SISTEM KOORDINAT DALAM RUANG DIMENSI TIGA DAN PERMUKAAN DERAJAT DUA

1

Bahan Ajar Kalkulus Lanjut Bagian SISTEM KOORDINAT DALAM RUANG

DIMENSI TIGA DAN PERMUKAAN DERAJAT DUA

Drs. Mukhni, M.Pd

Jurusan Matematika FMIPA UNP

2022

Bahan Renungan!!!

(Hadish, Sahih Muslim)

 Telah menceritakan kepada kami Abu Ja‘far Muhammad ibn asSabbah dan Abu Bakr ibn Abi Syaibah dan keduanya berdekatan dalam lafaz hadis tersebut, keduanya berkata, telah menceritakan kepada kami Isma‘il ibn Ibrahim, dari Hajjaj as-Sawwaf, dari Yahya ibn Abi Kaśir, dari Hilal ibn Abi Maimunah, dari ‘Ata’ ibn Yasar, dari Mu‘awiyah ibn al-Hakam as-Sulami, dia berkata, ‘Ketika aku sedang shalat bersama-

sama Rasulullah saw., tiba-tiba ada seorang laki-laki dari suatu kaum bersin. Lalu aku mengucapkan, 'Yarhamukallah [semoga Allah memberi Anda rahmat]'. Maka seluruh jamaah menujukan pandangannya kepadaku. Aku berkata, ‘Aduh, celakalah ibuku! Mengapa kalian semua melototiku?’ Maka mereka menepukkan tangan mereka pada paha mereka. Setelah itu barulah aku tahu bahwa mereka menyuruhku diam. Tetapi aku telah diam. Tatkala Rasulullah saw. selesai shalat, Ayah dan ibuku sebagai tebusanmu (ungkapan sumpah Arab), aku belum pernah bertemu seorang pendidik sebelum dan sesudahnya yang lebih baik pengajarannya daripada Rasulullah saw.. Demi Allah! Rasulullah saw. tidak menghardikku, tidak memukul dan tidak memakiku. Rasulullah saw. bersabda: “Sesungguhnya shalat ini, tidak pantas di dalamnya ada percakapan manusia, karena shalat itu hanyalah tasbih, takbir dan membaca Alquran.

2

1) Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

Renungan!!

 Katakanlah: "Hai manusia sesungguhnya aku adalah utusan Allah kepadamu semua, yaitu Allah Yang mempunyai kerajaan langit dan bumi; tidak ada Tuhan (yang berhak disembah) selain Dia, Yang menghidupkan dan mematikan,maka berimanlah kamu kepada Allah dan Rasul-Nya, Nabi yang ummi yang beriman kepada Allah dan kepada kalimat-kalimat-Nya (kitab-kitab-Nya) dan ikutilah dia, supaya kamu mendapat

petunjuk.

"(Surat Al A’rafayat 158).

Sistem koordinat kartesius dimensi tiga dibentuk oleh tiga garis koordinat yang masing- masing disebut sumbu-sumbu 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 saling tegak lurus, dan berpotongan pada titik pangkal 𝑂 yang disebut titik asal (lihat gambar di bawah).

Ketiga sumbu tersebut membagi ruang dimensi tiga atas tiga bidang, yaitu :

 bidang 𝑥𝑜𝑦 atau bidang 𝑥𝑦 yaitu bidang yang tegak lurus sumbu- 𝑧

 bidang 𝑥𝑜𝑧 atau bidang 𝑥𝑧 yaitu bidang yang tegak lurus sumbu- 𝑦

 bidang 𝑦𝑜𝑧 atau bidang 𝑦𝑧 yaitu bidang yang tegak lurus sumbu- 𝑥

3

Ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti berikut

Jika titik 𝑃 berada dalam ruang dimensi tiga, maka secara sistem koordinat kartesius dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), yang berarti bahwa titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) berjarak 𝑥 dari bidang 𝑦𝑧, berjarak 𝑦 dari bidang 𝑥𝑧 dan berjarak 𝑧 dari bidang 𝑥𝑦. Secara geometri titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) digambarkan dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti gambar berikut.

Jarak antara dua titik

Secara umum jika diketahui dua titik 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁) dan 𝑄(𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂), maka panjang atau jarak antara titik 𝑃 dan 𝑄 dirumuskan sebagai berikut:

𝑑_(𝑃,𝑄)= ⃒𝑃𝑄⃒ = √(𝑥₂ − 𝑥₁)²+ (𝑦₂− 𝑦₁)² + (𝑧₂− 𝑧₁)²

Soal Latihan:

1. Plotlah atau gambarkanlah titik-titik yang mempunyai koordinat (1, 2, 3), (2, 0, 1), (-2, 4, 5), (0, 3, 0), dan (-1, -2, -3).

2. Apa yang yang dapat Anda simpulkan dengan koordinat dari seluruh titik yang terletak pada:

a. pada bidang yoz?

b. pada bidang xoz?

4 c. pada bidang xoy?

d. pada sumbu x?

e. pada sumbu y?

f. pada sumbu z?

3. Tentukan jarak antara pasangan titik berikut!

a. (-1, 3, 5) dan (x, y, z) b. (x, y, z) dan (- 1, 3, 5) c. (6, - 1, 0) dan (1, 2, 3) d. (- 2, - 2, 0) dan (2, - 2, - 3) e. (0, 0, 0) dan (x, 2x, 3x).

4. Tunjukkan bahwa (4, 5, 3), (1, 7, 4), dan (2, 4, 6) adalah titik sudut- titik sudut sebuah segitiga sama sisi!

5. Tunjukkan bahwa (2, 1, 6), (4, 7, 9) dan (8, 5, - 6) adalah titik sudut-titik sudut sebuah segitiga siku-siku!

6. Tentukan jarak dari titik (2, 3, -1) ke:

a. bidang xoy, b. sumbu y, c. titik pangkal.

7. Sebuah kotak persegi panjang mempunyai sisi-sisi sejajar dengan bidang-bidang koordinat dan mempunyai titik-titik (2, 3, 4) dan (6, -1, 0) sebagai titik-titik ujung diagonal utamanya (diaonal ruang). Gambarkan sketsa kotak ini dan tentukan koordinat-koordinat titik sudut kotak lainnya

5

2) Luasan atau Permukaan Derajat Dua di Ruang Dimensi Tiga

Camkanlah!!!

 Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal. (Yaitu) orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau keadaan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata):

“Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia.

Maha suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka.

(QS. Ali Imran: 190-191)

Luasan (permukaan) adalah bangunan di dalam ruang dimensi tiga. Bentuk persamaan luasan ini adalah 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 dengan 𝐶 suatu konstanta. Ada beberapa luasan yang perlu diketahui yaitu luasan derajat satu (bidang rata) dan luasan derajat dua (bola, elipsoida, hiperbolaida, paraboloida, silender, kerucut, dan lain-lain).

a. Bidang Rata

Bentuk umum persamaan bidang rata ini adalah 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, dengan 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 tidak semuanya sama dengan nol. Konstanta 𝐷 menenntukan jarak (𝑑) bidang itu terhadap titik pangkal O(0,0,0) dengan

𝑑 = | 𝐷

√𝐴²+ 𝐵²+ 𝐶²|

Jika 𝐷 ≠ 0, maka berarti bidang rata itu tidak melalui titik pangkal O dan memotong ketiga sumbu koordinat, sehingga persamaan bidang rata itu dapat ditulis menjadi:

𝑉 =𝑥 𝑎+𝑦

𝑏+𝑧 𝑐 = 1 dengan 𝑎 = −^𝐷

𝐴, 𝑏 = −^𝐷

𝐵, dan 𝑐 = −^𝐷

𝐶.

6

b. Bola

Persamaan baku bola dengan pusat (0,0,0) dengan jari-jari r adalah:

𝑥² + 𝑦²+ 𝑧² = 𝑟²

Jejaknya pada bidang 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 dan 𝑦𝑧 adalah berbentuk lingkaran.

Jika pusat bola 𝑀(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan jari-jari bola 𝑟, maka persamaan bola itu menjadi:

(𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²+ (𝑧 − 𝑐)² = 𝑟², atau dapat ditulis menjadi:

𝑥² + 𝑦²+ 𝑧²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, dengan

pusat bola 𝑀(−¹

2𝐴, −¹

2𝐵, −¹

2𝐶) dan jari-jari 𝑟 = √¹

4𝐴² +¹

4𝐵²+¹

4𝐶² − 𝐷

c. Elipsoida

Persamaan baku Elipsoida dengan pusat (0,0,0) adalah

𝑥² 𝑎²+ ^𝑦2

𝑏²+^𝑧2

𝑐²= 1

Jejaknya pada bidang 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 dan 𝑦𝑧 berupa elips.

Jika pusat ellipsoid adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaan elipsoida menjadi:

(𝑥 − 𝑝)²

𝑎² + ^{(𝑦 − 𝑞)2}

𝑏² +^{(𝑧 − 𝑟)2}

𝑐² = 1

7

d. Hiperboloid Lembar Satu

Persamaan baku Hiperboloid Lembar Satu dengan pusat (0,0,0) adalah

𝑥² 𝑎²+ ^𝑦2

𝑏²−^𝑧2

𝑐²= 1

Jejak pada bidang 𝑥𝑦, adalah elips, sedangkan jejak pada bidang 𝑥𝑧 dan 𝑦𝑧 adalah hiperbola

Jika pusat hiperboloida lembar satu adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaannya menjadi:

(𝑥 − 𝑝)²

𝑎² + ^{(𝑦 − 𝑞)2}

𝑏² −^{(𝑧 − 𝑟)2}

𝑐² = 1

e. Hiperboloid Lembar Dua

Persamaan baku Hiperboloid Lembar Dua dengan pusat (0,0,0) adalah

𝑥² 𝑎²− ^𝑦2

𝑏²−^𝑧2

𝑐²= 1

Jejak pada bidang 𝑥𝑦 dan 𝑥𝑧 adalah hiperbol sedangkan jejak pada bidang 𝑦𝑧 tidak ada, tetapi perpotongan bidang yang sejajar bidang 𝑦𝑧 dengan permukaan akan membentuk elips.

Jika pusat hiperboloida lembar dua adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaannya menjadi:

(𝑥 − 𝑝)²

𝑎² − ^{(𝑦 − 𝑞)2}

𝑏² −^{(𝑧 − 𝑟)2}

𝑐² = 1

8

f. Paraboloid Elips

Persamaan baku paraboloid elips dengan pusat (0,0,0) adalah

𝑧 = 𝑥² 𝑎²+ 𝑦²

𝑏²

Jejak pada bidang xy adalah titik tetapi perpotongan bidang yang sejajar bidang xy dengan permukaan membentuk elips. Jejak pada bidang xz dan bidang yz adalah parabol.

Jika pusat paraboloid ellips adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaannya menjadi:

(𝑧 − 𝑟) = ^{(𝑥 − 𝑝)2}

𝑎² + ^{(𝑦 − 𝑞)2}

𝑏²

g. Paraboloid Hiperbol

Persamaan baku paraboloid hiperbol dengan pusat (0,0,0) adalah

𝑧 = 𝑦² 𝑏²− 𝑥²

𝑎²

Jejak pada bidang xy berupa sepasang garis yang saling berpotongan tetapi jejak bidang yang sejajar dengan xy adalah hiperbol. Jejak pada bidang xz dan bidang yzadalah parabol .

Jika pusat paraboloid hiperbol adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaannya menjadi:

(𝑧 − 𝑟) = (𝑦 − 𝑞)²

𝑏² + (𝑥 − 𝑝)² 𝑎²

9

h. Kerucut Ellips

Persamaan baku kerucut elips dengan pusat (0,0,0) adalah 𝑥²

𝑎²+ 𝑦² 𝑏² −𝑧²

𝑐² = 0

Jejak pada bidang xy berupa sebuah titik tetapi jejak bidang yang sejajar dengan xy adalah elips. Jejak pada bidang xz dan bidang yz adalah sepasang garis yang berpotongan

Jika pusat kerucut ellips adalah 𝑀(𝑝, 𝑞, 𝑟), maka persamaannya menjadi:

(𝑥 − 𝑝)²

𝑎² + (𝑦 − 𝑞)²

𝑏² −(𝑧 − 𝑟)² 𝑐² = 0

i. Silender

a) Silender Elliptik:

𝑥² 𝑎²+ 𝑦²

𝑏² = 1,

𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑥 dan 𝑦 dapat diganti dengan 𝑧, dengan pusat 𝑂(0,0,0).

b) Silender Hiperbolik

𝑥² 𝑎²− 𝑦²

𝑏² = ±1,

𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑥 dan 𝑦 dapat diganti dengan 𝑧, dengan pusat 𝑂(0,0,0).

c) Silender parabolic

𝑦² = 4𝑝𝑥, 𝑝 ≠ 0,

𝑥 dan 𝑦 dapat diganti dengan 𝑧, dengan pusat 𝑂(0,0,0).

10 Catatan:

Cara menggambar permukaan berderjat dua yang tidak berpusat di O(0,0,0):

1) Tuliskan persamaannya dalam bentuk kuadrat, 2) Tentukan jenis permukaannya,

3) Tentukan pusat permukaannya,

4) Tentukan jejak permukaannya pada bidang yangsejajar denan bidang koordinat, 5) Gambarkan permukaannya

Cara lain:

Setelah jenis dan permukaan dapat ditentukan, gambarkan permukaan yang jenisnya sama dan berpusat di (0,0,0). Permukaan yang dinginkan diperoleh dengan menggeser permukaan ini ke titk pusatnya.

Contoh:

Namailah grafik dari setiap persamaan berikut:

a. 4𝑥² + 4𝑦²− 25𝑧²+ 100 = 0 b. 𝑦²+ 𝑧²− 12𝑦 = 0

c. 𝑥²− 𝑧² = 0

d. 9𝑥² + 4𝑧²− 36𝑦 = 0 Penyelesaian:

a. 4𝑥² + 4𝑦²− 25𝑧²+ 100 = 0 (kedua ruas persamaan ini dibagi dengan−100) diperoleh:

−𝑥² 25−𝑦²

25+𝑧² 4 = 1

Grafiknya merupakan sebuah Hiperboloid Lembar Dua.

Grafiknya tidak memotong bidang xy, tetapi penampang-penampangnya melintang pada bidang-bidang yang sejajar dengan bidang ini (paling tidak 2 satuan jauhnya) berupa lingkaran.

b. 𝑦²+ 𝑧²− 12𝑦 = 0.

Pada persamaan ini tidak ada peubah 𝑥, sehinga grafiknya merupakan sebuah silender yang sejajar dengan sumbu 𝑥.

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi:

(𝑦 − 6)²+ 𝑧² = 36.

11 c. 𝑥²− 𝑧² = 0.

Persamaan ini tidak ada peubah 𝑦, sehingga grafiknya merupakan sebuah silender.

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi

(𝑥 − 𝑧)(𝑥 + 𝑧) = 0,

sehingga grafiknya terdiri dari dua bidang 𝑥 = 𝑧 dan 𝑥 = −𝑧.

d. 9𝑥² + 4𝑧²− 36𝑦 = 0.

Persamaan ini dapat ditulis menjadi:

𝑥² 4 + 𝑧²

9 = 𝑦,

yang mempunyai sebuah paraboloid eliptik sebagai grafiknya. Paraboloid itu simetrik terhadap sumbu 𝑦

Soal Latihan:

Namailah grafik dari setiap persamaan berikut:

a. 4𝑥 + 36𝑦² = 144

b. 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0 c. 4𝑥² + 9𝑦²+ 49𝑧² = 1764 d. 4𝑥² + 16𝑦²− 32𝑧 = 0 e. 9𝑥² + 25𝑦²+ 9𝑧² = 225

12

3) Sismtem Koordinat Silender dan Bola

Renungan!!

 Sesungguhnya telah berlalu sebelum kamu sunnah-sunnah Allah*^]; Karena itu berjalanlah kamu di muka bumi dan perhatikanlah bagaimana akibat

orang-orang yang mendustakan (rasul-rasul) (Surat Ali ‘Imran ayat 137).

*]. Yang dimaksud dengan sunnah Allah di sini ialah hukuman-hukuman Allah yang berupa malapetaka, bencana yang ditimpakan kepada orang-orang yang mendustakan rasul.

Sismtem Koordinat Silender

Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat kartesius ke dalam koordinat silender (tabung) dan koordinat bola.

Hubungan antara koordinat kartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut.

z

Bila dalam koordinat kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan dalam koordinat tabung ditulis 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝑧), maka diperoleh hubungan berikut :

13

Silender 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝑧) ke Kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) Kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ke silende 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑥 = 𝑟cos 𝜃

𝑦 = 𝑟sin 𝜃 z = z

𝑟² = 𝑥²+ 𝑦² atau 𝑟 = √𝑥²+ 𝑦² tan 𝜃 =𝑦

𝑥 z = z

Contoh:

Tentukan:

a. Koordinat Kartesius sebuah titik yang mempunyai koordinat silender (4, ^2𝜋

3 , 5) dan b. Koordinat silender sebuah titik yang mempunyai koordinat Kartesius (−5, −5,2) Penyelesaian:

a. koordinat silender (4, ^2𝜋

3 , 5) diubah ke koordinat kartesius (𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan:

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 4cos2𝜋

3 = 4 (−1

2) = −2 𝑦 = 𝑟sin 𝜃 = 4 sin^2𝜋

3 = 4 (¹

2√3) = 2√3, 𝑧 = 5

Jadi, koordinat kartesius dari (4, ^2𝜋

3 , 5) adalah (−2, 2√3, 5).

b. koordinat Kartesius (−5, −5, 2) diubah ke koordinat silender (r, θ, z ), dengan:

𝑟 = √𝑥²+ 𝑦² = √(−5)²+ (−5)² = 5√2 tan 𝜃 =^𝑦

𝑥= ⁻⁵

−5= 1 atau 𝜃 =^5𝜋

4

𝑧 = 2

Jadi, koordinat silender dari (−5, −5, 2) adalah (5√2,^5𝜋

4 , 2)

Contoh:

Tentukan persamaan-persamaan di dalam koordinat silender suatu paraboloid dan silender yang mempunyai persamaan kartesius masing-masing 𝑥²+ 𝑦² = 4 − 𝑧 dan 𝑥²+ 𝑦² = 2𝑥.

Penyelesaian:

Paraboloid 𝑥²+ 𝑦² = 4 − 𝑧 dalam persamaan silender berbentuk 𝑟² = 4 − 𝑧 dan silender 𝑥² + 𝑦² = 2𝑥 dalam persamaan silender berbentuk 𝑟² = 2𝑟 cos 𝜃 atau 𝑟 = 2 cos 𝜃.

Contoh:

Tentukan persamaan kartesius suatu permukaan yang persamaan-persamaannya dalam koordinat silender adalah 𝑟²+ 𝑧² = 16 dan 𝑟²cos 2𝜃 = 𝑧.

14 Penyelesaian:

 Persamaan kartesius dari persamaan dalam koordinat silender 𝑟²+ 𝑧² = 16 adalah 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² = 16 atau

𝑥² 16+ ^𝑦2

16 + ^𝑧2

16= 1 (grafiknya sebuah ellipsoid).

 Persamaan kartesius dari persamaan dalam koordinat silender 𝑟²cos 2𝜃 = 𝑧 adalah 𝑟²(cos²𝜃 − sin²𝜃) = 𝑧 atau

( 𝑟²cos²𝜃 − 𝑟²sin²𝜃) = 𝑧 atau

𝑥² − 𝑦² = 𝑧 (grafiknya sebuah paraboloid hiperbolik).

B. Sismtem Koordinat Bola

Bila dalam koordinat Kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan dalam koordinat bola ditulis 𝑃(ρ, 𝜃, φ) maka didapatkan hubungan berikut.

Bola 𝑃(ρ, 𝜃, φ) ke Kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) Kartesius 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ke bola 𝑃(ρ, 𝜃, φ)

𝑥 = ρsin φ cos 𝜃 𝑦 = ρsin φ sin 𝜃

𝑧 = ρ cos 𝜑

ρ = √𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² tan 𝜃 =𝑦

𝑥 cos 𝜑 = 𝑧

√𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²

15 Contoh:

Tentukan koordinat kartesius dari titik P yang mempunyai koordinat bola (8, ^𝜋

3, ^2𝜋

3).

Penyelesaian:

(8, ^𝜋

3, ^2𝜋

3) diubah menjadi koordinat kartesius (x, y, z) dengan:

𝑥 = ρsin φ cos 𝜃 = 8sin 2𝜋 3 cos𝜋

3= 8.√3 2 .1

2= 2√3

𝑦 = ρsin φ sin 𝜃 = 8sin 2𝜋 3 sin𝜋

3= 8.√3 2 .√3

2 = 6

𝑧 = ρ cos 𝜑 = 8 cos^√3

2 = 8. (−¹

2) = −4.

Jadi koordinat kartesius dari (8,^𝜋

3,^2𝜋

3) adalah (2√3,6, −4).

Contoh:

Nyatakan persamaan dalam koordinat bola ρ = 2 cos 𝜑 ke dalam persamaan kartesius.

Penyelesaian:

persamaan ρ = 2 cos 𝜑 kalikan kedua ruas dengan ρ sehingga diperoleh:

ρ² = 2ρ cos 𝜑 atau

𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² = 2𝑧 atau

𝑥²+ 𝑦²+ (𝑧 − 1)² = 1.

Persamaan ini merupakan persamaan bola dengan pusat (0,0,1) dan jari-jari 1.

Contoh:

Nyatakan persamaan dalam koordinat kartesius 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦²

ke dalam persamaan koordinat bola.

Penyelesaian:

Subtitusikan: 𝑥 = ρsin φ cos 𝜃, 𝑦 = ρsin φ sin 𝜃, 𝑧 = ρ cos 𝜑

ke dalam 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦², sehingga diperoleh:

16

ρ cos 𝜑 = (ρsin φ cos 𝜃)²+ (ρsin φ sin 𝜃)² ρ cos 𝜑 = ρ²sin²φ(cos²𝜃 + sin²𝜃)

ρ cos 𝜑 = ρ²sin²φ cos 𝜑 = ρsin²φ ρ = cos𝜑. cosec²φ

Jadi persamaan koordinat kartesius

𝑧 = 𝑥²+ 𝑦²

dalam persamaan koordinat bola berubah menjadi:

ρ = cos𝜑. cosec²φ

Soal Latihan:

1. Tuliskan dalam bentuk table hubungan antara koordinat silender dan koordinat bola.

2. Ubahlah koordinat berikut ini dari koordinat silender ke koordinat kartesius (6, ^𝜋

6, −2) dan (4, ^4𝜋

3 , −8).

3. Ubahlah koordinat berikut ini dari koordinat bola ke koordinat kartesius dari (8, ^𝜋

4,^𝜋

6) dan (4, ^𝜋

3,^3𝜋

4).

4. Ubahlah koordinat berikut ini dari koordinat kartesius ke koordinat silender (2, 2, 3) dan (4√3, −4, 6).

5. Ubahlah koordinat berikut ini dari koordinat kartesius ke koordinat bola (2, −2√3, 4) dan (−√2, √2, 2√3).

6. Nyatakan persamaan-persamaan berikut kedalam perubahan yang diberikan;

a. 𝑥²+ 𝑦² = 9 ke koordinat silender

b. 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑧² = 10 ke koordinat silender c. 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑧² = 10 ke koordinat bola d. 𝑥²− 𝑦²− 𝑧² = 1 ke koordinat bola e. 𝑟 = 2sin 𝜃 ke koordinat kartesius f. ρ sin 𝜑 = 1 ke koordinat kartesius