Pemindahan objek (titik, garis,
bidang datar) pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:
•
Kedudukan / letak
•
Arah
Jenis-jenis Transformasi
Geometri
•
Proyeksi
•
Pergeseran tanpa merubah
bentuk(Translasi)
•
Pencerminan (Refleksi)
•
Pemutaran (Rotasi)
•
Perkalian bangun/penskalaan
(Dilatasi)
Proyeksi
• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap
suatu garis acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut adalah titik B dengan AB
merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik C dengan AC merupakan jarak
terpendek titik A terhadap sumbu A y
B C
O x
Proyeksi titik terhadap garis
x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan pada garis y = x
menghasilkan titik A’(a’,b’)
Cara mencari matrik
transformasi- nya adalah sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
Sehingga diperoleh :
Matrik transformasi untuk titik
Translasi
•
Suatu titik atau sistem mengalami
pergeseran namun tidak merubah bentuk,
karena setiap titik penyusun sistem
mengalami pergeseran yang sama.
•
Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser
sejauh
h
, maka setiap titik yang menyusun
buku tersebut harus bergeser sejauh
h
juga.
•
Bagaimana jika buku digeser ke arah
•
Penulisan proses translasi titik A menjadi
titik M, dan titik B menjadi titik N dengan
Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
jika ditranslasikan oleh : Jawab :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran,
sehingga persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2
= 9.
Titik P ditranslasi dengan
Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3
Substitusi ke persamaan :
(
a’
– 3– 2)
2+ (
b’
– 4– 1)
2= 9
(
a’
– 5)
2+ (
b’
– 5)
2= 9
Jadi bayangan lingkaran : (
x
– 5)
2+ (
y
– 5)
2= 9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1).
Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran
diperoleh :
Pencerminan (refleksi)
•
Transformasi pencerminan /refleksi
•
Refleksi terhadap sumbu
x
Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan
bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B dan
titik CDiperoleh persamaan bahwa : .
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah :
1 0 0 -1
x
T
Dengan notasi matrik :
Sama seperti refleksi terhadap sumbu x
menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c
dan seterusnya. sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c)
sumbu y
Dengan notasi matrik :
•
Refleksi terhadap sumbu
y
-1 0 0 1 y
T
•
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
sehingga persamaan matrik
Refleksi ditulis dengan notasI :
•
Refleksi terhadap garis
y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan seterusnya
sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
•
Refleksi terhadap garis
y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah : 0 -1
-1 0
y x
T
Refleksi ditulis dengan notasI :
•
Refleksi terhadap garis
y = h
Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan matrik transformasinya
Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x
yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi
•
Refleksi terhadap garis
x = k
Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian
dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :
Selanjutnya titik
A’, B’, C’
dan
D’
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’
dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya
Perputaran (rotasi)
•
Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik
P ke titik P’, dengan cara diputar dengan
sudut
x y
P(x,y) P’(x’,y’)
x’ = x cos(
) - y sin(
)
•
Untuk memudahkan perhitungan, maka
dibuat notasi dalam bentuk matrik :
Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r
cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh :
Matrik transformasi untuk titik yang
dirotasi
Penskalaan (dilatasi)
•
Merupakan transformasi suatu titik atau
sistem terhadap suatu acuan yang
menyebabkan jarak titik atau sistem
berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan
jarak titik P’ sebesar m kali titik P)
x
y
P(x,y)
P’(x’,y’)
mx.x
my.y
•
Dalam bentuk matrik dituliskan :
•
Transformasi ini tidak mengalami perubahan
bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran
karena jarak titik-titik penyusun berubah
•
Dikenal suatu istilah faktor dilatasi
k
yang
menyebab-kan perbesaran atau perkecilan
suatu sistem.
•
Jika nilai
k
(bilangan nyata):
k
> 1 : hasil dilatasi diperbesar
-1<
k
<1 : hasil dilatasi diperkecil
k = 1 : hasil dilatasi sama dengan
aslinya.
•
Gambar disamping
Contoh :
dilakukan dilatasi
dengan faktor k = 2.
•
Jawab :
Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi terhadap titik
O(0,0): A’(4,6), B’(10,6)
C’(12,10), D’ (6,10)
Notasi :
A(a,b) A’(ka,kb)
(0,k
Shear
• Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya
perubahan bentuk disebut transformasi shear.
• Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik
pada komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda.
• Ada dua macam transformasi shear yaitu shear
•
Shear
terhadap sumbu-
x
Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada
ujung sistem yang tidak terletak pada
sumbu-
x
dengan faktor
shear
k
(
k
:
bilangan nyata)
•
Shear
terhadap sumbu-
y
Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada
ujung sistem yang tidak terletak pada
Contoh soal :
Tentukan titik koordinat bayangan dari
sebuah bangun segitiga ABC dengan
A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga tersebut
di
shear
terhadap sumbu-
x
dengan faktor
shear k
=3 serta sketsakan bayangan yang
terbentuk.
Jawab :
Koordinat Homogen
•
Koordinat homogen adalah representasi
koordinat 2 dimensi dengan 3 vektor
Komposisi Transformasi
• Komposisi transformasi adalah menggabungkan
beberapa tranformasi, sehingga dapat
menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks
• Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah
matrik tunggal :
- operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik - ketika mentransformasikan suatu titik, tidak
ada penangan khusus : matrik . Vektor
•
Macam komposisi transformasi :
Rotasi sebagai titik perubahan :
Translasi – Rotasi – Translasi
Skala sebagai titik perubahan :
Translasi – Skala – Translasi
Perubahan sistem koordinat :
Latihan :
1. Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik menghasilkan titik (1, -8).
Tentukan nilai a dan b.
2. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan
dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x.
3. Buktikan bahwa :
merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik P(m,n)
-2 1 1 2
