Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(1)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Matematika kelas VIII

Bab 5

(2)

Tujuan Pembelajaran

• Peserta didik mampu menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya dengan benar setelah melakukan kegiatan pada Pemantapan.

• Peserta didik mampu memodelkan permasalahan sehari-hari ke bentuk sistem persamaan linear dua variabel dengan tepat setelah mengamati contoh soal dan mengerjakan latihan soal-soal pada Uji Kompetensi.

• Peserta didik mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

sistem persamaan linear dua variabel dengan benar setelah melakukan

kegiatan pada Pemantapan.

(3)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

A. Persamaan dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

B. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

C. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(4)

A. Persamaan dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Konsep Persamaan Linear

2. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(5)

a. Bentuk Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c dengan a dan b bilangan real.

a adalah koefisien x.

b adalah koefisien y.

x dan y adalah variabel.

c adalah konstanta.

b. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

(x₁, y₁) penyelesaian persamaan linear dua variabel ax + by = c jika ax₁ + by₁ = c bernilai benar.

1.Konsep Persamaan Linear

A. Persamaan dan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(6)

b. Penyelesaian SPLDV

(x₁, y₁) penyelesaian SPLDV ax + by = c dan dx + ey = f jika ax₁ + by₁ = c dan dx₁ + ey₁ = f bernilai benar.

a. Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel:

ax + by = c dx + ey = f Keterangan:

a, b, d, dan e adalah koefisien;

x dan y adalah variabel;

c dan f adalah konstanta.

2. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Dua Variabel

(7)

3a + 4b = 54 5a – 4b = –6

Jawaban:

3a + 4b = 3 × 6 + 4 × 9 = 18 + 36 = 54 (benar) 5a – 4b = 5 × 6 – 4 × 9 = 30 – 36 = –6 (benar)

Jadi, a = 6 dan b = 9 merupakan penyelesaian sistem

3a + 4b = 54 5a – 4b = –6

Contoh Soal

Apakah a = 6 dan b = 9 merupakan penyelesaian SPLDV berikut? Selidikilah.

8a – 3b = 21 2a + 5b = –57

Jawaban:

8a – 3b = 8 × 6 – 3 × 9 = 48 – 27 = 21 (benar) 2a + 5b = 2 × 6 + 5 × 9 = 12 + 45

= 57 ≠ –57 (salah)

Jadi, a = 6 dan b = 9 bukan penyelesaian sistem 8a – 3b = 21

2a + 5b = –57

Dua Variabel

(8)

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Grafik

2. Metode Eliminasi 3. Metode Substitusi

4. Metode Eliminasi-Substitusi

Gambar 5.2 Grafik persamaan garis lurus 2x + 3y = 21 dan 4x + 3y = 27.

(9)

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik dilakukan dengan menggambar grafik dari kedua persamaan yang diketahui pada satu bidang kartesius. Koordinat titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi digunakan untuk menghilangkan salah satu variabel SPLDV.

Setelah salah satu variabel hilang, akan dihasilkan persamaan linear suatu variabel (PLSV). Nilai variabel pada PLSV dapat ditentukan dengan cara biasa. Langkah menghilangkan variabel diulangi untuk variabel yang lain. Dengan dua langkah tersebut kamu akan memperoleh nilai kedua variabel

1. Metode Grafik

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(10)

3. Metode Substitusi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara berikut.

a. Ambil satu variabel pada salah satu persamaan. Selanjutnya, nyatakan variabel tersebut dalam variabel lain. Dengan begitu akan diperoleh persamaan dalam bentuk baru.

b. Substitusikan persamaan baru tersebut ke persamaan yang lain kemudian persamaan tersebut diselesaikan.

4. Metode Eliminasi-Substitusi

Jika menggunakan metode eliminasi-substitusi, kamu cukup melakukan satu kali

eliminasi. Kemudian nilai variabel yang kamu peroleh disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan. Dengan dua langkah ini, penyelesaian SPLDV dapat ditentukan.

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(11)

Jawaban

1) Menggunakan metode grafik

Dari grafik terlihat kedua garis tersebut berpotongan di titik (–2, 2).

Jadi, penyelesaiannya adalah (–2, 2).

Contoh

Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi.

2x – 3y = –10 . . . (1) x + 2y = 2 . . . (2)

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(12)

2) Menggunakan metode eliminasi

2x – 3y = –10 ×1 2x – 3y = –10 x + 2y = 2 ×2 2x + 4y = 4 Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

‒7y = – 14 Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x – 3y = –10 ×2 4x – 6y = –20

x + 2y = 2 ×3 3x + 6y = 6 7x = ‒14 ＋

⇔ x = ‒2

⇔ y = 2

Diperoleh nilai x = ‒2 dan y = 2.

Jadi, penyelesaiannya adalah (‒2, 2).

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(13)

3) Menggunakan metode substitusi 2x – 3y = –10 . . . (1)

x + 2y = 2 . . . (2)

Dipilih salah satu persamaan yang akan diubah menjadi persamaan eksplisit, misalnya persamaan (2).

x + 2y = 2

(Persamaan eksplisit)

⇔ x = 2 ‒ 2y

Substitusikan persamaan eksplisit ke dalam persamaan (1).

2x – 3y = –10

⇔ 2(2 ‒ 2y) – 3y = –10

⇔ 4 ‒ 4y – 3y = –10 ‒

⇔ 7y = –14

⇔ y = 2

Setelah diperoleh y = 2. Nilai x diperoleh dengan mensubstitusikan y = 2 ke dalam persamaan eksplisit.

x = 2 ‒ 2y

= 2 ‒ 2 × 2 = ‒4

Jadi, penyelesaiannya adalah (‒2, 2)

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(14)

C. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah penyelesaian permasalahan menggunakan SPLDV sebagai berikut:

1. Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan pemisalan.

2. Terjemahkan permasalahan tersebut menjadi model matematika berbentuk SPLDV.

3. Selesaikan model matematika yang diperoleh pada langkah 2.

4. Selanjutnya, nilai variabel-variabel yang telah diperoleh dicocokkan

dengan pemisalan awal sehingga permasalahan dapat diselesaikan.

(15)

Bu Sita mempunyai persediaan 4 kotak penghapus dan 15 rautan.

Setiap kotak berisi 12 buah penghapus. Jika semua penghapus dan rautan terjual, Bu Sita akan memperoleh uang Rp59.400,00. Pada suatu hari terjual 10 buah penghapus dan 3 rautan. Hasil penjualan tersebut Rp12.200,00.

Tentukan hasil penjualan jika terjual 8 buah penghapus dan 10 rautan!

Contoh Soal

(16)

Jawaban:

Misalkan: x = harga 1 buah penghapus y = harga 1 buah rautan

4 kotak = 4 × 12 = 48 buah

Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLDV berikut.

48x + 15y = 59.400 . . . (1)

10x + 3y = 12.200 . . . (2)

(17)

Eliminasi y dari kedua persamaan.

48x + 15y = 59.400 × 1 48x + 15y = 59.400 10x + 3y = 12.200 × 5 50x + 15y = 61.000

‒

–2x = –1.600

⇔ x = 800

Substitusikan x = 800 ke dalam persamaan 10x + 3y = 12.200.

10x + 3y = 12.200

⇔ 10 × 800 + 3y = 12.200

⇔ 8.000 + 3y = 12.200

⇔ 3y = 4.200

⇔ y = 1.400

8x + 10y = 8 × 800 + 10 × 1.400 = 6.400 + 14.000

= 20.400

Jadi, hasil penjualannya adalah Rp20.400,00

Jawaban:

(18)

Terima Kasih

Teacher Support Resource by: