INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018

(1)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1

INTEGRAL

Kelas XII IIS

Semester Genap

Oleh :

Markus Yuniarto, S.Si.

SMA Santa Angela

Tahun Pelajaran 2017/2018

(2)

INTEGRAL

Standar Kompetensi:

1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana.

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar.

3. Peserta didik mampu menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

(3)

INTEGRAL

Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah turunan dari F(x) terhadap x maka



f(x)dxF(x)cdengan c konstanta sembarang dan f(x) disebut integran.

Pada integral tentu

ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk

menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam

kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan

luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar,

menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak

hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain

yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi,

teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang

mempergunakannya.

A. Integral Tak Tentu

Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) = f(x) diketahui.

Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu. Rumus: a.



a dxaxc b.









c

n

x

dx

x

n n

1

1 dengan n≠1 c.



    c x n a dx axn n1 1 , dengan n≠1 Sifat-sifat: a.



(f(x)g(x))dx



f(x) dx



g(x)dx

(4)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 4 b.



a f(x)dxa



f(x)dx c.



dxxc

Ex. 1

Tentukan :





dx x x d dx x c dx x x x x b dx x a



    2 . 3 8 . 2 7 6 3 5 . 2 . 4 2 3 4 3

Penyelesaian :





c x c x dx x dx x x d c x c x dx x dx x c c x x x x x dx x x x x b c x c x dx x a                          



  2 5 2 5 2 3 3 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 4 4 3 5 4 2 5 2 2 2 . 9 8 ) 3 ( 3 8 3 8 3 8 . 2 2 7 2 4 3 2 7 6 3 5 . 2 1 4 2 2 .

(5)

Ex. 2

Diketahui

f



 

x

= 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

18 2 . 3 ) 2 ( 2 5 18 ) 2 ( 3 2 5 ) 3 5 ( ) ( 2 2          



c f c x x dx x x f



10 

6 

c



18 

16 

c



18 

c



2 Jadi

3

2

5 )

(

x



x

2



x



f

Ex. 3

Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang

melalui titik (3,4) ditentukan



3 x

2



8 x



5 dx

dy

, maka tentukan

persamaan kurva tersebut !

Penyelesaian :

4 3 . 5 3 . 4 3 4 ) 3 ( 5 4 ) 5 8 3 ( ) ( 2 3 2 3 2             



c f c x x x dx x x x f

(6)

4

15

36

27 







c

2 





c

Jadi f(x) =

x34x2 5x2

LATIHAN SOAL

1. Integralkan !



































_























dx

x

j

dx

x

i

dx

x

h

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

e

dx

x

d

dx

x

c

dx

x

b

dx

x

a

2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 5

1 .

4

5 .

1 .

6 .

3

2 .

8

3

2

6 .

7

5

2

4

3 .

1 .

5 .

2 .

(7)

2. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :

a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10

b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10

c. f ‘(x) =

2

1

₂

x



dan f(1) =

3

1 d. f ‘(x) = x -

x

dan f(4) = -3

e. f ‘(x) = 1 -

1

₂

x

dan f(4) = 1

3. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis

singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3.

Tentukan persamaan kurva tersebut !

4. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh

x

dx

dy

2

3

2





dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan

persamaan kurva itu !

5. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh

1 6 12 )

(t  t2 t

v

. Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak

yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu

!

6. Diketahui rumus percepatan a(t)=

t

2



1 dan kecepatan v(0)=6.

Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=

dt

dv

(8)

B. Integeral Tentu

Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup [a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka



b a

dx x

f( ) disebut integral tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.

f

(

x

)

dx



F

(

x

)



ba

F

(

b

)

F

(

a

)

b a







Berikut ini sifat-sifat integral tentu.

Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b] maka berlaku sifat-sifat berikut.

1.

f

x

dx

f

x

dx

a b b a



(

)





(

)

2.



(

)



0

a a

dx

x

f

3.







b a b a

dx

x

f

k

dx

x

f

k

(

)

(

)

degan k suatu konstanta

4.













b a b a b a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

(

)

(

))

(

)

(

)

(

5.











b a c b c a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(

)

6.

k

dx

k

(

b

a

)

b a







(9)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 9 Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun parsial.

1. Integral Substitusi

Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan. Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.

a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk



f(x)nd f(x).

Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variable x yang tersisa.



    c u n du un n 1 1 1 , dengan u = f(x), n ≠ - 1 c u du u  



1 ln

b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku



     c x f n x f d x f dx x g x f n n ( ( ))n 1 1 1 )) ( ( ) ( )) ( ) ( ( 2. Integral Parsial

Integral ini dipakai apabila integran dapat dipisah menjadi dua fungsi. Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih fungsi yang dapat diintegralkan.

Seperti telah kita ketahui

(10)

pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita

integralkan kedua rua, maka akan didapat :



y'dx 



u'vdx



uv'dx 



uv'dxy u'vdx uv u'vdx Rumus integral parsial:



udvu.v



vdu

Ex. 4.

Tentukan a.



10dx b.



2x(x2)dx c.



dx x 6 Penyelesaian : a.



10dx =



10x0dx = 10 . x c  1 0 1 0 1 = 10x + c b.



2x(x2)dx =



(2x24x)dx = 2. x x c     1 1 1 2 1 1 1 . 4 1 2 1 = x32x2c 3 2 c.



dx x 6 =



dx x 1 6 = 6 ln x + c

(11)

Ex. 5.

Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung kurva 5x2

dx dy

dan melalui titik (2,9). Penyelesaian : 5x2 dx dy  dy = (5x – 2) dx 



dy



(5x2)dx  y = x 2xc 2 5 2

Kurva melalui titik (2,9) y = x 2xc 2 5 2  9 = (2) 2(2)c 2 5 2  c = 3

Jadi persamaan kurva y = 2 3 2

5 2  

x x

Ex. 6.

Selesaikan integral berikut. a.



 dx x x 4 3 6 2 c.



2x x 1 dx 2 b.



(2x3)9dx Penyelesaian :

(12)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 12 Ketiga integral diatas diselesaikan menggunakan integral subtitusi. a.



 dx x x 4 3 6 2 Misal : u = 3x2+4  du = 6x dx

Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk integralnya. du u u du dx x x



   1 4 3 6 2 = lnu cln3x2 4 c b.



(2x3)9dx Misal u = 2x-3 du = 2dx  dx = 2 1 du Subtitusikan u = 2x-3 dan dx = 2 1 du pada bentuk integralnya.



u9 du



u9du u10c 10 1 . 2 1 2 1 2 1 . c x c u      10 10 ) 3 2 ( 20 1 20 1 c.



2x x21 dx Misal : u = x2+1  du = 2x dx.

Subtitusikan u = x2+1dan du = 2x dx pada bentuk integralnya.

(13)



2x x2 1dx



x2 1.2xdx







 udu u2du 1 c u    21 1 1 2 1 1 c x c u      2 3 2 2 3 ) 1 ( 3 2 3 2

(14)

LATIHAN

1. Tentukan nilai integral berikut ini! a.



5 dx... b.



1₂ dx... x c.



5 ... dx x d.



x3dx... 2. Tentukan F(x), jika: a. F’(x) = x3 dan F(3) = 9 b. F’(x) = x + 1 dan F(-1) = 2 ½

3. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi!

























            dx 5 x x 12 . f dx 4 x x 4 . e dx 4 x 2 . d dx 1 x 5 2 . c dx 4 x 6 . b dx 3 x 2 . a 4 3 2 6 2 5 3 4 5 5

(15)

C. Penerapan Integral

1) Penggunaan Integral Tak Tentu

Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis dx dy atau y’. Secara geometris, dx dy

merupakan gradient garis singgung kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui gradient (

dx dy

) garis singgung dan sebuah titik pada kurva itu.

Ex. 7.

a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan dx

dy

= 2x + 3. Jika kurva melalui titik (1, -3) carilah persamaan kurva tersebut!

(16)

2) Penggunaan Integral Tentu

a) Luas daerah di bawah suatu kurva.

Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan sb. X dinyatakan sebagai: L =



b a

dx

x

f

(

)



F

(

x

)



b_a



F

(

b

)



F

(

a

)

bila



f(x)dxF(x) . Ex. 8 (1)

Carilah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian: luas satuan 2 1 7 2 1 8 1 2 1 4 2 1 ] x 2 1 dx x L 41 2 2 2 4 1        y = f(x) x = a x = b x y y = x 1 4 x y

(17)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 17 (2)

Hitunglah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian: L = 3dx 3x]₁5 3(5) 3(1) 15 3 12sl 5 1      



(3)

Hitunglah luas daerah yang diarsir! Penyelesaian:

Mencari batas-batas integrasi: x = 0 dan x = 2 L =

x

dx

x

sl

3

8

0

3

1

2

3

1 ]

3

1

2 3 3 0 3 2 0 2

_

_

_



y = 3 (1,0) (5,0) x y y y = x2 (2,4) x

(18)

b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X

Luas =



b a

dx

x

f

(

)

Luas = A1 + A2 + A3

Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.

Ex. 9.

(1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x dan sumbu X.

y = f(x) x = a x = b _x y A1 A2 x y A3 y = x2 – 6x (6,0) x y

(19)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 19 Penyelesaian:

Mencari batas-batas integrasi:













0

6

2

y

x

y

x2 – 6x = 0 x(x – 6) = 0 x = 0 atau x = 6

sl

x

dx

x

L

6

3 (

6 )

(

72

108 )

36

3

1 (

)

0 (

]

3

1 )

6 (

06 3 2 2 3 6 0 2



















(2) Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 9x pada sumbu X, x = – 2 dan x = 4.

Penyelesaian: 14 ) 18 4 ( 0 ] 2 9 4 1 ) 9 ( 0₂ 0 2 2 4 3 1          



x x dx x x A

4

81 )

2

81

4

81 (

]

2

9

4

1 )

9 (

30 3 0 2 4 3 2





x



x

dx



x



x







A

A1 A2 x y A3 y = x3 – 9x 3 4 - 2 0

(20)

4

49

4

81

4

32 )

2

81

4

81 (

)

72

4

256 (

]

x

2

9 x

4

1 dx

)

x

9 x

(

A

43 4 3 2 4 3 3





















 Jadi, luas = A1 + A2 + A3 = 14 +

4

81

+

4

49

=

2

93

satuan luas

c) Luas Daerah Antara Dua Kurva

Luas =





c a

dx

x

f

x

g

(

)

(

))

(

Ex. 10.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y = x, x = 1, dan x = 2.

Penyelesaian:

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y= x, x = 1 dan x = 2. y = f(x) x = a x = c x y y = g(x) (a,b) (c,d) y = 3x 1 2 x y y = x

(21)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 21 L = (3x x)dx 2xdx x2]₁2 22 12 3sl 2 1 2 1      

_



LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai integral di bawah ini :







           2 1 2 1 1 2 4 0 1 2 2 3 0 1 . 6 2 5 . 12 . 6 . 4 . dx x x e dx x x d dx x x c dx x b dx x a

2. Tentukan nilai a jika diketahui :

2 1 1 . 18 . 2 1 2 0  



 a a dx x b dx x a

3. Tentukan a jika







    2 1 6 2x a dx

(22)

4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan

dengan integral berikut :







    2 2 3 3 3 2 3 2 2 4 0 . 4 . . 3 . dx x d dx x c dx x b dx x a

5. Tentukan nilai integral dari :















x



dx

d

dx

x

c

dx

x

b

dx

x

a







 3 2 5 3 1 0 4 2 2 5 5 3 1

4

2 .

1

2 .

4

6 .

3

2 .

6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: a. y = x pada x = 2 dan x = 6

(23)

Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 23 7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =

8!

8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan garis y = x!

9.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :

0 1 3 4 . . 6 , . 0 2 . 2 . 0 3 9 . 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2                           y x dan x x y g x y dan x y f Y sumbu dan x y x y e y x dan x y d x x y dan x y c y x dan x y b x y dan x y a

(24)

d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu

Koordinat

Y

y = f(x

0 X

a b

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x

= b dan sumbu X yang diputar sejauh

360



mengelilingi

sumbu X adalah :





b a

dx

y

V



2

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi

sumbu Y sejauh

360



dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y

dan kurva itu sendiri maka volumenya :





b

a

x

dy

(25)

Ex. 11.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh kurva

2

x

y



, sumbu X dan garis x = 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh

360



!

Penyelesaian : Y

0 2 X

 

















_













2 0 4 0 2 0 5 4 2 2

5

32

0

5

32

5

1 _

_



x

dx

x

dx

x

V

satuan volume.

(26)

e). Volume benda putar antara Dua

y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X

sejauh

360



yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a

dan x = b adalah :





b  a y y dx V ( 22) 2 1



dimana

2 1 2 1

f

(

x

),

y

g

(

x

)

dan

y





Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi

sumbu Y.

(27)

Ex.12.

Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

oleh kurva

2

x

y



dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh



360 !

Penyelesaian :





_







    _  _   2 0 2 0 5 3 4 2 2 0 2 2 2 15 64 5 1 3 4 4 ) ( ) 2 (