Matematika SMA/MA Kelas X Semester 1

(1)

SMA/MA Kelas X Semester 1

Matematika

Disusun oleh:

Ngapiningsih

Disklaimer

Disklaimer Daftar isiDaftar isi

Mata Pelajaran Wajib

(2)

• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.

• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.

• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini

disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja.

• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan.

• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

Disklaimer

(3)

Daftar Isi

BAB I Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

BAB III Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

BAB IV Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Daftar Isi

(4)

BAB

Persamaan dan

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

I

A. Konsep Nilai Mutlak

B. Persamaan Nilai Mutlak

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Kembali ke daftar isi

(5)

A. Konsep Nilai Mutlak

1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak 3. Fungsi Nilai Mutlak

Sumber: Dokumen Penerbit

Gambar 2.1 Letak Objek pada garis bilangan vertikal

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

(6)

1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan

Nilai mutlak dari sebarang x bilangan real, ∈

dinotasikan dengan |x| (dibaca ”nilai mutlak dari x”), didefinisikan sebagai berikut.

x jika x ≥ 0 –x jika x < 0 Contoh:

|5| = 5 karena 5 > 0.

|–9| = –(–9) = 9 karena –9 < 0.

|x| =

(7)

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak

a. |–x| = |x|

b. |x| = x²

c. |x|² = |–x²| = x²

d. Untuk sebarang x, y bilangan real berlaku sebagai berikut.∈

1) |x – y| = |y – x|

2) |xy| = |x||y|

3)

4) |x + y| ≤ |x| + |y|

5) |x| – |y| ≤ |x – y|

x x

y  y ,y 0

(8)

3. Fungsi Nilai Mutlak

a. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x|

x jika x ≥ 0 – x jika x < 0

b. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |ax + b|

ax + b jika (ax + b) ≥ 0 –(ax + b) jika (ax + b) < 0

f(x) = |x| =

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di dalam tanda mutlak.

f(x) = | ax + b | =

(9)

Contoh 1

Diketahui a = 5 dan b = –2, maka:

|ab| = |5 × (–2)| = |–10| = –(–10) = 10

|a||b| = |5| × |–2| = 5 × 2 = 10

|a + b| = |5 + (–2)| = |3| = 3

|a| + |b| = |5| + |–2| = 5 + 2 = 7

|a² – b²| = |5² – (–2)²| = |25 – 4| = |21| = 21

|2b – 4| = |2 × (–2) – 4| = |–4 – 4| = |–8| = –(–8) = 8

(10)

Contoh 2

Nilai|x| + 2|x| + |–5x| untuk nilai x < –2 sebagai berikut.

Oleh karena x < –2 maka |x| = –x dan |–5x |= –5x.

Sehingga:

|x| + 2|x| + |–5x| = –x + 2(–x) + (–5x)

= –x – 2x – 5x = –8x

Jadi, nilai|x| + 2|x| + |–5x| adalah –8x.

(11)

B. Persamaan Nilai Mutlak

1. Bentuk Umum

Persamaan Nilai Mutlak 2. Penyelesaian Persamaan

Nilai Mutlak 3. Menentukan

Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

Sumber: lauwtjunnji.weebly.com Gambar 2.1 Diameter besi beton diukur menggunakan jangka sorong

(12)

1. Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak

Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x 1. |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0

2. |f(x)| = |g(x)|

3. |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0

2. Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

x₁ merupakan penyelesaian persamaan nilai

mutlak |f(x)| = c, |f(x)| = |g(x)|, dan |f(x)| = g(x) jika |f(x₁)| = c, |f(x₁)| = |g(x₁)|, dan |f(x₁)| = g(x₁) bernilai benar

(13)

3. Menentukan Penyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

a. Menggunakan grafik

1) |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0

Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = c digambarkan pada satu bidang kartesius

2) |f(x)| = |g(x)|

Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = |g(x)| digambarkan pada satu bidang kartesius.

3) |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0

Grafik y₁ = |f(x)| dan y₂ = g(x) digambarkan pada satu bidang kartesius.

Titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian persamaan.

(14)

b. Menggunakan definisi nilai mutlak Menurut definisi:

ax + b jika (ax + b) ≥ 0 –(ax + b) jika (ax + b) < 0

Dari definisi dapat diperoleh hubungan berikut.

|ax + b| = c ⇔ ax + b = c atau –(ax + b) = c

⇔ ax + b = c atau ax + b = –c

Sehingga persamaan |ax + b| = c dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan ax + b = c atau ax + b = –c.

c. Menguadratkan kedua ruas

Boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif.

f(x) = | ax + b | =

(15)

Tentukan penyelesaian persamaan |x – 2| = 3.

Jawaban:

1. Menggunakan grafik

Misalkan y₁ = |x – 2| dan y₂ = 3.

Grafik y₁ = |x – 2| dan y₂ = 3 sebagai berikut

Dari gambar terlihat kedua grafik

berpotongan di titik x = 5 atau x = –1. Jadi,

penyelesaian

|x – 2| = 3 adalah 5 atau –1.

Contoh 1

(16)

2. Menggunakan definisi nilai mutlak

|x – 2| = 3 ⇔ x – 2 = 3 atau x – 2 = –3

⇔ x = 5 atau –x + 2 = 3

⇔ x = 5 atau x = –1

Jadi, penyelesaian |x – 2| = 3 adalah –1 atau 5.

3. Menguadratkan kedua ruas

|x – 2| = 3 ⇔ |x – 2² = 3²

⇔ (x – 2)² = 3²

⇔ (x – 2)² – 3² = 0

⇔ ((x – 2) + 3)((x – 2) – 3] = 0

⇔ (x + 1)(x – 5) = 0

⇔ x = –1 atau x = 5

Jadi, penyelesaian |x – 2| = 3 adalah –1 atau 5.

(17)

Contoh 2

Tentukan penyelesaian persamaan |x – 2| = |6 + 2x|.

Jawaban:

|x – 2| = |6 + 2x| ⇔ (|x – 2|)² = (|6 + 2x|)²

⇔ (x – 2)² = (6 + 2x)² ← Sifat |x|² = x²

⇔ (x – 2 ² – (6 + 2x)² = 0

⇔ (x – 2 + (6 + 2x))(x – 2 – (6 + 2x)) = 0

⇔ (3x + 4)(–x – 8) = 0

⇔ 3x + 4 = 0 atau –x – 8 = 0

⇔ x = – atau x = –8

Jadi, penyelesaiannya adalah – atau –8.₄

3 4

3

(18)

Contoh 3

Tentukan penyelesaian persamaan |2x + 16| = x + 4 Jawaban:

|2x + 16| = x + 4

Pembuat nol nilai mutlak:

|2x + 16| = 0 2x + 16 = 0 2x = −16 x = –8⇔ ⇔ ⇔ Garis bilangan:

Ruas kanan belum tentu

bernilai positif. Gunakan cara analisis nilai x.

(19)

1) Untuk interval x ≤ –8:

|2x + 16| = –(2x + 16)

⇔ |2x + 16| = x + 4

⇔ –(2x + 16) = x + 4

⇔ –2x – 16 = x + 4

⇔ –3x = 20

⇔ x = –

Oleh karena x = – tidak termuat pada interval x ≤ –8, persamaan |2x + 16| = x + 4 pada interval x ≤ –8 tidak

mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }.

20 3 20

3

(20)

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sumber: magazine.job-like.com

Gambar 2.1 Pendirian pasar modern harus memperhatikan keberadaan pasar

tradisional

1. Bentuk Umum

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

2. Penyelesaian

3. Penyelesaian

(21)

1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Beberapa bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak sebagai berikut.

Dengan c bilangan real dan f(x) atau g(x) merupakan fungsi dalam variabel x.

a. |f(x)| > c b. |f(x)| ≥ c c. |f(x)| < c d. |f(x)| ≤ c

i. |f(x)| > g(x) j. |f(x)| ≥ g(x) k. |f(x)| < g(x) l. |f(x)| ≤ g(x) e. |f(x)| > |g(x)|

f. |f(x)| ≥ |g(x)|

g. |f(x)| < |g(x)|

h. |f(x)| ≤ |g(x)|

(22)

2. Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Misalkan |x| adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real.

a. Jika |x| ≤ a maka –a ≤ x ≤ a.

b. Jika |x| ≥ a maka x ≤ –a atau x ≥ a.

Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka berlaku fungsi nilai mutlak |f(x)| sebagai berikut.

a. Jika |f(x)| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a.

b. Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a.

(23)

Contoh 1

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan |x – 2| ≥ 3.

Jawaban:

Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a.

Sehingga diperoleh:

|x – 2| ≥ 3

⇔ x – 2 ≤ –3 atau x – 2 ≥ 3

⇔ x ≤ –3 + 2 atau x ≥ 3 + 2

⇔ x ≤ –1 atau x ≥ 5

Jadi, penyelesaian |x – 2| ≥ 3 adalah x ≤ –1 atau x ≥ 5.

(24)

Contoh 2

Tentukan penyelesaian |2x + 1| < |2x – 3|.

Jawaban:

|2x + 1| < |2x – 3|

⇔ |2x + 1|² < |2x – 3|²

⇔ (2x + 1)² < (2x – 3)²

⇔ (2x + 1)² – (2x – 3)² < 0

⇔ (2x + 1 + (2x – 3))(2x + 1 – (2x – 3)) < 0

⇔ (4x – 2)  4 < 0

← Kedua ruas bernilai positif. Kedua ruas dikuadratkan.

1 2

(25)

Pembuat nol:

(4x – 2)  4 = 0

⇔ x =

Garis bilangan:

Penyelesaian: x <

Jadi. penyelesaian |2x + 1| < |2x – 3| adalah x < .

1 2

1

2 1

2

(26)

Contoh 3

Tentukan penyelesaian |4x – 6|< 3x + 4.

Jawaban:

|4x – 6|< 3x + 4

Pembuat nol nilai mutlak:

|4x – 6| = 0 4x – 6 = 0 x =⇔ ⇔

Garis bilangan: ³₂

(27)

1) Untuk interval x ≤

|4x – 6| = –(4x – 6)

|4x – 6| < 3x + 4

⇔ –(4x – 6) < 3x + 4

⇔ –4x + 6 < 3x + 4

⇔ –4x – 3x < 4 – 6

⇔ –7x < –2

⇔ x >

Irisan x > dan x ≤ adalah < x ≤ . . . . (1)

2

7 2 7

3 2

2 7

3 2

(28)

2) Untuk interval x ≥

|4x – 6| = 4x – 6

|4x – 6| < 3x + 4

⇔ 4x – 6 < 3x + 4

⇔ 4x – 3x < 4 + 6

⇔ x < 10

Irisan x < 10 dan x ≥ adalah ≤ x < 10. . . . (2)

3) Gabungan penyelesaian (1) dan (2) adalah < x < 10.

Jadi, penyelesaian |4x – 6| < 3x + 4 adalah < x < 10.

3 2

3 2 2

7 2

7

(29)

BAB

Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

II

A. Persamaan dan

Pertidaksamaan Kuadrat B. Persamaan dan

Pertidaksamaan Rasional C. Persamaan dan

Pertidaksamaan

Irasional/Bentuk Akar

(30)

A. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Gambar 2.1 Skema lapangan sepak bola

1. Persamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan

Kuadrat

(31)

1. Persamaan Kuadrat

a. Bentuk umum persamaan kuadrat:

dengan a, b, dan c bilangan nyata (real) dan a ≠ 0.

b. Penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara:

1) Memfaktorkan

2) Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna 3) Rumus abc

ax² + bx + c = 0

(32)

Contoh

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x – 2 = 0.

Jawaban:

1. Dengan cara memfaktorkan

2x² + 3x – 2 = 0

 (2x – 1)(x + 2) = 0

 (2x – 1) = 0 atau (x + 2) = 0

 x = 2 atau x = –2

(33)

2. Dengan cara

melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

(34)

3. Dengan menggunakan rumus abc.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x – 2 = 0 adalah –2 atau 2.

(35)

2. Pertidaksamaan Kuadrat

a. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat:

1) ax² + bx + c < 0 2) ax² + bx + c  0 3) ax² + bx + c > 0 4) ax² + bx + c  0

Syarat a  0 dan a, b, c bilangan nyata atau real.

(36)

b. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat:

1) Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk umum (ruas kanan sama dengan nol).

2) Menguraikan ruas kiri menjadi faktor-faktor linear.

3) Menentukan nilai pembuat nol fungsi.

4) Meletakkan harga-harga nol pada garis

bilangan, lalu menentukan tanda positif dan negatif pada setiap selang/interval yang

terbentuk.

(37)

5) Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Penyelesaian pertidaksamaan diperoleh berdasarkan tanda selang/interval pada garis bilangan.

a) Jika tanda ketidaksamaan  atau >, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda positif (+).

b) Jika tanda ketidaksamaan  atau <, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda negatif (–).

(38)

Contoh

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan –x² + 2x + 8 < 0.

Jawaban:

(39)

B. Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

1. Persamaan Rasional

2. Pertidaksamaan Polinomial

3. Pertidaksamaan Rasional

Sumber : https://goo.gl/c2yxKu

Gambar 2.2 Memperkirakan panjang lapangan dengan jarak tempuh lari

(40)

1. Persamaan Rasional

a. Konsep persamaan rasional

Persamaan rasional adalah persamaan dalam bentuk pecahan yang memuat satu atau lebih variabel pada pembilang atau penyebutnya.

b. Penyelesaian Persamaan Rasional

Misalkan terdapat persamaan rasional .

x₁ merupakan penyelesaian persamaan rasional jika

bernilai benar.

ax +b = d c ex + f

1

ax +b = d c ex + f

(41)

2. Pertidaksamaan Polinomial

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Polinomial Satu Variabel

Bentuk umum polinomial:

Jika P(x) suatu polinomial berderajat n, bentuk umum pertidaksamaan polinomial:

P(x) < 0 P(x) ≥ 0 P(x) > 0 P(x) ≤ 0

(42)

b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Polinomial.

1) Ubahlah pertidaksamaan polinomial menjadi bentuk umum.

2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.

3) Tentukan nilai-nilai pembuat nol dan letakkan pada garis bilangan dengan ketentuan sebagai berikut.

a) Jika tanda ketidaksamaan  atau , nilai pembuat nol diberi tanda dengan bulatan hitam.

b) Jika tanda ketidaksamaan > atau <, nilai pembuat nol dengan putih.

4) Tentukan tanda setiap interval yang dibatasi oleh nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan.

5) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

(43)

Contoh

Pembuat nol:

(x + 1)(x – 1)(x – 3) = 0

⇔(x + 1) = 0 atau (x – 1) = 0 atau (x – 3) = 0

⇔ x = –1 atau x = 1 atau x = 3 Garis bilangan:

Penyelesaian:

x < –1 atau 1 < x < 3

Tentukan penyelesaian (x + 1)(x – 1)(x – 3) < 0.

Jawaban:

(44)

2. Pertidaksamaan Rasional

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Rasional

b. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Rasional

(45)

c. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional

1) Buatlah ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi nol.

2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional).

3) Tentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol.

4) Tentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi yaitu penyebut tidak sama dengan nol.

5) Letakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan

penyebut pada garis bilangan kemudian tentukan tanda setiap interval yang terbentuk.

6) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

(46)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian . Jawaban:

x 1 2x 3 1

 



(47)

C. Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional/Bentuk Akar

1. Persamaan Irasional 2. Pertidaksamaan

Irasional

Sumber: https://goo.gl/SJpCo3 Gambar 2.3 Tinggi maksimum pantulan trampolin dapat dihitung

(48)

1. Persamaan Irasional

a. Bentuk Umum Persamaan Irasional

b. Sifat Bilangan di Bawah Tanda Akar

(49)

c. Menentukan Penyelesaian Persamaan Irasional 1) Mengubah persamaan irasional ke bentuk umum.

2) Menetapkan syarat bagi bilangan/fungsi di dalam tanda akar.

3) Menetapkan syarat bagi bilangan hasil penarikan akar.

4) Menguadratkan kedua ruas, lalu menentukan penyelesaiaannya.

5) Menentukan irisan penyelesaian dari langkah 2), 3), dan 4).

(50)

Contoh

Tentukan penyelesaian = x – 4.

Jawaban:

3x 2

(51)

2. Pertidaksamaan Irasional

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Irasional

(52)

b. Sifat Bilangan Positif

1) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x < y maka berlaku x² < y².

2) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≤ y maka berlaku x² ≤ y².

3) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x > y maka berlaku x² > y².

4) Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≥ y maka berlaku x² ≥ y².

(53)

c. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

1) Mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum.

2) Menentukan nilai ruas kanan.

a) Jika ruas kanan nol atau positif ( 0), lakukan langkah berikut.

i. Menghilangkan tanda akar dengan

menguadratkan kedua ruas, lalu menentukan penyelesaiannya.

ii. Menentukan syarat bilangan di bawah tanda akar, lalu menyelesaiaknnya.

iii. Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

(54)

b) Jika ruas kanan bernilai negatif (< 0), lakukan langkah berikut.

i. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan untuk nilai ruas kanan < 0.

ii. Menentukan syarat bilangan di bawah tanda akar, lalu menyelesaiaknnya.

iii. Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

(55)

c) Jika ruas kanan belum pasti bernilai lebih besar atau sama dengan nol, lakukan langkah berikut.

i. Uraikan ruas kanan menjadi dua kemungkinan yaitu < 0 atau  0.

ii. Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah pada 2a sehingga diperoleh penyelesaian 2a.

iii. Untuk ruas kanan  0, lakukan langkah-langkah pada 2b sehingga diperoleh penyelesaian 2b.

iv. Menentukan gabungan penyelesaian 2a dan 2b di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

(56)

Contoh 1

x 2

Tentukan penyelesaikan pertidaksamaan > 3.

Jawaban:

(57)

BAB

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

III

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

B. Menyelesaikan Masalah yang

Berkaitan dengan (SPLTV)

(58)

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Gambar 3.1 Dua paket sembako yang berisi beras dan minyak goreng

1. Bentuk SPLTV 2. Menyelesaikan

SPLTV

(59)

1. Bentuk Sistem SPLTV

a₁x + b₁y + c₁z = d₁ a₂x + b₂y + c₂z = d₂ a₃x + b₃y + c₃z = d₃

dengan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃ bilangan real; nilai a ₁, b ₁ dan c ₁ tidak ketiganya 0;

nilai a₂, b₂, dan c₂ tidak ketiganya 0; nilai a₃, b₃, dan c₃ tidak ketiganya 0.

2. Menyelesaikan SPLTV

Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan cara eliminasi,substitusi atau gabungan eliminasi dan substitusi

(60)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV berikut.

2x + y + z = 4 3x – y + 2z = –5 x + 2y + 2z = 5 Jawaban:

a. Menggunakan cara eliminasi

(61)

a. Menggunakan cara eliminasi

(62)

(63)

b. Menggunakan cara substitusi

Kembali ke awal subbab

(64)

c. Menggunakan cara gabungan eliminasi dan substitusi

Kembali ke awal subbab

(65)

(66)

B. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan SPLTV

Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan sebagai berikut.

1. Membuat model matematika SPLTV

2. Menyelesaikan model matematika SPLTV.

3. Membuat kesimpulan.

(67)

Contoh

Bu Wati, Bu Yanti, dan Bu Sita belanja buah di toko

buah. Bu Wati membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg pir seharga Rp112.000,00. Bu Yanti membeli 2 kg apel dan 1 kg pir seharga Rp58.000,00. Bu Sita membeli 3 kg jeruk dan 2 kg pir seharga Rp79.000,00. Buah

apakah yang paling mahal?

Jawaban:

Langkah 1: Membuat model matematika.

Misalkan:

x adalah harga 1 kg jeruk;

y adalah harga 1 kg apel;

z adalah harga 1 kg pir.

(68)

a. Bu Wati membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg pir seharga Rp112.000,00 sehingga diperoleh

persamaan:

2x + y + 4z = 112.000 . . . (1)

b. Bu Yanti membeli 2 kg apel dan 1 kg pir seharga Rp58.000,00 sehingga diperoleh persamaan:

2y + z = 58.000 . . . (2)

c. Bu Sita membeli 3 kg jeruk dan 2 kg pir seharga Rp79.000,00 sehingga diperoleh persamaan:

3x + 2z = 79.000 . . . (3)

Dari persamaan 1), 2), dan 3) diperoleh SPLTV:

2x + y + 4z = 112.000 . . . (1) 2y + z = 58.000 . . . (2)

3x + 2z = 79.000 . . . (3)

(69)

Langkah 2: Menyelesaikan SPLTV.

(70)

Langkah 3: Membuat kesimpulan.

Harga 1 kg jeruk Rp 17.000,00, harga 1 kg apel Rp 22.000,00, dan harga 1 kg pir Rp 14.000,00.

Jadi, buah yang paling mahal adalah buah apel.

(71)

BAB

Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

IV

A. Pertidaksamaan Dua Variabel

B. Sistem

Pertidaksamaan Dua Variabel

(72)

A. Pertidaksamaan Dua Variabel

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtdLDV) 2. Menentukan Penyelesaian PtdLDV

3. Menyusun PtdLDV Suatu Daerah Penyelesaian 4. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV) 5. Menentukan Penyelesaian PtdKDV

Sumber: Dokumen Penerbit

Gambar 4.1 Buku dan bolpoin

(73)

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtdLDV)

Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan variabel x dan y dapat dituliskan sebagai

berikut.

ax + by ≤ c ax + by ≥ c ax + by < c ax + by > c

dengan a, b, c bilangan real∈

(74)

2. Menentukan Penyelesaian PtdLDV

Langkah 1: Menggambar garis pembatas.

Aturan menggambar garis pembatas sebagai berikut.

a. Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥, garis pembatas digambarkan utuh.

b. Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan <

atau >, garis pembatas digambarkan putusputus.

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian (DP).

(75)

Menentukan dua titik yang dilalui garis x – y = 3.

Garis x – y = 3 melalui titik (0, –3) dan (3, 0).

Garis x – y = 3 disajikan dalam Gambar 4.2.

Contoh

Langkah 1: Menggambar garis pembatas x – y = 3.

Sumber: Dokumen Penerbit Gambar 4.2 Garis x – y = 3

(76)

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP.

Gambar 4.3 Daerah penyelesaian x – y < 3

a. Dari Gambar 4.2 terlihat titik (0, 0) di luar garis x – y = 3 sehingga titik (0, 0) dipilih sebagai titik uji.

b. Mensubstitusikan titik (0, 0) ke dalam pertidaksamaan x – y < 3.

x – y < 3 0 – 0 < 3 0 < 3⇔ ⇔

Pernyataan 0 < 3 bernilai benar sehingga DP memuat titik (0, 0).

DP x – y < 3 disajikan dalam Gambar 4.3.

(77)

3. Menyusun PtdLDV Suatu Daerah Penyelesaian

Langkah 1: Menentukan persamaan garis pembatas DP.

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan.

Aturan dalam menentukan tanda ketidaksamaan sebagai berikut.

Jika garis pembatas DP digambarkan utuh (––––), dipilih tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥.

Jika garis pembatas DP digambarkan putus-putus (– – – –), dipilih tanda pertidaksamaan < atau >.

(78)

Contoh

Tentukan PtdLDV daerah penyelesaian gambar di samping.

Jawaban:

Langkah 1: Menentukan persamaan garis pembatas DP.

Dari gambar terlihat garis pembatas memotong

sumbu Y di titik (0, 2) dan memotong sumbu X di titik (4, 0).

Persamaan garis pembatas:

2x + 4y = 8 x + 2y = 4.⇔

(79)

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan.

a. Dari gambar terlihat titik (2, 2) di dalam DP sehingga dipilih titik (2, 2) sebagai titik uji.

b. Mensubstitusikan titik (2, 2) ke x + 2y, lalu membandingkan hasilnya dengan 4.

2 + 2 × 2 = 2 + 4 = 6 ≥ 4 (dipilih tanda ketidaksamaan

≥ karena garis pembatas x + 2y = 4 digambarkan utuh)

Dengan demikian, diperoleh pertidaksamaan x + 2y

≥ 4.

Jadi, pertidaksamaan daerah penyelesaian adalah x + 2y ≥ 4.

(80)

4. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV)

Bentuk umum PtdKDV:

y < ax² + bx + c y > ax² + bx + c y ≤ ax² + bx + c y ≥ ax² + bx + c Keterangan:

a ≠ 0, a, b, dan c bilangan real∈ a dan b dinamakan koefisien

c dinamakan konstanta

(81)

5. Menentukan Penyelesaian PtdKDV

Langkah 1: Menggambar sketsa grafik y = f(x).

a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat.

1) Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0.

2) Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.

b. Menentukan titik puncak grafik (p, q).

Titik puncak grafik y = f(x) = ax2 + bx + c adalah (p, q) dengan p = dan q = f(p).

c. Menentukan beberapa titik bantu.

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian

b

 2a

(82)

Contoh 1

Tentukan DP PtdKDV y < –x² + 2x + 3.

Jawaban:

Langkah 1: Menggambar sketsa grafik y = f(x) = –x² + 2x + 3.

a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X.

Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0.

Grafik memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0).

(83)

b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y.

Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.

x = 0 maka y = f(0) = –0² + 2 × 0 + 3 = 3.

Grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3).

c. Menentukan titik puncak grafik

y = f(x) = –x² + 2x + 3 mempunyai nilai a = –1, b = 2, dan c = 3.

q = f(p) = f(1) = –1² + 2 × 1 + 3 = –1 + 2 + 3 = 4 Titik puncak grafik (1, 4).

(84)

d. Menentukan beberapa titik bantu.

Diperoleh titik bantu (–2, – 5), (2, 3), dan (4, –5).

Tanda pertidaksamaannya

<, berarti grafik

digambarkan putusputus (– – – –).

Sketsa grafik y = f(x) = –x² + 2x + 3 seperti seperti

gambar di samping. Sumber: Dokumen Penerbit

Gambar 4.2 Grafik y = f(x) = –x² + 2x + 3

(85)

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian y < –x² + 2x + 3.

Gambar 4.6 Daerah penyelesaian y < –x² + 2x + 3

a. Dari gambar terlihat titik (0, 0) di luar grafik sehingga titik (0, 0) dipilih sebagai titik uji.

b. Mensubstitusikan titik (0, 0) ke dalam pertidaksamaan y < –x² + 2x + 3.

0 < –0² + 2 × 0 + 3 0 < 3 ⇔

Pernyataan 0 < 3 bernilai benar sehingga DP memuat titik (0, 0).

DP y < –x² + 2x + 3 disajikan dalam Gambar 4.3.

(86)

Contoh 2

Tentukan PtdLDV daerah

penyelesaian gambar di samping.

Jawaban:

Langkah 1: Menentukan persamaan grafik yang membatasi DP

pertidaksamaan.

Dari gambar terlihat grafik memiliki titik

puncak A(–2, 2) sehingga persamaan grafik:

(87)

(88)

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan.

Dari gambar terlihat titik T(0, 0) di dalam daerah

penyelesaian sehingga titik T(0, 0) dipilih sebagai titik uji.

Substitusikan x = 0 ke –x² – 4x – 2 sehingga diperoleh:

–0² – 4 × 0 – 2 = –2

Jadi, pertidaksamaan DP adalah –x2 – 4x – 2 < y atau y > –x2 – 4x – 2.

(89)

B. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Gambar 4.2 Daerah penyelesaian SPtdLKDV dan SPtdKDV

1. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPtdLKDV)

2. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtdKDV)

(90)

1. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPtdLKDV)

SPtdLDV terdiri atas PtdLDV dan PtdKDV.

DP SPtdLKDV merupakan irisan dari daerah

penyelesaian PtdLDV dan PtdKDV penyusun SPtdLKDV tersebut.

Gambar 4.3 DP y ≤ x² – 2x + 2 dan 2x + 5y > 12

(91)

2. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtdKDV)

SPtdKDV terdiri atas lebih dari satu PtdKDV.

Daerah penyelesaian SPtdKDV merupakan irisan dari daerah

penyelesaian PtKDV penyusunnya tersebut.

Gambar 4.4 DP y ≤ x² + x – 2 dan y < – x² + x + 6

(92)

Contoh 1

Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.

y < –x² – 2x x – y ≥ 1

Jawaban:

Langkah 1: Menggambar sketsa grafik y = –x² – 2x dan garis x – y = 1.

(93)

Sketsa grafik y = –x² – 2x dan garis x – y = 1 seperti gambar berikut.

(94)

Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP.

Dari gambar terlihat, titik (–1, 0) terletak luar kedua grafik sehingga titik (–1, 0) dipilih sebagai titik uji.

Substitusikan titik (–1, 0) ke pertidaksamaan seperti tabel di samping.

Daerah yang diarsir pada gambar di samping

merupakan DP sistem pertidaksamaan.

(95)

Contoh 2

Tentukan PtdLDV daerah penyelesaian gambar di samping.

Jawaban:

Langkah 1: Menentukan persamaan grafik

Persamaan grafik yang memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (–1, 0):

(96)

Persamaan grafik yang memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (–1, 0):

(97)