Sistem Koordinat
Sistem Koordinat
Mekanika I
Mekanika I
Wanda Suryadinata (140310120057)Wanda Suryadinata (140310120057)
Chandra Tirta Aditya G. (140310120055)Chandra Tirta Aditya G. (140310120055)
M. Chandra Gunawan (140310120057)M. Chandra Gunawan (140310120057)
JURUSAN FISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERITAS PADJADJARAN UNIVERITAS PADJADJARAN
Sistem Koordinat Sistem Koordinat
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang
titik pada bidang (( R R22)) atau ruang atau ruang (( R R33)). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal,. Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R
sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R 22), letak titik pada), letak titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat Polar. Sedangkan pada ruang umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat Polar. Sedangkan pada ruang (R
(R 33) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat Silinder) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat Silinder dan koordinat bola.
dan koordinat bola.
Sistem Koordiant SilinderSistem Koordiant Silinder
Sebuah sistem koordinat silinder adalah sistem koordinat tiga dimensi yang Sebuah sistem koordinat silinder adalah sistem koordinat tiga dimensi yang menentukan posisi titik dengan jarak dari sumbu referensi yang dipilih, arah dari sumbu menentukan posisi titik dengan jarak dari sumbu referensi yang dipilih, arah dari sumbu relatif ke arah referensi yang dipilih, dan jarak dari memilih referensi bidang yang tegak lurus relatif ke arah referensi yang dipilih, dan jarak dari memilih referensi bidang yang tegak lurus dengan sumbu. Jarak kedua diberikan sebagai angka positif atau negatif tergantung pada sisi dengan sumbu. Jarak kedua diberikan sebagai angka positif atau negatif tergantung pada sisi mana dari pesawat referensi menghadapi titik.
mana dari pesawat referensi menghadapi titik.
Asal dari sistem ini adalah titik di mana semua tiga koordinat dapat diberikan sebagai Asal dari sistem ini adalah titik di mana semua tiga koordinat dapat diberikan sebagai nol. Ini adalah persimpangan antara bidang referensi dan sumbu.
nol. Ini adalah persimpangan antara bidang referensi dan sumbu.
Sumbu adalah berbagai disebut sumbu silinder atau longitudinal, untuk membedakannya dari Sumbu adalah berbagai disebut sumbu silinder atau longitudinal, untuk membedakannya dari sumbu kutub, yang merupakan sinar yang terletak pada bidang referensi, mulai dari asal dan sumbu kutub, yang merupakan sinar yang terletak pada bidang referensi, mulai dari asal dan menunjuk ke arah referensi.
Jarak dari sumbu dapat disebut jarak radial atau radius, sedangkan sudut koordinat Jarak dari sumbu dapat disebut jarak radial atau radius, sedangkan sudut koordinat kadang-kadang disebut sebagai posisi sudut atau sebagai azimuth. Jari-jari dan azimut kadang-kadang disebut sebagai posisi sudut atau sebagai azimuth. Jari-jari dan azimut bersama-sama
bersama-sama disebut disebut koordinat kutub, koordinat kutub, karena mekarena mereka reka sesuai sesuai dengan dengan sistem sistem koordinat polarkoordinat polar dua dimensi pada bidang melalui titik, sejajar dengan bidang referensi. Ketiga koordinat dua dimensi pada bidang melalui titik, sejajar dengan bidang referensi. Ketiga koordinat dapat disebut posisi membujur ketinggian atau altitude (jika bidang acuan dianggap dapat disebut posisi membujur ketinggian atau altitude (jika bidang acuan dianggap horisontal),, atau posisi aksial.
horisontal),, atau posisi aksial.
Koordinat silinder berguna sehubungan dengan benda-benda dan fenomena yang Koordinat silinder berguna sehubungan dengan benda-benda dan fenomena yang memiliki beberapa simetri rotasi pada sumbu longitudinal, seperti aliran air dalam pipa lurus memiliki beberapa simetri rotasi pada sumbu longitudinal, seperti aliran air dalam pipa lurus dengan putaran penampang, distribusi panas dalam silinder logam, medan elektromagnetik dengan putaran penampang, distribusi panas dalam silinder logam, medan elektromagnetik yang dihasilkan oleh arus listrik dalam panjang, kawat lurus, dan sebagainya.
yang dihasilkan oleh arus listrik dalam panjang, kawat lurus, dan sebagainya.
Hal ini kadang-kadang disebut "koordinat polar silinder" dan "koordinat silinder polar", dan Hal ini kadang-kadang disebut "koordinat polar silinder" dan "koordinat silinder polar", dan kadang-kadang digunakan untuk menentukan posisi bintang di galaksi ("galactocentric kadang-kadang digunakan untuk menentukan posisi bintang di galaksi ("galactocentric koordinat polar silinder").
koordinat polar silinder").
Dalam hal koordinat Cartesian (x,y,z) koordinat silinder dinyatakan sebagai: Dalam hal koordinat Cartesian (x,y,z) koordinat silinder dinyatakan sebagai:
Dimana
Dimana , , , , , , dan dan invers invers tangen tangen must must harus harus sesuai sesuai yangyang didefinisikan untuk mengambil kuadran yang benar dari (x
didefinisikan untuk mengambil kuadran yang benar dari (x ,y) dalam perhitungan,y) dalam perhitungan Dalam
Dalam istilah istilah , , , , dandan
atau atau dengan dengan zz zz zz zz x x y y tg tg sin sin y y y y x x ccosos x x Silinder Silinder Kartesian Kartesian Kartesian Kartesian Silinder Silinder 1 1 2 2 2 2
Sebuah vektor Cartesian diberikan dalam koordinat silinder oleh: Sebuah vektor Cartesian diberikan dalam koordinat silinder oleh:
Kecepatan dapat diperoleh dengan persamaan : Kecepatan dapat diperoleh dengan persamaan :
Percepatan
Percepatan benda dalam sistem koordinat silinder benda dalam sistem koordinat silinder
⃑⃑ ⃑⃑
⃑⃑ ⃑⃑
̂ ̂ ̂ ̂
−− ̂ ̂ ̂ ̂
Dimana Dimana
−−
−−
Sistem Koordinat PolarSistem Koordinat Polar
Sistem koordinat ini berguna untuk menganalisa gerak benda bila benda bergerak Sistem koordinat ini berguna untuk menganalisa gerak benda bila benda bergerak melingkar (dua dimensi), Dalam sistem koordinat polar, posisi suatu titik P dalam ruang melingkar (dua dimensi), Dalam sistem koordinat polar, posisi suatu titik P dalam ruang dinyatakan dengan 2 besaran, yaitu r dan
dinyatakan dengan 2 besaran, yaitu r dan θθ..
Titik P dengan koordinat polar
Titik P dengan koordinat polar (r,(r, ) ) berarti berada diposisi: berarti berada diposisi:
Derajat dari
sumbu-Derajat dari sumbu- x ( x ( sb. polar sb. polar ) ) (( diukur berlawanan arah jarum-jam) diukur berlawanan arah jarum-jam)
berjarak sejauh
berjarak sejauh r r dari titik asal kutub Odari titik asal kutub O jika
jika r < 0r < 0, maka P berada di posisi , maka P berada di posisi yang berlawanan arah.yang berlawanan arah. r : koordinat radial
Vektor arah pada koordinat polar dinyatakan sebagai: Vektor arah pada koordinat polar dinyatakan sebagai:
Sedangkan buat vektor posisi pada koordinat ini
Sedangkan buat vektor posisi pada koordinat ini dinyatakan dalam bentuk:dinyatakan dalam bentuk:
⃑⃑ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
(
(
̂ ̂
̂ ̂
))
Untuk mencari kecepatan pada koordinat polar, menggunakan fungsi posisi terhadap Untuk mencari kecepatan pada koordinat polar, menggunakan fungsi posisi terhadap waktu, maka diperoleh kecepatan pada koordinat ini adalah:
waktu, maka diperoleh kecepatan pada koordinat ini adalah:
⃑⃑ ⃑⃑
dimana dimana
̂ ̂
̂ ̂
−
− ̂ ̂
̂ ̂
, , sehingga sehingga kecepatannya:kecepatannya:⃑⃑
Percepatan benda pada koordinat polar adalah: Percepatan benda pada koordinat polar adalah:
−−
−−
Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola
Koordinat bola, juga disebut koordinat kutub bola (Walton 1967, Arfken 1985), Koordinat bola, juga disebut koordinat kutub bola (Walton 1967, Arfken 1985), adalah sistem koordinat lengkung yang alami untuk menggambarkan posisi pada bola atau adalah sistem koordinat lengkung yang alami untuk menggambarkan posisi pada bola atau spheroid. Tentukan theta menjadi sudut azimut dalam xy dari sumbu x dengan 0 <= theta spheroid. Tentukan theta menjadi sudut azimut dalam xy dari sumbu x dengan 0 <= theta <2pi (dilambangkan lambda ketika disebut sebagai bujur), phi sebagai sudut polar (juga <2pi (dilambangkan lambda ketika disebut sebagai bujur), phi sebagai sudut polar (juga dikenal sebagai sudut zenith dan colatitude , dengan phi = 90 derajat-delta di mana delta dikenal sebagai sudut zenith dan colatitude , dengan phi = 90 derajat-delta di mana delta lintang) dari positif sumbu z dengan 0 <= phi <= pi, dan r menjadi jarak (radius) dari titik ke lintang) dari positif sumbu z dengan 0 <= phi <= pi, dan r menjadi jarak (radius) dari titik ke asal. Ini adalah konvensi yang biasa digunakan dalam matematika.
asal. Ini adalah konvensi yang biasa digunakan dalam matematika.
Mengikuti konvensi matematika, simbol untuk radial, azimuth, zenith dan koordinat Mengikuti konvensi matematika, simbol untuk radial, azimuth, zenith dan koordinat sudut yang diambil sebagai r, theta, dan phi, masing-masing. Perhatikan bahwa definisi ini sudut yang diambil sebagai r, theta, dan phi, masing-masing. Perhatikan bahwa definisi ini menyediakan perpanjangan logis dari notasi koordinat polar biasa, dengan theta tersisa sudut menyediakan perpanjangan logis dari notasi koordinat polar biasa, dengan theta tersisa sudut di xy dan phi menjadi sudut keluar dari pesawat. Satu-satunya pengecualian untuk konvensi di xy dan phi menjadi sudut keluar dari pesawat. Satu-satunya pengecualian untuk konvensi ini dalam pekerjaan ini adalah harmonik bola, di mana konvensi yang digunakan dalam ini dalam pekerjaan ini adalah harmonik bola, di mana konvensi yang digunakan dalam literatur fisika dipertahankan.
..
Hubungannya dengan variabel-variabel dalam sistem koordinat kartesian adalah Hubungannya dengan variabel-variabel dalam sistem koordinat kartesian adalah
Gradient pada koordinat bola adalah: Gradient pada koordinat bola adalah:
Vektor posisi pada koordinat bola adalah: Vektor posisi pada koordinat bola adalah:
⃑⃑ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
(
(
̂ ̂
̂ ̂
))
benda dalam sistem koordinat bola adalah: benda dalam sistem koordinat bola adalah:
⃑⃑
Ini diperoleh dari penurunan persamaan posisi terhadap waktu pada koordinat bola sebagai Ini diperoleh dari penurunan persamaan posisi terhadap waktu pada koordinat bola sebagai berikut: berikut:
⃑⃑ ⃑⃑
dimana dimanâ̂
̂̂
̂̂
(
(
̂
̂ ̂ ̂
)) (
(
̂
̂ ̂ ̂
))
̂̂
̂̂ −
− −−̂̂
̂̂
−
− ̂
̂ ̂ ̂
Dan dari urain kecepatan,maka diperoleh percepatan pada koordinat ini adalah: Dan dari urain kecepatan,maka diperoleh percepatan pada koordinat ini adalah:
