PPT Math X Peminatan_edt2

(1)

MATEMATIKA

Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam

Disklaime r

Disklaime

r Daftar isiDaftar isi

(2)

•

Powerpoint

pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna

membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.

•

Materi

powerpoint

ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan

Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.

•

Dengan berbagai alasan, materi dalam

powerpoint

ini

disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja.

•

Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat

mengembangkannya sesuai kebutuhan.

•

Harapan kami, dengan

powerpoint

ini Bapak/Ibu Guru dapat

mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

(3)

BAB I FUNGSI

EKSPONENSIAL

BAB II FUNGSI

LOGARITMA

(4)

BAB I

FUNGSI EKSPONENSIAL

A. Sifat-Sifat

Eksponensial

B. Grafik Fungsi

Eksponensial

C. Persamaan dan

Pertidaksamaan

Eksponensial

Daftar isi

(5)

A. Sifat-Sifat Eksponensial

1. Pangkat Bulat Positif

Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota himpunan bulat positif berlaku:

an_{dibaca: a pangkat n. a}n _{didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n}

kali (n faktor).

an_{disebut bilangan berpangkat}

a disebut bilangan pokok n disebut pangkat (eksponen)

2. Pangkat Bulat Nol

Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a  0 berlaku a0_{= 1.}

3. Pangkat Bulat Negatif

Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a  0 dan n  bilangan bulat positif, berlaku a–n₌

4. Sifat-Sifat Pangkat Bilangan

Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q anggota himpunan bilangan bulat,

berlaku sifat-sifat berikut. a. ap_{× a}q_{= a}p + q

b. ap_{: a}q_{= = a}p – q_{, dengan a}₀

c. a–p_{= , dengan a}₀

d. (ap₎q_{= a}p × q

e. (ab)p_{= a}p_{× b}p_{, dengan b}₀

1 p a 1 n a

(6)

Contoh Soal

Sederhanakan bentuk berikut.

(7)

B. Grafik Fungsi Eksponensial

1. Pengertian Fungsi Eksponensial

Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax_{, dengan a > 0 dan a}_1.

2. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial

Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax_{atau f : x}_kax_.

Keterangan:

x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain) D = {x | – < x < , x  R}. a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a  1 (0 < a < 1 atau a > 1).

y disebut variabel tak bebas. k disebut konstanta.

3. Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial

Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut.

Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus.

NB: grafik g(x) dihapus

(8)

Perhatikan gambar grafik f(x) dan g(x) berikut.

a. Grafik f(x) = kax_{dan g(x) = simetris terhadap sumbu Y.}

b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu Y di titik (0, k).

c. Sumbu X merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut.

d. Grafik fungsi f(x) = kax_{merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap x}

1 < x2 berlaku f(x1)

< f(x₂).

e. Grafik fungsi g(x) = merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap x1 < x2 berlaku

g(x₁) > g(x₂).

1 x k a � � � � � � 1 x k a � � � � � �

(9)

4. Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut.

a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.

b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.

(10)

Contoh Soal

Grafik fungsi f(x) = –4a – bx_{memotong sumbu Y di titik (0, –4). Jika grafik}

fungsi f(x) digeser ke atas 3 satuan akan menghasilkan grafik fungsi g(x) yang melalui titik (1, 1). Tentukan persamaan grafik fungsi g(x).

(11)

C. Persamaan dan Pertidaksamaan

Eksponensial

1. Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial berbentuk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk persamaan dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial dijelaskan sebagai berikut.

• af(x)_{= a}m

Jika af(x)_{= a}m_{, a > 0 dan a}_{1 maka f(x) = m}

• af(x)_{= a}g(x)

Jika af(x)_{= a}g(x)_{, a > 0 dan a}_{1 maka f(x) = g(x)}

• af(x)_{= b}f(x)

Jika af(x)_{= b}f(x)_{, a > 0, a}_{1, b > 0, b}_{1, dan a}_{b maka f(x) = 0}

• h(x)f(x) = h(x)g(x)

Jika h(x)f(x)_{= h(x)}g(x)_{, penyelesaiannya sebagai berikut.}

1) f(x) = g(x) 2) h(x) = 1

3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif

4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

• f(x)h(x)_{= g(x)}h(x)

Jika f(x)h(x)_{= g(x)}h(x)_{, penyelesaiannya sebagai berikut.}

1) f(x) = g(x)

2) h(x) = 0, dengan syarat f(x)  0 dan g(x)  0.

• A(af(x)₎2_{+ B(a}f(x)_{) + C = 0, a > 0, a}_{1, A}_{0, dan A, B, C}_R

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x)_sehingga

diperoleh

Ay2_{+ By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada pemisalan y = a}f(x)

sehingga

diperoleh nilai x.

2. Pertidaksamaan Eksponensial

(12)

2. Pertidaksamaan Eksponensial

Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya memuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan grafik fungsi eksponensial f(x) = ax_berikut.

Grafik f(x) = ax_{, a > 1} _{Grafik f(x) = a}x_{, 0 < a < 1}

Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax_{merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x} 1,

x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2).

b. Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax_{merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk}

setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2).

(13)

Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai bilangan pokoknya.

Untuk a > 1

Jika af(x)_{> a}g(x)_{maka f(x) > g(x)}

Jika af(x) _ag(x)_{maka f(x)}_g(x)

Jika af(x)_{< a}g(x)_{maka f(x) < g(x)}

Jika af(x) _ag(x)_{maka f(x)}_g(x)

Untuk 0 < a < 1

Jika af(x)_{> a}g(x)_{maka f(x) < g(x)}

Jika af(x) _ag(x)_{maka f(x)}_g(x)

Jika af(x)_{< a}g(x)_{maka f(x) > g(x)}

Jika af(x) _ag(x)_{maka f(x)}_g(x)

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut. a. (x + 3)2x – 1_{= (x + 3)}x + 2

b. b. (x + 2)x + 1_{= (2x + 6)}x + 1

(14)

BAB II

FUNGSI LOGARITMA

A. Sifat-Sifat

Logaritma

B. Grafik Fungsi

Logaritma

C. Persamaan dan

Pertidaksamaan

Logaritma

Daftar isi

(15)

A. Sifat-Sifat Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan (invers) pemangkatan. Suatu bentuk pemangkatan dapat diubah menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya.

an_{= b ⇔}a_{log b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0}

a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma;

b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya; n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat).

(16)

2. Nilai Logaritma

Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel logaritma atau kalkulator. Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut.

Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat (karakteristik) harus ditentukan atau dicari. Nilai karakteristik log x sebagai berikut.

a. 1 < x < 10 ---> log x = 0, . . . (misal: log 2 = 0,3010; log 3,1 = 0,4914) b. 10 ≤ x < 100 ---> log x = 1, . . . (misal: log 10 = 1,0000; log 55,9 = 1,7474)

c. 100 ≤ x < 1.000 ---> log x = 2, . . . (misal: log 210 = 2,3222; log 871,2 = 2,9401)

d. 1.000 ≤ x < 10.000 ---> log x = 3, . . . (misal: log 1.000 = 3,0000; log 7035,3 = 3,8473) dan seterusnya.

(17)

3. Sifat Logaritma

Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1 maka berlaku sifat-sifat berikut.

0

1

a. log1 0 sebab

1

b. log

1 sebab

c. log

log

1

d. log

log

e. log

log

f. log

log

g. log

dengan

1

log

h. log

log

log dengan

1

i.

log

j.

m

a

a n a

a a a

a c a

c a

c

a b a

a n a

a

n

a

bc

b

c

b

c

b

c

b

c

a

b

c

b

n

b

m

a











�



�



log a _b

b



(18)

Contoh Soal

Diketahui 2_{log 3 = m dan}3_{log 5 = n. Tentukan nilai}4_{log 5.}

(19)

B. Grafik Fungsi Logaritma

1. Pengertian Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memetakan setiap x ∈ bilangan real ke f(x) = a_{log x, dengan x > 0, a > 0, dan a ≠ 1.}

2.

Bentuk Umum Fungsi logaritma

Fungsi logaritma mempunyai bentuk umum y = f(x) = k alog x.

Keterangan:

• x disebut variabel bebas dengan daerah asal (domain) D = {x | x > 0, x ∈ R}.

• a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).

• y disebut variabel tak bebas.

• k disebut konstanta.

(20)

3. Grafik Fungsi Logaritma

Perhatikan grafik fungsi logaritma di samping.

Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

a. Grafik f(x) = ka_{log x dan g(x) = simetris}

terhadap sumbu X.

b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0). c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati

grafik fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut.

d. Grafik fungsi f(x) = ka_{log x merupakan fungsi monoton}

naik karena untuk setiap x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂).

e. Grafik fungsi g(x) = merupakan fungsi monoton turun

karena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2).

1 log a k x 1 log a k x

(21)

4. Cara Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma sebagai berikut.

a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan.

b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus.

(22)

C. Persamaan dan Pertidaksamaan

Logaritma

1. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma yang di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk persamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai berikut.

(23)

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut. a. 2_{log (x – 3) +}2_{log (x – 2) = 1}

b. 3_{log (x2 – 8) =}4_{log (x}2_{– 8)}

c. x_{log (2x}2_{– 7x + 6) = 2}

(24)

2. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk logaritma yang

memuat variabel. Pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi logaritma f(x) =

a_{log x berikut.}

Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

a. Untuk a > 1, fungsi f(x) = a_{log x merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x} 1

dan x₂ R berlaku x₁ < x₂ jika dan hanya jika f(x₁) < f(x₂).

b. Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = a_{log x merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk setiap}

x₁dan x₂ R berlaku x₁ < x₂ jika dan hanya jika f(x₁) > f(x₂).

(25)

Untuk a > 1:

a. Jika a_{log f(x) >}a_{log g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

b. Jika a_{log f(x) ≥}a_{log g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

c. Jika a_{log f(x) <}a_{log g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

d. Jika a_{log f(x) ≤}a_{log g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

Untuk 0 < a < 1:

e. Jika a_{log f(x) >}a_{log g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

f. Jika a_{log f(x) ≥}a_{log g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

g. Jika a_{log f(x) <}a_{log g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

h. Jika a_{log f(x) ≤}a_{log g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0}

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma berikut. i. (x + 1)_{log (2x – 1) <}(x + 1)_{log (4x – 3)}

j. b. x_{log (x}2_{– 3x + 2) ≥}x_{log (x – 1)}

Kembali ke

Bab II