fungsi dan limit fungsi struktur (10)

1.

Pengertian dan Notasi

a. Relasi f dari A ke B disebut dengan fungsi yang memetakan elemen pada himpunan A tepat satu pada himpunan B.

Maka Ciri Fungsi adalah :

Ø Hanya terdapat satu unsur yang memetakan dari himpunan A ke B. Sehingga

terdapat pasangan terurut (a ,b) ∈f.

Ø Tidak terdapat dua atau lebih pasangan terurut berlainan yang mempunyai anggota pertama yang sama.

b. Notasi fungsi, f : A → B ditulis y = f

(

x

)

, dibaca “ y merupakan fungsi dari x ”.

c. Daerah Asal Fungsi ( Df = A =

{

x | x∈ R

}

) d. Daerah Hasil Fungsi

R f =

{

y | y∈ B.sehingga.y = f

(

x

)

.untuk.satu.x∈ A

}

2.

Beberapa Jenis Fungsi

§ Fungsi ke Dalam atau into f :A→B dan f (A)∈B

§ Fungsi ke Kepada atau onto (surjektif) f : A→ B dan f (A)=B

§ Fungsi satu-satu atau injektif f : A→ B into satu-satu dan a1,a2∈ A dengan a1≠ a2

berlaku f(a1) ≠ f(a2).

A _B

2

3

a

b

c

A B

a

b

c

1

§ Fungsi Bijektif (fungsi yang bersifat injektif dan surjektif) atau korespondensi satu-satu.

3.

Komposisi Fungsi

a. Jika fungsi f dan g memenuhi maka terdapat

dimana x∈A, y∈B maka relasi Dari f −1 _{: B → A ,}

dimana x∈A, y∈B disebut dengan invers fungsi. Dimana : Df = Rf −1 ; Rf = Df−1

Dengan kata lain : Jika f -1 _{adalah relasi yang}

bukan fungsi maka f -1 _{disebut invers fungsi.}

Diket g =

{(

1,4

)

,

(

2,4

)

,

(

3,5

)}

, maka g−1 ₌

{(

_4,1

)

_,

(

_4,2

)

_,

(

_5,3

)}

_,

(terlihat g -1_{, bukan fungsi)}

Jika f -1 _{adalah relasi yang merupakan fungsi maka f} -1 _{disebut fungsi invers.}

Diket f =

{(

2,5

)

,

(

3,7

)

,

(

5,10

)}

, maka

f −1 ₌

{(

_5,2

)

_,

(

_7,3

)

_,

(

_10,5

)}

_,

(terlihat f -1_{, merupakan fungsi satu-satu)}

5.

Komposisi Fungsi



(

g_ 



f

)

f −1

(

x

)

=f

−1

(

fg

)



(

x

)

= g

(

x

)

Jika k = fg → f −1g

(

x

)

= g

(

x

)

Jika h = gf → hf −1

(

x

)

= g

(

x

)

(

fgh

)

−1 =h−1g−1f

−1

(

x

)

6.

Beberapa Rumus Khusus Mencari Invers

f

(

x

)

=

ax

+

b

⇒

_f

₋₁

₍

_x

₎

₌

_x

₋

_b

_a

f

(

x

)

=

ax

+

b

cx

+

d

⇒

f

−1

(

x

)

=−

dx

+

b

cx

−

a

f

(

x

)

=

a

_log

(

_bx

₊

_c

)

_⇒

_f

−1

(

_x

)

₌

a −c

_b

7.

Menentukan Domain dan Range dari Suatu Fungsi

7.1. Fungsi Kuadratik f(x) = y = ax2 _{+ bx + c}

Df = Real

Rf : Tergantung pada soalnya

Tentukanlah Rf dari fungsi f(x) = x2 _{-2x + 3 berikut jika}

a) Df = R

b) Df = { x | -1 ≤ x ≤ 4 } Jawab : a) Karena Df Real, maka Rf berada pada kurva

dengan a > 0

jadi : Rf = y ≥ y EKSTRIM ;

y EKSTRIM , Rf : { y | y ≥ 2 }

a

b) Karena Df ditententukan dalam range

[-1,4 ], maka tinggal mensubtitusikan ujung-ujung range tsb thd fungsi. Dan nilai yekstrim, Kemudian urutkan hasilnya.

f (-1) = 6

f (4) = 11, dan nilai y EKSTRIM f (2) = 3 Rf : { y | 3 ≤ y ≤ 11 }

7.2. Fungsi berbentuk pecahan (linear : linear)

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi

f(x) = x−3 2x +5

Jawab :

Df : R – { x ≠ 3 } atau R – { 3 }

Maka untuk mencari Rf ( diinverskan ) mengubah fungsi menjadi x = ... 2x + 5

y = → x −3 y(x −3)

x(y − 2)

= 2x + 5

= 5+ 3y

X=5 + 3 y y − 2

7.3. Fungsi berbentuk pecahan (kuadratik : linear)

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi

x2 _{− x −2}

f (x) = x +2

Jawab :

Df : R – { x ≠ -2 } atau R – { -2 }

Maka untuk mencari Rf menuliskan fungsi dalam :

x2 _{− x − 2}

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi

f (x) = 2x −6 Jawab :

Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka

2x – 6 ≥ 0 x ≥ 3 Df : { x | x ≥ 3 } Rf : { y | y ≥ 0 }

Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi

f (x) = − x2 _{+ 4x}

Jawab :

Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka -x2 _{+ 4x ≥ 0}

0 ≤ x ≤ 4 jadi Df : { x | 0 ≤ x ≤ 4 }

x2_{- 4x - y}2 _{= 0}

Syarat: terdefinisi fungsi Kuadratik pada R, D ≥ 0 dan y ≥ 0 (syarat tanda di bawah akar)

16 - 4y2_{≥ 0 dan y ≥ 0}

0 ≤ y ≤ 2

Rf : { y | 0 ≤ y ≤ 2 }

Menyelidiki suatu grafik merupakan fungsi atau bukan

Tariklah garis-garis sejajar dengan sumbu Y. Jika ada garis yang sejajar dengan sumbu Y memotong grafik di dua titik atau lebih, maka grafik tersebut bukan merupakan suatu fungsi.

Mengenai fungsi komposisi

f



g

=

k

⇒

k



g

−1 =

f

−1 −1

maka

k



g

=

f

=

g



h

⇒

f

−1

_

_k

₌

_g

g



f

=

h

⇒

h



f

−1

=

g

maka

h



f

−1

=

g

=

f

−1



k

⇒

g

−1

_

_h

₌

_f

Beberapa rumus mencari invers

TIPS

- 1

f

(

x

)

= ax +b

f

(

x

)

= x +b a

f

(

x

)

= xa +b f

(

x

)

=

(

x + p

)

q _{+ r}

f

(

x

)

= p qx+r

⇒

x

+r f

(

x

)

= p q

⇒

f(x

)

= ax +b ⇒

cx+ d

⇒ f −1

(

x

)

=

(

x −b

)

a

⇒ f −1

(

x

)

= a

(

x −b

)

⇒ f −1

(

x

)

=

(

x −b

)

1 /a

⇒ f −1

(

x

)

=

(

x − r

)

1/q − p

p f

−1

(

x

)

= logx − r q

f −1

(

x

)

= q.plogx − r  f

−1

(

x

)

=−dx +b cx− a