SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521

SISTEM KOORDINAT

SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521

▸ Baca selengkapnya: soal sistem koordinat kelas 6

Sistem Koordinat

Parameter SistemKoordinat

Koordinat Kartesian

Koordinat Polar

Sistem Koordinat Geosentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

¨  Posisi suatu titik dinyatakan dengan koordinat, baik dalam satu, dua, tiga, atau empat dimensi.

¨  Koordinat tidak hanya memberikan deskripsi tentang posisi, tetapi juga pergerakan suatu titik.

¨  Untuk menjamin konsistensi dan standardisasi, perlu ada satu sistem dalam menyatakan koordinat, hal ini terkait dengan kerangka koordinat, sistem koordinat.

¨  Pengertian kerangka koordinat adalah suatu himpunan dari sumbu-sumbu koordinat atau bangun geometrik yang lainnya, kepadanya posisi suatu titik ditentukan. Hubungan geometrik antara dua kerangka koordinat dinyatakan oleh kombinasi vektor translasi yang menetapkan posisi titik nol kerangka yang satu terhadap lainnya, dan matrik rotasi yang menyatakan orientasi kerangka yang satu terhadap yang lainnya.

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat

¨  Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan posisi titik terhadap kerangka koordinat tertentu. Sebagai contoh, dalam sistem koodinat geodetik, lintang, bujur, dan tinggi ditentukan terhadap ellipsoida referensi menggunakan cara tertentu. Sistem koordinat ini mempermudah pendeskripsian, perhitungan, dan analisis, baik yang bersifat geometrik maupun dinamik

Sistem Referensi Koordinat

¨  Sistem referensi merupakan definisi secara konseptual secara lengkap bagaimana sistem koordinat ditentukan. Terkait dalam pendefinisian origin (titik pusat) dan orientasi dari sumbu-sumbu sistem koordinat. Termasuk yang mendasari model matematika dan model fisik.

¨  Kerangka referensi merupakan realisasi praktis dari sistem referensi melalui pengukuran dan pengamatan.

Parameter Sistem Koordinat

PARAMETER SISTEM KOORDINAT

1.  Lokasi Titik Nol dari Sistem Koordinat

Posisi suatu titik di permukaan bumi umumnya ditetapkan dalam/terhadap suatu sistem koordinat terestris. Titik nol dari sistem koordinat terestris ini dapat berlokasi di titik pusat massa bumi (sistem koordinat geosentrik), maupun di salah satu titik di permukaan bumi (sistem koordinat toposentrik).

2. Orientasi dari Sumbu-sumbu Koordinat

¨  Posisi tiga-dimensi (3D) suatu titik di permukaan bumi umumnya dinyatakan dalam suatu sistem koordinat geosentrik.

¨  Tergantung dari parameter-parameter pendefinisi koordinat yang digunakan,

¨  dikenal dua sistem koordinat yang umum digunakan, yaitu sistem koordinat Kartesian (X,Y,Z) dan sistem koordinat Geodetik (L,B,h), yang keduanya diilustrasikan pada gambar berikut :

Gambar 1: Sistem Koordinat Kartesian Dan Geodetik

PARAMETER SISTEM KOORDINAT

Koordinat 3D suatu titik juga bisa dinyatakan dalam suatu sistem koordinat toposentrik, yaitu umumnya dalam bentuk sistem koordinat Kartesian (N,E,U) yang diilustrasikan pada gambar berikut.

Gambar 2: Sistem Koordinat Toposentrik

PARAMETER SISTEM KOORDINAT

3. Besaran (kartesian, curvilinear) yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu titik dalam sistem koordinat

¨  Posisi titik juga dapat dinyatakan dalam 2D, baik dalam (L,B), ataupun dalam suatu sistem proyeksi tertentu (x,y) seperti Polyeder, Traverse Mercator (TM) dan

¨  Universal Traverse Mercator (UTM).

PARAMETER SISTEM KOORDINAT

Koordinat kartesian

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D

Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y, seperti digambarkan pada gambar 3

Gambar 3. Sistem Koordinat Kartesian 2D

X Y

d

O

P

¨  jika d merupakan jarak antara dua titik, secara umum d dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D

¨  Dalam sistem koordinat kartesian dengan aksis x, y, z, posisi titik P ditentukan dalam vektor sebagai berikut :

¨  dimana x_p, y_p, z_p adalah bilangan riil

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

P P P P

z

y

x

X

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

¨  Transformasi ke dalam sistem koordinat kartesian yang lain dengan aksis x’, y’, z’ , dapat ditentukan dengan, pertama melakukan rotasi terhadap sumbu z dengan sudut rotasi γ, maka dalam operasi matrik dapat ditunjukkan sebagai berikut :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

x’_P(z) = R₃ (γ )^Xp

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos

3

γ γ

γ γ

R

¨  demikian juga rotasi R₁ untuk sumbu x dan R₂ untuk sumbu y, sebagai berikut :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

α α

α α

cos sin

0

sin cos

0

0 0

1 R1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

=

β β

β β

cos 0

sin

0 1

0

sin 0

cos R2

¨  Jika menggunakan sistem koordinat tangan kanan, dan rotasi berlawanan arah jarum jam bernilai positif, maka transformasi koordinat dua sistem tersebut dapat ditunjukkan dalam persamaan :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

x’_P(x,y,z) = R₁( α^).R₂⁽β ^).R₃⁽ γ^).x_P atau

x’_P(x,y,z) = R_{( α,β,γ)}.x_P

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

+

−

−

=

β α

γ α

γ β

α γ

α γ

β α

β α

γ α

γ β

α λ

α γ

β α

β γ

β γ

β γ

β α

cos cos

cos sin

sin sin

cos sin

sin cos

sin cos

cos sin

cos cos

sin sin

sin sin

cos cos

sin sin

sin sin

cos cos

cos )

, , ( R

¨  Jika sudut rotasi sangat kecil, cos α ≅1 dan sin α ≅ α (dalam radian), dengan pengabaian dalam orde tinggi, maka :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

1 1

1 )

, ,

(

α β

α γ

β γ

γ β

R α

Sistem Koordinat Polar

KOORDINAT POLAR

¨  Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Selanjutnya dapat

dijelaskan pada gambar 5 berikut ini.

Gambar 5 : Sistem Koordinat Polar P

O

θ

X

¨  Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ).  

¨  Sudut vektor (θ)  bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

KOORDINAT POLAR

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar

Dari gambar, maka dapat diketahui hubungan secara matematis antara koordinat kartesian dan polar,

Gambar 6. Hubungan Sistem Koordinat Kartesian dan Polar

P

O x y

r θ

dan

dan

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak.

Gunakan relasi:

x = r cos θ , y = r sin θ Maka r² = x² + y²,

tan θ = y/x, jika x ≠ 0

Catt. menentukan θ

¨  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -π/2 < θ < π/2 à θ = arctan(y/x).

¨  Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, θ = π + arctan(y/x).

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar

Contoh:

¨  Konversikan persamaan polar r = 2 sin θ kedalam sistem koordinat tegak/kartesian.

¨  Jawab:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r² = 2r sin θ x² + y² = 2y

x² + y² - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x² + (y -1)² = 1

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar

Sistem koordinat geosentrik

Sistem Koordinat Geosentrik

Gambar 7 : Sistem koordinat geosentrik

ü  Definisi : Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi, dimana titik nol-nya berlokasi di titik pusat massa bumi.

ü  Sistem koordinat geosentrik biasanya digunakan sistem koodinat untuk

menentukan posisi titik –titik di permukaan bumi dengan menggunakan satelit GPS.

Sistem Koordinat Geosentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

Gambar 9 : Sistem koordinat toposentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

Ø  Definisi:Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi dimana titik nol-nya berlokasi di satu titik di permukaan bumi.

Ø  Sistem koordinat toposentrik biasanya digunakan untuk menentukan posisi terestis.

Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik

Gambar 7 : Sistem toposentrik dan geosentrik

Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik

¨  Perhatikan gambar 7. (XYZ) merupakan sistem koordinat geosentrik (siku-siku ruang).

Titik O berhimpit dengan ellipsoida referensi. Sumbu (XY) terletak pada bidang ekuator geodetik. Sumbu X mer upakan perpotongan bidang meridian Greenwich (GR) dengan bidang ekuator.

Sumbu Y tegak lurus sumbu X ke arah timur. Sumbu Z berimpit dengan sumbu pendek dan sejajar sumbu rotasi bumi.

(e n h) merupakan sistem koordinat toposentrik di titik P₁ sebagai titik nol (L₁ B₁ h₁ ). Sumbu h⁺ berimpit dengn garis normal ellipsoida melalui P₁ ke arah luar. Sumbu n+ sejajar garis singgung pada meridian P₁ ke arah utara. Sumbu e⁺ sejajar garis singgung pada irisan normal utama di P₁ ke

arah timur.

Q ^{uestion ?}

Soal

1.  Sebutkan dan beri contoh parameter sistem koordinat !

2.  Jelaskan perbedaan antara sistem koordinat geosentrik dan toposentrik !

3.  Konversikan persamaan polar r = 4 cos θ kedalam sistem koordinat kartesian.