BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS
INTEGRAL
RANGKUMAN INTEGRAL
1. Pengertian
Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada selang I sedemikian hingga F (x) = f(x), maka anti turunan (integral) dari f(x) adalah F(x) + C, dengan C konstanta sembarang.
2. Integral Tak Tentu
∫ f(x) dx = F(x) + C
dengan F(x) adalah fungsi integral umum bersifat F (x)= f(x)
f(x) disebut integran, dan C konstanta integrasi.
Sifat-sifat Integral Tak Tentu a. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
b. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx c. ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Rumus Dasar Integral Tak Tentu
a. ∫ dx = x + C b. ∫ a dx = ax + C c. ∫ xn dx = 11 n x n + 1 + C, n –1 d. ∫ a xn dx = na1xn + 1 + C, n –1 e. ∫ sin x dx = –cos x + C f. ∫ cos x dx = sin x + C g. ∫ sec2 x dx = tan x + C h. ∫ csc2 x dx = –cot x + C i. ∫ sec x tan x dx = sec x + C j. ∫ csc x cot x dx = –csc x + C k. dx x 1 = ln x + CAL l. ∫e x dx = e x + C m. ∫a x dx = ln a ax + C Penerapan intagral tak tentu
a. Jika diketahui persamaan F (x) = f(x) atau
dx dy
= f(x) atau gradien garis singgung kurva m = f(x), dengan syarat awal y = y0 bila x = x0 diberikan untuk memperoleh nilai konstanta C, maka ini setara dengan y = ∫ f(x) dx
b. Dalam bidang fisika tentang gerak, dikenal s(t) = posisi/jarak, v(t) = kecepatan dan a(t) = percepatan, pada saat waktu t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka berlaku
dt ds = v(t) s = ∫ v(t) dt dan dt dv = a(t) = 2 2 dt s d v = ∫ a(t) dt 3. Integral Tentu
Teorema Dasar Kalkulus
Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a, b] dan andaikan F sebarang antiturunan dari f disana, maka
abf(x)dx = [F(x)]ba = F(b) – F(a) Sifat-sifat integral tentu
Jika fungsi-fungsi f dan g terintegralkan pada [a, b] dan k konstanta, maka integral tentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut :
a.
aaf(x)dx = 0 b.
abf(x)dx
baf(x)dx c.
abkdx = k (b – a) d.
abkf(x)dxk
abf(x)dx e.
ab[f(x)g(x)]dx
abf(x)dx
abg(x)dx f.
abf(x)dx +
bcf(x)dx =
acf(x)dx, dengan a < b < c g.
abf(x)dx
abg(x)dx, jika f(x) g(x) h.
abf(x)dx 0, jika f(x) 0 4. Integral Substitusi pada integral tak tentu
Jika g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu antiturunan dari f, maka jika u = g(x)
f (g(x)) g (x) dx = f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C pada integral tentu
Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a, b] dan f kontinu pada daerah nilai dari g dan F adalah suatu
I A
b a f (g(x)) g (x) dx =
) ( ) ( b g a g f (u) du = [F(u)] (( )) b g a g = F(g(b)) – F(g(a))5. Teknik Pengintegralan Trigonometri
Rumus Identitas Trigonometri yang Perlu Diketahui a. sin2 x + cos2 x = 1
b. tan2 x + 1 = sec2 x c. cot2 x + 1 = csc2 x d. sin 2x = 2 sin x cos x e. sin2 x = 21 – 2 1 cos 2x f. cos2 x = 21 + 2 1 cos 2x
g. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
h. 2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x – y) i. 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y) j. –2 sin x sin y = cos(x + y) – cos (x – y) k. bentuk a2 x2 , misalkan x = a sin t l. bentuk a2x2 , misalkan x = a tan t m. bentuk x2 a2 , misalkan x = a sec t Integral berbentuk sinm x cosn x dx
a. Jika m + n ganjil : misalnya cos x berpangkat ganjil, maka keluarkan cos x satu buah, kemudian substitusi
cos2 x = 1 – sin2 x
u = sin x du = cos x dx
b. Jika m + n genap : gunakan rumus dasar sin2 x = 21 – 2 1 cos 2x cos2 x = 21 + 2 1 cos 2x 6. Integral Parsial
Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka
u dv = u v – v du atau
b a u dv = [u v]ba –
b a v du7. Menentukan Luas Daerah
a. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) > 0
L = b a f (x) dx = b a y dx
b. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) < 0
L = – b a f (x) dx = – b a y dx
c. Dibatasi dua kurva, a x b, f(x) > g(x)
L = b a [f (x) – g (x)] dx = b a (y1 – y2) dx
8. Menentukan Volume Benda Putar
mengelilingi sumbu X
a. Dibatasi satu kurva, a x b , f(x) > 0
V = b a [f (x)]2 dx = b a y2 dx
b. Dibatasi dua kurva, a x b, f(x) > g(x) V = b a [f (x)]2 – [g (x)]2 dx = b a (y1 2 – y2 2 )dx mengelilingi sumbu Y
a. Dibatasi satu kurva, c y d , f(y) > 0
V = d c [f (y)]2 dy = d c x2 dy a b y1 = f (x) y2 = g (x) y = f (x) a b y = f (x) a b
b. Dibatasi dua kurva, c y d, f(y) > g(y) V = d c [f (y)]2 – [g (y)]2 dy
SOAL DAN PEMBAHASAN
1.
(
6
4
2
x
9
)
dx
...
x
Jawaban :
C x x x C x x x dx x x dx x x 9 2 2 9 2 ) 9 2 6 ( . ) 9 2 6 ( 2 3 3 4 4 2. ∫(x – 2)(x + 3) dx = …. a. ( 2 1 x2 – x)( 2 1 x2 + 3x) + C c. 3 1 x3 + 2 1 x2 – 6x + C e. 3 1 x3 – 2 1 x2 – 6x + C b. x2 + x – 6 + C d. 2x3 + x2 – 6x + C Jawaban: c Penyelesaian: ∫(x – 2)(x + 3) dx = ∫( x2 + x – 6) dx = 3 1 x3 + 2 1 x2 – 6x + C 3. Ebtanas 1998Gradien garis singgung kurva pada setiap titik (x, y) dinyatakan oleh
dx dy
= 6x2 – 2x + 1. Jika kurva melalui titik (1, 4), maka persamaan kurva adalah ….
a. y = 2x3 x2 + x + 6 c. y = 2x3 x2 + x + 2 e. y = 3x3 2x2 + x + 4 b. y = 2x3 x2 + x + 4 d. y = 3x3 2x2 + x + 2 Jawaban: d Penyelesaian: dx dy = 6x2 – 2x + 1 dy = (6x2 – 2x + 1) dx y = 2x3 x2 + x + C
Karena kurva melalui titik (1, 4), maka 4 = 2(1)3 – (1)2 + (1) + C
C = 2
Jadi, persamaan kurva adalah y =2x3 x2 +x +2. 4. sin x sec2 x dx = ….
a. sin x + C b. cos x + C c. tan x + C d. cotan x + C e. sec x + C
Jawaban: e Penyelesaian:
sin x sec2 x dx = sin x
x 2 cos 1 dx = x x x cos 1 . cos sin
dx = tan x sec x dx = sec x + C
5. Ebtanas 2001 Hasil dari
x 2x2 1dx = …. a. 2 1 2 3 2 x + C c. 1 2 3 2 2 x + C e. (2 1) 2 1 6 1 2 2 x x + C b. 1 2 2 3 2 x + C d. (2 1) 2 1 3 2 2 2 x x + C Jawaban: e Penyelesaian: II B
x 2x2 1dx = 2 1 2 ) 1 2 ( 4 1 x d(2x2 + 1) = 2 3 2 ) 1 2 ( 3 2 4 1 x + C = 6 1 (2x2 + 1) 2x2 1 + C 6. UAN 2003 Nilai x sin (x2 + 1) dx = ….a. –cos (x2 + 1) + C c. 2 cos (x2 + 1) + C e. cos (x2 + 1) + C b. 2 1 cos (x2 + 1) + C d. 2 1 cos (x2 + 1) + C Jawaban: b Penyelesaian: x sin (x2 + 1) dx = 2 1 sin (x2 + 1) d(x2 + 1) = 2 1 cos (x2 + 1) + C 7. UAN 2002 Hasil dari 1 1 x2(x – 6) dx = …. a. –4 b. – 2 1 c. 0 d. 2 1 e. 4 12 Jawaban: a Penyelesaian: 1 1 x2(x – 6) dx = 1 1 (x3 – 6x) dx = 1 1 3 4 2 4 1 x x = 2 4 1 2 4 1 = – 4 8. Ebtanas 1999 Nilai 2 0 cos 2x sin x dx = …. a. 12 1 b. 12 4 c. 12 5 d. 12 10 e. 12 11 Jawaban: b Penyelesaian: 2 0 cos 2x sin x dx = 2 1 2 0 (sin 3x – sin x) dx = 2 0 cos 3 cos 3 1 2 1 x x = cos0 cos0 3 1 2 cos 2 3 cos 3 1 2 1 = 3 2 0 2 1 = 3 1 9. UAN 2003 Hasil dari
2 0 cos x sin2 x dx = .... a. 3 1 b. 2 1 c. 3 1 d. 2 1 e. Jawaban: a Penyelesaian:
2 0 cos x sin2 x dx =
2 0 sin2 x d(sin x) = 3 1 [sin3 x]2 0 = 3 1 [sin3 2 – sin3 0] = 3 1 [1 – 0] = 3 1 10. UAN 2003A B C
0 x cos x dx = …. a. 2 b. 1 c. 0 d. 1 e. 2 Jawaban: a Penyelesaian: Pilih u = x du = dxdv = cos x dx v = cos x dx = sin x, sehingga
0 x cos x dx = [x sin x]0 – 0 sin x dx = [ sin – 0] + [cos x]0 = [0] + [cos – cos 0] = (1 – 1) = 2 11. Ebtanas 2000
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 2x2 – 8 dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah …. satuan luas. a. 1032 b. 14 3 1 c. 15 3 1 d. 17 3 2 e. 18 3 1 Jawaban: c Penyelesaian:
Luas daerah yang diarsir terdiri dari dua bagian, di bawah sumbu X dan diatas sumbu X, sehingga
L1 = – 2 0 (2x2 – 3) dx atau L1 = 3 2
luas OABC dan L2 = 3 2 (2x2 – 3) dx = 2 0 3 8 3 2 x x = 3 2 [(2)(8)] = 3 2 3 8 3 2 x x = – 3 16 + 16 = 1032 = 18 – 24 + 10 3 2 = 1032 = 4 3 2
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 1032 + 4 3 2 = 15
3
1 satuan luas. 12. UAN 2003
Jika f (x) = (x – 2)2 – 4 dan g (x) = f (x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah …satuan luas. a. 1032 b. 21 3 1 c. 22 3 2 d. 42 3 2 e. 45 3 1 Jawaban: b Penyelesaian:
Kurva fungsi f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan g(x) = f (x) = 4x – x2 diperlihatkan pada gambar di bawah. Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f dan g.
L = 4 0 (4x – x2 – x2 + 4x) dx = 4 0 (8x – 2x2) dx = 4 0 3 2 3 2 4 x x = 64 – 3 128 = 2131
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 2131 satuan luas. 13. Ebtanas 2001 Y O 1 2 3 1 2 8 10 X Y y = 2x2 – 8 y = 4x – x2 X
2
4 O 4 4 y = x2 4x Metode Praktis: Diferensialkan Integralkan (+) x cos x (–) 1 sin x 0 cos x 0x cos x dx = [x sin x + cos x] 0
= [ sin + cos] – [0 + cos 0] = (1 – 1)
= –2
Metode Praktis:
Persekutuan antara parabola
f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan g(x) = f (x) = 4x – x2 adalah x2 – 4x = 4x – x2 2x2 – 8x = 0 dengan a = 2, b = –8, c = 0 dan D = (–8)2 – 4(2)(0) = 64, maka L = 2 6a D D = 2 ) 2 ( 6 64 64 = 2131
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva x = 22
y pada interval 2 y 4 diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360o adalah ...satuan volume. a. 2 1 b. 6 1 c. 48 7 d. 48 1 e. 320 7 Jawaban: c Penyelesaian: V =
4 2 2 2 2 dy y = 4 2 4y – 4 dy = 4 2 3 3 4 y = 3 3 ) 2 ( 3 4 ) 4 ( 3 4 = 48 7 Jadi, volume benda putar yang diminta adalah 48 7 satuan volume.
LATIHAN SOAL
1. Ebtanas 1992 Hasi dari ∫(4x3 + 3x2 + 2x + 1) dx = .… a. x4 + x3 + x2 + c d. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x +c b. x4 + x3 + x2 + x + c e. 12x4 + 6x3 + 2x2 + c c. 4x4 + 3x3 + 2x2 + c 2. Hasil dari
(
1
)
dx
...
x
x
x
a. 2 2 3 x + C b. x x xC 2 1 2 5 2 c. x x2 xC 5 2 2 d. x x 2 x C 7 2 3 e. x x x x C 3 2 5 2 2 3. UN 2004Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, –5), maka persamaan kurvanya adalah ….
a. y = x3 – 3x2 + 2x + 5 d. y = x3 – 3x2 + 2x + 1 b. y = x3 – 3x2 + 2x – 5 e. y = x3 – 3x2 + 2x c. y = x3 – 3x2 + 2x – 1 4. Ebtanas 1990 Nilai dari
3 1 ) 1 )( 1 3 ( x x dx adalah …. a. 34 c. 32 e. 28 b. 33 d. 25 5. UN 2008 Hasil
4 1 2 dx x x = .... a. –12 c. 2 b. –4 d. 2 3 e. –3 6. UN 2007 Diketahui
3 a (3x2 + 2x + 1)dx = 25. Nilai 2 1 a = …. Ca. –4 c. 1 b. –2 d. 2 e. –1 7. [1 – sin2 2x] dx = .... a. 2 1 x – 8 1 sin 4x + C d. 2 1 x + 4 1 sin4x + C b. 2 1 x + 8 1 sin 4x + C e. 2 1 x + 4 1 cos4x + C c. x + cos2 2x + C 8. UN 2006 Nilai
3 0 sin 2x dx = …. a. 4 3 c. 4 1 b. 2 1 d. 3 1 e. 0 9. UN 2006 Nilai
0 sin 2x cos x dx = …. a. – 3 4 c. 3 2 b. – 3 1 d. 3 4 e. 3 1 10. Ebtanas 2001 Hasil
5 3 2 x dx x = .... a. 5 3 2 3 x + C d. 5 9 1 3 x + C b. 3 1 5 3 x + C e. 5 12 1 3 x + C c. 5 6 1 3 x + C 11. UN 2006 Nilai
4 0....
9
2
dx
x
x
a. 32 3 2 c. 50 3 2 b. 40 3 2 d. 98 3 2e.
41 3 2 12. 3x2 sin (x3 + 2) dx = .... a. cos(x3 + 2) + C d. 9cos(x3 + 2) + C b. – cos(x3 + 2) + C e. –9cos(x3 +2) +C c. 2 1 cos(x3 + 2) + C 13.
dx x x 2 1 sin = .... (UAN 2003) a. sin x 1 + C d. cos x 1 + C b. cos x + C e. cos x2 + C c. sin x2 + C 14. UN 2008Hasil dari cos2 x sin x dx adalah .... a. 3 1 cos3 x + C d. 3 1 sin3 x + C b. – 3 1 cos3 x + C e. 3 sin3 x + C c. – 3 1 sin3 x + C 15. UAN 2003
x2 cos x dx = ....
a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C
b. x2 sin x – 2x cos x – 2 sin x + C c. x2 sin x – 2x cos x + 2 sin x + C d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + C e. x2 cos x – 2x cos x – 2 cos x + C 16. UAN 2002
2 xsin x dx = .... a. 4 – 1 c. 2 – 1 b. 3 – 1 d. 2 3 – 1 e. – 1 17. UAN 2002Luas daerah arsiran pada gambar di samping adalah ... satuan luas. a. 5 b. 7 3 2 c. 8 d. 9 3 1 e. 10 3 1 18. UN 2007
Luas daerah yang dibatasi oleh kurav y = x2 dan garis x + y = 6 adalah ….
a. 54 satuan luas d. 18 satuan luas b. 20 6 5 satuan luas e. 10 3 2
satuan luas
c. 32 satuan luas 19. UN 2008Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4x, sumbu X, garis x = 1, dan x = 3 adalah ....
a. 3 3 2 satuan luas d. 9 3 1 satuan luas b. 5 3 1 satuan luas e. 10 3 2 satuan luas c. 7 3 1 satuan luas 20. UN 2008
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva x – y2 + 1 = 0, –1 x 4, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah … satuan volume.
a. 8 2 1 c. 12 2 1 b. 9 2 1 d. 13 2 1 e. 11 2 1 21. UAN 2003
Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ π dan sumbu X. Jika daerah D diputar 360o terhadap sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume.
a. 2 2 c. b. 2 1 2 d. 2 1 e. 2 22. UN 2007
Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva
y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.
y = 2x
y = 8 – x2
Y
X
a. 8π c. 3 8 π b. 2 13 π d. 4 5 π e. 4π 23. Ebtanas 2001
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4 dan sumbu y = –1 sampai y = 0 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah ... satuan volume.
a. 16 π c. 12π b. 3 2π d. 2 1 π e. 2 9 π
24. Diketahui f(x) = | x – 1 | Nilai
2 0...
)
( dx
x
f
(SNMPTN 2010) (A) 0 (B) ½ (C) 1 (D) 2 (E). 4 25. Jika
a a K dx x f 3 , ) ( maka
a a dx x a f 2 ) 2 5 ( (A) 2K (B) -2K (C) ½ K (D) – ½ (E). 5K (SPMB 2006) 26. Perhatikan gambar berikut! (TO I SSC)y = p + qx – x2 y = x2 + ax + b y x –1 3 (3, 2) (–1, 2)
Luas daerah yang diarsir adalah … satuan luas. (A) 643 (B) 20 (C)
3
32 (D)10 (E). 3 16
27. Diketahui daerah D1 dibatasi oleh 12
x
y , yx, dan
2 1
x . Daerah D2 dibatasi oleh
2 1 x y , yx, dan 2
x . Rasio luas D1 dan D2 adalah…(TO II SSC)
(A) 5 : 8 (C) 7 : 8 (E). 5 : 4 (B) 6 : 8 (D) 3 : 8 28. Jika
b ac
c
dx
c
x
.
0
,
cos
b adx
c
x
...
2
sin
(SPMB 2004) (A) -c (B) – ½ c (C) (b-a+c) (B) ½ (b-a+c) (E). ½ (b-a-c)29.
2 2 2 ... 4 dx x (UMB 2008) (A) 64/3 (B) 32/3 (C) 8 (D) 8 (E). 030. Jika f(x) = x2, maka luas daerah yang dibatasi y = 4-f(x) dan, y=4-f(x-4) dan y = 4 adalah …..(SNMPTN 2009)
(A) 12 (B) 16/3 (C) 5 (D) 4 (E). 11/3
31. Daerah D terletak di kuadran I yang dibatasi oleh parabola y = x2, parabola y = 4x2, dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu y adalah …
(Matematika ’96 Rayon A)
a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 20
~Good Luck~ By Mr Tt
