Integral Luas dan Volum benda

(1)

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan Integral

9

2

x y

Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar

(2)

Kompetensi Penggunaan Penggunaan Integral

Integral

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Kompetensi

Kompetensi Dasar Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar

terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

Indikator Hasil Belajar

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah Volume benda putar

Latihan

Referensi Readme Author

(3)

Referensi Penggunaan Penggunaan Integral Integral

Abdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang, 2005

Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,

Erlangga, Jakarta 1996

Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII Program IPA Jilid 3A, Yudhistira, Jakarta

2005

_______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Tahun 2004,

Depdiknas, Jakarta 2004

________, Microsoft Encarta Encyclopedia

________, Tutorial Maple 9.5

________, Kitaro

________, Bersyukur - Opick

www. mathdemos.gcsu.edu

www. curvebank.calstatela.edu www. clem.mscd.edu

Kompetensi Pendahuluan

Latihan

Referensi

Readme Author

(4)

Readme Penggunaan Penggunaan Integral Integral

M

edia Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk

membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri

penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.

A

gar dapat memahami keseluruhan materi, maka

pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari

kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

U

ntuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri

agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

Kompetensi Pendahuluan

Latihan

Referensi

Readme

Author

(5)

Pendahuluan Penggunaan Penggunaan Integral

Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

(6)

Integral

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Next Back

Kompetensi

Pendahuluan

Latihan

(7)

Integral

Bola lampu di samping

dapat dipandang

sebagai benda putar

jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan

dipelajari juga

penggunaan integral

untuk menghitung

volume benda putar.

Back Next

Kompetensi

Pendahuluan

Latihan

(8)

Luas sebagai limit jumlah Luas DaerahLuas Daerah

X Y

x y sin

Menentukan luas daerah

dengan

limit jumlah

dapat

diilustrasikan oleh gambar

di samping. Langkah utama

yang dilakukan adalah

memartisi

,

mengaproksimasi

,

menjumlahkan

,

dan

menghitung limitnya

.

(9)

Langkah menghitung luas

daerah dengan limit jumlah

adalah:

1. Bagilah interval menjadi

selang

yang sama

panjang.

2. Partisilah daerah

tersebut.

3. Masing-masing partisi

buatlah

persegi

panjang.

4. Perhatikan persegi

panjang

pada interval

y

a x

0

L_i

x x_i

) (x f y

) (x_i f

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas

Daerah

Next Back

(10)

Langkah menghitung luas

daerah

( lanjutan )

:

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (L

_i

)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit

jumlahnya

y

a x

0

L_i

x x_i

) (x f y

) (x_i f

Luas sebuah persegi panjang: L_i=

f(x_i) x

Jumlah luas persegi panjang :L  

f(x_i) x

Limit jumlah : L = lim  f(x_i) x ( n  ∞ )

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas

Daerah

Next Back

(11)

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2_,_{sumbu X, dan garis}_{x =}

3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi

panjang pada interval [x_i, x_i+1] dan hitunglah luasnya.

(12)

4. Jumlahkan luas semua

(13)

Perhatikan gambar di bawah

ini! Misalkan selang [a, b] dibagi

menjadi n bagian (lebar tidak

harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah x_i = x_i – x_i-1. Pada

selang [x_i-1, x_i] diambil titik

sampel x_k maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai :

k n

k1

f

(

x

k

)

Δ

x

y

a

x

0 b

x_i-1x_k _x_i

 x_i

Integral Tentu Luas DaerahLuas

Daerah

Next Back

Home

Selanjutnya didefinisikan

bahwa: k

n

k k

n f x x

dx x

f( ) lim ( ) Δ

1 b

a

 

   

Bentukb_

af(x) dx

disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

(14)

=

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b]

dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

(15)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b].

Jumlah Luas Partisi

Berubah

Menjadi Integral

(16)

Kegiatan pokok dalam

menghitung luas daerah dengan

integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah

partisi L_i f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi

L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i)

x_i

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y yf(x)

a

x_i

x_i

) (x_i f L_i



af x dx

0 ( )

L

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas

Daerah

Next Back

(17)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 3

Contoh 3. Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2

x_i

4. Jumlahkan luasnya L 

x_i2 _x i

5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x_i2 _x

i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

(18)

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i- x_i2)_x

6. Nyatakan dalam integral

y

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2_,

(19)

(20)

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara

: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,

integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua

kurva tersebut.

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ]

x

4. Jumlahkan : L   [ f(x) –

g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a



f

x

g

x



dx

b

a





(

)

(

)

L

) (x f y

) (x g y 0

x L_i

x

x

) ( ) (x gx f 

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Next Back

(21)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 _dan

garis y = 2 - x

Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2 – x}__x2_{+ x – 2 = 0}__{(x + 2)(x – 1) = 0} diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i  (2 - x- x2₎__x 4. Jumlahkan luasnya L   (2 - x - x2₎__x

5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim  (2 - x - x2₎__x

(22)

(23)

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua

bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama

untuk menghitungnya.

) (x f y 

y

a _b

Li

x

) ( ) (x gx f 

) ( 2f x A_i

0

x

) (x g y

Luas daerah =

a

_

f

x

dx

0

)

(

2 









b

a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

Daerah

Next Back

(24)

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas

daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

) ( )

(x x f y f

y   

y

0

x

) ( )

(x x gy g

y  

Luas daerah =









d

c

dy y

f y

g( ) ( ) L_i y

c d

) ( ) (y f y g 

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

Next Back

(25)

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh Contoh 66..

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 _{= 6 – y}__y2_{+ y – 6 = 0}__{(y + 3)(y}

– 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y- y2₎__y

4. Jumlahkan luasnya L   (6 - y - y2₎__y

5. Tentukan limitnya

L = lim  (6 - y - y2₎__y

6. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 



 



2

0

2

6 y y dy

2

y x 

y x6

2 y

6

x 0

6

Li y

y

2

) 6

(  y  y

Daerah

Jawab Jawab

Next Back

(26)

(27)

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

(28)

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

Next Back

Home _2/17

y

0 x

y

x

r = x

x

h = x2

0

x

1 2

y

(29)

Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

Next Back

(30)

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V  r2h

atau V   f(x)2_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh: V    f(x)2 __x

V = lim   f(x)2 _x

dx x

f

a





0

2

)] (

[

v



x

h=

x x

x y

0 x

y

x a

) (x f

) (x f r 

Next Back

(31)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{+ 1}_{, sumbu x, sumbu y, garis}_{x = 2}_{diputar mengelilingi} sumbu x sejauh 360º.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

y

2

x

1

2_ x x

1

2_

x y

1

y

h=

x

1 2_

x r

x

Jawab Jawab

Next Back

(32)

y

h=

x

1 2_

x r V  r2h

V  (x2 _{+ 1)}2 __x

V   (x2 + 1)2 _x

V = lim  (x2 + 1)2

x _x _dx

V   2

0

2 2 ₁₎

(



dx x

x

V   

2 0

2 4 ₂ ₁₎

(







2

0 3

3 2 5

51x x x

V   

 (32₅  16₃ 2 0) 13₁₅11



V

Next Back

(33)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu y, garis}_{y = 2}_{diputar mengelilingi sumbu y sejauh}

360º.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

2

y

y 2

x y

x y

y

x y

h=

y y

y r

Jawab Jawab

Next Back

(34)

V  r2_h

V  (y)2 _y

V   y y

V = lim  y y

dy y V 

_

2

0







2

0 2 2 1 _y

V 



) 0 4 (₂1_ _



V

x y

h=y y

y r 2

dy

y

V 

_

2

0 



2



V

Next Back

(35)

Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

Next Back

(36)

Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

h r

R

Gb. 5

Next Back

(37)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{dan garis}_{y = 2x}_{diputar mengelilingi}

sumbu x sejauh 360º.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

4 y

y = 2x

2 2

x y

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab Jawab

Next Back

(38)

(39)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

Next Back

(40)

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar r

r

h

2r

Δr V = 2rhΔr

Next Back

(41)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_{, garis}_{x = 2}_{, dan sumbu x diputar}

mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 10.

Contoh 10.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x

1 2

x

x

2

x y 

x2 y

1 2 3 4

Jawab Jawab

Next Back

(42)

(43)

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

(44)

Latihan Penggunaan Penggunaan Integral

Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

(45)

Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

(46)

Integral

Soal 1.

Jawaban Anda Benar

Next Back

(47)

Integral

Soal 1.

Jawaban Anda Salah

Next Back

(48)

Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2. Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

0 X

Y

2

4 x y 

Back Next

(49)

Integral

A

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

0 X

Next Back

(50)

Integral

A

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

0 X

Next Back

(51)

Integral

A

B

C

D

E

Soal 3. Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

0 X

Y

2

8 x y 

x y2

Back Next

(52)

Integral

A

5 satuan luas

8 satuan luas

 L  (8 – x2 _-2x)

Next Back

(53)

Integral

A

5 satuan luas

8 satuan luas

0 X

Next Back

(54)

Integral

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2}

adalah ….

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2_{dan garis x + y = 2} adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 4. Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

Back Next

(55)

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

( Jawaban B )

Next Back

(56)

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

20 5/6 satuan luas ₀ X

Next Back

(57)

Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

(58)

Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

Next Back

(59)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

Next Back

(60)

Integral

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6. Soal 6.

4 satuan volum

0 X

Y

X y

4 2

Back Next

(61)

Integral

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6. Soal 6.

0 X

Y

X y

4 2

( Jawaban C )

 V  (x)2 __x



 4

0

V  xdx



2



₀4

2 1

V  x

 8 V

18/19

(62)

Integral

( Jawaban C )

 V  (x)2 __x



 4

0

V  xdx



2



₀4

2 1

V  x

 8 V

sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6. Soal 6.

4 satuan volum

0 X

Y

X y

4 2

x