2 PERSAMAAN PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KU

1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac

3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a 2

D b x_1,2 = − ±

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

5. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat :

x

₁

+

x

₂

=

−

_ab

6. Selisih akar–akar persamaan kuadrat :

a D x

x₁− ₂ = , x1 > x2

7. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat :

a c 2 1

x

x

⋅ =

8. Persamaan kuadrat baru disusun dengan rumus : x2 – (x1 +x2)x + x1·x2 = 0

9. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan persamaan kuadrat baru

a.

x

₁2

+

x

₂2 =

(

x

₁

+

x

₂

)

2

−

2

(

x

₁

⋅

x

₂

)

b.

x

₁3

+

x

₂3 =

(

x

₁

+

x

₂

)

3

−

3

(

x

₁

⋅

x

₂

)(

x

₁

+

x

₂

)

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah penyelesaian Notasi Himpunan Penyelsaian

a ≥ _{atau >}

HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

Hp = {x | x ≤x1 atau x ≥x1} atau Hp = {x | x <x1 atau x >x1}

b ≤ _{atau <}

HP ada tengah

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

11

C. Fungsi kuadrat

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a≠ 0

2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah:

D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0

Grafik menyinggung sumbu X Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X Grafik tidak menyinggung sumbu X

3. Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri : x_e =−₂b_a

b) Nilai ekstrim fungsi : y_e =−₄D_a

c) Koordinat titik balik/ekstrim : (−₂ ,−₄ )

4. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat

a) Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y): y = a(x – xe)2 + ye

b) Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

12

D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Kedudukan garis

g : y

=

mx + n

dan parabola

h : y = ax

2

+ bx + c

ada tiga kemungkinan

seperti pada gambar berikut ini.

Keterangan Gambar:

1. Gambar a : Garis

g

memotong parabola

h

di dua titik yang berbeda di A(

x

1

,

y

1

) dan B(

x

2

,

y

2

)

2. Gambar b : Garis

g

menyinggung parabola

h

di satu titik yaitu di A(

x

1

,

y

1

).

3. Gambar c : Garis

g

tidak memotong dan tidak menyinggung parabola

h

TEOREMA

Dimisalkan garis

g : y

=

mx + n

dan parabola

h : y = ax

2

+ bx + c

.

Apabila persamaan garis

g

disubstitusikan ke persamaan parabola

h

, maka akan diperoleh

sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:

yh = yg

ax

2

+ bx + c

=

mx + n

ax

2

+ bx – mx+ c – n

=

0

ax

2

+ (b – m)x + (c – n)

=

0

………….Persamaan kuadrat baru

Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

D =

(b – m)

2

– 4

a(c – n)

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui

kedudukan garis

g

terhadap parabola

h

tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:

1.

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis

g

memotong parabola h di dua titik berlainan

2.

Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g

menyinggung parabola

h

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

13

SOAL PENYELESAIAN

1. Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β.

Rumus persamaan kuadrat baru adalah : x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0

⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 ½ ) = 0

⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0

⇔ {x2 – (

−

₂3)x – 1 = 0}x 2

⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……….(b) 3. Diketahui akar–akar persamaan kuadrat

2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan

kuadrat baru yang akar–akarnya

β

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0

⇔ x2 – 6x + 1 = 0 ………..(a)

Untuk soal model ini hanya bisa dengan 1 cara karena akar–akarnya beda atau x1≠ x2

Pers kuadrat lama :

2x2 – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1

Akar–akar persamaan kuadrat baru

x1 =

β

α

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

14

SOAL PENYELESAIAN

4. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah …

Misal akar–akar persamaan kuadrat baru adalah: α = β = 2x – 3

Substitusikan nilai x ke pers. Kuadrat lama 2x2 + 3x – 5 = 0

Akar–akar persamaan kuadrat baru

α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α β) = 0

⇔ x2 – (– 9)x + 8 = 0

⇔ x2 + 9x + 8 = 0 ………(b)

PILIH CARA YANG KAMU SUKAI

5. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan

x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat

yang akar–akarnya

2

Untuk soal model ini hanya bisa dengan cara I karena akar–akarnya beda atau α≠β

Pers kuadrat lama :

x2 + px + 1 = 0, a = 1, b = p, c = 1 Akar–akar persamaan kuadrat baru

α =

Persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α β) = 0

Dengan melihat hasil α + β maka jawaban yang benar sudah dapat diketahui yaitu ….(c)

karena nilai dari :

– (α + β)x = – (–3p)x = 3px

untuk meyakinkan perhitungan, silahkan dicari pula nilai dari

(ii) α β = ….. ?

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

15

6. Kedua akar persamaan x2 – 2px + 3p = 0

mempunyai perbandingan 1 : 3. Nilai dari 2p adalah …

Perbandingan akar–akarnya 1 : 3, maka

3

7. Persamaan kuadrat

(k + 2)x2 _{– (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai} akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…

a.

Akar–akarnya nyata dan sama, maka x1 = x2 dan D = 0

akar–akarnya saling berlawanan. Nilai m = … a. 4

b. 5 c. 6 d. 8 e. 12

Akar–akar nya saling berlawanan, maka: x1 = – x2

, maka diperoleh

– m + 5 = 0

m = 5 ……….(b)

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

16

9. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4

menyinggung garis y = 3x + 4. nilai b yang memenuhi adalah …

a. – 4 b. – 3 c. 0 d. 3 e. 4

Cara I.

Tentukan Persamaan kuadrat baru f(x) = y

x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx – 3x = 0

x2 _{+ (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru}

Agar f(x) menyinggung y maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol

D = 0

D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2

0 = b – 3

b = 3 ……….(d)

Cara II

Samakan koefisien dari variabel yang berderajat sama

f(x) = y f(x) = y sama x2 + bx + 4 = 3x + 4

b = 3

Dengan menyamakan koefisien dari variabel yang berderajat sama bisa langsung di lihat jika b = 3 ………..…….(d)

10. Grafik fungsi f(x) = x – 2 memotong grafik fungsi g(x) = x2 – 3x + 1 di titik–titik … a. (2, –1) dan (–2, 1)

b. (–1, –1) dan (1, 3) c. (–1, 1) dan (1, 3) d. (1, –1) dan (3, 1) e. (1, –1) dan (1, 3)

Tentukan Persamaan kuadrat baru g(x) = f(x)

x2 – 3x + 1 = x – 2 x2 – 3x – x + 1 +2 = 0

x2 – 4 x + 3 = 0 ……..pers. kuadrat baru

(x – 1)(x – 3) = 0, maka diperoleh x = {1 , 3}

dengan mensubstitusikan nilai x tersebut ke f(x) maka akan diperoleh nilai y

(i) Jika x = 1, maka y = f(1) = 1 – 2 = –1 (ii) Jika x = 3, maka y = f(3) = 3 – 2

= 1 Jadi titik potong kedua grafik tersebut adalah di : (1, –1) dan (3, 1) ………..(d)

SOAL PENYELESAIAN

11. Agar garis y = 3x + a menyinggung parabola y = x2 – 2x – 8, sehingga a harus …

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

17

a.

−

17

1₄

b.

−

16

₄1

c.

−

15

₄1

d.

−

14

₄1

e.

−

13

₄1

x2 – 2x – 3x – 8 – a = 0

x2 – 5x – (8 + a) = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar y2 menyinggung y1 maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol

D = 0

D = (–5)2 – 4(1){– (8+a)} 0 = 25 + 4(8 + a)

0 = 25 + 32 + 4a 0 = 57 + 4a {4a = –57} × ₄1

a =

−

14

₄1………(d)

12. Agar Garis y = mx – 9 tidak memotong dan tidak menyinggung parabola y = x2 , maka …

a. m < – 6 atau m > 6 b. m < –3 atau m > 9 c. –9 < m < 9 d. –3 < m < 3 e. –6 < m < 6

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2

x2 = mx – 9

x2 – mx + 9 = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar y2 tidak menyinggung dan tidak memotong y1 maka determinan persamaan kuadrat baru lebih besar dari nol

D > 0

(–m)2 – 4(1)(9) > 0 m2 – 36 > 0

(m + 6)(m – 6) > 0, maka pembentuk nol m = {– 6, 6}

Karena tanda pertidaksamaan > maka himpunan penyelesaian menggunakan kata atau dan batas m = {– 6, 6} ………..(a)