BAB 20 Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma fixs

(1)

BAB 20

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

Pada bab ini akan kita pelajari mengenai fungsi eksponen, persamaan eksponen, fungsi logaritma, persamaan logaritma, pertidaksamaan eksponen, dan pertidaksamaan logaritma.

A. FUNGSI EKSPONEN (Fungsi Pangkat) 1. Definisi

Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real x ke bilangan real ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1.

2. Bentuk umum Basic concept :

y = f(x) = k.ax_{atau f : x}�_k.ax dengan a > 0 dan a ≠ 1

x = peubah bebas a = bilangan pokok y = peubah tak bebas k = konstanta

3. Grafik Fungsi Eksponen

Sumbu x merupakan asimtot yakni garis yang didekati grafik fungsi tetapi tidak memotong/menyinggung.

Dari gambar diperoleh kesimpulan bahwa:

 Jika f(x) = k.ax_{dengan 0 < a < 1 , maka kurva berada}

di sebelah KIRI sumbu X (sb x negatif) (monoton turun)

239

X Y f xdengan a 1 kax

  x f x ka dengan 0 a 1 

(2)

 Jika f(x) = k.ax_{dengan a > 1 , maka kurva berada di}

sebelah KANAN sumbu X (sb x positif) (monoton naik) 4. Aplikasi fungsi eskponen dalam kehidupan sehari –

hari

Fungsi eksponen digunakan untuk menyelesaikan soal pertumbuhan dan peluruhan (penyusutan

Misalkan simpanan awal = Ao, bunga bank sebesar p% tiap tahun, maka setelah t tahun banyaknya simpanan di bank menjadi :

t o

p A(t) A 1

100

� �

 _� _�

� �_{jika a > 1}

t o

p P(t) P 1

100

� �

 _� _�

� �_{, jika 0 < a < 1}

B. PERSAMAAN EKSPONEN

Bentuk – bentuk persamaan eksponen dan penyelesaiannya :

   f x m

a a _{dengan a > 0 dan a ≠ 1} Penyelesaiannya : f(x) = m     

f x g x

a a _{dengan a > 0 dan a ≠ 1} Penyelesaiannya : f(x) = g(x)

 af x bf x  dengan a > 0,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1 dan a ≠ b Penyelesaiannya : f(x) = 0





 



 





 

f x g x h x  h x

Penyelesaiannya : a. f(x) = g(x) b. h(x) = 1

c. h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

d. h(x) = – 1 asalkan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil



 

f x 2

 

f x 

A a B a  C 0

(3)

Ada dua syarat dalam pertidaksamaan eksponen :  Untuk a > 1 (tanda ketaksamaan TETAP)

   

f x g x

a a _{maka f(x) > g(x)}

   

f x g x

a a _{maka f(x) < g(x)}

 Untuk 0 < a < 1 (tanda BERUBAH)

   

f x g x

a a _{maka f(x) < g(x)}

   

f x g x

a a _{maka f(x) > g(x)}

D. FUNGSI LOGARITMA 1. Bentuk Umum

Basic concept : y = f(x) = alogx

[image:3.414.48.315.42.495.2]

dengan a > 0 dan a ≠ 1 x = variabel bebas a = bilangan pokok y = peubah tak bebas 2. Grafik fungsi logaritma

Grafik fungsi logaritma adalah hasil pencerminan dari grafik fungsi eksponen.

E. PERSAMAAN LOGARITMA

241

Y = X

X

Y

 

x

f x 2



0

 

2

(4)

a_logx

terdefinisi dengan syarat a > 0, a ≠ 1, dan syarat numerus x > 0 (positif)

Ada beberapa macam bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya :



 

a_{logf x} _a_logp

Penyelesaiannya : f(x) = p syarat f(x) > 0



 

a_{logf x} _a_{logg x}

Penyelesaiannya : f(x) = g(x) syarat f(x), g(x) > 0



 

a_{logf x} _b_{logf x}

Penyelesaiannya : f(x) = 1 

 

h x h x

logf x  logg x

Penyelesaiannya : f(x) = g(x) dengan syarat h(x) > 0, h(x) ≠ 1, f(x) > 0 dan g(x) > 0

     f x_loga_g x_loga

Penyelesaiannya : f(x) = g(x) dengan syarat f(x) > 0, f(x) ≠ 1 , g(x) > 0 dan g(x) ≠ 1





 



2

a a

A logx B logx C 0 

Penyelesaiannya : memisalkan yalogx F. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Seperti halnya pada penyelesaian pertidaksamaan eksponen, penyelesaian pertidaksamaan logaritma ada 2 syarat utama yaitu :

 Untuk a > 1

Pada kasus pertidaksamaan logaritma dengan a > 1 (monoton naik) tanda ketaksamaan TETAP, dengan f(x) >0 dan g(x) > 0.

 

a_{logf x} _a_{logg x}

maka f(x) < g(x)

 

a_{logf x} _a_{logg x}

maka f(x) > g(x)  Untuk 0 < a < 1

(5)

 

a_{logf x} _a_{logg x}

maka f(x) > g(x)

 

a_{logf x} _a_{logg x}

maka f(x) < g(x)

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010

Perhatikan gambar berikut fungsi eksponen berikut ini ! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah…

A. y2logx

B. 1 2 y logx C. y 2logx D. y 2logx

E.

1

y logx

2

 

Pembahasan : x

x

1 2 y 2 logy log2 logy xlog2

logy 1

x x logy.log

log2 2

x logy 1 x logy

2

 

   

� �

  �  _{� �}

� �  

 

Jawaban:E 2. UN 2011

Perhatikan gambar !

Persamaan grafik fungsi inversnya adalah…

243 X Y

0

x

y 2_ 

X Y

0

(1,0) 8

- 3

 

a

(6)

A. y = 3x

B.

x 1 y

3 � � � � � �

C.

1 x y 3

D.

x 1 y

2 � � � � � � E. y 2 x Pembahasan :

Dari grafik dapat dilihat bahwa :

 

a a

y

a y

x 1

1 log1 0 dan log8 3 a

2 1 inversdari y logx x a

2 1

f x 2



   � 

� �

 �  _{� � �}

� � � �

� �_{� �}

Jawaban:D

3. UN 2012

Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini ! Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah…

A. f x 3

 

 x B.

 

x 1 f x 3_ 

C.

 

x 1 f x 3_ 

D. f x 3

 

 x 1 E. f x 3

 

 x 1 Pembahasan :

Metode supertrik :

Pilih titik ribet, yaitu (2,10) kemudian subtitusi ke pilihan jawaban, x = 2 yang mendapatkan hasil 10, itulah jawabannya.

X Y

0 2 108

2

x

(7)

 





 

x 2 x 1 2 1 x 1 2 1

x 2 x 2 A. f x 3 10 3 B. f x 3 10 3 C. f x 3 10 3 D. f x 3 1

10 3 1 benar E. f x 3 1

10 3 1

   

 �  �

 �

   

   �

Jawaban:D

4. UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x x

9 10.9  9 0, x R� _adalah…

A. x < 1 atau x > 9 B. x < 0 atau x > 1 C. x < –1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < –1 atau x > 1 Pembahasan :



 



2x x x 2

x x

x 0 x 1 9 10.9 9 0

misal 9 p,makadiperoleh: p 10p 9 0

p 1 p 9 0 p 1 p 9 9 1 9 9 9 9 9 9 x 0ataux 1

  

        � 

 �   � 

  

Jawaban:B 5. UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x 1  9 28.3x 0 adalah…

A. x 1ataux 2 B. x 1ataux 2

(8)

C. x 1ataux 2  D. x 1ataux 2 E. x 1ataux2 Pembahasan :



 



2x 1 x

2x 1 x x 2

x 1 x 2 3 9 28.3 0 3 .3 28.3 9 0

misal: 3 p,makadiperoleh: 3p 28p 9 0

3p 1 p 9 0 1

p p 9

3

3 3 3 3 x 1 x 2 x 1atau x 2

            �    �   � �   � �    � �     Jawaban:D 6. Batas – batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

2x 5 x 3

2  _3.2 _{ }1 0

adalah… A. 2 x 3 

B. 4 x 8  C. x 2 ataux 3  D. x 4 ataux 8  E. x2 atau x 0 Pembahasan :



 



2x 5 x 3 x 2 5 3 2

2

x 2 x 3 2 3.2 1 0

misal2 p,makadiperoleh: p 3p

1 0 2 2

p 3p

1 0 p 12p 32 0 32 8

p 4 p 8 0 p 4 p 8 2 2 2 2

x 2 x 3 2 x 3

(9)

5 25

+ - +

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x x 1

5 _6 5_� _125 0, x R_ _�

adalah . . . A. 1 x 2 

B. 5 x 25  C. x 1 atau x 2 D. x 1 atau x 2  E. x 5 atau x 25  Pembahasan :

 



 



2x x 1 2

x x

x 2

x x

5 6 5 125 0 5 30 5 125 0 misal a 5

a 30a 125 0 Jadi daerahpenyelesaian: a 5 a 25 0 a 5 atau a 25 pembuat nol: 5 5 atau 5 25

a 5 0 atau a 25 0 x 1 atau x 2

a 5 a 25



 �  

  

� �



  

�

    

�

 

     

�

 

�

Jawaban:D 8. UN 2012

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah…

A. f x

 

2x 1 B. f x

 

 2 1x C.

 

2 f x  logx

D. f x

 

2log x 1







E. f x

 

 2 2x Pembahasan : [image:9.414.59.390.41.501.2]

Metode supertrik :

Grafik fungsi eksponen (jadi options C dan D jelas salah ) Pilih titik yang ribet yaitu (2,3), kemudian subtitusi untuk ganti x dan y pada pilihan :

(10)

 





x 1 2 1

x 2 A.f x 2

3 2 B. f x 2 1

3 2 1 benar

 

 �

   

Jawaban:B

PAKET SOAL LATIHAN

1. Akar – akar persamaan : 2.34x20.32x 18 0adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 =…

A. 4 D. 1

B. 3 E. 0

C. 2

2. Diketahui x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan 2x 2 x

3  28.3 3 0_{. Jika x2 > x1 maka secara berturut – turut} nilai x1 dan x2 adalah…

A. – 2 dan 1 D. 1 dan – 2 B. – 1 dan 2 E. 2 dan 1 C. – 2 dan – 1

3. Himpunan penyelesaian dari persamaan : 32x 1 10.3 3 0x  adalah…

A. { - 1,

1

3_} _{D. {}

1 3_{, 3}}

B. { - 1, 1} E. {1,3}

C. {

1 3_,1}

4. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan : 2x 1 2x

2.9  5.3 18 0 _{, maka nilai x1 + x2 = …}

A. 0 D. 1 - 3log2

B. 2 E. 2 + 3log2

(11)

5. Himpunan penyelesaian persamaan :









2x 1 x 3

x 5   x 5 

adalah…

A. {6,5,4} D. {6,5,4,3,1}

B. {6,5,4,3} E. {5,4,3,1,0} C. {4,3,1}

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

2

x x x 1

1 1

3 27

 

� � _� �

� � � �

� � _{� � adalah…} A. {x| 1 < x < 3} B. {x| - 1 < x < 3}

C. {x| x < - 3 atau x > 1} D. {x| x < - 1 atau x > 1} E. {x| x < 1 atau x > 3}

7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 2x 1 x 1

2  5.2  8 0_adalah… A. {x| x < 0 atau x > 2} B. {x| 0 < x < 2}

C. {x| x < - 2 atau x > 0} D. {x| - 2 < x < 0 } E. {x| x > - 2 }

8. Batas – batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x 5 x 3

2  3.2  1 0_adalah…

A. 2 x 3  D. x 4 ataux 8  B. 4 x 8  E. x2 atau x 0 C. x 2 ataux 3 

9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :













2_{log x 1}_{ }2_{log 5 x}_ _2_{log 6x 10}_

adalah…

A.

5

3_{< x < 1}

B. 3 < x < 5

C. x < - 5 atau x > 3 D. – 5 < x < 3

E. 1 < x < 5

10. Penyelesaian dari









1 1

2

3_{log x 3x}_ _ 3_{log 5x 12}_

adalah…

(12)

A. – 3 < x < 6 B. 2 < x < 6 C. 3 < x < 6

D. x ≤ - 2 atau x ≥ 3 E. x > 6

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 2logx log 6x 10�







log2 adalah…

A. x�2 ataux 10� D. 2 x 10   B. x 2 ataux 10� � E. 10 x 2 � � C. 2 x 10� �

12. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma :









2_{log x 3}_ _ 2_{log x 4}_{ }₃

adalah…

A. x < 3 D. 3 x 4  B. x > 3 E. x > 4 C.   5 x 4

13. Himpunan penyelesaian dari :









2

x

x 2 2

log 2x 3 1

log x 6 1

logx  logx



   

adalah…

A. {1} D. {6}

B. { 6 } E. {1,6}

C. {3}

14. Jika grafik fungsi y =

x 2

1 27



� � � �

� � _{selalu berada di atas garis y =}

9, maka nilai x yang memenuhi adalah…

A.

8 x

3  

D. 8 x

3  

B.

4 x

3  

E. 4 x

3  

C.

2 x

3  

15. Domain fungsi





x 2 2 y  log x 4x 5 

adalah…

(13)

B. – 1 < x < 5 E. 2 x �1 ataux 5 C. x1 ataux 5