LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK TENTANG

LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK

TENTANG:

METODE GRAFIK, TABULASI, DAN BISEKSI

Disusun oleh :

Nama : Sambodo Wisnu Murt

NIM : M0509062

JURUSAN INFORMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

1. Pelaksanaan Praktikum Hari, Tanggal :

Tempat :

Tema Praktikum : Metode Grafik, Tabulasi, dan Biseksi 2. Dasar Teori

Fungi Non Linear adalah sebuah fungsi yang grafiknya kurve. Pada dasarnya setiap fungsi memiliki akar persamaan. Untuk mencari nilai akar (x) dari sebuah persamaan fungsi non linear dapat menggunakan beberapa cara yakni :

a. Metode Grafik b. Metode Tabulasi

c. Metode Biseksi (Setengah Interval) A. METODE GRAFIK DAN TABULASI

Persamaan atau fungsi dapat berbentuk sebagai berikut : a. Persamaan aljabar atau polynomial

b. Persamaan transeden Yaitu persamaan yang mengandung fungsi anatara lain trigonometri, logaritma, atau eksponen

Contoh :

c. Persamaan campuran Contoh :

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari sebuah persamaan polinomial dengan dejarat dua, dapat menggunakan persamaan kuadrat : ��^2+ �� + � = 0 yakni dengan mencari akar – akarnya secara analitis dengan rumus :

Fungsi polinomial dengan derajat lebih dari 2 memiliki akar yang sangat kompleks dan jarang sekali digunakan. Untuk mencari himpunan penyelesaian pada persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua dilakukan dengan metode hampiran. Yakni penyelesaian numerik dilakukan dengan hampiran yang berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalaa lebih teliti dari perkiraan

 Lokalisasi Akar

Lokalisasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tembakan awal yaitu : i. Cara Grafik

Metode ini menggunakan teknik pembuatan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y. Dimana titik yang memotong sumbu x atau sumbu y ini merupakan akar dari persamaan non linier atau fungsi non linier yang dicari. Metode grafik terdiri dari dua cara, yakni : metode grafik tunggal dan metode grafik ganda. Pada metode grafik tunggal untuk menentukan akar cukup menggunakan satu garis saja,

sedangkan untuk metode grafik ganda menggukan dua buah garis yang saling berpotongan. Setiap garis yang mewakili sebuah fungsi, dan perpotongan antara garis baik pada sumbu x ataupun sumbu

merupakan akar ( himpunan penyelesaian persamaan non linier yang dicari). ii. Cara Tabulasi

Nilai – nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi interval tersebut mejadi sub interval – sub interval, dan nilai – nilai tersebut ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval nilai fungsi berubah tanda, maka pada interval tersebutmemiliki akar (himpunan penyelesaian).

B. METODE BISEKSI

Landasan utama dari metode ini adalah menentukan suatu interval dalam suatu fungsi dimana nilai fungsi dari ujung – ujungnya (batas bawah dan batas atas) harus berbeda tanda untuk menunjukan bahwa fungsitersebut memotong sumbu horisontal, kemudian interval tersebut dipecah menjadi dua bagian yang sama untuk mendekati titik potong dengan sumbu horisontal.

Langkah – langkah dalam perhitungan himpunan penyelesaian dengan metode biseksi:

1. Tentukan fungsi f(x), batas bawah a , batas atas b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. 2. Hitung nilai dari f(x) untuk x = a dan x = b

3. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, keluar dari program karena interval yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.

4. Hitung nilai m = (a+b)/2

5. Jika nilai mutlak f(m) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak , lanjutkan ke langkah berikutnya.

6. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. 7. Jika f(a).f(m) < 0, maka b=m, jika tidak a=m.



Metode Grafik Tunggal

Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik tunggal: 1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.

2) Menginisialisasi fungsi f(x) yang dicari himpunan penyelesaiannya.

3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode program pada matlab.

4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat sebuah garis.

5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu xatau sumbu y. Himpunan penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.



Metode Grafik Ganda

Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik ganda: 1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.

2) Menginisialisasi fungsi f(x) dan f(x1) yang dicari himpunan penyelesaiannya.

3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode program pada matlab.

4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat sebuah garis.

5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu x atau sumbu y. Himpunan penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.



Metode Tabulasi

Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaikan dengan metode tabulasi: 1) Menginislisiasi fungsi f(x)

2) Membagi nilai fungsi dalam bentuk sub interval – sub interval (berupa loop for) yakni dengan menginilisialisasikan nilai x terhadap fungsi f(x) yang ada.

4) Melakukan pengecekan untuk setiap hasil perhitungan perkiraan akar (x) pada perhitungan yang memiliki perubahan tanda. Pada interval dengan perubahan tanda tersebut merupakan interval dari himpunan penyeesaian fungsi non linier yang dicari.



Metode Biseksi

Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian fungsi non linier dengan metode biseksi: 1) Menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas bawah dan batas atas interval nilai fungsi yang dicari. Titik a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b.

2) memeriksa apakah f(a).f(b)<0, jika demikian maka terdapat akar fungsi dalam interval yang ditinjau. Jika tidak, maka nilai a dan b ditetap kan lagi sedemikian rupa sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a).f(b)<0, yaitu nilai f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang berbeda.

3) mencari nilai tengah interval a dan b dengan rumus m=(a+b)/2, lalu diperiksa apakah nilai mutlak f(m)< toleransi(misal 10-6).

4) Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari (akar dari persamaan tersebut). Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b=m apabila f(a).f(m)<0, dan mengganti a=m bila f(a).f(m)>0

5) Kembali ke langkah 2 4. Analisis Hasil



Metode Grafik Tunggal



Metode Grafik Ganda

Pada gambar diatas merupakan code untuk mencari akar persamaan.pertama-tama diinisialisasika variable i=1 dan beda=0.1. kemudian masuk ke looping for statement dengan melakukan perintah f=exp(-x)-x dan masuk ke if condition dimana hasil dicek apabila hasilperhitungan lebih kecil dari 0 maka tanda yang ditampilkan negative (-) jika tidak maka masuk ke else statement tanda plus (+) jika kondisi else tidak terpenuhi maka hasil = 0.

Dilakukan looping terus menerus. Kemudian masuk lagi ke for statement dan if condition untuk mengecek tanda nilai padaindeks apabila tanda nilai pada indeks ke i berbeda dengan tanda pada nilai indeks ke i-1, jika berbeda maka dicetak nilai indeks ke i dan nilai pada indeks ke i-1 tersebut. Jika kondisi tidak terpenuhi maka dicek lagi tanda nilai selanjutnya. Pada percobaan ini didapat hasil akarnya (0.5, 0.6) dimana 0.5 bertanda + dan 0.6 bertanda (-). Berikut gambar hasil percobaannya :



Metode Biseksi

Kemudian fungsi TengahInterval dipanggil pada command window dengan cara memasukkan fungsi nonlinear, kemudian dimasukkan kode parameternya x=TengahInterval(f,-1,3,15) dimana 15 merupakan berapa banyak iterasi yang dilakukan.

 Percobaan Tambahan Grafik Tunggal a. �(�) = 2x3

Terdapat fungsi polynomial derajat 3 yang akan dicari akarnya. Untuk mencari akarnya dengan menggunakan matlab pertama-tama menginisialisasikan nilai yang akan dimasukkan pada fungsipolynomial tersebut, kemudian tidak lupa menginisialisasikan fungsinya.

perhitunganya dengan perintah polyval (C,x) yang akan membentuk grafik dan didapat nilai akar persamaan polynomial tersebut. Berikut hasilnya:

b. (�) =

(2

x

+

1)

3

Sama halnya dengan percobaan tambahan pertama, kali ini juga dilakukan pencarian akar dari

persamaan polynomial. (2� + 1)^3 pertama-tama menginisialisasikan nilai x yang akan dimasukkan pada fungsi polynomial tersebut, kemudian tidak lupa menginisialisasikan fungsinya.

polynomial derajat tiga dengan bentuk umum ax^3+bx^2+cx+d maka untuk fungsi polynomial (2� + 1)3 dimana hasilnya ke dalam bentuk umum adalah 4x^3+ 10�^2+ 6� + 1 koefisiennya C = [4 10 6 1] . Setelah itu langsung dicari perhitunganya dengan perintah polyval(C,x) yang akan membentuk grafik dan didapat nilai akar persamaan polynomial tersebut. Berikut hasilnya :

a. (�) = 2x3

Fungsi 2� + 13 dapat dicari akar persamaannya menggunakan metode tabulasi dengan langkah-langkah percobaan sama seperti percobaan tabulasi yang sudah dilakukan sebelumnya hanya dengan mengganti fungsinya saja menjadi f=(2.*x+1).*^3; selanjutnya hasil-hasil perhitungan akan dicari beda

tandamenggunakan if condition yang apabila nilai indeks ke I berbeda tandanya dengan nilai hasil hitung pada indeks ke i-1 maka disitulah akarnya.

Akan tetapi pada kasus polynomial (2� + 1)3 Ini tidak mempunyai akar karena tidak ditemukan adanya perbedaan tanda, seluruh hasil perhitungan bertanda +.

Berikut gambar hasil percobaan yang menunjukkan semua hasil perhitungan bertanda + :

 Percobaan Tambahan Biseksi

a. �(�) = ��− ��� − �� dengan parameter (f,-1,3,5) dimana 5 menunjukkan jumlah iterasi F(-1) = 1+10-23 = -12

F(3) = 9–30–23 = -44

Terjadi eror karena hasil kali antara fungsi f(-1) dan fungsi f(3) lebih besar dari nol maka ditampilkan eror message yaitu ‘Eror using TengahInterval at 8 pesan kesalahan? Sama tanda’

b. �(�) = ��− ��� − �� dengan parameter (f,3.5,3.75,5) dimana 5 menunjukkan jumlah iterasi F(3.5) = 12.25 - 35 – 23 = -45.75

Terjadi eror juga karena hasil kali antara fungsi f(3.5) dan fungsi f(3.75) lebih besar dari nol maka ditampilkan eror message yaitu ‘Eror using TengahInterval at 8 pesan kesalahan? Sama tanda’ Berikut hasil percobaan tambahan biseksi untuk parameter (f,-1,3,5) dan (f,3.5,3.75,5) : 17

5. Kesimpulan

Persamaan linier baik digunakn utnk menentukan nilai awal pada lokalisasi akar. Pada metode grafik terdapat dua cara yakni metode grafik tunggal dan grafik ganda. Selain menggunakan metode grafik, untuk mencari nilai akar dari sutu persamaan fungsi dapat menggunakan metode biseksi.