1
MAKALAH
SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT 2 DIMENSI
DISUSUN OLEH : HERA RATNAWATI
16/395027/TK/44319
DEPARTEMEN TEKNIK GEODESI
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS GADJAH MADA
2017
2
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala rahmat yang diberikan-Nya sehingga tugas Makalah yang berjudul “Sistem Transformasi Koordinat 2 Dimensi yang digunakan di Bidang Geodesi” ini dapat saya selesaikan. Makalah ini saya buat sebagai kewajiban untuk memenuhi tugas.
Dalam kesempatan ini, saya menghaturkan terimakasih yang dalam kepada semua pihak yang telah membantu menyumbangkan ide dan pikiran mereka demi terwujudnya makalah ini. Akhirnya saran dan kritik pembaca yang dimaksud untuk mewujudkan kesempurnaan makalah ini sangat saya hargai.
Yogyakarta, 28 Agustus 2017
3
DAFTAR ISI
Cover...1 Kata Pengantar ...2 Daftar isi ...3 Bab I pendahuluan ...4 1.1 Latar belakang ...4 1.2 Rumusan masalah ...5 1.3 Tujuan ... 5Bab II Landasan Teori ... 6
Bab III Pembahasan... ... 7
Bab IV Penutup ... 16
Kesimpulan ...16
4
BAB I
PENDAHULUAN
1.1LATAR BELAKANG
Rene Descartes dikenal sebagai ahlli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan. Ia lahir di Touraine, Prancis, putra dari seorang ahli hukum, yang lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke sekolah Jeswit pada umur 8 tahun. Karena kesehatannya yang kurang baik, Descartes diizinkan menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia mendapat gelar sarjana hukum dan selanjutnya menjalani kehidupan seorang tuan yang terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal beberapa waktu di Paris dan kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia meninggal karena pneumonia pada tahun 1850.
Descartes menyelidiki suatu metode berfikir yang umum yang akan memberikan perkalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matemtika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruhu adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri tua dan patut dimuliakan dengan AlJabar yang masih bayi. Bersama dengan orang Prancis lainnya, Pierre Fermat (1601-1665), ia diberi pujian dengan gabungan tersebut yang saat ini kita sebut geometri analitik atau geometri koordinat. Makalah ini akan menyajikan terobosannya khusus mengenai sistem koordinat, diantaranya sistem koordinat kartesius, koordinat polar, dan koordinat bola.
5 1.2RUMUSAN MASALAH
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah 1. Apakah yang dimaksud dengan sistem koordinat ? 2. Apa saja macam-macam dari sistem koordinat ? 3. Apa yang dimaksud sistem koordinat 2 dimensi ?
4. Apa kegunaan sistem koordinat 2 dimensi dalam bidang Geodesi ?
1.3TUJUAN
Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah di atas, adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Memberikan pemahaman mengenai sistem koordinat secara umum. 2. Mendeskripsikan sistem koordinat kartesius.
3. Mendeskripsikan sistem koordinat polar.
4. Mendeskripsikan sistem koordinat 2 dimensi yang digunakan dalam bidang Geodesi.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
SISTEM KOORDINAT
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (R2) atau ruang (R3). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R2), letak titik pada umumnya
dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Sedangkan pada ruang (R3) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola.
Untuk menjamin konsistensi dan standardisasi, perlu ada satu sistem dalam menyatakan koordinat, hal ini terkait dengan kerangka koordinat, sistem koordinat. ¨ Pengertian kerangka koordinat adalah suatu himpunan dari sumbu-sumbu koordinat atau bangun geometrik yang lainnya, kepadanya posisi suatu titik ditentukan. Hubungan geometrik antara dua kerangka koordinat dinyatakan oleh kombinasi vektor translasi yang menetapkan posisi titik nol kerangka yang satu terhadap lainnya, dan matrik rotasi yang menyatakan orientasi kerangka yang satu terhadap yang lainnya.
Sistem referensi merupakan definisi secara konseptual secara lengkap bagaimana sistem koordinat ditentukan. Terkait dalam pendefinisian origin (titik pusat) dan orientasi dari sumbu-sumbu sistem koordinat. Termasuk yang mendasari model matematika dan model fisik. ¨ Kerangka referensi merupakan realisasi praktis dari sistem referensi melalui pengukuran dan pengamatan.
Terdapat parameter dalam sistem koordinat yaitu :
1. Lokasi Titik Nol dari Sistem Koordinat Posisi suatu titik di permukaan bumi umumnya ditetapkan dalam/terhadap suatu sistem koordinat terestris. Titik nol dari sistem koordinat terestris ini dapat berlokasi di titik pusat massa bumi (sistem koordinat geosentrik), maupun di salah satu titik di permukaan bumi (sistem koordinat toposentrik).
2. Orientasi dari Sumbu-sumbu Koordinat ¨ Posisi tiga-dimensi (3D) suatu titik di permukaan bumi umumnya dinyatakan dalam suatu sistem koordinat geosentrik. ¨ Tergantung dari parameter-parameter pendefinisi koordinat yang digunakan, ¨ dikenal dua sistem koordinat yang umum digunakan, yaitu sistem koordinat Kartesian (X,Y,Z) dan sistem koordinat Geodetik (L,B,h).
3. Besaran (kartesian, curvilinear) yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu titik dalam sistem koordinat ¨ Posisi titik juga dapat dinyatakan dalam 2D, baik dalam (L,B), ataupun dalam suatu sistem proyeksi tertentu (x,y) seperti Polyeder, Traverse Mercator (TM) dan ¨ Universal Traverse Mercator (UTM).
7
BAB III
PEMBAHASAN
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (R2) atau ruang (R3). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius, sistem koordinat kutub.
Sisten Koordinat dalam Bidang (R2) / 2 Dimensi
Letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub.
1) Sistem Koordinat Cartesius
Gambar 1
Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan kwadran IV (x>0, y<0). Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik P(x,y), maka x disebut absis, y disebut ordinat dan P(x,y) disebut koordinat.
0 , 0 y x 0 0 y x 0 , 0 y x 0 , 0 y x X Y Kwadran Kwadran Kwadran Kwadran I II III IV
8
Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1 >0 dan y1 >0
Gambar 2
Berdasarkan gambar 2 di atas, tampak suatu segitiga yaitu OPM yang salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras
OP2 = OM2 + MP2
= (x1-0)2 + (y1-0)2
= x12 + y12
= x12 y12
atau ditulis dengan notasi OP x12y22
Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x1,y
1) ) , (x1 y1 P 1 x 1 y ) 0 , (x1 M ) 0 , 0 ( O Y X
9
Gambar 3
Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu P(x1,y1) terletak pada kuadran II, Q(x2,y2) terletak pada kuadran IV, R(x3,y3) terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:
1. PQ (xQ xP)2 (yQ yP)2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y 2. PR (xR xP)2(yR yP)2 (x3x1)2(y3y1)2 3. QR (xRxQ)2 (yR yQ)2 (x3x2)2 (y3 y1)2
2) Sistem Koordinat Kutub
) , (x1 y1 P ) , (x2 y2 Q ) , (x3 y3 R Y X
10
Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (x,y), dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan
real
r, , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)
Gambar 4
Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik
) 3 , 3 (
P dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar
3
radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak
pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula
dinyatakan dalam koordinat
3, 32k
, dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat
3,4 3
pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak padabayangan sinar OP. 3 ) 3 , 3 ( P 3 (b) 3 ) 2 3 , 3 ( k P 32k (a) O ) , (r P r
11
Gambar 5
Secara umum, jika
r, menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
r,2k
atau
r, (2k1)
dengan k bilangan bulat. Kutub mempunyai koordinat (0,) dengan sebarang bilangan.Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub
Suatu titik P berkoordinat (x,y) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r,) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:
Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:
(c) 3 ) 3 4 , 3 ( P 3 4 3 P O ) , ( ) , (x y r P r
Y
r
12 sin cos y r r x r x r y y x r 2 2 arcsin arccos Contoh
1) Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.
a. 3 2 , 4 A b. 4 , 5 B c. 6 5 , 3 C Jawab a. 2 3 3 2 sin 4 2 3 2 cos 4 y x . Jadi, A
2,2 3
. b. 2 2 5 4 sin 5 2 2 5 4 cos 5 y x .Jadi, dalam system koordinat Cartesius
2 2 5 , 2 2 5 B . c. 2 3 6 5 sin 3 3 2 3 6 5 cos 3 y x . Jadi, 2 3 , 2 2 3 C .
Apabila x0 maka persamaan dapat dinyatakan sebagai:
0 , arctan 2 2 2 x x y y x r
13 Karena x y arctan
akan memberikan 2 nilai yang berbeda, 0 2. Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai yang lain, maka r x2 y2 .
2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:
a. P
4,4
b. Q(4,4) Penyelesaian: a. r 42 (4)2 4 2 4 7 atau 4 3 4 4 arctan Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:
4 7 dengan 2 4 r , atau 4 3 dengan 2 4 r . Jadi, 4 7 , 2 4 P atau 4 3 , 2 4 P . b. r (4)242 4 2 4 7 atau 4 3 4 4 arctan
Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:
4 3 dengan 2 4 r , atau 4 7 dengan 2 4 r . Jadi, 4 3 , 2 4 Q atau 4 7 , 2 4 Q .
14
3) Nyatakan persamaan r2asin ke dalam sistem koordinat Cartesius. Jawab
Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:
) sin ( 2 2 a r r
Selanjutnya, karena r2 x2y2 dan rsin y maka:
, 0 2 2 2 2 2 2 ay y x ay y x
yaitu persamaan lingkaran dengan pusat (0,a) dan jari-jari a.
4) Nyatakan x24y2 16 ke dalam system koordinat kutub.
Penyelesaian: Dengan substitusi xrcos dan yrsin maka diperoleh:
16 sin 4 cos2 2 2 2 r r . 16 ) sin 3 1 ( 2 2 r
Penggunaan Sistem Koordinat 2 Dimensi yang digunakan di Bidang Geodesi
Selain digunakan untuk mempresentasikan posisi titik pada peta, juga digunakan dalam Sistem Informasi Geografi (GIS) merupakan metoda sajian terpadu, maka semua data masukan spasial maupun tabular harus berupa data terpadu. Artinya, kesatuan Sistim Koordinat untuk data spasial, kesatuan ID untuk data tabular, kesatuan dalam me-manage data untuk sasaran informasi tersebut agar dapat dimanfaatkan secara maksimal. Fungsi Sistim Proyeksi dan transformasi sangat memegang peranan sangat penting.
Transformasi koordinat digunakan untuk merelasikan sistem koordinat tanah dengan peta atau layer data atau untuk meng-adjust suatu layer data sedemikian rupa sehingga layer tersebut dapat di-overlay-kan secara tapat di ataslayer(s) yang lain. Prosedur yang digunakan untuk mengaplikasikan koreksi ini disebut dengan istilah registrasi – beberapa layer yang berbeda diregistrasikan terhadap sistem koordinat bersama atau terhadap salah satu layer yang dianggap sebagai peta dasar (standard). Layer(s) yang mencakup area yang sama harus diregistrasi sedemikian rupa sehingga setiap lokasi yang terdapat di dalam overlay memiliki koordinat (peta) yang sama. Di bidang pengolahan citra dan penginderaan jauh, sering kali, proses registrasi terhadap suatu citra dilakukan dengan bantuan citra lain (citra referensi) yang telah memiliki koordinat bumi (atau koordinatnya telah
15
dianggap benar) – registrasi citra. Walaupun demikian, jika tujuan prosesnya hanya sekedar untuk ‘mendatarkan’ geometri citra (tetapi masih belum dapat menghapus distorsi akibat pergeseran relief topografi) dan tidak memerlukan citra referensi, tetapi memerlukan titik-titik kontrol tanah (GCPs), maka prosesnya sering disebut sebagai rektifikasi
16
BAB IV
PENUTUP
KESIMPULAN
Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut. Sedangkan , dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik didefinisikan sebagai fungsi dari arah dan jarak titik ikatnya.
17
