg − 6 1 x 4 + k2 + − + dx 1 x x 2 2 x 2 = ₂ 1 2 1_{ln − +} 16 37 x 2 1 x2 ₊ 8 7 3 2_{arc Tg} − 6 1 x 4 _{+ k} = 4 1 ln − + 16 37 x 2 1 x2 ₊ 12 7 arc Tg − 6 1 x 4 _{+ k} d) Subtitusi rasionalisasi

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, n _{ax+ , n > 2. b} Prosesnya, subtitusikan y = n _{ax+ , sehingga b}

yn = ax + b x = a b yn ₋ dx = a n y(n−1)dy Contoh 11 Hitunglah x3 x+ dx4 _! Jawab : Berdasarkan paparan, y = 3 _{x+4 x = y}3_{− 4 dx = 3y}2_dy + dx4 x x3 ₌

(

_y3 ₋₄

)

_(y)(3y2_{dy) = 3 y}6_{dy = 3}

(

_y6 _−4y3

)

_{dy = 3 y}6_{dy − 12 y}3_dy = 7 3_y7₋ 4 12_y4 _{+ k =} 7 3

₍

₃

₍

₎

₎

7 4 x+ − 3

(

3

(

_x+4

)

)

4+ k = 7 3 (x + 4)23 _{x+4− 3(x + 4)} 3 _{x+4+ k}

158 3. Integral Parsial Konsepsinya ) x ( dg ) x ( f = f(x)g(x) − g(x)df(x).

Dalam hal ini bentuk integral g(x)df(x) harus lebih sederhana dari f(x)dg(x). Contoh 12 Hitunglah xln(x)dx ! Jawab : f(x) = ln(x) df(x) = x 1 dx dg(x) = xdx g(x) = xdx= 1 2 1 1 + 1 2 1 x + = 3 2 ₂3 x

(konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir) dx ) x ln( x = {ln(x)}( 3 2 ₂3 x ) − dx x 1 x 3 2 ₂3 ₌ 3 2 ₂3 x ln(x) − x −dx 3 2 1 2 3 = 3 2 _{x ln(x) 2}3 ₋ 3 2 3 2 _{x + k = 2}3 3 2 _{x (ln(x) 2}3 ₋ 3 2_{) + k} Contoh 13 Hitunglah Sin

(

ln(x)

)

dx ! Jawab : Subtitusikan : ln(x) = y x = ey _{, dy = dx} x 1 _{dx = xdy = e}y_dy

Sehingga Sin

(

ln(x)

)

dx= Sin(y)eydy _{= e}y_Sin(y)dy f(y) = Sin(y) df(y) = Cos(y)dy

159 dy ) y ( Sin

ey _{= {Sin(y)}{e}y_{} − {e}y_{}Cos(y)dy = e}y_{Sin(y) − e}y_Cos(y)dy Menghitung integral eyCos(y)dy

f(y) = Cos(y) df(x) = −Sin(y)dy

dg(y) = eydy g(y) = eydy _{= e}y dy ) y ( Cos

ey _{= {Cos(y)}{e}y_{} − {e}y_{}{−Sin(y}}dy = e}y_{Cos(y) + e}y_Sin(y}dy Sehingga dy ) y ( Sin

ey _{= e}y_{Sin(y)−{ e}y_{Cos(y)+ e}y_{Sin(y}dy} = e}y_Sin(y)−ey_{Cos(y)− e}y_Sin(y}dy 2 eySin(y)dy _{= e}y_{Sin(y) − e}y_Cos(y)

(

ln(x)

)

dx

Sin = eySin(y)dy ₌ 2

1_{{ e}y_{Sin(y) − e}y_{Cos(y)} + k}

4. Integral partisi

Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi rasional). Proses yang harus dilakukan,

1) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses pembagian, sehingga diperoleh suku sisa.

2) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya lakukan proses kesamaan pada pembilang.

3) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi. Contoh 14. Hitunglah + − − + − _dx 2 x 3 x 1 x x 2 x 2 2 3 ! Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya 1) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa

2 x 3 x 1 x x 2 x 2 2 3 + − + + − _{= (x + 1) +} 2 x 3 x 1 x 2 2 _{− +} −

160 2) Mempartisi suku sisa

2 x 3 x 1 x 2 2 _{− +} − = ) 2 x )( 1 x ( 1 x 2 − − − = 1 x A − + x 2 B − = (x 1)(x 2) ) 1 x ( B ) 2 x ( A − − − + − = ) 2 x )( 1 x ( ) B A 2 ( x ) B A ( − − + − +

Pada kesamaan ini, A + B = 2 dan 2A + B = 1. Jika diselesaikan, akan diperoleh A = −1,

B = 3, sehingga 2 x 3 x 1 x 2 2 _{− +} − = 1 x 1 − − + 2 x 3 −

3) Proses integral partisi

+ − − + − dx 2 x 3 x 1 x x 2 x 2 2 3 = (x+ dx1) + − − dx 1 x 1 + −2dx x 3 = xdx + dx + − − dx 1 x 1 ₊ −2dx x 3 ₌ 2 1 _x2 _{+ x – ln(x−1) + 3ln(x−2) + k} Contoh 15 Hitunglah + − − + − dx 2 x 3 x 2 1 x x 2 x 2 2 3 ! Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat difaktorkan, sebab diskriminannya, D < 0, maka proses perhitungannya

1) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa

2 x 3 x 2 1 x x 2 x 2 2 3 + − − + − = − 4 1 x 2 1 ₊ 2 x 3 x 2 2 3 x 4 3 2 _{− +} − − = − 4 1 x 2 1 ₋ + − + 2 x 3 x 2 2 x 4 3 2

161 2) Mempartisi bentuk integral

+ − − + − dx 2 x 3 x 2 1 x x 2 x 2 2 3 = dx 4 1 x 2 1 − − dx 2 x 3 x 2 2 x 4 3 2 _{− +} + = xdx 2 1 ₋ dx 4 1 ₋ dx 2 x 3 x 2 2 x 4 3 2 _{− +} + = xdx 2 1 _{− dx} 4 1 _{− dx} 2 x 3 x 2 x 4 3 2 _{− +} − _{2x 3x 2}dx 2 4 3 2 _{− +} = 4 1_x2₋ 4 1_{x − dx} 2 x 3 x 2 x 4 3 2 _{− +} − ₂ 3 _dx 2 x 3 x 2 1 2 _{− +} Menghitung integral dx 2 x 3 x 2 1 2 _{− +}

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 2x2–3x+2 = 2(x2− 2 3_{x+1) = 2{(x−} 4 3₎2₋ 16 9 _{+1} = 2{(x−} 4 3₎2₊ 16 7 _} = 2{(x− 4 3₎2₊ 2 4 7 _} (2) Subtitusikan, x− 4 3 _{= y dy = dx} x = y + 4 3 (3) dx 2 x 3 x 2 1 2 _{− +} = dy 4 7 y 2 1 2 2₊ = 2 1 _dy 4 7 y 1 2 2 ₊ = 2 1 _{arc Tg} 7 y 4 _+k 1 = 2 1_{arc Tg} − 7 3 x 4 _{+ k} 1

162 Menghitung integral dx 2 x 3 x 2 x 2 _{− +}

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 2x2–3x+2 = 2(x2− 2 3 x+1) = 2{(x− 4 3 )2− 16 9 +1} = 2{(x− 4 3 )2+ 16 7 } = 2{(x− 4 3₎2₊ 2 4 7 _} (2) Subtitusikan, x− 4 3 _{= y dy = dx} x = y + 4 3 (3) dx 2 x 3 x 2 x 2 _{− +} = dy 4 7 y 2 4 3 y 2 2₊ + = dy 4 7 y y 2 1 2 2 ₊ + dy 4 7 y 1 8 3 2 2 ₊ Menghitung integral dy 4 7 y y 2 2 ₊ Subtitusikan y2 + 2 4 7 _{= y}2 ₊ 16 7 _{= z dz = 2ydy} dy 4 7 y y 2 2 ₊ = dz z 2 1 = 2 1

_{{ }}

_ln

_{( )}

_{z + k} 2 = 2 1_{ln +} 16 7 y2 _{+ k} 2

163 Menghitung integral dy 4 7 y 1 2 2 ₊ Subtitusikan y = 4 7 Tg(z) dy = 4 7 Sec2(z)z dy 4 7 y 1 2 2 ₊ = Sec (z)dz 4 7 16 7 ) z ( Tg 16 7 1 2 2 ₊ = Sec (z)dz 4 7 ) z ( Sec 16 7 1 2 2 = dz = z = arc Tg 7 y 4 Sehingga dx 2 x 3 x 2 x 2 _{− +} = ₂ 1 ln + 16 7 y2 ₊ 4 3 arc Tg 7 y 4 + k3 = 2 1_{ln − +} 16 7 4 3 x 2 + 4 3 _{arc Tg} − 7 4 3 x 4 + k3 = 2 1_{ln − −} 16 2 x 16 9 x2 ₊ 4 3 _{arc Tg} − 7 3 x 4 _{+ k} 3 Sehingga + − − + − dx 2 x 3 x 2 1 x x 2 x 2 2 3 = 4 1 x2− 4 1 x − 4 3 { 2 1 ln − − 16 2 x 16 9 x2 ₊ 4 3 arc Tg − 7 3 x 4 } − 2 3 {arc Tg − 7 3 x 4 } + k = 4 1 x2− 4 1 x − 8 3 ln − − 16 2 x 16 9 x2 ₋ 4 15 arc Tg − 7 3 x 4 + k

164 Contoh 16 Hitunglah − − + dx x 3 x 2 x 3 x 5 2 3 ! Jawab :

Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor, sehingga proses perhitungannya

1) Mempartisi integrand x 3 x 2 x 3 x 5 2 3 _{− −} + = ) 3 x 2 x ( x 3 x 5 2 _{− −} + = ) 1 x )( 3 x ( x 3 x 5 + − + = x A ₊ 3 x B − + x 1 C + = ) 1 x )( 3 x ( x ) 3 x ( Cx ) 1 x ( Bx ) 1 x )( 3 x ( A + − − + + + + − = ) 1 x )( 3 x ( x Cx 3 Cx Bx Bx A 3 Ax 2 Ax2 2 2 + − − + + + − − = ) 1 x )( 3 x ( x ) A 3 ( x ) C 3 B A 2 ( x ) C B A ( 2 + − − + − + − + + +

Dari kesamaan diperoleh, A + B + C = 0, −2A + B – 3C = 5, −3A = 3. Jika dihitung,

maka : A = −1 , B = − 2 1 _{, C =} 2 3 2) Integral partisinya − − + dx x 3 x 2 x 3 x 5 2 3 = − dx x 1 + − − dx 3 x 2 1 + +1dx x2 3 = −ln(x) − 2 1_{ln(x–3) +} 2 3_{ln(x+1) + k}

165 Contoh 17 Hitunglah − + − + dx 4 x 3 x 1 x 3 x 5 2 3 2 ! Jawab :

Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya 1) Mempartisi bentuk integrand

4 x 3 x 1 x 3 x 5 2 3 2 − + − + = 2 ₂ ) 2 x )( 1 x ( 1 x 3 x 5 + − − + = 1 x A − + x 2 B + + _{(x 2)}2 C + = 2 ₂ ) 2 x )( 1 x ( ) 1 x ( C ) 2 x )( 1 x ( B ) 2 x ( A + − − + + − + + = 2 2 ₂ ) 2 x )( 1 x ( ) 1 x ( C ) 2 x x ( B ) 4 x 4 x ( A + − − + − + + + + = 2 ₂ ) 2 x )( 1 x ( ) C B 2 A 4 ( x ) C B A 4 ( x ) B A ( + − − − + + + + +

Dari kesamaan disimpulkan, A + B = 5 , 4A + B + C = 3 , 4A – 2B – C = −1. Jika

dihitung, diperoleh A = 93 29 _{, B =} 93 46 _{, C =} 31 39 2) Integral partisinya − + − + dx 4 x 3 x 1 x 3 x 5 2 3 2 = −1dx x93 29 + +2dx x93 46 + +2) dx x ( 31 39 2 = −1dx x 1 93 29 + +2dx x 1 93 46 + +2) dx x ( 1 31 39 2 = 93 29_{ln(x – 1) +} 93 46_{ln(x + 2) +} 31 39_{.(−2 + 1)(x + 2)}−2+1 _{+ k} = 93 29 ln(x – 1) + 93 46 ln(x + 2) − 31 39 2 x 1 + + k = ) 2 x ( 93 117 ) 2 x ln( ) 2 x ( 46 ) 1 x ln( ) 2 x ( 29 + − + + + − + + k

166 5. Integral fungsi goniometri

Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus. Bentuk-bentuk tesebut diantaranya :

1) Sinn(x)dx _{atau Cos}n_(x)dx

Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil.

a) Jika n bilangan ganjil, maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi Sinn-1(x)Sin(x), dan Cosn(x) menjadi Cosn-1(x)Cos(x) (2) Gunakan hubungan Sin2_{(x) + Cos}2_{(x) = 1}

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x) Contoh 18 Hitunglah Sin7(x)dx Jawab dx ) x (

Sin7 _{= Sin}6_{(x)Sin(x)dx =}

(

_Sin2_(x)

)

3_{Sin(x)dx =}

(

_1−Cos2_(x)

)

3_Sin(x)dx =

(

1−3Cos2(x)+3

(

Cos2(x)

) (

2 − Cos2(x)

)

3

)

Sin(x)dx

Subtitudikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx dx ) x ( Sin7 ₌

(

_1−3y2 _+3y4 _−y6

)

_{dy = y – y}3 ₊ 5 3_y5 _– 7 1_y7 _{+ k} = Cos(x) – Cos3(x) + 5 3 Cos5(x) – 7 1 Cos7(x) + k

b) Jika n genap maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi (Sin2(x))n/2, dan Cosn(x) menjadi (Cos2(x))n/2 (2) Gunakan hubungan Sin2(x) =

2 1 (1 – Cos(2x)), Cos2(x) = 2 1 (1 + Cos(2x)) Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)

167 Contoh 19 Hitunglah π 4 1 0 6_(x)dx Cos ! Jawab Cos6(x) = (Cos2(x))3 = ( 2 1 (1 + Cos(2x)))3 = 8 1

(1 + 3Cos(2x) + 3Cos2(2x) + Cos3(2x))

= 8 1 + 8 3 Cos(2x) + 8 3 ( 2 1 (1 + Cos(2x))) + 8 1 Cos2(2x)Cos(2x) = 8 1 ₊ 8 3_{Cos(2x) +} 8 3₍ 2 1_{(1 + Cos(2x))) +} 8 1_{( 1 − Sin}2_(2x))Cos(2x) Subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 2 1_dy x = 0 y = 0 , x = 4 1 π y = 2 1 π Sehingga π 4 1 0 6_(x)dx Cos = π 2 1 0 dy 2 1 8 1 ₊ 2π 1 0 dy 2 1 ) y ( Cos 8 3 ₊ 2π 1 0 dy 2 1 16 3 ₊ 2π 1 0 dy 2 1 ) y ( Cos 16 3 + π 2 1 0 dy 2 1 ) y ( Cos 8 1 ₋ 2π 1 0 2 _dy 2 1 ) y ( Cos ) y ( Sin = 16 1 π 2 1 0 y + 16 3 π 2 1 0 ) y ( Sin + 32 3 π 2 1 0 y + 32 3 π 2 1 0 ) y ( Sin + 16 1 π 2 1 0 ) y ( Sin − 2 1 2π

₍

₎

1 0 2_(y)dSin(y) Sin = 16 1 ₍ 2 1 π − 0) + 16 3 _(Sin( 2 1 π) – Sin(0)) + 32 3 ₍ 2 1 π − 0) + 32 3 _(Sin( 2 1 π) – Sin(0)) + 16 1 (Sin( 2 1 π) – Sin(0)) − 2 1 3 1 (Sin3( 2 1 π) − Sin3₍₀₎₎ = 32 1 ₊ 16 3 ₊ 64 3 ₊ 32 3 ₊ 16 1 ₋ 6 1 ₌ 192 113

168 2) Sinm(x)Cosn(x)dx

Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk 1), yaitu

a) Sajikan Sinm(x) = Sinm-1(x)Sin(x), jika n ganjil, dan Sinm(x) = (Sin2(x))m/2, jika m genap analog Cos(x)n = Cos(x)n-1Cos(x), jika n ganjil, dan Cosn(x) = (Cos2(x))n/2, jika n genap b) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1, jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau

Sin2_{(x) =} 2

1_{(1 – Cos(2x)), Cos}2_{(x) =} 2

1_{(1 + Cos(2x)), jika m dan n genap.}

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x) Contoh 20

Hitunglah Sin3(x)Cos4(x)dx _! Jawab :

Sin3(x)Cos4(x) = Sin2(x)Sin(x)Cos4(x) = (1 – Cos2(x))Sin(x)Cos4(x) = (Cos4(x) – Cos6(x))Sin(x)

sehingga dx ) x ( Cos ) x (

Sin3 4 _{= (Cos}4_(x)−Cos6_(x))Sin(x)dx = Cos4(x)Sin(x)dx _{− Cos}6_(x)Sin(x)dx

subtitusikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx dx ) x ( Cos ) x ( Sin3 4 _{= y}4_{dy − y}6_{dy =} 5 1_y5₋ 7 1_y7 _{+ K =} 5 1_Cos5_{(x) −} 7 1_Cos7_{(x) + k} Contoh 21

Hitunglah Sin4(x)Cos6(x)dx _! Jawab :

Sin4_(x)Cos6_{(x) = {Sin}2_(x)}2_Cos6 _{= {1−Cos}2_(x)}2_Cos6_{(x) = {1−2Cos}2_(x)+Cos4_(x)}Cos6_(x) = Cos6(x)−2Cos8_(x)+Cos10_{(x) = {Cos}2_(x)}3_{− 2{Cos}2_(x)}4 _{+ {Cos}2_(x)}5

= [ 2 1_{{1 + Cos(2x)}]}3_{− 2[} 2 1_{{1 + Cos(2x)}]}4 _{+ [} 2 1_{{1 + Cos(2x)}]}5

169 = 8 1 {1+3Cos(2x)+3Cos2(2x)+Cos3(2x) − 8 1

{1+4Cos(2x)+6Cos2(2x)+4Cos3(2x)+Cos4(2x)}

+ 32

1 _{{1+5Cos(2x)+10Cos}2_(2x)+10Cos3_(2x)+5Cos4_(2x)+Cos5_(2x)}

= 32 1 ₋ 32 3 _{Cos(2x) −} 16 1 _Cos2_{(2x) −} 16 1 _Cos3_{(2x) +} 32 1 _Cos4_{(2x) +} 32 1 _Cos5_(2x) sehingga dx ) x ( Cos ) x ( Sin4 6 _{= dx} 32 1 ₋ dx ) x 2 ( Cos 32 1 ₋ dx ) x 2 ( Cos 16 1 3 _{+ Cos (2x)dx} 32 1 4 + Cos (2x)dx 32 1 5 subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 2 1_dy dx ) x ( Cos ) x ( Sin4 6 ₌ 32 1 x − 64 1 Sin(y) − 32 1 dy ) y ( Cos ) y ( Cos2 ₊ 64 1 dy )} y ( Cos { 2 2 + 64 1 _{Cos2_(y)}2_Cos(y)dy = 32 1 _{x −} 64 1 _{Sin(2x) −} 32 1 _{1−Sin2_{(y)}Cos(y)dy+} 64 1 _{{1+Cos(2y)}] dy} 2 1 [ 2 + 64 1 ₋ dy ) y ( Cos )} y ( Sin 1 { 2 2 = 32 1 _{x −} 64 1 _{Sin(2x) −} 32 1 _{Sin(y)− 3 1_Sin3_{(y)} +} 256 1 _{{1+2Cos(2y)+Cos}2_(2y)dy + 64

1 _{1−2Sin2_(y)+Sin4_{(y)}Cos(y)dy + k}

= 32 1 x − 64 1 Sin(2x) − 32 1 Sin(2x) − 96 1 Sin3(2x) + 256 1 {y+Sin(2y)+ {1+Cos(4y)}dy 2 1 } + 64 1 _{Sin(y)− 3 2_Sin3_(y)+ 5 1_Sin5_{(y)} + k}

170 = 32 1 x − 64 1 Sin(2x) − 32 1 Sin(2x) − 96 1 Sin3(2x) + 256 1 {2x+Sin(4x)+ 2 1 y+ 8 1 Sin(4y)} + 64 1 _{Sin(2x) −} 96 1 _Sin3_{(2x) +} 320 1 _Sin5_{(2x) + k} = 32 1 x − 64 1 Sin(2x) − 32 1 Sin(2x) − 96 1 Sin3(2x) + 128 1 x + 256 1 Sin(4x) + 256 1 x + 2048 1 _{Sin(8x) +} 64 1 _{Sin(2x) −} 96 1 _Sin3_{(2x) +} 320 1 _Sin5_{(2x) + k} = 256 11 _{x −} 32 1 _{Sin(2x) +} 256 1 _{Sin(4x) +} 2048 1 _{Sin(8x) −} 48 1 _Sin3_{(2x) +} 320 1 _Sin5_{(2x) + k} 3) Tgn(x)dx _{atau Ctg}n_(x)dx

Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan (1) Tgn(x) = Tg2(x)Tgn-2(x) , Ctgn(x) = Ctg2(x)Ctgn-2(x),

(2) Menggunakan hubungan Tg2(x) = Sec2(x) – 1, Ctg2(x) = Cosec2(x) – 1. Sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x).

Contoh 22

Hitunglah Tg6(x)dx _! Jawab :

Tg6_{(x) = Tg}2_(x)Tg4_{(x) = {Sec}2_{(x) – 1}Tg}4_{(x) = Sec}2_(x)Tg4_{(x) – Tg}4_(x) = Sec2_(x)Tg4_{(x) – Tg}2_(x)Tg2_{(x) = Sec}2_(x)Tg4_{(x) – {Sec}2_{(x) – 1}Tg}2_(x)

= Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Sec2(x) – 1 subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2(x)dx , sehingga

dx ) x ( Tg6 _{= y}4_{dy − y}2_{dy + dy − dx =} 5 1 Tg5(x) − 3 1 Tg3(x) + Tg(x) – x + k.

171 Soal 23 Hitunglah Ctg7(x)dx Jawab : Ctg7(x) = Ctg2(x)Ctg5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Cosec2Ctg(x) + Ctg(x)

subtitusikan y = Ctg(x) dy = −Cosec2_{(x)dx, sehingga} dx ) x ( Ctg7 _{= − dyy}3 _{− − ydy + Ctg(x)dx = −} 4 1 Ctg4(x) + 2 1 Ctg2(x) + ln{Sin(x)} + k Catatan : dx ) x ( Ctg = dx ) x ( Sin ) x ( Cos _{= dSin(x)x} ) x ( Sin 1 _{= ln{Sin(x)} + k}

4) Tgm(x)Secn(x)dx _{atau Ctg}m_(x)Cosecn_(x)dx

Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau. a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis

Secn(x) = Sec2(x)Secn-2(x) = {1 + Tg2(x)}Secn-2(x),

Cosecn_{(x) = Cosec}2_(x)Cosecn-2_{(x) = {1 + Ctg}2_(x)}Cosecn-2_(x) sehingga diperoleh bangun Tgk_(x)Sec2_(x)

Contoh 24

Hitunglah Tg5(x)Sec6(x)dx _! Jawab :

Tg5(x)Sec6(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec4(x) = Tg5(x)Sec4(x) + Tg7(x)Sec4(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) + Tg7(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x)

= Tg5(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x) = Tg5(x)Sec2(x) +2Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x)

Subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2_{(x)dx , sehingga} dx ) x ( Sec ) x ( Tg5 6 _{= y}5_{dy + 2 y}7_{dy + y}9_{dy =} 6 1_Tg6_{(x) +} 4 1_Tg8_{(x) +} 10 1 _Tg10_{(x) + k}

172 b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis

Tgm(x) = Tg2(x)Tgm-2(x) = {Sec2(x) – 1}Tgm-2(x) Ctgm(x) = Ctg2(x)Ctgm-2(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctgm-2(x) sehingga diperoleh bangun Coseck(x){Ctg(x)Cosec(x)} Contoh 25

Hitunglah Ctg7(x)Cosec3(x)dx _! Jawab :

Ctg7_(x)Cosec3_{(x) = {Cosec}2 _{– 1}Ctg}5_(x)Cosec5_(x) = {Cosec2_{(x) – 1}Ctg}4_(x)Cosec4_{(x){Ctg(x)Cosec(x)}}

= {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec2(x) – 1}2{Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec6_{(x) – Cosec}4_(x)}{Cosec4_{(x) – 2Cosec}2_{(x) + 1}{Ctg(x)Cosec(x)}} = {Cosec10(x) – 3Cosec8(x) + 3Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Ctg(x)Cosec(x)} = Cosec10(x){Ctg(x)Cosec(x)} – 3Cosec8(x){Ctg(x)Cosec(x)}

+ 3Cosec6(x){Ctg(x)Cosec(x)} – Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)} subtitusikan y = Cosec(x) dy = Ctg(x)Cosec(x)dx

sehingga dx ) x ( sec Co ) x ( Ctg7 3 _{= y}10_{dy − 3 y}8_{dy + 3 y}6_{dy − y}4_dy = 11 1 _Cosec11_{(x) −} 3 1_Cosec9_{(x) +} 7 3_Cosec7_{(x) −} 5 1_Cosec5_{(x) + k}

5) Sin(mx)Sin(nx)dx atau Sin(mx)Cos(nx)dxatau Cos(mx)Cos(nx)dx. Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan

Sin(mx)Cos(nx) = 2 1 [Sin{(m+n)x} + Sin{(m−n)x}] Sin(mx)Sin(nx) = − 2 1_{[Cos{(m+n)x} – Cos{(m−n)x}]} Cos(mx)Cos(nx) = 2 1_{[Cos{(m+n)x} + Cos{(m−n)x}]}

173 Sehingga diperoleh bentuk Sin(kx) atau Cos(kx) Contoh 26

Hitunglah Sin(5x)Sin(6x)dx ! Jawab : Sin(5x)Sin(6x) = − 2 1_{Cos(11x) – Cos(−x)} = −} 2 1_{Cos(11x) +} 2 1_Cos(x) sehingga dx ) x 6 ( Sin ) x 5 ( Sin = − 2 1 dx ) x 11 ( Cos + 2 1 dx ) x ( Cos = − 22 1 Sin(11x) + 2 1 Sin(x) + k

6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional

Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan x = yn_{, dengan n merupakan kelipatan} persekutuan terkecil dari penyebut pangkat.

Contoh 27 Hitunglah dx x x x 1 4 3 2 ₋ − ! Jawab : 4 3 _x2 _x x 1 − − = 4 1 3 2 2 1 x x x 1 − − Subtitusikan x = y12 dx = 12y11dy , y = 12_x Sehingga dx x x x 1 4 3 2 ₋ − = 12y dy y y y 1 11 3 8 6 − − = 12 dy y y y y 3 8 17 11 − − = 12 dy 1 y y y 5 14 8 − − = 12 dy 1 y y y y y y y9 4 3 4₅ 3 − + + + + − − = −12 y9dy _{− 12 y}4_{dy + 12 y}3_{dy + 12 y + 12dy dy} 1 y y 5 4 − + 12 y 1dy y 5 3 −

174 = − 5 6_y10₋ 5 12_y5 _{+ 3y}4 _{+ 6y}2 ₊ 5 12_ln(y5_{−1) + 12 dy} 1 y y 5 3 − = − 5 6 12_x10 ₋ 5 1212_{x + 3}5 12_{x + 6}4 12_{x +} 2 5 12_ln(12_{x -1) + 12}5 _dy 1 y y 5 3 − = − 5 6 6 _x5 ₋ 5 1212_{x + 3}5 3 _{x+ 6}6 _{x +} 5 12_ln(12_{x -1) + 12}5 _dy 1 y y 5 3 − Menghitung integral dy 1 y y 5 3 − : 1 y y 5 3 − = (y 1)(y y y y 1) y 2 3 4 3 + + + + − = y51 1 − + y y y y 15 1 y 5 2 y 5 3 y 5 1 2 3 4 2 3 + + + + + + + − = −1 y 1 5 1 + + + + + + + + 1 y y y y 1 y 2 y 3 y 4 5 1 2 3 4 2 3 − 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + Sehingga dy 1 y y 5 3 − = y 1 dy 1 5 1 − + y y y y 1 dy 1 y 2 y 3 y 4 5 1 2 3 4 2 3 + + + + + + + ₋ dy 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + = 5 1_{ln(y−1) +} 5 1_ln(y4_+y3_+y2_{+y+1) − dy} 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + = 5 1_ln(12_x−1)+ 5 1_ln(12_{x +}4 12_{x +}3 12_{x +}2 12_{x+1) − dy} 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + = 5 1_ln(12_x−1)+ 5 1_ln(3 _{x +}4 _x+6 _{x +}12_{x+1) − dy} 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + Karena integral dy 1 y y y y y 2 3 4 3 + + +

+ jika dihitung secara “manual”, tidak sederhana,

175 Hasilnya : dy 1 y y y y y 2 3 4 3 + + + + = 4 1 ln{2y2+(1− 5 )y+2}− 20 5 ln{2y2+(1− 5 )y+2}− 5 2 10 5 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( y 4 5 − 5 2 10 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( y 4 ₊ 4 1 ln{2y2+(1+ 5 )y+2}+ 20 5 ln{2y2+(1+ 5 )y+2} + 5 2 10 5 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( y 4 5 − 5 2 10 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( y 4 = 4 1_ln{212_{x +(1}2 _{− 5 )}12_{x+2} −} 20 5_ln{212_{x +(1}2 _{− 5 )}12_x+2} − 5 2 10 5 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 412 + 4 1 _ln{212_{x +(1+ 5 )}2 12_{x+2} +} 20 5 _ln{212_{x +(1+ 5 )}2 12_x+2} + 5 2 10 5 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 412 = 4 1_ln{26 _{x +(1− 5 )}12_{x+2} −} 20 5_ln{26 _{x +(1− 5 )}12_x+2} − 5 2 10 5 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 412 + 4 1 _ln{26 _{x +(1+ 5 )}12_{x+2} +} 20 5 _ln{26 _{x +(1+ 5 )}12_x+2} + 5 2 10 5 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 412

176 Sehingga dx x x x 1 4 3 2 ₋ − = − 5 6 6 _x5 ₋ 5 12 12_{x + 3}5 3 _{x + 6}6 _x+ 5 12_ln(12_{x -1)} 5 + 12[ 5 1_ln(12_{x−1) +} 5 1_ln(3 _{x +}4 _x+6 _x+12_x+1) − { 4 1_ln{26 _{x +(1− 5 )}12_{x+2} −} 20 5_ln{26 _{x+(1− 5 )}12_x+2} − 5 2 10 5 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 + Arctg + − + 5 2 10 5 1 ( x 412 + 4 1 _ln{26 _{x+(1+ 5 )}12_x+2} + 20 5 _ln{26 _{x +(1+ 5 )}12_x+2} + 5 2 10 5 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 4 5 12 − 5 2 10 1 − Arctg − + + 5 2 10 5 1 ( x 412 }]

Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara “manual” Ada metode lain yang dapat dilakukan secara “manual”, tetapi hasilnya biasanya nilai pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret.

177 V.4. Beberapa penggunaan integral

1. Luas bidang datar

Jika menelaah konsepsi dari integral, maka pada integral tentu dari sebuah fungsi adalah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu-X, dan garis-garis batas integral.

Sehingga luas bidang yang dibatasi oleh grfik fungsi y = f(x), sumbu-X, garis X = a, dengan X = b, seperti di samping kiri ini, sama dengan L = b a dx ) x ( f .

Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh dua grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x) seperti pada gambar di samping kanan ini, sama dengan

L = 1

{

−

}

0 x x dx ) x ( g ) x ( f .

Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>0, maka formulasi disajikan oleh

L = 1

{

−

}

0 x x dx ) x ( g ) x ( f . Y X=a X=b X y = f(x) Gambar V.1 Bidang di bawah grafik

(x0,y0) y = f(x) y = g(x) Y X (x1,y1) Gambar V.2 Bidang diantara dua grafik

178 Contoh 28

Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x5 – x3 + x – 3, sumbu-X, garis X = −3 dengan X = 5 !

Jawab :

Grafik fungsi jika digambarkan dengan Mathcad adalah seperti di samping kiri ini. Karena bidang terbagi oleh sumbu-X, maka luas bidang harus dihitung berdasarkan bidang yang ada di atas sumbu-X dengan di bawah sumbu-X.

Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad, absis titik potong grafik dengan sumbu-X yang merupakan bilangan real, adalah x = 1,317

Luas bidang di bawah sumbu-X,

L1 =

(

)

− − + − 317 , 1 3 3 5 _{x x 3dx} x = ( 6 1_x6₋ 4 1_x4₊ 2 1_x2_−3x) 3 317 , 1 − = { 6 1 (1,317)6− 4 1 (1,317)4+ 2 1 (1,317)2−3(1,317)} − { 6 1 (-3)6− 4 1 (-3)4+ 2 1 (-3)2−3(-3)} = −2,966 − (114,75) = −117,716

Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L1 = 117,716 Luas bidang di atas sumbu-X

L2 =

(

− + −

)

5 317 , 1 3 5 _{x x 3dx} x = ( 6 1 _x6₋ 4 1_x4₊ 2 1_x2_−3x) 317 , 1 5 = { 6 1 (5)6− 4 1 (5)4+ 2 1 (5)2−3(5)} – { 6 1 (1,317)6− 4 1 (1,317)4+ 2 1 (1,317)2−3(1,317) = 2445,417 – (-2,966) = 2448,383 Sehingga luas bidang yang dicari,

L = L1 + L2 = 117,716 + 2448,383 = 2566,099 (satuan luas)

10

5

0

5

10

14.5

9.66

4.83

4.83

f x

( )

179 Contoh 29

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 – 3x + 1, dengan y = ex ! Jawab :

Jika digambarkan dengan mengunakan program Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah seperti di samping kanan.

Absis titik potong kedua grafik, dihitung berdasarkan persamaan

2x2 – 3x + 1 = ex 2x2 – 3x + 1 – ex = 0

Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai x = 4 3 − 4 1 _1+8ee _{dan x =} 4 3₊ 4 1 _1+8ee

Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-X, sehingga luas bidang yang dicari,

L =

(

(

)

)

+ + + − + − − e e e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 2 x _{2x 3x 1 dx} e = (ee− 3 2_x3 ₊ 2 3_x2_{− x)} e e e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 + − + + = + + − + + + + + − + + e 2 e 3 e e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 2 3 e 8 1 4 1 4 3 3 2 e e − − + − − + + − + − − + e 2 e 3 e e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 e 8 1 4 1 4 3 2 3 e 8 1 4 1 4 3 3 2 e e = 256,232 (satuan luas)

10

5

0

5

10

8.05

4.03

4.03

8.05

gx

( )

h x

( )

x

180 2. Persamaan gerak benda

Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan pada saat t, v(t) = a(t)dt, dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) = v(t)dt.

Contoh 30.

Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan 20 m/detik2. Hitunglah jarak tempuh setelah 0,5 jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak 1 km dari titik awal, dan kecepatan setelah 0,5 jam tersebut sama dengan 120 m/detik ?

Jawab :

Persamaan gerak benda, v(t) = 20 = 20t + K, dt t = 0,5(jam) = 30(menit) = 1800(detik) v(t) :

v(1800) = 120(m/detik) = 20(1800) + K (m/detik) K= 300

1 _{v(t) = 20t +} 300

1

Persamaan gerak lintasan, s(t) = v(t)dt = + dt 300 1 t 20 = 10t2 + 300 1 _{t + k,} t = 0 (detik) s(t) : s(0) = 1(km) = 1000(m) = 10(0)2 + 300 1 (0) + k (m) k = 1000 t = 0,5(jam) = 1800(detik) s(t) : s(1800) = 10(1800)2 + 300 1 (1800) + 1000 (m) = 32.401.006 (m) = 32.401 (km) Jarak tempuh setelah bergerak 0,5 jam, adalah 32.401 km.

181 3. Benda putar

Perhatikan Gambar V.3. Bangun-1 adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu-X, diputar, dengan sumbu putar sumbu-X. Sedangkan bangun-2, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, dan y = d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-Y. Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ. Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran penutupnya.

Jika LX dan VX, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-1 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-X), maka

LX = π +

(

′

)

b a 2 dx ) x ( f 1 ) x ( f 2 dan VX = π b a dx ) x ( xf 2 Q P Gambar V.3 Benda putar y = f(x)

(1) sumbu putar, X; (2) sumbu putar, Y

Y X y = f(x) x = a x = b 2 y = d 1 y = c

182

Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun-2 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-Y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut

1. Ubah bentuk fungsi y = f(x) menjadi x = g(y).

2. Jika LY dan VY, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-2, maka LY = π +

(

′

)

d c 2 dy ) y ( g 1 ) y ( g 2 dan VY = π d c dy ) y ( yg 2 Contoh 31

Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik fungsi y = x3, antara titik (0,0) dengan (2,4) !

Jawab :

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-X. f(x) = x3 f′(x) = 3.x2 LX = π +

( )

2 0 2 2 3 _{1 3x dx} x 2 = π2 + 0 4 3 _{1 9x dx} x 2 Jika disubtitusikan u = 1 + 9x4 du = 36x3dx x = 0 u = 1 x = 2 u = 145 sehingga luasnya : LX = π + 2 0 4 3 _{1 9x dx} x 2 = π145 1 du u 36 1 2 = 145 1 1 2 1 u 1 2 1 1 18 + π + = 2 1 1 145 27 2π = 27 145 290π (satuan luas) 10 6 2 2 6 10 6.44 3.22 3.22 6.44 9.66 f x( ) x

183 dan volumenya : VX = π 2 0 3_)dx x ( x 2 = π2 0 4_dx x 2 = 2 0 1 4 x 1 4 1 2 + π + ₌ 5 2π 25 ₌ 5 64π (satuan volume)

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-Y. y = x3 x = 3 1 y = g(y) g′(y) = 3 2 y 3 1 −

sehingga luas dan volumenya :

LY = π + − 4 0 2 3 2 3 1 dy y 3 1 1 y 2 = π4 + − 0 3 4 3 1 dy y 9 1 1 y 2 = π4 + 0 3 4 3 4 3 1 dy y 9 1 y 9 y 2 = π4 + 0 3 4 3 1 9y 1 dy y 3 1 2 Jika disubtitusikan u = 3 2 y du = 3 1 y 3 2 − = 3 1 y 3 2 _dy y = 0 u = 0 y = 4 u = 3 2 4 = 3₁₆ LY = π + 4 0 3 4 3 1 9y 1 dy y 3 1 2 = π + 3₁₆ 0 2 _{1 du} u 9 Jika disubtitusikan u = 3 1_{tg(w) du =} 3 1_sec2_{(w)dw , w = arctg(3u)} u = 0 w = arcTg(0) = 0 (radial) u = 3_{16 w = arcTg(3}3_{16 ) = 1,439 (radial)} Sehingga

184 LY = π + 3₁₆ 0 2 _{1 du} u 9 = π1,439 + 0 2 2 _{sec (w)dw} 3 1 1 ) w ( tg = π 439 , 1 0 4_(w)dw sec 3 = π + 439 , 1 0 4 2 2 dw ) w ( cos ) w ( cos ) w ( sin 3 = π1,439 0 2 2_{(w)sec (w)dw} tg 3 + π1,439 0 2_(w)dw sec 3 = π 439 , 1 0 2_(w)d{tg(w)} tg 3 + π1,439 0 )} w ( tg { d 3 = 439 , 1 0 3_(w) tg 3 1 3 π +

{

tg(w)

}

1₀,439 3 π =

{ }

316 0 3 u 3 9 π +

{ }

3u 3₀16 3 π = 48 + π _π3 _{16 = 2π(48 +} 3 _{2) (satuan luas)} VY = π 4 0 3 1 dy ) y ( y 2 = π4 0 3 4 dy y 2 = 4 0 1 3 4 y 1 3 4 1 2 + π + = 3 ₄7 7 6π ₌ 3 ₄ 7 96π _{(satuan volume)}

V.5. Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral

Pada umumnya perhitungan integral tidak “lebih mudah” dari perhitungan diferensial. Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara “manual”. Hanya mungkin, memerlukan waktu yang cukup lama. Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya. Perhatikan saja contoh pada IV.9.

Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan, tidak dapat digunakan, maka cara yang “mudah” adalah dengan menggunakan paket program Mathcad. Misalnya, menghitung dx

) 1 x 3 log( ) 2 x 3 x 2 ( 3 2 − + −

, yang proses perhitungan jika menggunakan Mathcad, adalah

185 1. Jalankan program Mathcad

186 2. Tulis persamaan fungsi integradnya.

187

4. Pada “kotak hitam kecil” di depan huruf “d”, tulis “f(x)”, dan di belakangnya huruf “x”

188 6. Klik di luar “kotak formulasi integrasi”

7. Hasil yang diperoleh

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

ln

(

3

( )

x 1

)

10 ln 2 1 x 1 x 3 ln 10 ln 18 49 1 x 3 ln 10 ln 3 1 x 1 x 3 ln 10 ln 2 3 dx ) 1 x 3 log( ) 2 x 3 x 2 ( 3 2 3 2 3 2 3 3 2 − + − − − + − − = − + −

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

54ln

( )

10 Ei

(

1, ln

(

3x 1

)

)

11 1 x 3 ln 10 ln 2 1 x 1 x 3 ln 10 ln 18 49 1 x 3 ln 10 ln 3 1 x 1 x 3 ln 10 ln 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 − − − − + − − − + − −

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

(

)

)

(

( )

)

(

( )

)

3 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 x 1 x 3 ln 10 ln 3 x 1 x 3 ln 10 ln 1 x 3 ln 2 , 1 Ei 10 ln 27 10 x 1 x 3 ln 10 ln 3 14 x 1 x 3 ln 10 ln 6 11 − − − − − − + − + − +

( )

10 Ei

(

1, 3ln

(

3x 1

)

)

K ln 3 1 3 _{− − +} − Catatan : _Ei(a,b)=ea+ib _{, i= −1}

189 V.6. Integral tak wajar

Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga, ∞. Sehingga bentuk-bentuk integral tak

wajar adalah ∞ − b dx ) x ( f , ∞ af(x)dx , ∞ ∞

− f(x)dx . Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika

salah satu atau kedua batas integral limitnya ∞.

∞ − b dx ) x ( f = −∞ → b a a f(x)dx Lim , ∞ af(x)dx = →∞ b a b f(x)dx Lim , ∞ ∞ − f(x)dx = →−∞ →∞ b a b a Lim f(x)dx Lim Contoh 32 Hitunglah − π ∞ − 2 1 dx x x 1 Cos x 1 Sin Jawab : − π ∞ − 2 1 dx x x 1 Cos x 1 Sin = − π −∞ → 2 1 a a x dx x 1 Cos x 1 Sin Lim = π −∞ → 2 1 a a xdx 1 Sin Lim − π −∞ → 2 1 a a x dx x 1 Cos Lim = − − π π ∞ → 2 1 a 2 1 a a x dx x 1 Cos x 1 xSin Lim − π −∞ → 2 1 a a x dx x 1 Cos Lim = − π π −∞ → _a 1 aSin 2 1 1 Sin 2 1 Lim a + π −∞ → 2 1 a a x dx x 1 Cos Lim − π −∞ → 2 1 a a x dx x 1 Cos Lim = π πSin2 2 1 ₋ a 1 aSin Lim a→−∞ = π π 2 Sin 2 1 ₋ a 1a 1 Sin Lim a→−∞ = π π 2 Sin 2 1 ₋ a 1a 1 Sin Lim 0 a 1→ = π πSin2 2 1 _{− 1}

190

Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi fungsi distribusi peluang.

Definisi

Fungsi y = f(x) disebut fungsi distribusi peluang, jika 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, untuk setiap nilai x, −∞ < x < ∞

2. ∞

∞

− f(x)dx = 1

Contoh 32

Telaah apakah fungsi f(x) =

( ) 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − −

π , dengan a , b konstanta, dan a > 1; merupakan fungsi distribusi peluang ?

Jawab : 1. ( ) 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − − π = ( ) 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − π Karena π 2 a 1 < 1 , dan ( ) 2 2 a 2 b x e − > 1, maka _{( )} 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − π _{< 1.} ( ) 2 2 a 2 b x x _{a 2} e 1 Lim − − −∞ → _π = ( ) 2 2 a 2 b x x _{a 2} e 1 Lim − − ∞ → _π = ( ) 2 2 a 2 b e 2 a 1 −∞− π = ∞ − πe 2 a 1 = 0 Sehingga 0 < ( ) 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − −

π < 1 , untuk setiap nilai x

2. ( ) π ∞ ∞ − − − dx e 2 a 1 2 2 a 2 b x = π 2 a 1 ∞ ( ) ∞ − − − dx e 2 2 a 2 b x = π 2 a 1 ∞ ∞ − − − dx e 2 2 a b x Jika disubtitusikan, y = 2 a b x− _{dy =} 2 a 1 _{dx dx = a 2dy.} Sehingga ( ) π ∞ ∞ − − − dx e 2 a 1 2 2 a 2 b x = π 2 a 1 ∞ ∞ − − _{a 2dy} e y2 ₌ π 1 ∞ ∞ − − _dy e y2

191 Jika dimisalkan, ∞ ∞ − − _dy e y2 _{= c, maka c}2 ₌ ∞_e y2_dy 2 ∞ − − ₌ ∞ ∞ − ∞ ∞ − + − _dydz e (y2 z2) . Sehingga jika dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y = r Cos θ dan z = r Sin θ,

maka c2 = ∞ ∞ − ∞ ∞ − + − _dydz e (y2 z2) = 2π ∞ − θ 0 0 r _rdrd e 2 = 2π ∞ − θ 0 0 r _{rdr d} e 2 = 2π − − ∞ θ 0 ₀ r _d e 2 1 2 = 2π −

(

−∞ − −

)

θ 0 0 _d e e 2 1 2 2 = 2π θ 0 2d 1 ₌

( )

π θ2₀ 2 1 _{= π c =} ∞ ∞ − − _dy e y2 _{= π} Sehingga, ( ) π ∞ ∞ − − − dx e 2 a 1 2 2 a 2 b x = π 1 ∞ ∞ − − _dy e y2 ₌ π 1 _{π = 1} Jadi f(x) = ( ) 2 2 a 2 b x e 2 a 1 − −

π merupakan fungsi distribusi peluang.

Contoh 33

Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini

f(x) = < < ∞ ∞ < < − 0 x - jika , 0 konstanta : c ; x 0 jika , cxe 2x 1

Tentukan c agar f(x) merupakan fungsi distribusi peluang ! Jawab 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 karena 0 < x 2x 1 e− < 1, maka 0 ≤ c ≤ x 2 1 xe 1 − 2. ∞ ∞ − f(x)dx= −∞ 0 dx 0 +∞ − 0 x 2 1 dx cxe = ∞ − 0 x 2 1 dx cxe = 1 − a 0 x 2 1 dx cxe = a − 0 x 2 1 dx xe c = − − −a− − 0 x 2 1 a 0 x 2 1 dx e 2 ) e 2 ( x c

192 = − − − − + a − 0 x 2 1 0 2 1 a 2 1 dx e 2 ) e 0 ae ( 2 c = − − + − − a 0 x 2 1 a 2 1 e 2 ( 2 ae 2 c =c −2ae− −4(e− −e−20) 1 a 2 1 a 2 1 =c −2ae− −4e−2a +4 1 a 2 1 ∞ − 0 x 2 1 dx cxe = − − − − + ∞ → c 2ae 4e 4) Lim 2a 1 a 2 1

a = 2cLimae 4cLime cLima 4 a 2 1 a a 2 1 a →∞ − ∞ → − ∞ → − + − = −2c(0) − 4c(0) + c(4) = 1 c = 4 1

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. Hitunglah f(x)dx, jika f(x) = a. 5 x 6 x 2 3 x 2 2_{− +} − _b.

(

_3x2 _{2x 1}

)

e(3x 1) ln 1 x 3 − + − − _{c. (2x}3_{− 3x}2_)Sin(x4₎ d. Cos

(

2x 3

)

5 x x x 1 x 2 x 3 2 3 2 − − + − + − e. 25 x 3 3 x 2 2₋ − f. x 2 x x 6 5 x 2 x 3 2 3 2 − + + − g. 2 x x 2 x 3 x 3 4 − + − _{h. (3x}2 _{− 4x +1)Tg(x}3_{− 2x}2 _{+ x − 5) i.} 2 2 _a x a x − −

j. Cos x Cos3 (x − 3) k. (2x3− 3x2_{− x +5) Cos}2 _{(2x + 3) l. e}2x_log3x

2. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini

a. − − + π π − 4 1 2 1 2 2_{(x 3x 1)dx} Sin ) 3 x 2 ( b. − + π π − 6 1 3 1 2 _{2x 1)dx} x ( Cos c. + − + − − 7 5 2 4 dx 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 _d. − + − π π − 2 1 2 1 2 dx 1 x 2 1 x x _e. 9 _{− −} 2 2 _{3x 2)dx} x 2 log(

193 f. − π π − − 6 1 3 1 ) 3 x 2 ( Sin _{Cos(2x 3)dx} e g. − − − − 6 1 2 2 dx 1 x 3 ) 1 x 2 x 3 ln( h. + − − − 6 32x2 5x 3dx 3 x 2 i. π − − π − π π − 6 1 3 1 ₎ dx 3 1 x 2 ( Sin ) x 2 6 5 ( Cos 1 j. + − − π π − 6 1 3 1 2 3 dx 1 x 4 x 3 1 x 3 _k. π ₊ π − − 6 1 3 1 ) 1 x 2 ( _{ln(x 1)dx} e

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x), jika

a. 1 x 3 x 2 ) x ( g 3 1 1 x 2 1 ) x ( f 2_{− +} = + = b. x 9 26 x 3 1 ) x ( g ) 1 x log( ) x ( f 2₋ = + = c. 1 x 3 x 2 ) x ( g 1 x 2 x ) x ( f 2 2 + − = − + − = d. ₂ 3 x 2 ) x ( g 2 x ) x ( f = + = e. 2 x ln( ) x ( g e ) x ( f (2x 1) + = = − f. 1 x 2 ) x ( g x 4 ) x ( f 2 − = − =

4. Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan v = K(R2 − r2₎

dengan

K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah

r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah.

Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu. Volume tersebut dapat diformulasikan dalam persamaan

π =R

02 vrdr V

π : bilangan irasional

a. Hitunglah V, jika R = 0,30 cm dan v = (0,30 − 3,33r2_{) cm/detik !} b. Tentukan formulasi umum dari V !

194

5. Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model

+ + = ₂ ) 40 1 ( 400 1 200 dt dx

x : banyak item produk, dalam 100 unit t : waktu produksi, dalam satuan minggu

a. Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama ! Berapakah totalnya dalam selang waktu 10 minggu ?

b. Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan D’(t) = 3000(20 − t)

0 ≤ t ≤ 20, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun

Maka hitunglah total penurunan produksi untuk 10 tahun pertama ! Berapakah totalnya untuk 10 tahun berikutnya ?

c. Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan S’(t) = −3t2 _{+ 300t}

0 ≤ t ≤ 30 : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan

hari

Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi, dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah 500 unit.

6. Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model S₌100xe−x2 ₊100_{, x : hari-hari} penjualan, setelah promosi produk dimulai. Hitunglah rata-rata penjualan harian, selama 20 hari pertama promosi ! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata penjualan harian untuk 10 hari berikutnya !

7. Hitunglah integral tak wajar di bawah ini a.

(

+

)

∞ ∞ − x 1 dx x 2 2 b. ∞ ∞ − e dx x 4 x 3 c. − − ∞ − 2 2 ₁dx x x

195 d.

(

+

)

∞ ∞ − x 3 dx x 2 4 3 e. ∞ − 0 x 2 dx e x 3 f. ∞ ∞ − − _dx e x4 x5 8. Hitunglah c agar a. ∞ = 0e0,5t dt 1 c _b.

(

x 1

)

dx 2 cx 10 2 2 3 = + ∞ c. dx 5 x x 1 1 = ∞

9. Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y = f(x), dan di sebelah kanan sumbu x = 1, jika a. _x3 e x ) x ( f = b. f(x) = log x c. f(x) = ex d. 1 x 1 x ) x ( f − + =

10. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif, proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki model f(t) = 500 t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan, membangun model eksponensial dengan rata-rata 3% pertahun, maka perkiraan akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model b500te dt

0 ) t b ( 03 , 0 − − _.

a. Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut ! b. Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi ?

11. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang ? a. 1 x x ) x ( f + = , x ≥ 0 b. 2x 1 e 2 1 ) x ( f = − , −∞ < x < ∞ c. = < < lainnya yang untuk , 0 3 x 3 , 18 x ) x ( f 2 d. = + < < lainnya yang untuk , 0 4 x 2 , 18 2 x ) x ( f

196

12. Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar bidang yang dibatasi oleh

a. X = 2 , Y = X3 , X = 5 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-X

b. Y = 2X2− 3X + 1 , Y = −3X2 _{+ 2X + 1 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-Y}

13. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini

a. xSec22xdx _b. π 4 3 0 3_{x Cos x dx} Sin c. π π 4 3 3 1 3 2_{Tg x dx} x d. +Tg x dx 3 x Sec3 e. Cosec2x Cotg2x dx f. π 3 1 0xSec x Tg x dx g. 1 π π 0Sec4xTg 4xdx h.

(

)

π 2 1

0 Cos2x -Sin 2x)dx i. Cos x ln (Sin x)dx

14. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model 100 t 6 Cos 200 ) t ( P = π + t : bilangan bulan

a. Bangun tabel hasil penjualan untuk 0 ≤ t ≤ 12 !

b. Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan ! c. Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan !

15. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model

(

+

)

+ = ₂ 40 t 400 1 200 dt dx

x : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan)

a. Jika pda saat t = 0 , x = 0, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi sepanjang wktu t !