Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

1

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Persamaan Parametrik

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t. Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t) y = y (t)

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik

1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t2 untuk -4 ≤ t ≤ 4 Jawab

a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak.

Tabel t, x dan y Kurva antara x dan y t x = t y = t2

-4 -4 16

-3 -3 9

-2 -2 4

-1 -1 1

0 0 0

1 1 1

2 2 4

3 3 9

4 4 16

Kurva yang dihasilkan berupa parabola.

2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2

2 Tabel nilai t, x dan y

t x y t x y

3

Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.

Kurva yang dihasilkan

Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran.

3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2

t x y t x y

0.00 0.000000 0.000000 3.60 -0.44252 0.793668 0.20 0.198669 0.389418 3.80 -0.61186 0.96792 0.40 0.389418 0.717356 4.00 -0.7568 0.989358 0.60 0.564642 0.932039 4.20 -0.87158 0.854599 0.80 0.717356 0.999574 4.40 -0.9516 0.584917 1.00 0.841471 0.909297 4.60 -0.99369 0.22289 1.20 0.932039 0.675463 4.80 -0.99616 -0.17433 1.40 0.98545 0.334988 5.00 -0.95892 -0.54402 1.60 0.999574 -0.05837 5.20 -0.88345 -0.82783 1.80 0.973848 -0.44252 5.40 -0.77276 -0.98094 2.00 0.909297 -0.7568 5.60 -0.63127 -0.97918 2.20 0.808496 -0.9516 5.80 -0.4646 -0.82283 2.40 0.675463 -0.99616 6.00 -0.27942 -0.53657 2.60 0.515501 -0.88345 6.20 -0.08309 -0.1656 2.80 0.334988 -0.63127 6.40 0.116549 0.23151 3.00 0.14112 -0.27942

4 Kurva yang dihasilkan:

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian 1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian

a. x = t - 1, y = t2

b. x = 2cos t dan y = 2 sin t Jawab

5

Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik 1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9 Jawab

Misalx3t

9

xy  3ty9 y 3 t

 

Jadi persamaan parametrik:x3t,y 3 t 

Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu. Coba pikirkan, kenapa?

2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian y6x 1x2

Jawab

Misal x = sin

2

6sin 1 sin

y   

6sin cos

y





3sin 2

y



Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2

Atau

Misal x = cos

2

6cos 1 cos

y   

6cos sin

y





3sin 2

y



Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2

6

Bandingkan dengan cos

2_{ + sin}2_

Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin

Latihan

1. Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3 l. Persamaan Lemniscate Bernoulli

7

2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik berikut ini a. x = t + 4, y = 1-2t

3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini

8 ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

5. Sederhanakan 9x24y218x16y430 _{kedalam bentuk}

kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesianx3y3 3xy _dapat

dikonversi menjadi persamaan parametrik 3 1

7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal.

Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk menentukankedudukan x dan y.

x y

vo

9 SISTIM KOORDINAT KUTUB

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesian. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik kutub O (0,0). Titik pada koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.

Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar axis).

Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik pada koordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut.

Sistim Koordinat Kartesian Sistim Koordinat Kutub P (r, )

O

 r

x

Koordinat kutub : P (r, )

10 Koordinat Kutub

Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah beberapa contoh titik-titik dibawah ini

Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3. Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar.

Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan A (2, /4)

Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.

Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius

11 Contoh:

1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub a. (-3,-4)

b. (5,- 7)

2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius a. (2, 1/3)

b. (-3, 4/3) Jawab

a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2

= (-3)2 + (-4)2 = 25

r = 5  = tan-1

(4/3) = 233o

 Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233o )

b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4 r2 = x2 + y2

= (5)2 + (-7)2 = 25+ 49 = 71 r = 71  = tan-1

(-7/5) = 305,54o

Kartesius: (5, -7), kutub: ( 71 , 305,54o )

2. a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan  = 1/3 x = r cos 

12 y = r sin 

= 2 sin1/3 = 2  1/2 3

= 3

Kutub (2, 1/3_{), kartesius: (1, 3 )}

b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan  = 4/3 x = r cos 

= -3 cos 4/3 = -3  (-1/2) = 3/2

y = r sin  = 2 sin 4/3 = -3  (-1/2 3 )

= 3/2 3

Kutub (-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )

Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik berbeda, maka x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r punya arah dan nilai  punya acuan arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik yang sama dapat dinyatkan oleh r dan  yang berbeda-beda dengan jumlah representasi tak berhingga.

Perhatikanlah contoh berikut

x /4

2 3 1

-1 -2 -3

y

2

1

-1 -2

13 Dalam sistim kartesius: A (2, 2)

Dalam sistim kutub:

A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n) Boleh juga

A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n) Boleh juga

A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2) Dengan n = 1, 2, 3,…

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub

1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub y = 3x- 8

jawab

ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8

r sin = 3r cos - 8 r sin - 3r cos = - 8 r (sin - 3 cos) = - 8

8 3cos sin

r

 





2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub x2+ (y - 3)2 = 9

jawab

14 r(r - 6 sin ) = 0

r - 6 sin  = 0 r = 6 sin 

Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian 3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r cos = -4

jawab r cos = -4 x = -4

4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian r2 = 4r cos

15 Membuat grafik pada sistim koordinat kutub

Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut: a. r = 2

b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0,  = 1/4 d. 1/4 ≤  ≤ 1/6 Jawab

Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini

Latihan

16 a. (3, 0)

b. (-3, 0) c. (2, 2/3) d. (2, 7/3) e. (-3,) f. (2, /3) g. (-3, 2) h. (-2, -/3)

2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini a. (1, /6)

b. (-1, /6) c. (2, /6) d. (3, /6) e. (2, /4) f. (2, -/4) g. (3, 5/6) h. (-3, 10/4)

3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar a. (3, 4)

b. (-2, 3 ) c. (1, -2) d. (10, - 2 ) e. (-5, 7) f. (-6, -4 3 ) g. (-8, 6) h. (12, -5)

17 b. (0, /2)

c. (-3, 2/3) d. (- 7 , 5/6) e. ( 2 3 , -/4)

f. ( 2 , /4) g. (0, /2) h. (-3, 2/3)

5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini a. r = 4

b.  = 2/3, r ≤ -2 c.  = /3, -1 ≤ r ≤ 3 d. r = 2, 0 ≤  ≤  e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤  ≤ /2 f. -3 ≤ r ≤ 2,  = /4 g. r ≤ 0,  = /4 h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6

6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius a. r cos  = 4

b. r sin  = -5

c. r cos  + r sin  = 1 d. r = cot  csc  e. r = 2cos  + 2 sin  f. r2 + r2cos  sin  = 1 g. r2 sin 2 = 2

h. r = 2cos  - sin 

18 a. x = 7

b. x - y = 3 c. y = 5 d. x y= 2 e. x2 + y2 = 5 f. x2 - y2 = 1 g. x2 + xy + y2 = 1