Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1
INTEGRAL
Kelas XII IIS
Semester Genap
Oleh :
Markus Yuniarto, S.Si.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 2
INTEGRAL
Standar Kompetensi:
1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.
Kompetensi Dasar
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 3
INTEGRAL
Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah turunan dari F(x) terhadap x maka
f(x)dxF(x)cdengan c konstanta sembarang dan f(x) disebut integran.Pada integral tentu
ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk
menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam
kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan
luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar,
menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak
hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain
yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi,
teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang
mempergunakannya.
A. Integral Tak Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan
suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) =
f(x) diketahui.
Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu. Rumus:
a.
a dxaxcb.
c
n
x
dx
x
n n
1
1
dengan n≠1
c.
c x n
a dx
axn n1
1 , dengan n≠1
Sifat-sifat:
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 4
Penyelesaian :
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 5
Ex. 2
Diketahui
f
x
= 5x
–
3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
18
Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang
melalui titik (3,4) ditentukan
3
x
2
8
x
5
dx
dy
, maka tentukan
persamaan kurva tersebut !
Penyelesaian :
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 6
LATIHAN SOAL
1.
Integralkan !
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 7
2.
Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a.
f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b.
f ‘(x) = 8x –
3 dan f(-1) = 10
c.
f ‘(x) =
21
2x
x
dan f(1) =
3
1
d.
f ‘(x) = x
-
xdan f(4) = -3
e.
f ‘(x) = 1
-
1
2x
dan f(4) = 1
3.
Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis
singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x
–
3.
Tentukan persamaan kurva tersebut !
4.
Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh
x
x
dx
dy
2
3
2
dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan
persamaan kurva itu !
5.
Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh
16 12 )
(t t2 t
v
. Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak
yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu
!
6.
Diketahui rumus percepatan a(t)=
t
2
1
dan kecepatan v(0)=6.
Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 8 B. Integeral Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup [a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka
b
a
dx x
f( ) disebut integral tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
baF
(
b
)
F
(
a
)
Berikut ini sifat-sifat integral tentu.
Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b] maka berlaku sifat-sifat berikut.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 9 Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun parsial.
1. Integral Substitusi
Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan. Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.
a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk
f(x)nd f(x).Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat
ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variable x yang tersisa.
c u n du
un n 1
1 1
, dengan u = f(x), n ≠ - 1
c u du
u
1 lnb. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku
c x
f n x f d x f dx x g x
f n n ( ( ))n 1
1 1 )) ( ( ) ( ))
( ) ( (
2. Integral Parsial
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 10
pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’.
Jika kita
integralkan kedua rua, maka akan didapat :
y'dx
u'vdx
uv'dx
uv'dxy u'vdx uv u'vdx Rumus integral parsial:
udvu.v
vduEx. 4.
Tentukana.
10dxb.
2x(x2)dxc.
dxx 6
Penyelesaian :
a.
10dx =
10x0dx= 10 . x c
1 0
1 0
1
= 10x + c
b.
2x(x2)dx =
(2x24x)dx= 2. x x c
1 1 1
2
1 1
1 . 4 1
2 1
= x32x2c
3 2
c.
dxx 6
=
dx x 1Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 11 Ex. 5.
Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung kurva 5x2
dx dy
dan melalui titik (2,9). Penyelesaian :
5x2
dx dy
dy = (5x – 2) dx
dy
(5x2)dx y = x 2xc 2
5 2
Kurva melalui titik (2,9) y = x 2xc
2 5 2
9 = (2) 2(2)c
2 5 2
c = 3
Jadi persamaan kurva y = 2 3 2
5 2
x x
Ex. 6.
Selesaikan integral berikut. a.
dx x
x 4 3
6
2 c.
2x x 1 dx2
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 12 Ketiga integral diatas diselesaikan menggunakan integral subtitusi.
a.
dx x
x 4 3
6
2
Misal : u = 3x2+4
du = 6x dx
Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk integralnya.
du u u du dx x
x
1 4
3 6
2
= lnu cln3x2 4 c b.
(2x3)9dxMisal u = 2x-3 du = 2dx dx =
2 1
du
Subtitusikan u = 2x-3 dan dx = 2 1
du pada bentuk integralnya.
u9 du
u9du u10c 101 . 2 1 2
1 2 1 .
c x
c
u
10 (2 3)10
20 1 20
1
c.
2x x21 dxMisal : u = x2+1 du = 2x dx.
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 13
2x x2 1dx
x2 1.2xdx
udu u2du
1
c
u
21
1
1 2 1 1
c x
c
u
2
3 2 2
3
) 1 ( 3 2 3
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 14 LATIHAN
1. Tentukan nilai integral berikut ini! a.
5dx...b.
12 dx... xc.
x5dx... d.
x3dx... 2. Tentukan F(x), jika:a. F’(x) = x3
dan F(3) = 9
b. F’(x) = x + 1 dan F(-1) = 2 ½
3. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi!
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 15 C. Penerapan Integral
1) Penggunaan Integral Tak Tentu
Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis dx dy
atau y’.
Secara geometris, dx dy
merupakan gradient garis singgung kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui gradient (
dx dy
) garis singgung dan sebuah titik pada kurva itu.
Ex. 7.
a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan
dx dy
= 2x + 3. Jika kurva melalui titik (1, -3) carilah persamaan kurva tersebut!
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 16 2) Penggunaan Integral Tentu
a) Luas daerah di bawah suatu kurva.
Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan sb. X dinyatakan sebagai: L =
b
a
dx
x
f
(
)
F
(
x
)
ba
F
(
b
)
F
(
a
)
bila
f(x)dxF(x) .Ex. 8 (1)
Carilah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian:
l uas s atuan 2
1 7 2 1 8 1 2 1 4 2 1 ] x 2 1 dx x
L 4 2 2
1 2 4
1
y = f(x)
x = a x = b x y
y = x
1 4 x
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 17 (2)
Hitunglah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian:
L = 3dx 3x]15 3(5) 3(1) 15 3 12sl
5
1
(3)
Hitunglah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi: x = 0 dan x = 2
L =
x
dx
x
sl
3
8
0
3
1
2
3
1
]
3
1
2 3 30 3 2
0
2
y = 3
(1,0) (5,0) x y
y y = x2
(2,4)
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 18 b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X
Luas =
b
a
dx
x
f
(
)
Luas = A1 + A2 + A3
Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.
Ex. 9.
(1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2– 6x dan sumbu X.
y = f(x)
x = a x = b x y
A1
A2 x
y
A3
y = x2– 6x
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 19 Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi:
Penyelesaian:
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 20
satuan luas
c) Luas Daerah Antara Dua Kurva
Luas =
Penyelesaian:
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 21
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan nilai integral di bawah ini :
2.
Tentukan nilai a jika diketahui :
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 22
4.
Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan
dengan integral berikut :
5.
Tentukan nilai integral dari :
6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: a. y = x pada x = 2 dan x = 6
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 23 7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =
8!
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan garis y = x!
9.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 24
d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu
Koordinat
Y
y = f(x
0 X
a b
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x
= b dan sumbu X yang diputar sejauh
360
mengelilingi
sumbu X adalah :
b
a
dx
y
V
2Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh
360
dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y
dan kurva itu sendiri maka volumenya :
b
a
x
dy
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 25
Ex. 11.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva
2x
y
, sumbu X dan garis x = 2 diputar
mengelilingi sumbu X sejauh
360
!
Penyelesaian : Y
0 2 X
20
4
0
2
0 5 4
2 2
5
32
0
5
32
5
1
x
dx
x
dx
x
V
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 26
e). Volume benda putar antara Dua
y y = f(x)
y = g(x)
0 a b X
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X
sejauh
360
yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a
dan x = b adalah :
b
a y y dx
V ( 22)
2 1
dimana
2 1 2
1
f
(
x
),
y
g
(
x
)
dan
y
y
y
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 27
Ex.12.
Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
oleh kurva
2x
y
dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360
!
Penyelesaian :
2
0
2
0 5 3 4
2 2
0
2 2 2
15 64 5
1 3 4 4
) ( ) 2
(
x x dx x x dx x xV
Latihan Soal
1.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu X sejauh
360
!
a.
y = x, x = 1 dan x = 10
b.
y =
x
2, sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c.
y =
x, sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d.
y =
x21, x = 0 dan x = 1
e.
y =
3x
, sumbu X, x = -3 dan x = 3
2.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh
360
!
a.
y = x dan y = 6
b.
y =
xdan y = 1
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 28
3.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh
360
mengelilingi
sumbu koordinat yang disebutkan !
a.
y = x dan y =
2x
mengelilingi sumbu X
b.
y =
2x
dan
y
2
x
mengelilingi sumbu Y
c.
y =
2x
, y =
x, mengelilingi sumbu Y
d.
y =
2x
dan y =
4x
mengelilingi sumbu X
e.
y =
x
2dan y =
6xx2mengelilingi sumbu X
f.
y =
21x