LAPORAN PRAKTIKUM PERTEMUAN VI METODE NUMERIK

LAPORAN PRAKTIKUM PERTEMUAN VI METODE NUMERIK

Oleh

Nama : Aprillia Sherli Manullang

NPM : F1F021032

Dosen Pengampu : 1. Dian Agustina, S.Si., M.Sc.

2. Nurul Hidayati,S. Si., M.Si.

Asisten Praktikum : 1. Qhiky Lioni Tasyah (F1F020021) 2. Esther Damayanti Sihombing (F1F020028)

LABORATORIUM MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BENGKULU

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat-Nya, atas segala rahmat dan karunia yang diberikan, sehingga laporan praktikum metode numerik yang berjudul Interpolasi Lagrange ini bisa terselesaikan dengan baik.

Laporan praktikum pertemuan keenam ini penulis susun sebagai bagian dari tugas mata kuliah metode numerik. Dalam menyelesaikan laporan ini penulis menyampaikan banyak terima kasih kepada yang terhormat:

1. Nurul Hidayati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pengampu 2. Dian Agustina,S. Si., M.Sc. selaku Dosen Pengampu 3. Qhiky Lioni Tasyah selaku Asisten Praktikum

4. Esther Damayanti Sihombing selaku Asisten Praktikum

5. Seluruh karib kerabat yang telah mendukung penulis serta terlibat baik secara langsung ataupun tidak langsung dalam menyelesaikan laporan ini.

Semoga apa yang dipaparkan dalam laporan ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan menambah pengetahuan tentang Interpolasi Lagrange.

Bengkulu, 25 November 2022

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...i

KATA PENGANTAR...ii

DAFTAR ISI...iii

DAFTAR GAMBAR...iv

DAFTAR TABEL...v

DAFTAR LAMPIRAN...vi

BAB I PENDAHULUAN...1

1.1 Latar Belakang...1

1.2 Rumusan Masalah...1

1.3 Tujuan Penelitian ...2

1.4 Batasan Masalah...2

1.5 Manfaat Penelitian...2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA...4

2.1 Metode Numerik...4

2.2 Interpolasi Lagrange ...5

BAB III METODE PENELITIAN...8

3.1 Analisis Data...8

3.2 Diagram Alir Penelitian...9

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN...10

4.1 Hasil Penelitian...10

4.2 Pembahasan...10

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN...12

5.1 Kesimpulan...12

5.2 Saran...13

DAFTAR PUSTAKA...14

LAMPIRAN 15

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Diagram Alir Interpolasi Lagrange...9

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Hasil Interpolasi Lagrange Ordo 3...10 Tabel 2. Hasil Interpolasi Lagrange Ordo 4...10

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Data Batasan Masalah...15 Lampiran 2. Output Interpolasi Lagrange Ordo 3...15 Lampiran 3. Output Interpolasi Lagrange Ordo 4...15

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode Numerik merupakan suatu teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehinga dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi aritmatika biasa. Pada umumnya metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik biasa. Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui.

Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah Interpolasi Linier, Interpolasi Kuadrat, dan Interpolasi Polinomial. Berbagai metode dalam Interpolasi antara lain metode Lagrange dan metode Newton.

Kedua metode tersebut menggunakan fungsi Polinomial untuk menginterpolasi f(x) pada titik-titik yang diberikan. Bagi para peneliti, Interpolasi sering digunakan apalagi bila penelitian yang dilakukan adalah jenis penelitian kuantitatif, artinya banyak data-data yang harus dikumpulkan dan dianalisis.

Dilaporan kali ini akan dibahas tentang Interpolasi Lagrange. Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk Interpolasi berselang tidak sama selain formula Interpolasi Newton umum dan metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, rumusan masalah yang dapat disimpulkan yaitu sebagai berikut:

1. Bagaimana cara memahami Interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah hampiran nilai fungsi?

2. Bagaimana cara mengaplikasikan Interpolasi Lagrange tersebut dalam berbagai permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan yang dapat disimpulkan adalah:

1. Praktikan dapat memahami Interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah hampiran nilai fungsi.

2. Praktikan dapat mengaplikasikan Interpolasi Lagrange tersebut dalam berbagai permasalahan yang diberikan dengan menggunakan progran komputer.

1.4 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah pada penelitian ini yaitu: gunakan Interpolasi Lagrange ordo 3 dan ordo 4 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ berdasarkan data pada lampiran 1 yang ditambah 2 digit angka terakhir npm praktikan.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat pada penelitian ini yaitu:

1. Bagi penulis:

a. Dapat memberikan pengetahuan yang benar tentang penerapan prosedur Interpolasi Lagrange.

b. Mengembangkan dan menerapkan wawasan ilmu yang telah diperoleh dalam bidang statistika khususnya tentang Interpolasi Lagrange.

2. Bagi pembaca:

a. Menambah ilmu pengetahuan dan pemahaman tentang Interpolasi Lagrange.

b. Menjadi rujukan bagi peneliti selanjutnya.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Metode Numerik

Metode numerik adalah satu-satunya metode alternatif yang ada dalam upaya menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Metode yang lain dikenal sebutan metode analitik. Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan.

Pada dasarnya metode numerik merupakan metode untuk menentukan penyelesaian numeris, dalam hal ini dilakukan hitungan yang berulang-ulang (iterasi) untuk menyelesaikan penyelesaian numeriknya, sehingga hasil akan lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan prosedur pengulangan yang dianggap cukup akhirnya diperoleh hasil perkiraan yang mendekati nilai eksak.

Nilai eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi f(x) bisa diselesaikan secara analitis. Setiap metode memiliki prosedur yang berbeda dalam menentukan nilai pendekatannya. Pendekatan yang digunakan metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Metode numerik merupakan algoritma pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan menggunakan metode pendekatan ini, setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan) (Siregar, 2021).

2.2 Interpolasi Lagrange

Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut kemungkinan merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau dari hasil sebuah fungsi yang diketahui. Interpolasi digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang teori hampiran. Interpolasi dapat digunakan untuk mencari nilai-nilai f (x) untuk nilai-nilai x yang tidak terdapat didalam tabel. Salah satu solusi adalah mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data didalam tabel. Pendekatan seperti ini dinamakan pencocokan kurva ( curve fitting). Fungsi yang diperoleh dari pendekatan ini merupakan fungsi hampiran, sehingga nilai fungsinya tidak setepat nilai aslinya (Maharani & Suprapto, 2018).

Interpolasi Polinomial Lagrange merupakan reformulasi Polinomial Newton yang menghindari bentuk selisih terbagi. Dengan kata lain Polinomial Lagrange dapat diturunkan secara langsung dari formulasi Newton. Metode Lagrange merupakan metode deterministik yang menggunakan bentuk polinomial dari data yang diberikan untuk menghitung suatu nilai fungsi. Bentuk penulisan

Polinomial Lagrange, f dapat ditulis dalam bentuk

∑

i=1 p

f_il_i(X) , dimana

l_i(X) adalah fungsi multinomial dengan variabel bebas (X₁, X₂, X₃, … , X_n) dengan sifat jika X=(x_1i, x_2i, … , x_¿) maka l_i(X)=1 dan l_i(X)=0(j≠ i) (Fitriani, 2020).

Polinom Interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari Polinom Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian,

Polinom interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari Polinom Interpolasi Newton tersebut.

a. Polinom Interpolasi Lagrange ordo 1.

Perhatikan formula Polinom Interpolasi Newton ordo 1 berikut:

f(x)=P₁(x)=f₀+

(

^x−x0

)

^{. f[x}0, x₁]

Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda terbagi dirumuskan sebagai berikut:

f

[

^x0, x₁

]

^=¿ _x ^f1

1−x₀+ f₀ x₀−x₁

Kemudian bentuk ini disubstitusikan kepersamaan pertama sehingga diperoleh:

P₁(x)=

∑

i=0 1

( ^∏

j=0

1 x−x_i x_i−x_j

)

^{. fi}

b. Polinom Interpolasi Lagrange ordo 2

Perhatikan formula Polinom Interpolasi Newton ordo 1 berikut:

f(x)=P₂(x)=f₀+

(

^x−x0

)

^{. f}

[

^x0, x₁

]

⁺

(

^x−x0

) (

^x−x1

)

^{. f}

[

^x0, x₁, x₂

]

Beda-beda terbagi ordo 2 dirumuskan ulang:

f

[

^x0, x₁, x₂

]

^{=¿ f0}

(x₀−x₁)(x₀−x₂)+ f₁

(x₁−x₀)(x₁−x₂)+ f₂

(x₂−x₀)(x₂−x₁)

Kemudian bentuk ini disubstitusikan ke formula Interpolasi Newton ordo 2 sehingga diperoleh:

P₂(x)=

∑

i=0 2

( ^∏

j=0

2 x−x_i x_i−x_j

)

^{. fi}

Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula Interpolasi Lagrange sebagai berikut:

P_n(x)=

∑

i=0 n

( ^∏

^j=0j ≠i

n x−x_i

xi−xj

)

^{. fi=}

^∑

^{i=0n Li(x). fi}

Algoritma Interpolasi Lagrange, adalah sebagai berikut:

1. Masukan: ^{n , x}i, f

(

^xi

)

^{, x} ; i=1,2, … ,n 2. Keluaran: perkiraan Lagrange (plag)

Adapun langkah-langkah Interpolasi Lagrange, adalah sebagai berikut:

1. Plag ¿0

2. Untuk i=1,2, …,n lakukan 3. Faktor ¿1

4. Untuk j=1,2, … , n

5. Jika j ≠i , faktor = faktor. x−x_i x_i−x_j

6. Plag = plag + faktor . f(x_i)

Bentuk Lagrange untuk polinom interpolasi akan memudahkan kita dalam menunjukkan eksistensi polinom interpolasi serta sangat bermanfaat untuk penurunan rumus-rumus lain. Tetapi, evaluasinya pada suatu titik x paling sedikit memerlukan 2(n+1) perkalian atau pembagian dan ( 2n+1¿

penjumlahan dan pengurangan, dengan n adalah derajat polinom. Hal ini menjadikan polinom Lagrange kurang praktis didalam kerja numeris dan komputasinya memerlukan waktu. Kekurangan lain dari bentuk Lagrange ini adalah didalam praktek, kita tidak mempunyai kepastian tentang berapa titik interpolasi yang harus digunakan (Fauzi, 2022).

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Analisis Data

Algoritma untuk melakukan Interpolasi Lagrange, adalah sebagai berikut:

1. Masukan: ^{n , x}i, f

(

^xi

)

^{, x} ; i=1,2, … ,n 2. Plag ¿0

3. Untuk i=0,1,2, … , n lakukan 4. Faktor ¿1

5. Untuk j=0,1,2, … , n

6. Jika j ≠i , faktor = faktor. x−x_i x_i−x_j 7. Plag = plag + faktor . f(x_i)

8. Keluaran: perkiraan Lagrange (plag)

3.2 Diagram Alir Penelitian

Diagram alir Interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut:

Tidak

Gambar 1. Diagram Alir Interpolasi Lagrange Mulai

n , x_i, f

(

^xi

)

^{, x}

Plag ¿0

i=0,1, 2,… ,n

Faktor ¿1

j=0,1,2,… , n

Jika j ≠i Ya Faktor = faktor. ^x−xj

x_i−x_j

Perkiraan Lagrange (plag)

Selesai

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penelitian

Tabel 1. Hasil Interpolasi Lagrange Ordo 3

x −40 0 20 50

y 4.71 4.91 5 5.15

x _dicari 15

lag_Sherli(x, y, x_dicari)

p

¿4.7100 Tabel 2. Hasil Interpolasi Lagrange Ordo 4

x −40 0 20 50 100

y 4.71 4.91 5 5.15 5.37

x _dicari 15

lag_sinta(x, y, x_dicari) p = 4.7100

4.2 Pembahasan

Pada soal batasan masalah, diminta untuk mencari nilai Interpolasi Lagrange ordo 3 dan ordo 4 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ , jika diketahui nilai x dan y seperti pada lampiran 1 yang ditambah 2 digit akhir npm praktikan dengan menggunakan Interpolasi Lagrange, maka pada Matlab langkah pertama buat terlebih dahulu listing program pada lembar editor. Selanjutnya, simpan file listing fungsi tersebut pada folder atau direktori file yang sama. Beri nama listing program dengan nama lag_Sherli. Lalu, panggil listing program yang telah dibuat sebelumnya pada lembar Command Window yaitu dengan cara menuliskan terlebih nilai x lalu nilai y , masukan �_dicari dan fungsi Interpolasi Lagrange yang telah dibuat pada listing program. Pada ordo 3 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ yaitu memasukkan nilai

x=[−40 0 2050] , nilai y=[4.71 4.915 5.15] pada Command Window.

Tahap selanjutnya yaitu mencari nilai x=15 , yang mana dapat dilihat seperti pada lampiran 2 dan tabel 1. Setelah itu untuk mencari nilai x dengan Interpolasi Lagrange ordo 3 gunakan fungsi lag_Sherli(x,y,x_dicari), dan didapatkan hasilnya yaitu 4.7100 dapat dilihat pada lampiran 2 dan tabel 1.

Pada ordo 4 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ yaitu memasukkan nilai x=[−40 0 2050 100] , dan nilai y=[4.71 4.915 5.15 5.37] pada Command Window. Tahap selanjutnya yaitu mencari nilai x=15 , yang mana dapat dilihat seperti pada lampiran 3 dan tabel 2. Setelah itu untuk mencari nilai x dengan Interpolasi Lagrange ordo 4 gunakan fungsi lag_Sherli(x,y,x_dicari), dan didapatkan hasilnya yaitu 4.7100 dapat dilihat pada lampiran 3 dan tabel 2.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari pemaparan diatas dapat di simpulkan bahwa, Interpolasi Polinomial Lagrange merupakan reformulasi Polinomial Newton yang menghindari bentuk selisih terbagi. Dengan kata lain polinomial Lagrange dapat diturunkan secara langsung dari formulasi Newton. Metode Lagrange merupakan metode deterministik yang menggunakan bentuk polinomial dari data yang diberikan untuk menghitung suatu nilai fungsi. Polinom Interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari Polinom Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian, Polinom Interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari Polinom Interpolasi Newton tersebut.

Interpolasi Lagrange memiliki bentuk yang memudahkan kita dalam menunjukkan eksistensi Polinom Interpolasi serta sangat bermanfaat untuk penurunan rumus-rumus lain. Tetapi, evaluasinya pada suatu titik x paling sedikit memerlukan 2(n+1) perkalian atau pembagian dan ( 2n+1¿

penjumlahan dan pengurangan, dengan n adalah derajat polinom. Hal ini menjadikan Polinom Lagrange kurang praktis didalam kerja numeris dan komputasinya memerlukan waktu. Kekurangan lain dari bentuk Lagrange ini adalah didalam praktek, kita tidak mempunyai kepastian tentang berapa titik interpolasi yang harus digunakan.

Pada soal batasan masalah, praktikan diminta untuk mencari nilai Interpolasi Lagrange ordo 3 dan ordo 4 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ , jika

diketahui nilai x dan y seperti pada lampiran 1 yang ditambah 2 digit akhir npm praktikan dengan menggunakan Interpolasi Lagrange. Pada ordo 3 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ yaitu memasukkan nilai x=[−40 0 2050] , nilai y=[4.71 4.915 5.15] pada Command Window.

Untuk mencari nilai x dengan Interpolasi Lagrange ordo 3 gunakan fungsi lag_Sherli(x,y,x_dicari), dan didapatkan hasilnya yaitu 4.7100 . Pada ordo 4 untuk mengevaluasi air pada suhu 15℃ yaitu memasukkan nilai x=[−40 0 2050 100] , dan nilai y=[4.71 4.915 5.15 5.37] pada Command Window. Untuk mencari nilai x dengan Interpolasi Lagrange ordo 4 gunakan fungsi lag_Sherli(x,y,x_dicari), dan didapatkan hasilnya yaitu 4.7100 .

5.2 Saran

Laporan praktikum ini menggunakan Matlab pada analisisnya. Oleh karena itu, pada saat menulis syntax fungsi dari listing program lakukan dengan teliti dan perhatikan secara seksama agar tidak terjadi kesalahan input. Oleh karena itu, pada praktikum selanjutnya harus teliti dan mengikuti prosedur yang ada agar tidak terjadi kendala ataupun error.

DAFTAR PUSTAKA

Fauzi, Y. 2022. Modul Praktikum Metode Numerik. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Bengkulu, Bengkulu.

Fitriani, M.U. 2020. Aplikasi Interpolasi Lagrange dalam Analisis Hubungan Zat- Zat yang Terkandung dalam Tempe. Jurnal Chaucy, 2(1), 14-19.

Maharani, S., & Suprapto, E. 2018. Analisis Numerik. Jawa Timur: CV. AE Media Grafika.

Siregar, T.J. 2021. Metode Numerik. Medan: Universitas Islam Negeri Sumatera Utara Medan.

LAMPIRAN

Lampiran 1. Data Batasan Masalah

SUHU. ℃ −40 0 20 50 100 150

Viskositas 4.71 4.91 5 5.15 5.37 5.58 Lampiran 2. Output Interpolasi Lagrange Ordo 3

Lampiran 3. Output Interpolasi Lagrange Ordo 4