Gambar 5.7 Penjeasan grafik mengenai metode secant. Teknik ini serupa dengan teknik Newton-Rhapson (Gambar 5.5) dalam arti bahwa suatu taksiran akan diramalkan oleh ekstrapolasi sebuah garis singgung dari fungsi terhadap sumbu x, tetapi metode secant lebih menggunakan diferensi daripada turunan untuk memakai kemiringan (slope).
Persamaan (5.7) adalah formula untuk metode secant. Perhatikan bahwa pendekatan itu
memerlukan dua taksiran awal x. tetapi karena f(x) tidak membutuhkan perubahan tanda diantara taksiran, metode tidak digolongkan sebagai metode akolade.
CONTOH 5.6 Metode Secant
Pernyataan Masalah : Gunakan metode secant untuk menaksir akar f(x)=e−x−x . Mulailah dengan taksiran awal x−1=0 dan x0=1,0 .
Solusi : ingat bahwa akar sesungguhnya adalah 0,56714329… Iterasi pertama:
x−1=0 f(x−1)=1,00000
x0=1,0 f
(
x0)
=−0,63212x1=1−−0,63212(0−1)
1−(−0,63212) =0,61270,
|
∈t|
=8,0 %Iterasi Kedua:
x0=1,0 f
(
x0)
=−0,63212x1=0,61270 f
(
x1)
=−0,07081x2=0,61270−−0,07081(1−0,61270)
−0,63212−(−0,07081)=0,56384,
|
∈t|
=0,58 % Iterasi Ketiga :x1=0,61270 f
(
x1)
=−0,07081x2=0,56384 f
(
x2)
=0,00518x2=0,56384−−
0,00518(0,61270−0,56384)
Perhatikan kesamaan antara metode secant dan posisi salah. Misalnya persamaan(5.7) dan (4.4) adalah identic berdasarkan suku demi suku. Keduanya menggunakan dua taksiran awal untuk menghitug suatu aproksimasi dari suatu kemiringan (slope) fungsi yang digunak untuk
berproyeksi terhadap sumbu x untuk suatu taksiran baru dari akar. Tetapi suatu perbedaan ritis antar metode-metode yang berhubungan dengan bagaimana harga awal diganti oleh taksiran baru. Ingat dalam metode posisi salah, taksiran terakhir dari akar menggantikan harga asli manapun yang mengandung suatu harga fungsi dengan rtnda yang sama seperti f(xr) . Akibatnya dua taksiran senantiasa mengurung akar. Karenanya untuk semua maksud praktis, metode selalu konvergen karena akar dijaga didalam akolade. Sebaliknya metode secant mengganti harga-harga dalam deretan yang ketat, dengan harga baru xi+1 dengan xi , dan
xi menggantikan xi−1 . Sebagai hasilnya, dua harga terkadang dapat terletak pada ruas akar
yang sama. Untuk kasus tertentu, ini akan membawa kearah divergensi. CONTOH 5.7
Perbandingan Konvergensi dari Teknik Secant dan Posisi Salah.
Pernyataan Masalah: Gunakan Metode posisi salah dan metode secant untuk menaksir akar f(x)=lnx . Mulailah komputansi dengan harag x1=xi−1=0,5 dan xμ=xi=5,0 . Gambar 5.8
Perbandingan metode posisi salah dan metode secant. Iterasi pertama (a) dan (b) untuk kedua teknik adalah identic. Tetapi iterasi kedua (c) dan (d), titik yang dipakai berbeda. Sebagaimana akibatnya, metode secant dapat divergen, seperti yang ditunjukan dalam (d).
Solusi : untuk metode posisi salah, penggunaan persamaan (4.4) dan kriteria akolade untuk mengganti hasil-hasil taksiran dalam:
Iterasi x1 xμ xr
1 0,5 5,0 1,8546
2 0,5 1,8546 1,2163
3 0,5 1,2163 1,0585
Seperti dapat dilihat (Gambar 5.8a dan c), taksiran konvergen pada akar sebenarnya=1.
Untuk metode secant, penggunaan persamaan (5.7) dan kriteria berurutan untuk mengganti hasil-hasil taksiran dalam:
Iterasi xi−1 xi xi+1
1 0,5 5,0 1,8546
2 5,0 1,8546 -0,10438
Walaupun metode secant boleh divergen, sewaktu konvergen membuat laju yang lebih cepat daripada yang dilakukan metode posisi salah. Misalnya gambar 5.9 yang berdasarkan contoh 4.3, 4,6, 5,3, dan 5.6 menunjukan kelebihan metode secant. Kelemahan metode posisi salah
disebabkan kenyataan bahwa satu ujung selalu tetap agar menjaga pengukuran akar. Perilaku ini, yang merupakan suat keuntungan yang mencegah divergen, adalah suatu kelemahan berkenaan dengan laju konvergensi yang membuat taksiran diferensi menjadi sebuah taksiran aproksimasi turunan yang kurang akurat.
5.3.2 Program Komputer untuk Metode Secant
Metode terbuka lainnya, suatu program computer untuk metode secant secara mudah diperoleh dengan menggunakan baris 110 sedemikian sehingga dua tebakan awal adalah masukan dan dnegan memasukkan persamaan (5.7) untuk baris 130 dalam gambar 5.4. disamping itu, pilihan yang disarankan dalam pasal 5.2.3 untuk metode Newton Rhapson dapat juga diterapkan guna keuntungan yang baik untuk program secant.
Gambar 5.9
Perbandingan kesalahan relative persen sebenarnya ∈t buat metode untuk mencari akar f(x)=e−x
−x . 5.4 AKAR GANDA
Sebuah akar ganda behubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi menyinggung sumbu x. misalnya suatu akar dobel(bersekutu) dihasilkan dari:
f(x)=(x−3)(x−1)(x−1) (5.8)
Atau dengan pengalian suku-suku: f(x)=x3
−5x2
+7x+3 (5.9)
persamaan tersebut mempunyai sebuah akar dobel, karena satu harga x membuat kedua suku dalam Persamaan (5.8) sama dengan nol. Secara grfaik, ini sesuai dengan kurva yang menyentuk sumbu x secara tangesnsial pada akar dobel. Periksa gambar 5.10 a pada x=1 . Perhatikan bahwa fungsi menyentuh sumbu, tetapi tidak memotongnya pada akar.
Gambar 5.10 Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x. perhatikan bahwa fungsi tidak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap(a) dan (c), sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus ganjil(b).
Sebuah akar tripel sesuai dnegan aksusu dimana suatu harga x membuat tiga suku dalam suatu persamaan menjadi nol, seperti dalam:
Atau dengan mengalikan suku-suku:
f(x)=x4−6x3+12x2−10x+3 Perhatikan , penjelasan grafis (Gambar 5.10b) menunjukan bahwa fungsi menyinggung sumbu pada akarnya, tetapi untuk hal ini sumbu dipotong.
Umumnya akar-akar ganda ganjil memotong sumbu, sedangkan yang genap tidak. Misalnya akar kauadrapel pada gambar 5.10c tidak memotong sumbu.
Akar-akar ganda memperlihatkan sejumlah kesukaran pada kebanyakan metode numeric yang dijelaskan dalam bagian II :
1. Kenyataan bahwa fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda genap menghalangi
kegunaaan metode akolade yang dapat dipercaya dan telah dibicarakan dalam bab 4. Jadi dari metode yang dicakup dalam buku ini, anda dibatasi pada metode terbuka yang boleh jadi divergen.
2. Masalah lain yang mungkin sehubungan dengan kenyataan ialah tidak hanya f(x) tetapi juga f’(x) menuju nol pada akar. Masalahnya pada metode Newton-Rhapson dan metode secant, dimana keduanya mengandung turunan (atau taksiran) dalam penyebut masing-masing formula. Ini dapat menghasilkan pembagian dengan nol jika solusi konvergen sangat mendekati akar. Suatu cara yang mudah untuk menanggulangi masalah ini didasarkan pada kenyataan bahwa, dapat ditunjukkan secara teoretis (Ralston dan Rabinowits, 1978) f(x) akan senantiasa mencapai nol sebeblum f’(x). karenya kalau pemeriksaan nol untuk f(x) diikutsertakan kedalam program computer, komputasi dapat terhenti sebelum f’(x) mencapai nol.
3. Dapat ditunjukanbahwa metode Newton-Rhapson dan metode secant secara linear, daripada secara kuadratik, konvergen untuk akar-akar ganda(Raltson dan Ranibowitz, 1978). Modifikasi telah diusulkan untuk mengatasi masalah ini. Raltson dan Ranibowitz (1978) menunjukkan bahwa sedikit perubahan dalam formulasi mengembalikan kedalam konvergensi kuadratik, seperti dalam: Dimana m adalah multiplisitas akar (yakni m=2 untuk akar dobel, m=3 untuk akar tripel, dan seterusnya). Tentu saja ini bisa merupakan alternative yang tidak memuaskan karena tergantung pada pengetahuan sebelumnya dari multiplisitas akar.
Alternatif lain yang disarankan juga oleh Raltson dan Ranibowitz(1978) adalah dengan mendefinisikan sebuah fungsi baru u(x) , yakni perbandingan u(x)=f 'f(x)
Dapat dilihat bahwa fungsi ini mempunyai akar-akar, semuanya pada lokasi yang sama seperti fungsi orisinil. Karenanya Persamaan (5.10) dapat dimasukkan kedalam
persamaan (5.6) agar mengembangkan suatu bentuk alternative dari metode Newton-Rhapson;
f'(x)f'(x)f(x)f(x)} over {{left [f'(x) right ]} ^ {2} u '(x)=¿
(5.12) Persmaan (5.10) dan (5.12) dapat dimasukan ke dalam persamaan (5.11) dan hasilnya disederhanakan menjadi :
Metode Newton-Rhapson yang dimodifikasi untuk Akar-akar Ganda
Pernyataan masalah : gunakan kedua metode Newton-Rhapson yang standar dan telah dimodifikasikan untuk mengevaluasikan akar ganda dari Persamaan (5.9) adalah
f '(x)=3x2−10x+7 , karenanya metode Newton-Rhapson standar untuk masalah ini
Yang dapat diselesaikan secara iterasi untuk:
i xi
|
∈t|
%0 0 100
1 0,428571429 57
2 0,685714286 31
4 0,913328983 8,7
5 0,955783293 4,4
6 0,977655101 2,2
Seperti yang diharapkan, metode ini konvergen secara linear kearah harga sebenarnya, yaitu 1,0.
Untuk metode yang dimodifikasikan, turunan kedua adalah f(x)=6x-1 , dan hubungan iterasinya adalah[Persamaan(5.13)] :
i xi
|
∈t|
%0 0 100
1 0,105263158 11
2 1,003081664 0,31
3 1,000002382 0,00024
Jadi, formula yang dimodifikasi adalah konvergen secara kuadratik. Kita dapat juga memakia kedua metode untuk mencari akar tunggal pada x=3 . Dengan menggunakan tebakan awal x0=4 , memberikan hasil berikut :
i Standar,
|
∈t|
Modifikasi|
∈t|
0 4(33%) 4(33%)
1 3,4(13%) 2,636363637(12%)
2 3,1(3,3%) 2,820224720(6,0%)
3 3,008695652(0,29%) 2,961728211(1,3%)
4 3,000074641
(
2,5×10−3)
% 2,998478719(0,051%)5 3,0000000006
(
2×10−7)
% 2,999997682(7,7
×10−5)
% Jadi, kedua metode akan konvergen secara cepat dengan metode standar yang lebih efisien.Contoh diatas menunjukkan kompromi yang tercakup dalam pemilihan untuk metode Newton-Rhapson yang dimodifikasikan. Walaupun akar ganda lebih banyak disukai, namun kurang efisien dan memerlukan lebih banyak usaha komputasi daripada metode standar untuk akar-akar sederhana. Perlu dicatat bahwa suatu versi metode secant yang dimodifikasi dan cocok untuk akar ganda dapat juga dikembangkan dengan memasukkan persamaan(5.10) kedalam persamaan (5.7). Hasil formulanya adalah (Raltson dan
x x x
u(¿¿i−1−xi)−u(xi) (¿¿i)(¿¿i−¿1−xi)
