Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu

Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan

Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai

Hampiran Dalam Integral Tentu

Fendi Al Fauzi

15 Desember 2012

1 Pengantar

Persoalan yang melibatkan integral dalam kalkulus ada kalanya tidak hanya per-soalan yang mudah-mudah saja. Untuk fungsi-fungsi yang rumit adakala nya kita akan kesulitan dalam mengintegralkannya. Sebagai contoh

 1 0 e−x2dx,  2 0 sin(x) x dx,  1 0 q 1 − cos(x)dx

sangat sulit kita integralkan. Bahkan dengan menerapkan teorema Fundamental Kalkulus dasar Kedua kita mungkin akan kerepotan dengan fungsi-fungsi diatas. Padahal integral pertama sangat penting dalam bidang statistika dan integral ke-dua sangat penting dalam bidang optik. Akan tetapi bukan berarti integral tersebut tidak dapat kita selesaikan. Penyelesaian integral diatas adalah dengan menggunak-an solusi hampirmenggunak-an berupa pengintegralmenggunak-an secara numerik.

Jika yang kita bahas adalah pengintegralan secara numerik, maka hasilnya akan ber-upa angka. Solusi dalam pengintegralan numerik akan berber-upa hampiran. Namanya hampiran berarti akan ada error (galat). Namun semua kesalahan (galat) dapat kita kontrol untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak.

2 Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium)

mann, maka sekarang kita akan mencoba dengan aturan trapezoidal.

Pada aturan ini, fungsi f(x) pada [a, b] dibagi dalam beberapa selang (n). Perha-tikan gambar berikut:

Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi adalah luas daerah pada fungsi tersebut yang dibatasi oleh selang pengintegralan. Gambar diatas menunjukkan bahwa fungsi f (x) di hampiri dengan luasan trapesium. Jadi menghitung integral fungsi f(x) dengan batas [a, b] adalah jumlah dari luas trapesium.

Kita juga ketahui bahwa rumus dari luas trapesium adalah L = h

2(c + d). Rumus luas ini akan membantu kita untuk mencari luas pada gambar pertama.

Karena a = x0 dan b = xn maka luas sebuah trapesium pada gambar diatas adalah

Ai =

h

2 (f (xi−1) + f (xi))

Untuk lebih akurat, maka kita harus memperbanyak trapesium dalam fungsi terse-but sehingga luas seluruhnya adalah

Dengan A1 = h 2(f (x0) + f (x1)) A2 = h 2(f (x1) + f (x2)) ... An = h 2(f (xn−1) + f (xn)) Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa

 b a f (x)dx = A1+ A2+ · · · + An  b a f (x)dx = h 2(f (x0) + f (x1)) + h 2(f (x1) + f (x2)) + · · · + h 2(f (xn−1) + f (xn)) Sehingga hasil diatas dapat kita sederhanakan menjadi

 b a f (x)dx ≈ h 2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−1) + f (xn)] ≈ h 2 " f (x0) + 2 n−1 X i=1 f (xi) + f (xn) # Dengan h = b − a n

Sekarang kita akan menguji coba aturan ini dengan integral yang kita ketahui nilai eksaknya.

1. Dengan menggunakan aturan Trapezoidal dengan n = 8 hampirilah nilai  2 0 x2dx Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 2 − 0 8 = 1 4 = 0, 25

i xi f (xi) ci ci× f (xi) 0 0 0 1 0 1 0,25 0,0625 2 0,125 2 0,5 0,25 2 0,5 3 0,75 0,5625 2 1,125 4 1,00 1,00 2 2 5 1,25 1,5625 2 3,125 6 1,5 2,25 2 4,5 7 1,75 3,0625 2 6,125 8 2,00 4,00 1 4 Jumlah 21,5 Jadi  2 0 x2dx = 0, 25 2 (21, 5) = 0, 125 (21, 5) = 2, 6875 Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya yaitu

 2 0 x2dx = x 3 3     2 0 = 8 3 = 2, 666666667 Kesalahan pada aturan Trapezoidal En dinyatakan dengan

En= −

(b − a)3 12n2 f

00

(c) dengan c adalah suatu titik tengah diantara a dan b.

Jika dibandingkan dengan nilai eksaknya maka masih terdapat perbedaan yang cu-kup signikan. Sehingga kita akan mencoba beralih pada aturan selanjutnya.

3 Modikasi Aturan Trapezoidal

Aturan Trapezoidal diatas dapat dimodikasi sebagai berikut.  b a f (x)dx ≈ T −[f 0_{(b) − f}0_{(a)] h}2 12 ≈ h 2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−1) + f (xn)] − [f0(b) − f0(a)] h2 12 Sekarang kita akan mencoba mengaplikasikannya dalam contoh diatas.

1. Dengan menggunakan aturan Trapezoidal yang dimodikasi dengan n = 8 ham-pirilah nilai _ 2 0 x2dx Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 2 − 0 8 = 1 4 = 0, 25 i xi f (xi) ci ci× f (xi) 0 0 0 1 0 1 0,25 0,0625 2 0,125 2 0,5 0,25 2 0,5 3 0,75 0,5625 2 1,125 4 1,00 1,00 2 2 5 1,25 1,5625 2 3,125 6 1,5 2,25 2 4,5 7 1,75 3,0625 2 6,125 8 2,00 4,00 1 4 Jumlah 21,5 Jadi T = 0, 25 2 (21, 5) = 0, 125 (21, 5) T = 2, 6875

Selanjutnya f0_{(x) = 2x ⇒ f}0_{(0) = 0dan f}0_{(2) = 4 maka}

[f0(b) − f0(a)] h2 12 = (4 − 0)(0, 25)2 12 = 4(0, 0625) 12 = 0, 020833

Sehingga

 2 0

x2dx ≈ 2, 6875 − 0, 020833 ≈ 2, 666667

hasilnya sama dengan nilai eksak.

4 Aturan Simpson (Parabolik)

Jika pada aturan Trapezoidal, kurva f(x) dihampiri dengan ruas-ruas garis. Kali ini kita akan mencoba menghampirinya dengan ruas-ruas parabola dengan partisi (pembagian) selang [a, b] menjadi n subselang dengan panjang h = (b−a)

n . Akan

teta-pi pada hamteta-piran kali ini n haruslah bilangan genap. Kemudian kita mencocokkan ruas-ruas parabola dengan titik-titik yang ada di dekatnya. perhatikan gambar.

maka akan menuntun kita pada sebuah hampiran yang disebut Aturan Barabolic (Parabolic Rule). Aturan ini disebut juga Aturan Simpson berdasarkan nama ahli matematikawan Inggris, Thomas Simpson (1710-1761).

 b a

f (x)dx ≈ h

3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn)] 2. Dengan menggunakan aturan Parabolic dengan n = 8 hampirilah nilai

 2 0 x2dx Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 2 − 0 8 = 1 4 = 0, 25 i xi f (xi) ci ci× f (xi) 0 0 0 1 0 1 0,25 0,0625 4 0,25 2 0,5 0,25 2 0,5 3 0,75 0,5625 4 2,25 4 1,00 1,00 2 2 5 1,25 1,5625 4 6,25 6 1,5 2,25 2 4,5 7 1,75 3,0625 4 12,25 8 2,00 4,00 1 4 Jumlah 32 Jadi,  1 0 x2dx ≈ 0, 25 3 (32) ≈ 0, 083333333(32) ≈ 2, 666666667

Luar biasa. Hasilnya sama dengan nilai eksak. Kesalahan pada aturan Parabolik adalah

En = −

(b − a)5 180n4 f

(4)_(c)

Dari kesalahan diatas dapat kita simpulkan bahwa jika turunan keempat dari fungsi f (x) bernilai 0 maka kita akan mendapatkan nilai eksak.

5 Contoh Soal Terapan

Setelah kita mempelajari kedua metode diatas maka kini saatnya kita aplikasikan dalam memecahkan masalah integral.

1. Gunakan aturan Trapezoidal dan aturan Parabolik untuk menghampiri luas daerah di pinggir danau seperti pada gambar berikut. Dengan satuan yang digunakan adalah kaki (feet).

Penyelesaian :

Dengan aturan trapezoidal mudah saja kita mendapatkan hampiran luas da-nau tersebut. A ≈ h 2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−1) + f (xn)] ≈ 10 2 [75 + 2(71) + 2(60) + 2(45) + 2(45) + 2(52) + 2(57) + 2(60) + 59] ≈ 5 [914] A ≈ 4570

Jadi, Dengan menggunakan aturan Trapezoidal Luas Danau tersebut adalah 4570 kaki2

A ≈ h 3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn)] ≈ 10 3 [75 + 4(71) + 2(60) + 4(45) + 2(45) + 4(52) + 2(57) + 4(60) + 59] ≈ 10 3 (1370) ≈ 4566, 66667

Jadi, Dengan menggunakan aturan Parabolik Luas Danau tersebut adalah 4566,6667 kaki2

2. Gunakan aturan Parabolik untuk menghampiri jumlah air yang diperlukan untuk mengisi kolam renang yang mempunyai bentuk seperti pada gambar dibawah. dengan kedalaman 6 kaki. Satuan yang digunakan adalah kaki.

Penyelesaian:

Dengan aturan Parabolik kita dapatkan

A ≈ h

3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + · · · + 2f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn)] ≈ 3

3[23 + 4(24) + 2(23) + 4(21) + 2(18) + 4(15) + 2(12) + 4(11) + 2(10) + 4(8) + 0] ≈ 465

Luas kolam renang tersebut adalah 465 kaki2. Jumlah air yang diperlukan

untuk mengisi kolam tersebut adalah

V = Lkolam×kedalaman

jadi, Jumlah air yang diperlukan untuk mengisi kolam tersebut adalah 2790 kaki3

Sumber :