[ 1 1 PENDAHULUAN SCILAB. Modul Praktikum Metode Numerik. 1. Struktur Scilab

PENDAHULUAN SCILAB

 1. Struktur Scilab Program Scilab sudah memiliki text editor di dalamnya. Perintah/kode program Scilab dapat dituliskan  di dalam window Scilab Execution (Scilex) ataupun di window Scipad (text editor Scilab). Namun  untuk praktikum Metode Numerik ini, program dituliskan di dalam Scipad.  2. File Extension

File   program   Scilab   memiliki   extension   .sce.   File   ini   masih   dalam   bentuk   text   format.   Untuk  mengeksekusi file .sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl +  l).  3. Perintah Scilab  3.1. Vektor Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sbb : (vektor disebut juga dengan array satu dimensi) x=[0 ;2 ;5]  3.2. Matriks Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sbb : (matriks disebut juga array dua dimensi)

[

1 −1 4 3 2 −3 4 5 5

]

perintahnya sbb : A=[1 3 4 ;−1 2 5 ; 4−3 5]  3.3. Vector Otomatis

Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 7 dengan faktor kenaikan sebesar 0.2 w = 1:0.2:7  3.4. Menjalankan Function pada Vector Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah : z = sin(w)  3.5. Membuat Plot dari Vector Dua vector z dan w dapat dibuat plot w versus z dengan perintah : plot2d(w,z)  3.6. Matriks Bilangan Random Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sbb : rand(n,m)  3.7. Loops dan Condition Looping dan condition di dalam Scilab sbb : ans = 0; n = 1; term = 1;  while( ans + term ~= ans )          ans = ans + term;          term = term*x/n;          n = n + 1;  end  ans  kemudian dijalankan perintah sbb :

x = 1.0  exec(’ex.sci’)  Selain itu : for j=­4:2:6 disp(j**2) end Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36  3.8. Statement IF Statement IF di dalam Scilab sbb : if expression then statements else if expression then statements else statements end  3.9. Function Contoh function pada Scilab : function y = ex(x)  // EX A simple function to calculate exp(x)  y = 0; n = 1; term = 1;  while( y + term ~= y )          y = y + term; 

        n = n + 1;  end  endfunction  cara menjalankan : exec('ex.sci') ex(1.0)

A. PENYELESAIAN AKAR­AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

Akar­akar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan polinomial. Polinomial  tersebut   berorde   (berpangkat)   2   atau   lebih,   biasa   disebut   dengan   persamaan   Non   Linear.   Untuk  persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi  diperlukan metode numerik untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut. Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini : 1. METODE BISECTION Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan  persamaan : X_c=X_aX_b/2 _...(1.1) dimana nilai  f  X_a. f  X_b0 _...(1.2). Kelemahan metode ini adalah :

1. Jika   akar   persamaan   lebih   dari   satu,   maka   nilai   tersebut   hanya   bisa   ditemukan   satu   per  satu/tidak bisa sekaligus.

2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Proses iterasi tergolong lambat.   

Langkah pertama, menentukan dua nilai x (Xa dan Xb) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini  harus memenuhi syarat persamaan 1.2 Langkah kedua,  jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal Xc) baru  menggunakan persamaan 1.1 Langkah ketiga, mencari nilai f(Xc) Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(Xc) = 0 atau mendekati 0. Contoh : Carilah akar persamaan  f  x=x3_−7x1 Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal :   Xa = 2.6 dan Xb = 2.5. Kemudian cek  apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat? f(Xa) = f(2.6) =  2.63−72.61=0.376 f(Xb) = f(2.5) =  2.53_{−72.51=−0.875} Karena f(Xa).f(Xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar. Langkah kedua, mencari nilai Xc X_c=X_aX_b/2 _atau  X_c=2.62.5/2 _= 2.55 dan f  X_c=2.553_{−72.551=−0.2686} karena nilai f(Xc) negatif maka f(Xc) menggantikan f(Xb). Langkah ketiga, mencari nilai Xd

X_d=2.62.55/2=2.575 dan f  X_d=2.5753_{−72.5751=−0.04886} Langkah keempat, mencari nilai Xe X_e=2.62.575/2=2.5625 dan f  Xe=2.5625 3_{−7 5.56251=−0.11108} Langkah berikutnya, ulangi langkah­langkah di atas hingga menemukan f(Xn) yang mendekati nol  atau f  x_n−1−f  x_ne _{. Sedangkan e dapat ditentukan sendiri, misalnya  E x 10}−5 Tugas Anda 1. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x) tidak pernah  nol bulat (­3,472 x 10­8_{) dengan x = 2.571201.} 2. Seorang peneliti atom menemukan hubungan waktu luruh radioaktif (t) dengan energi (E) yang  dimiliki atom tersebut dengan suatu persamaan   t=4 E33 E−2 E2 . Berapakah energi 

2. METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear f(x). Rumus  penyelesaian  X_n1=X_n−f  X_n/f ' X_n _... 2a Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sbb : ∣f x₁. f ''x₁/ f 'x₁. f 'x₁∣ _{< 1 ... 2b} dimana  X_{1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi.} Keterbatasan dari metode ini adalah : 1. jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar­akar penyelesaian tersebut  tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks). 3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2b, meskipun  sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan. 4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua sangatlah sulit. Berikut algoritma Metode Newton Raphson : 1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.

2. Menentukan   nilai   X_{1 sebagai   nilai   perkiraan   awal   dan   kemudian   mengecek   apakah}  memenuhi persyaratan persamaan 2b.

3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai  X_{n .}

4. Begitu seterusnya hingga antara  X_n−1−X_{n = 0 atau <= nilai e (error). Nilai error ini dapat}  ditentukan sendiri.

Contoh : Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson : f  x=ex_−3x2₌₀ Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut f ' x=ex−6x f '' x=ex−6 Langkah kedua, menentukan nilai  X_{1 , misalnya}  X_{1 = 1.} f(1) =  e3−312=−0.281718 f'(1) =  e3_{−61=−3.281718} f''(1) =  e3_{−6=−3.281718} jadi ∣f x₁. f ''x₁/ f 'x₁. f 'x₁∣=0.0858451 karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan. Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2a untuk mencari  X_{n jika e (error) =  E x 10}−7 _. x₂=x₁−f  x₁/f ' x₁=0.9141155 x₁−x₂=0.0858845 Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka x₃=x₂−f  x₂/f ' x₂=0.910018 x₂−x₃=0.0040975 dst. hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e. Tugas Anda

1. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka akar f(x) =  0.9100076 atau mendekatinya.

2. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar inflasi (y) adalah  y =x4−9x22x−2 . Tentukan jumlah permintaan yang menandakan bahwa inflasi sebesar 

B. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK

Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya : 

y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 +... + a1nxn  

y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 +... + a2nxn

y2 = a31x1 + a32x2 + a33x3 +... + a3nxn

Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun untuk ordo (jumlah  variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat menggunakan nilai pendekatan. Oleh  sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan  dijelaskan di bawah ini. 1. METODE JACOBI Metode iterasi Jakobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui proses iterasi dengan  menggunakan persamaan sbb :       x₁n1 =h_i/a_ii−

∑

j=1 n a_ij/a_iix_jn_...3a      dimana j <> i Kelemahan dari metode ini adalah : 1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program menjadi lama. 2. Metode   ini   hanya   bisa   dipakai   jika   persamaan   yang   akan   diselesaikan   memenuhi   syarat 

persamaan berikut

∣a_ii∣

∑

j=1 n

dimana j <> I Berikut algoritma Metode Jacobi 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 3b. Jika ya,  maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan  persamaan 3a hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah  dari iterasi yang sebelumnya. Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan sbb :  8x₁x₂x₃=8 x₁−7x₂2x₃=−4 x₁2x₂9x₃=12 Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b.  Urutannya sebagai berikut : 

persamaan   8x₁x₂x₃=8 _{diletakkan   pada   posisi   paling   pertama   dikarenakan   koefisien   a11} 

memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan   x₁−7x₂2x₃=−4

dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah 

persamaan  x₁2x₂9x₃=12 _.

Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien :

A=



8₁ 1 1 −7 2 −1 2 9



matriks variabel : x=



x_x1₂ x₃



matriks hasil : h=



₋₄8 12



Langkah ketiga,  menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1, x2,     x3  = 0.  Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3a hingga nilai  x1, x2, x3 tidak berubah. Contoh iterasi  pertama sbb : x₁=8 8−



a₁₂ a₁₁x2 a₁₃ a₁₁x3



x₁=8/8−00=1 x₂=−4 −7−



a₂₁ a₂₂x1 a₂₃ a₂₂x3



x₂=0.571−00=0.571 x₃=12 9 −



a₃₁ a₃₃x1 a₃₂ a₃₃x2



x₃=1.333−00=1.333 setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah 1.

Tugas Anda  1. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas. 2. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3  faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb : 4x−10y6z=30 3x5y−7z=15 6x−8y6z=−8

Tugas   Anda   sebagai   programmer   adalah   membantu   peneliti   tersebut   dengan   membuatkan  program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 dengan menggunakan Metode Jacobi.

2. METODE GAUSS SEIDEL Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode ini lebih cepat  dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini menggunakan persamaan sbb : x_in1 =bi a_ii−

∑

j=1 i−1 _a ij a_iixj n1 −

∑

j=i1 N _a ij a_iixj n persamaan 4.a dimana : i = 1, 2,...N n = 1, 2, … Algoritma Gauss Seidel, sbb : 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 4a. Jika ya,  maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 4a hingga  didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang  sebelumnya. Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel : 8x₁x₂x₃=8 x₁−7x₂2x₃=−4 x₁2x₂9x₃=12 Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b.  Urutannya sebagai berikut : 

persamaan   8x₁x₂x₃=8 diletakkan   pada   posisi   paling   pertama   dikarenakan   koefisien   a₁₁  memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan   x₁−7x₂2x₃=−4 dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah  persamaan  x₁2x₂9x₃=12 _. Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien : A=



8₁ 1 1 −7 2 −1 2 9



matriks variabel : x=



x₁ x₂ x₃



matriks hasil : h=



₋₄8 12



Langkah ketiga,  menetukan titik awal misalnya :   x₁1, x₂1, x₃1₌₀ kemudian melakukan iterasi  dengan persamaan 4.a, yaitu : x₁2₌ h1 a₁₁−

∑

j=1 0 _a 1j a₁₁xj n1₋

∑

j=2 3 _a 1j a₁₁xj n x₁2 = h1 a₁₁−0− a₁₂ a₁₁x21 a₁₃ a₁₁x13 x₁2_{=1−0−00=1}

x₂2₌ h2 a₂₂−

∑

j=1 1 _a 2j a₂₂xj n1₋

∑

j=3 3 _a 2j a₂₂xj n x₂2 = h2 a₂₂−0− a₂₁ a₂₂x1 2 a23 a₂₂x3 1 x₂2_{=0.571−−1/70=0.7147} x₃2₌ h2 a₂₂−

∑

j=1 2 _a 3j a₃₃xj n1₋

∑

j=4 3 _a 3j a₃₃xj n x₃2 = h3 a₃₃−0− a₃₁ a₃₃x12 a₃₂ a₃₃x22 x3 2_{=1.333−2/90.714/9=1.032} Setelah dilanjutkan sampai iterasi ke­N ditemukan hasil dari  x₁, x₂, x₃=1 _. Tugas Anda : 1. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas. 3. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3  faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb : 4x−10y6z=30 3x5y−7z=15 6x−8y6z=−8

Tugas   Anda   sebagai   programmer   adalah   membantu   peneliti   tersebut   dengan   membuatkan  program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 menggunakan Metode Gauss Seidel.

C. PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK

Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo(pangkat) lebih dari satu. Masing­ masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian persamaan satu dapat digunakan sebagai  penyelesaian   dalam   persamaan   yang   lainnya.   Salah   satu   metode   yang   bisa   digunakan   untuk  menyelesaikan persamaan non linear serentak adalah Metode Newton Raphson. METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya terbatas pada persamaan  berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar, persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada  penghitungan determinan matriks ordo tinggi. Algoritma Newton Raphson 1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi : F x₁, x₂=0  _dan  G x₁, x₂=0

2. Mencari nilai fungsi  F x₁, x₂ dan  G x₁, x₂=0 dan turunan fungsi tersebut terhadap 

masing­masing   variabelnya,   yaitu   dF /dx₁, dF/ dx₂, dG/dx₁, dG/dx_{2 pada   titik   awal}  yang ditentukan yaitu  x1

0

dan  x2 0

.

3. Mencari   nilai   r_{1 dan}   s_{1 (} r_{1 dan}   s_{1 adalah   deviasi   dari   nilai}   x_{1 dan}   x_{2 ),}  dengan aturan sbb : r₁=

∣

−F x₁, x₂ −Gx₁, x₂ dF /dx₂ dG/dx₂

∣

∣

dF /dx₁ dG /dx₁ dF /dx₂ dG/dx₂

∣

       s₁=

∣

dF /dx₁ dG/dx₁ −F  x₁, x₂ −G x₁, x₂

∣

∣

dF /dx₁ dG/ dx₁ dF /dx₂ dG /dx₂

∣

kemudian dengan pendekatan didapatkan 

x1 1 =x1 0 r1 x₂1=x₂0s₁ 4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan nilai r dan s nol  atau mendekati nol/error. Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sbb : x₂x₁=12.6−x₁e−x2 4ln x₂x₁20.3=3x₁x₂ Penyelesaiannya adalah : Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk F x₁, x₂=0 G x₁, x₂=0 yaitu :  F x₁,x₂=x₁e−x2 −x₂x₁−12.6=0 G x₁,x₂=4ln x₂x₁20.3−3x₁x₂ Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada  x₁0 dan  x₂0 misalkan ditentukan nilai  awalnya sebesar  x1 0₌₄ dan  x2 0₌₃ akan didapatkan : F x₁, x₂=x₁e−x2−x₂x₁−12.6 F x₁, x₂=4exp−3−34−12.6 F x₁, x₂=−0.799148273 dan G x1, x2=4ln x2x1 2_0.3−3x 1x2

G x1, x2=4ln34 2_{0.4−3 43} G x₁,x₂=−0.090160536 nilai turunannya : dF /dx1=−x2e −x2_{=−3exp−3=2.9590212932} dF /dx2=−x1−x1e −x2 =−4−4exp−3=−4.199148273 dG /dx₁=2x₁−3x₂=24−33=2.803847577 dG /dx₂=4/x₂−3x₁/2x₂=4/3−34/23=−2.130768282 Langkah ketiga, mencari nilai  r_{1 dan}  s₁ r₁=

∣

−0.799148273 0.090160536 −4.199148273 −2.130768282

∣

∣

−2.950212932 2.803847577 −4.199148273−2.130768282

∣

=0.115249096 s₁=

∣

−2.950212932 2.803847577 −0.799148273 0.090160536

∣

∣

−2.950212932 2.803847577 −4.1994148273−2.130768282

∣

=0.109340978 sehingga  x1 1 =x1 0 r1=40.115249096=4.115249096 x2 1 =x2 0 s1=30.109340978=3.109340978

Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai  r_{1 dan}  s_{1 sama}  dengan nol.

Hasil akhirnya adalah  x₁=4.1131531474 _dan  x₂=3.1080320798

Tugas Anda

1. Buatlah program menggunakan Scilab pada persoalan di atas.

x₁=2log x₂x₁x_{2 dan}  x1x2=e

x2_{3−ln x} 1 2

D. INTERPOLASI

Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui nilai­nilai fungsi yang  diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui persamaannya namun yang diketahui hanya  nilainya. Misalnya suatu fungsi yang bernilai sbb : x f(x) 0 0 0.2 0.406 0.4 0.846 0.6 1.386 0.8 2.060 1.0 3.114 1.2 5.114 Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015. Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga. Berikut penjelasan  mengenai Tabel Beda Hingga. Tabel Beda Hingga dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sbb : x f(x) ∆f(x) 0.0 0.000 0.406 0.2 0.406 0.034 0.440 0.048 0.4 0.846 0.082 0.040 0.552 0.088 0.064 0.6 1.368 0.170 0.104 0.254 0.692 0.192 0.318 0.8 2.060 0.361 0.422 1.054 0.614 1.0 3.114 0.976 ∆f(x)2 _∆f(x)3 _∆f(x)4 _∆f(x)5 _∆f(x)6

1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF) Interpolasi metode Newton­Gregory Forward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan  persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sbb : f  x_s=f₀s  f₀ss−1 2!  2_f 0 ss−1s−2 3!  3_f 0... ss−1s−2...s−n1 n!  n_f 0 persamaan 1.D dimana  s=xs−x0 h dan  f0 didapatkan melalui Tabel Beda Hingga. Metode ini memiliki keterbatasan antara lain : 1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced. ( x₁−x₀=x₂−x₁=x₃−x₂=...=x_n−x_n−1=konstan _{atau h = konstan)} 2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di dekat nilai  awal  x_{1  dan}  x_{0 (nilai errornya kecil).}

3. Tidak   dapat   digunakan   untuk   menyelesaikan   permasalahan   interpolasi   balik   (invers  interpolation). Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik awal. Algoritma NGF Langkah pertama, mencari nilai­nilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel Beda Hingga. Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 1.D. Contoh : Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF.

n x f(x) 0 1.0 1.449 1 1.3 2.060 2 1.6 2.645 3 1.9 3.216 4 2.2 3.779 5 2.5 4.338 6 2.8 4.898 Penyelesaian : Langkah pertama, mencari nilai­nilai beda hingga dari data yang diberikan. Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 1D. s=xs−x0 h = 1.03−1 1.3−1 =0.1 dengan bantuan tabel didapatkan  f₀=0.611 ;2f₀=−0.026 ;3f₀=0.012 ; 4f₀=0.006 ;5f₀=0.004 ;6f₀=−0.001 sehingga : s x f(x) ∆f(x) 0 1 1.45 0.611 1 1.3 2.06 -0.026 0.585 0.012 2 1.6 2.65 -0.014 -0.006 0.571 0.006 0.004 3 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001 0.563 0.004 0.003 4 2.2 3.78 -0.004 0.001 0.559 0.005 5 2.5 4.34 0.001 0.560 6 2.8 4.9 ∆f(x)2 _∆f(x)3 _∆f(x)4 _∆f(x)5 _∆f(x)6

f  x_s=f₀s  f₀ss−1 2!  2_f 0 s s−1 s−2 3!  3_f 0   ss−1s−2 s−3_4! 4f₀ss−1s−2 s−3 s−4 5!  5_f 0   ss−1s−2 s−3 s−4s−5_6! 6f₀=1.5118136 Tugas Anda 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan NGF n x f(x) 0 1.0 4.90 1 1.25 5.00 2 1.5 5.243 3 1.75 5.467 4 2.0 5.689 5 2.25 5.887 6 2.5 6.03 7 2.75 6.288 8 3 6.489

2. INTERPOLASI METODE STIRLING Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan persamaan sbb : f  x_s=f₀

∣

s 1

∣

f₋₁f₀ 2 

∣

s1 2

∣



∣

2s

∣

2  2_f −1

∣

s1₃

∣

3f₋₂3f₋₁ 2

∣

s2 4

∣



∣

s14

∣

2  4_f −2    

_∣

s2 5

∣

5f₋₃5f₋₂ 2 

∣

s3 6

∣



∣

s26

∣

2  6_f −3...persamaan 2.D dimana : s=xs−x0 h dan 

∣

s j_k

∣

=s js j−1s j−2 s j−3...s j−k1 k! Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai tengah maka nilai  errornya kecil. Algoritma Stirling Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga. Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 2D. Contoh Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling n x f(x) ­3 1.0 1.449 ­2 1.3 2.060 ­1 1.6 2.645 0 1.9 3.216

1 2.2 3.779 2 2.5 4.338 3 2.8 4.898 Penyelesaian : Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas. Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs) s=xs−x0 h = 1.87−1.9 1.3−1 =−0.1 dari tabel beda hingga diketahui  f₋₁=0.571 ; f₀=0.563 ;2f₋₁=−0.008 ; 3f₋₂=0.006 ;3f₋₁=0.004 ;4F−2=−0.002 ; 5_f −3=0.004 ; 5f₋₁=0.003 ;6f₋₃=−0.001 sehingga f  x₅=f₀

∣

1 5

∣

f₋₁f₀ 2 

∣

51 2

∣



∣

5 2

∣

2  2_f −1

∣

51₃

∣

3f₋₂3f₋₁ 2    

∣

52 4

∣



∣

51 4

∣

2  4_f −2

∣

52

∣

5f−3 5_f −2 2 

∣

51 6

∣



∣

52 6

∣

2  6_f −3=3.159402 s x f(x) ∆f(x) -3 1 1.45 0.611 -2 1.3 2.06 -0.026 0.585 0.012 -1 1.6 2.65 -0.014 -0.006 0.571 0.006 0.004 0 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001 0.563 0.004 0.003 1 2.2 3.78 -0.004 0.001 0.559 0.005 2 2.5 4.34 0.001 0.560 3 2.8 4.9 ∆f(x)2 _∆f(x)3 _∆f(x)4 _∆f(x)5 _∆f(x)6

jadi f(1.87) = 3.159402 Tugas Anda 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan Metode Stirling n x f(x) 0 1.0 4.90 1 1.25 5.00 2 1.5 5.243 3 1.75 5.467 4 2.0 5.689 5 2.25 5.887 6 2.5 6.03 7 2.75 6.288 8 3 6.489

3. Interpolasi Metode Lagrange Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sbb : f  x= x−x1x−x2x−x3...x−xn x₀−x₁x₀−x₂x₀−x₃...x₀−x_nf0 x−x₀x−x₂x−x₃...x−x_n x₁−x₀x₁−x₂x₁−x₃... x₁−x_nf1 x−x₀x−x₁x−x₃...x−x_n x₂−x₀x₂−x₁x₂−x₃... x₂−x_nf2 x−x₀x−x₁x−x₂... x−x_n x₃−x₁x₃−x₂x₃−x₃...x₃−x_nf3 ... x−x1x−x2x−x3... x−xn−1 x_n−x₁x_n−x₂x_n−x₃...x_n−x_n−1fn...persamaan 3.D Kelebihan dari metode Lagrange adalah :

1. Interpolasi   Metode   Lagrange   dapat   digunakan   untuk   menyelesaikan   persoalan   interpolasi  equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan). 2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan invers interpolasi  (interpolasi balik). 3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di  daerah awal, akhir, maupun tengah. 4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga penyelesaian  persoalaan lebih mudah. Contoh : Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb : n x f(x)

0 1.0 0.000 1 1.2 0.2625 2 1.5 0.9123 3 1.9 2.3170 4 2.1 3.2719 5 2.5 5.7268 6 3.0 9.8875 Penyelesaian : f  x= x−x1x−x2x−x3x−x4x−x5x−x6 x₀−x₁x₀−x₂x₀−x₃x₀−x₄x₀−x₅x₀−x₆f0 x−x₀x−x₂x−x₃x−x₄x−x₅x−x₆ x₁−x₀x₁−x₂x₁−x₃x₁−x₄x₁−x₅x₁−x₆f1 x−x₀x−x₁x−x₃x−x₄x−x₅x−x₆ x₂−x₀x₂−x₁x₂−x₃x₂−x₄x₂−x₅x₂−x₆f2 x−x₀x−x₁x−x₂x−x₄x−x₅x−x₆ x₃−x₀x₃−x₁x₃−x₂x₃−x₄x₃−x₅x₃−x₆f3 x−x₀x−x₁x−x₂x−x₃x−x₅x−x₆ x₄−x₀x₄−x₁x₄−x₂x₄−x₃x₄−x₅x₄−x₆f4 x−x₀x−x₁x−x₂x−x₃x−x₄x−x₆ x₅−x₀x₅−x₁x₅−x₂x₅−x₃x₅−x₄x₅−x₆f5 x−x₀x−x₁x−x₂x−x₃x−x₄x−x₅ x₆−x₀x₆−x₁x₆−x₂x₆−x₃x₆−x₄x₆−x₅f6 =0.031352 Tugas Anda : 1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas. 2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39

n x f(x) 0 1.0 4.90 1 1.3 5.00 2 1.5 5.243 3 1.75 5.467 4 2.0 5.689 5 2.4 5.887 6 2.5 6.03 7 2.75 6.288 8 3 6.489

E. INTEGRASI NUMERIK

1. Integrasi Numerik Metode Trapzoida Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada batas tertentu ( x=x₀−x_{n ) dengan menggunakan persamaan 1.E untuk non equispaced dan 2.E untuk equispaced.} 

∫

f  x dx=x1−x0 2 f1f0 x₂−x₁ 2 f2f1... x_n−x_n−1 2 fnfn−1...1.E

∫

f  x dx= h 2[f02 f1f2f3...fn−1fn]...2.E dimana  h=x₁−x₀=x₂−x₁=...dst Contoh : Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini dengan Metode  Trapzoida. n x f(x) 0 1.0 1.449 1 1.3 2.060 2 1.6 2.645 3 1.9 3.216 4 2.2 3.779 5 2.5 4.338 6 2.8 4.898 Penyelesaian : Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced (persamaan 2.E)

∫

f  x dx= h 2[f02 f1f2f3f4f5f6]

       =1.3−1.0 2 1.44922.0602.6453.2163.7794.3384.898        =5.76345 Tugas Anda : 1. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab dan Metode  Trapzoida. 2. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari tabel  berikut : n x f(x) 0 1.0 4.90 1 1.3 5.00 2 1.5 5.243 3 1.75 5.467 4 2.0 5.689 5 2.4 5.887 6 2.5 6.03 7 2.75 6.288 8 3 6.489

Modul ini disadur dari :

• Munif, Abdul, Metode Numerik