BAB 10 INTEGRAL RANGKAP

Teks penuh

(1)

INTEGRAL RANGKAP

10.1 Integral Rangkap Dua 10.2 Volume dan Pusat Massa 10.3 Integral Rangkap Tiga

10.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

10.1. Intergral Rangkap Dua

Misal diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,

( )

{

}

D= x y, a ≤ ≤x b c, ≤ ≤y d dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D dilakukan sebagai berikut.

Bagi daerah D menjadi sub persegi panjang yang berukuran ∆xi dan ∆yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi panjang, misal titik potong diagonal ( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub persegi panjang. Bangun ruang ( partisi ) tersebut akan mendekati bangun balok dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah hasilkali luas alas ( ∆Ai = ∆xi ∆yi )

dan tinggi ( f ( xi,yi ) ), yakni Vi = f ( xi,yi ) ∆Ai . Bila tiap-tiap

partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam bentuk : Vi f x y

(

)

A

i n

i i i i

n

= =

=

1 1

, ∆ . Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila diambil sebanyak tak hingga partisi atau n →∞ , yakni :

(

)

V f x y A

n i n

i i i

=

→∞ =

lim ,

1

Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:

Y d

∆yi

c

a ∆xi b

X

(2)

( )

(

)

f x y dA f x y A

D n i

n

i i i

, lim ,

∫∫

=

→∞ =1

Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :

1.

[

a f x y

( )

bg x y dA

( )

]

a f x y dA b

( )

g x y dA

( )

D D D

, + , = , + ,

∫∫

∫∫

∫∫

2. Bila D = B ∪ C dan B ∩ C = ∅ maka f x y dA

( )

f x y dA

( )

f x y dA

( )

D B C

, , ,

∫∫

=

∫∫

+

∫∫

Iterasi Integral

Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah berbentuk persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut.

Luas penampang benda yang tegak lurus terhadap sumbu Y dengan c ≤ y ≤ d , misal A(yi) adalah

( )

A yi f x y dx

a b

( ) =

, .

Volume bangun ruang merupakan jumlah volume : A y

( )

i y

i n

∆ =

1

untuk n →∞.

Oleh karena itu, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara berikut :

( )

( )

( )

f x y dA A y dy f x y dy dx

c d

a b

c d

D

, = = ,

   

   

∫∫

.

Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :

( )

( )

f x y dA f x y dx dy

c d

a b

D

, = ,

   

   

∫∫

Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.

Z

z

c d

a Y

b

(3)

Contoh 10.1

Hitung integral f x y dA D

( , )

∫∫

bila

1. f x y( , ) =2xy dan D=

{

( , )x y 0< <x 2 1, < <y 3

}

2. f x y( , ) =x2 dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x = -1, x = 1 , y = 0 , y = 1.

Jawab :

1. f x y dA xy dy dx x y dy dx

D

( , )

∫∫

=

=

  =

2 2 16

1 3

0 2

1 3

0 2

2. f x y dA x dx dy x dx dy

D

( , )

∫∫

=

=

  =

− −

2 1 1

0 1

2 1 1

0

1 2

3

Integral Rangkap atas Daerah Sembarang

Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu:

( )

( )

( )

( )

g x y f x y x y R

x y D R

, , ; ,

; ,

= ∈

∈ − 

  0

Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas R, dituliskan :

( )

( )

f x y dA g x y dA

R D

, ,

∫∫

=

∫∫

Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah sembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang.

Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu : 1. Tipe I, R=

{

( )

x y a, ≤ ≤x b v x, ( )≤ ≤y w x( )

}

Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :

( )

( )

f x y dA f x y dy dx

R v x

w x

a b

, ,

( ) ( )

∫∫

=

  

(4)

2. Tipe II, R=

{

( )

x y g y, ( )≤ ≤x h y c( ), ≤ ≤y d

}

Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :

( )

( )

f x y dA f x y dx dy

R g y

h y

c d

, ,

( ) ( )

∫∫

=

  

  

Contoh 10.2

Hitung integral f x y dA R

( , )

∫∫

bila

1. f x y( , ) =2x dan R =

{

( , )x y 0< <x 1,x y< <−x2+1

}

2. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x2 , sumbu X.

Jawab :

1. f x y dA x dy dx x dy dx

R x

x

x x

( , )

∫∫

=

=

   

  

 = −

− + − +

2 2 1

6

2 2

1

0

1 1

0 1

2. Daerah R dapat dituliskan menjadi : i. R1 =

{

( , )x y 0≤ ≤x 2 0, ≤ ≤y x2

}

atau ii. R2 =

{

( , )x y y ≤ ≤x 2 0, ≤ ≤y 4

}

Untuk R1, f x y dA y dy dx y dy dx

R

x x

( , )

1

2 2

2 2 32

5

0 0 2

0 0 2

∫∫

=

=

  

  

 =

Y

w(x)

v(x)

O a b X

Tipe I

Y g(y) h(y) d

c

O X

(5)

Untuk R2 , f x y dA y dx dy y dx dy

R y y

( , )

2

2 2 32

5

2

0

4 2

0 4

∫∫

=

=

  

  

 =

Perubahan Urutan Integrasi

Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan mengintegralkan terhadap y kemudian terhadap x ).

ey dy dx x

2

2

2 0 4

Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral dituliskan dalam bentuk :

ey dA

R

2

∫∫

maka R= 

( )

x y ≤ ≤x x ≤ ≤y

  

, 0 4,

2 2 . Daerah R digambarkan berikut :

Daerah R dapat juga dinyatakan dengan :

( )

{

}

R= x y, 0≤ ≤y 2 0, ≤ ≤x 2y Oleh karena itu, nilai integral dari :

ey dy dx ey dx dy

y

x

2

2

2

2 0 4

0 2 0 2

=

Contoh 10.3

Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut 1. f x y dx dy

y

( , )

0 0 2 2

Y

2 R

(6)

a

Koordinat Kutub

Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ).

Misal ( x,y ) merupakan titik pada koordinat cartesius. Maka dalam koordinat kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ dan y = r sin θ.

Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas daerah R dapat dituliskan :

(

)

Dalam koordinat cartesius, dA = dx dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam

Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :

(7)

Contoh 10.4

Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan

− −

Soal Latihan 10.1

( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut : 1.

∫∫

(

1 8+ xy dA

)

D=

{

( )

x y 1≤ ≤x 2 1≤ ≤y 2

}

( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut :

(8)

8. y dx dy

( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan integrasinya terlebih dahulu.

(9)

22. sec

(

cos

)

sin

2 0

1

1 2

x dx dy

x

π

( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub )

23. ex y dA

R

2+ 2

∫∫

; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4 24.

∫∫

4−x2−y dA2

R

; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x2 + y2 = 4, y = 0 dan y = x.

25. 1

4+ 2 + 2

∫∫

x y

dA

R

; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x2 + y2 = 4, y = 0 dan y = x.

26. y dA

R

∫∫

; R daerah di dalam x2 + y2 = 4 dan di luar x2 + y2 = 1 yang terletak di kuadran pertama.

27.

(

4 2 2

)

0 1 0

1 1

2 2

− − −

x y dy dx

x

28. sin

(

x y

)

dx dy

y

2 2 0

1 0

1 2

+ −

29.

(

x y

)

dy dx

x x

2 2 0

2 1

2 1

2 2

+ −

10.2. Volume dan Pusat Massa

Sebagaimana dijelaskan di awal bahwa pengertian integral rangkap dua diturunkan dari

menghitung volume benda ruang yang dibatasi oleh dua buah permukaan. Misal z = f ( x,y ) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY yang diberikan atau

bisa merupakan proyeksi dari permukaan z = f ( x,y ). Maka volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh permukaaan z = f ( x,y ) dan dibatasi di bawah oleh R dituliskan:

V f x y dA

R

(10)

Contoh 10.5

Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang 2x + 3y + z - 6 = 0.

Jawab :

Dari 2x + 3y + z - 6 = 0 didapatkan, f ( x, y ) = -2x - 3y + 6. Misal R daerah di

oktan pertama ( x ≥ 0, y ≥ 0 dan z ≥ 0 ) merupakan proyeksi f(x,y) di bidang XOY. Maka

( )

( )

R x y x y x

R x y x x y

=  ≤ ≤ ≤ ≤ −

  

=  ≤ ≤ − ≤ ≤

  

, ,

, ,

0 3 0 6 2

3

0 6 3

2 0 2

atau

Jadi volume bangun ruang :

(

)

V f x y dA x y dA

R R

=

∫∫

( , ) =

∫∫

−2 −3 +6

Dalam fisika, integral rangkap dua dapat digunakan untuk menghitung massa, pusat massa dan momen dari suatu lamina ( lempengan ) yang mempunyai massa jenis yang dinyatakan sebagai fungsi dari x dan y.

Misal suatu lamina f(x,y) dengan massa jenis δ ( x,y ) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R. Maka massa lamina :

m x y dA

R

=

∫∫

δ( , )

Sedangkan momen dari lamina terhadap sumbu Y dan sumbu X : Momen dari lamina

terhadap sumbu Y Momen dari lamina terhadap sumbu X 

 

 = =

 

 

 = =

∫∫

∫∫

M x x y dA

M y x y dA

y R

x R

δ

δ

( , )

( , )

Pusat massa dari lamina ( x,y ) dengan : x M

m y

M m

y x

= dan = .

Contoh 10.6

Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang dinyatakan oleh f(x,y) = 2x - y + 4 dengan massa jenis δ (x,y ) = x - y.

Jawab :

Z 6

O R 2 Y

3

(11)

Proyeksi f(x,y) = 2x - y + 4 pada bidang XOY, R=

{

( )

x y, − ≤ ≤2 x 0 0, ≤ ≤y 2x+4 .

}

Massa, m x y dA

(

x y dy dx

)

R

x

= =  −

  = −

∫∫

+

δ( , )

0 2 4

2 0

8

Momen terhadap sumbu Y, My x x y dA x

(

x y dy dx

)

R

x

= =  −

  =

∫∫

+

δ( , )

0 2 4

2

0 16

3 Momen terhadap sumbu X, Mx y x y dA y x

(

y dy dx

)

R

x

= =  −

  = −

∫∫

+

δ( , )

0 2 4

2

0 328

9 Pusat massa, M

m M

m

y x

, ,

 

 

 =−2  3

41 9

Soal latihan 10.2

( Nomor 1 sd 6 ) Hitung volume benda ruang berikut :

1. Terletak di bawah z = 2 x + y dan di atas persegi panjang

( )

{

}

R= x y, 3≤ ≤x 5 1, ≤ ≤y 2 .

2. Terletak di oktan pertama

[

x≥ 0,y≥ 0,z≥0

]

dibatasi oleh : x = 0, z = 0, z - y = 0, x = 5 dan z = = -2y + 6.

3. Terletak di oktan pertama dibatasi oleh bidang koordinat ( x = 0, y = 0 dan z = 0 ) dan bidang z = 5 - 2x - y.

4. Dibatasi oleh tabung x2 + y2 = 9 dan bidang z = 0 dan z = 3 - x.

5. Dibatasi di atas oleh z = x + 2y + 2 dan di bawah oleh bidang XOY antara y = 0 dan y = 1 - x2.

6. Dibatasi di atas oleh z = 9 - x2 dan di bawah oleh z = 0 dan y2 = 3x.

( Nomor 7 sd 9 ) Tentukan massa dan pusat massa dari lamina dengan massa jenis δ ( x,y ) bila lamina diberikan berikut :

7. Sumbu X, garis x = 1 dan kurva y= x ; δ ( x,y ) = x y 8. y = sin x, y = 0, x = 0 dan x = π. ; δ ( x,y ) = x + y 9. y = x dan y = 2 - x2 ; δ ( x,y ) = x

10.3. Integral Rangkap Tiga

(12)

balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆Vi =∆ ∆ ∆xi yi zi, sehingga volume balok, B yaitu :

V Vi

i n

= =

1

Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:

(

)

f x y z dV f x y z V

B n

i i i i i

n

( , , ) lim , ,

∫∫∫

=

→∞ =1 ∆

Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B.

Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :

g x y z f x y z x y z G

x y z B G

( , , ) ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )

= ∈

∈ − 

 0

B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan : f x y z dV g x y z dV

G B

( , , ) ( , , )

∫∫∫

=

∫∫∫

Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut z1 =u x y

( )

, danz2 = v x y

( )

, atau dalam notasi himpunan, Gz =

{

z u x y

( )

, ≤ ≤z v x y

( )

,

}

- dan Gxy yang merupakan proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :

f x y z dV f x y z dz dA

G u x y

v x y

Gxy

( , , ) ( , , )

( , ) ( , )

∫∫∫

=

∫∫

  

  

(13)

f x y z dz dA f x y z dz dy dx

Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G, sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.

Contoh 10.7

Hitung integral 2

0

Contoh 10.8

(14)

a

Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.

Contoh 10.9

Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8.

Soal Latihan 10.3

( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.

(15)

6. G =

(

x y z

)

≤ ≤x ≤ ≤y ≤ ≤z

(

xy

)

   , , 0 1 0, 3 0, 1

6 12 3 2 7. G =

(

x y z

)

≤ ≤xy ≤ ≤y ≤ ≤z

  

, , 0 4 2,0 2 0, 3

8. G =

{

(

x y z, ,

)

0≤ ≤x 3 0z, ≤ ≤ − −y 4 x 2 0z, ≤ ≤z 2

}

9. G =

{

(

x y z, ,

)

0≤ ≤x y2,0≤ ≤y z,0≤ ≤z 1

}

( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 10. y = 2x2 , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama.

11. y2 + 4z2 = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama 12. x2 =y , z2 = y dan y = 1

13. y = x2 + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0

10.4. Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut.

Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z ) maka diperoleh hubungan berikut :

Z z

(r,θ,z) y

O Y θ r

x X

Koordinat Tabung

Z z

(ρ,θ,φ) φ ρ

y

O Y θ r

X

(16)

x2 + y2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ z = z

Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ ) maka didapatkan hubungan berikut :

ρ

Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.

Koordinat Tabung

(

)

Koordinat Bola

(

)

sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin

(17)

Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik.

Contoh 10.10

Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral

0

Contoh 10.11

(18)

Soal latihan 10.4

1. Hitung x dz dy dx

x y

x x

2 0

9

9 9 3

3 2 2

2

2 − −

− −

2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :

a. Bagian atas : z = 25−x2−y2 , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x2 + y2 = 25 b. Bagian atas dan bawah : x2 + y2 + z2 = 9 dan selimut : x2 + y2 = 4

c. z = x2 + y2 dan z = 9

3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut:

a. z x y z dz dy dx

x y

x x

2 2 2 2

0 4

4 4 2

2 2 2

2 2

+ +

− −

− −

b.

(

x y z

)

dy dz dx

x z x z

x x

2 2 2

9 9

9 9 3

3 3

2 2 2

2 2

2 2

+ +

− − −

− −

− −

c. z x y dz dy dx

x y x

4 2 2

0 4

0 4

0

2 2 2 2

− −

− − −

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...