w w w . a p l u s - m e . c o m Page 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
(Metode Grafik)
1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap SPLDV berikut dengan metode grafik:
a.
= +
= +
− 0
2 Y X
Y
X g.
=
−
−
=
− +
0 6 2
0 3 y x
y x
b.
=
−
= +
x y
y x
2
3 h.
−
=
−
−
= +
2 2 y x
y x
c.
= +
−
=
− +
0 2
0 10 y x
y
x i.
= + +
= +
− 0 2
0 4 2
y x
y x
d.
= +
=
− 5 3 y x
y
x j.
=
−
−
=
− +
0 3 3
0 3 3
y x
y x
e.
=
−
−
=
− +
0 8 2
0 6 2
y x
y
x k.
=
−
=
− +
0 2 3
0 12 2 3
y x
y x
f.
= +
−
=
− +
0 7
0 1 2
y x
y
x l.
= +
−
=
−
−
0 2 2
0 2 4
y x
y x
2. Untuk setiap SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya anggota himpunan penyelesaiannya (tepat memiliki satu anggota, tidak memiliki anggota, atau memiliki anggota yang tak hingga banyaknya):
a.
= +
= +
2 1 y x
y
x g.
=
−
=
− 0 1
0 3 x x
b.
=
−
= +
0 6 y x
y
x h.
= +
= +
0 1
0 x
y x
c.
=
−
=
− 1
3 3 3
y x
y
x i.
= +
= +
2 2
6 6 3
y x
y x
d.
= +
= +
1 2 2 2
y x
y
x j.
=
−
=
− 2 2
4 2 4
y x
y x
e.
=
−
=
− 1
4 2 2
y x
y
x k.
=
−
=
− 2 2
0 4 2
y x
y x
f.
= + +
=
−
−
0 2
0 4 y x
y
x l.
=
− +
= +
−
0 5 2
0 1 2
y x
y x
(Metode Substitusi)
1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode substitusi:
a.
= +
−
= + +
0 1 2
0 8 y x
y
x i.
= +
= +
5 3 2
6 5
y x
y x
b.
= + +
=
− +
0 2 2
0 5 2
y x
y
x j.
= +
=
− 9 5 2
7 3 5
y x
y x
c.
=
−
−
=
−
−
0 10 2
0 2 y x
y
x k.
= +
=
−
23 4 3
14 3 4
y x
y x
d.
=
− +
=
−
−
0 3
0 5
3 1 2 1
y x
y
x l.
= +
=
− 7 5 6
5 2 3
y x
y x
e.
= +
−
= + +
0 5 2
0 2 4 3
y x
y
x m.
= +
= +
23 5 2
24 4 3
y x
y x
f.
= +
= +
10 2
13 3 2
y x
y
x n.
−
= +
−
=
−
40 7 6
2 3 7
y x
y x
g.
= + +
=
−
0 14 3 2
30 4 3
y x
y
x o.
=
−
=
− 7 5 4
17 4 7
y x
y x
h.
= +
= +
1 1 4 2
y x
y x
2. Perhatikan SPLDV dalam bentuk umum:
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 adalah bilangan- bilangan real.
a. Dari persamaan a1x+b1y=c1, nyatakanlah y sebagai fungsi x
b. Dari hasil soal a., substitusikan peubah y ke dalam persamaan a2x+b2y=c2, kemudian tunjukkanlah bahwa:
1 2 2 1
1 2 2 1
b a b a
b c b x c
−
= −
Dari soal ini dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian SPLDV:
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
adalah:
−
−
−
−
1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2
1 ,
b a b a
c a c a b a b a
b c b c
Perhatikan bahwa agar himpunan penyelesaian ini tepat memiliki satu anggota, syaratnya adalah
1 0
2 2
1b − ba a
3. Dengan menggunakan rumus yang diperoleh dari soal Nomor 2, carilah himpunan penyelesaian setiap SPLDV pada soal Nomor 1. Apakah hasil ini bersesuaian dengan yang anda peroleh dengan metode substitusi?
(Metode Eliminasi)
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 2 1. Carilah himpunan penyelesaian setiap SPLDV di
bawah ini dengan menggunakan metode eliminasi:
a.
= +
= +
− 5 2
0 3 y x
y
x i.
= +
= +
10 2 3
10 3 2
y x
y x
b.
= +
−
= +
0 6 2
14 3
y x
y
x j.
= +
=
−
21 3 4
23 5 3
y x
y x
c.
= +
=
− 5 3 2
1 2
y x
y
x k.
= +
= +
34 4 7
20 2 5
y x
y x
d.
= +
= +
7 3 2
3 y x
y
x l.
= +
=
−
32 7 6
2 5 4
y x
y x
e.
−
= +
=
−
4 5 2
5 y x
y
x m.
−
=
−
= +
2 6 5
14 4 3
y x
y x
f.
=
−
=
− 9 2
6 2
y x
y
x n.
= +
=
− 1 5 3
17 3 7
y x
y x
g.
=
−
= +
− 5 5 2
0 11 3 4
y x
y
x o.
= +
= +
59 3 11
33 5 2
y x
y x
h.
= +
=
− 9 3 7
32 5 4
y x
y x
2. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:
a.
=
−
= +
5 1
2 2
2 4 x y x y
d.
=
−
= +
2 125 , 0 75 , 0
3 25 , 0 25 , 0
y x
y x
b.
−
= +
=
−
1 2
3 2 5 3
6 5
y x
x y
e.
=
−
−
=
− 7 8 , 0 5 , 1
2 6 , 0 5 , 0
x y x
c.
−
=
−
= +
6 23
8 14
7 4
x y x y
f.
=
−
= +
1 25 , 0 6 , 0
9 2 , 0 5 , 0
x x
3. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap sistem persamaan berikut:
a.
+
−
=
−
+
= +
) 2 2 ( 4 4
) 3 ( 2 8
y x y x
y x
b.
+
−
=
−
−
+
− +
= +
−
y x y
x
y x y
x
5 )}
1 2 ( 3 2 { 2
20 ) 1 3 ( 2 3 )}
1 ( { 5
c.
− + = + −
− +
= + +
4 3 1 5
2 3 2 2
8
y x y x
y x
d.
−
− + +
= + + + +
+ +
= −
− + +
+
) 4 (
5 5
1 3
3 3 27 ) 2
4 2 (
4 2
y y x
x x y x
y y x
y x
4. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap sistem persamaan berikut ini:
a.
−
= +
−
= +
−
3
21
1 4
6 1 2
y x
y
x d.
−
= +
=
−
xy y
x
xy y x
2
11
10 5
2 5 10
b.
=
−
−
= +
4 3 4
8 1 1
2 1
y x
y
x e.
=
−
= +
xy y x
xy y x
5 6 48
3 4
c.
= +
=
−
4 6 6
3 1 4
y x
y
x f.
=
−
= +
xy y x
xy y x
7 4 9
3 12
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
(Metode Substitusi)
1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap SPLTV berikut ini dengan metode substitusi:
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 3 a.
−
=
− +
= + +
= + +
3 4 2
7 2
z y x
z y x
z y x
g.
=
− +
=
−
−
−
= +
−
3 2
3
9 3 2
1 2 2
z y x
z y x
z y x
b.
= +
−
= +
−
= + +
0 2
1 2
3
z y x
z y x
z y x
h.
=
− +
= +
−
−
= +
−
2 2
9 7 3
16 4
8
z y x
z y x
z y x
c.
= + +
= +
−
=
− +
2 2
4 3
5 2
z y x
z y x
z y x
i.
−
=
− +
= + +
= + +
9 2 2
0 2 2 4
7 2
z y x
z y x
z y x
d.
= +
−
=
− +
= + +
9 2 3
4 6
z y x
z y x
z y x
j.
−
= + +
−
=
−
−
= + +
1 9 2
3
5 3 2
z y x
z y x
z y x
e.
=
− +
−
= + +
=
− +
1 2 3 2
3 3
z y x
z y x
z y x
k.
=
− +
=
− +
=
−
−
6 2 2 3
9 2
7 2
z y x
z y x
z y x
f.
= + +
= +
−
= + +
21 2 5
19 4 3
22 3 2 2
z y x
z y x
z y x
l.
= +
−
−
=
− +
= +
−
14 5 2 4
2 6 3 2
10 4 2 3
z y x
z y x
z y x
2. Perhatikan sistem persamaan linear dengan empat peubah x, y, z, dan u sebagai berikut:
= + +
−
= +
− +
= + + +
= + + +
3 0 2 3
6 7 3 2
3 6 2
u z y x
u z y x
u z y x
u z y x
Sistem persamaan ini dapat direduksi menjadi SPLTV x, y, dan z, yaitu dengan cara mensubstitusikan peubah u pada persamaan keempat ke dalam persamaan-persamaan pertama, kedua, dan ketiga. Tulislah SPLTV yang diperoleh dalam x, y, dan z. Kemudian dengan menggunakan metode substitusi, carilah nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi SPLTV itu. Dapatkah nilai u dicari?
(Metode Eliminasi)
1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap SPLTV berikut ini dengan metode eliminasi:
a.
= + +
=
−
−
= +
−
10 0
4
z y x
z y z
z y x
g.
−
=
− +
−
=
− +
= +
−
2 2 2 3
1 2 2
6
z y x
z y x
z y x
b.
=
− +
−
−
= + +
= +
−
5 2
4 2
1 4
z y x
z y x
z y x
h.
−
= +
−
= + +
=
− +
4 2
1 13
z y x
z y x
z y x
c.
−
= + +
−
= + +
= +
−
2 2
4 1 2
z y x
z y x
z y x
i.
−
= +
−
−
= + +
−
= + +
6 3
2
6 4 3
8 4 5
z y x
z y x
z y x
d.
−
= +
−
= +
−
= +
−
3 2
1 3 2
2 8 3 3
z y x
z y x
z y x
j.
=
− +
−
=
− +
= +
−
11 2 2
1 3
2
10 3 2
z y x
z y x
z y x
e.
= + +
= + +
−
= + +
5 2 2
1 9 5 3
z y x
z y x
z y x
k.
=
− +
= +
−
=
− +
3 3
10 2
4
1 3 3 5
z y x
z y x
z y x
f.
= + +
= +
−
=
− +
7 2
3
9 2 2
4 2
4
z y x
z y x
z y x
l.
= + +
= + +
= + +
1 2
4
3 2
3
2 3
5
z y x
z y x
z y x
2. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap SPLTV berikut ini:
a.
= + +
−
=
− +
−
=
−
−
4 , 2 2
, 1
1 , 3 1
, 2 1 , 0
9 , 0 1
, 0 1 , 2
z y x
z y x
z y x
b.
=
− +
= +
−
= + +
26 6 , 0 8 , 0 1 , 0
0 4 , 0 5 , 0 2 , 0
46 2 , 0 3 , 0 5 , 0
z y x
z y x
z y x
3. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan berikut:
a.
=
− +
−
−
= +
−
=
−
−
3 4 3 1 4 1 2 1
2 1 3 1 3 1
4 1 2 1
1 1
z y x
z y x
z y x
b.
=
− +
= +
−
=
− +
2 4 1
5 1 3 2 2 1
5 2 3 1 2 3
5 1 3 1 2 1
z y x
z y x
z y x
c.
=
− +
−
= + +
= + +
6 1 2 8
3 2 4 4
3 1 2 4
z y x
z y x
z y x
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 4 d.
−
= + +
= + +
−
= + +
4 1 8 2
12 0 4 1
4 1 2 1
z y x
z y x
z y x
Petunjuk:
Untuk mengerjakan soal 3c dan 3d gunakan pemisalan p
x =
1 ; q
y =
1 ; dan r z= 1
PENERAPAN SPLDV DAN SPLTV DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
(Merancang Model Matematika yang Berbentuk SPLDV)
1. Diketahui jumlah dua bilangan sama dengan 120.
Sedangkan, selisih kedua bilangan itu sama dengan 14. Carilah bilangan-bilangan itu!
2. Diketahui dua bilangan x dan y. Jumlah dari tiga kali bilangan pertama dengan empat kali bilangan kedua sama dengan 66. Selisih dari empat kali bilangan pertama dengan tiga kali bilangan kedua sama dengan 13. Carilah bilangan-bilangan itu!
3. Jika pembilang suatu pecahan ditambah 1 dan penyebutnya dikurangi 3 maka akan diperoleh hasil bagi sama dengan 21. Jika pembilangnya tidak ditambah maupun dikurangi, tetapi penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil bagi sama dengan 51. Tentukan pecahan itu!
4. Lima tahun yang lalu, umur A sama dengan tiga kali umur B. Lima tahun kemudian, umur A menjadi dua kali umur B. Berapakah umur A dan umur B sekarang?
5. Enam tahun yang lalu, jumlah umur ayah dan umur ibu sama dengan sebelas kali selisihnya.
Sekarang umur ayah adalah tujuh per enam dari umur ibu. Tentukan masing-masing umur ayah dan umur ibu lima tahun yang akan datang!
6. Suatu bilangan terdiri atas dua angka. Nilai bilangan itu sama dengan dua kali jumlah kedua angkanya ditambah 8. Angka kedua dikurangi dengan angka pertama sama dengan 6. Carilah bilangan itu!
7. Dalam sebuah gedung pertunjukan terdapat 400 orang penonton. Harga tiap lembar karcis untuk kelas II adalah Rp. 5.000,00, sedangkan untuk kelas I adalah Rp. 7.000,00. Hasil penjualan karcis sebesar Rp. 2.300.000,00. Berapa banyak penonton yang membeli karcis kelas II dan berapa banyak penonton yang membeli karcis kelas I?
8. Sebuah pabrik memiliki 14 buah gudang.
Berdasarkan ukurannya, ada dua jenis gudang, yaitu yang berkapasitas 20 m2 dan 15 m2. Jika kapasitas gudang seluruhnya adalah 250 m2, tentukan banyaknya gudang yang mempunyai kapasitas 15 m2 dan banyaknya gudang yang mempunyai kapasitas 20 m2!
9. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 60 cm. Jika panjangnya dibuat menjadi tiga kali panjang semula dan lebarnya dibuat menjadi 31 kali lebar semula maka keliling persegi panjang itu menjadi 116 cm. Carilah panjang dan lebar dari persegi panjang semula!
10. Suatu pabrik memproduksi dua jenis barang, yaitu barang A dan barang B. Jumlah penerimaan dari penjualan 100 unit barang A dan 150 unit barang B sebesar Rp. 3.000.000,00 dan jumlah yang sama diterima bila pabrik menjual 150 unit A dan 75 unit B.
a. Berapakah harga per satuan untuk barang A dan harga per satuan untuk barang B?
b. Berapakah jumlah penerimaan jika dijual 200 unit barang A dan 200 unit barang B?
(Merancang Model Matematika yang Berbentuk SPLTV)
1. Amin, Beni, dan Dani berbelanja di sebuah toko swalayan.
Amin membeli 3 unit barang A, 4 unit barang B, dan 1 unit barang C.
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 5 Amin harus membayar Rp. 83.000,00
Beni membeli 6 unit barang A, 2 unit barang B, dan 1 unit barang C.
Beni harus membayar Rp. 86.000,00
Doni membeli 2 unit barang A, 5 unit barang B, dan 10 unit barang C.
Doni harus membayar Rp. 158.000,00
a. Berapakah harga per unit untuk barang A, B, dan C?
b. Jika Ester membeli 5 unit barang A, 5 unit barang B, dan 5 unit barang C, berapakah jumlah uang yang harus dibayar Ester?
2. Diketahui tiga buah bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang dikurangi empat. Carilah bilangan- bilangan itu!
3. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya.
Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu!
4. Suatu pabrik memproduksi tiga jenis barang, yaitu barang A, barang B, dan barang C. Banyak barang yang diproduksi untuk masing-masing jenis barang dan biaya produksi per hari selama tiga hari pertama diperlihatkan pada tabel di bawah ini:
hari ke- barang (unit) biaya produksi (Rp)
A B C
1 20 10 5 140.000
2 10 10 10 130.000
3 5 10 15 140.000
Misalkan bahwa biaya produksi per satuan barang konstan dan pada hari keempat diproduksi sebanyak 20 unit barang A, 30 unit barang B, dan 35 unit barang C. Tentukan biaya produksi total pada hari keempat!
5. Grafik fungsi kuadrat y=ax2+bx+c melalui titik-titik (1, 4), (−2, 18), dan (3, 13). Carilah nilai a, b, dan c, kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut!
6. Ulangi pertanyaan soal Nomor 5 jika grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik (4, 5), (−2, 11), dan (−4, 21)!
7. Lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 melalui titik - titik (3, −1), (5, 3), dan (6, 2). Carilah nilai-nilai A, B, dan C, kemudian tuliskan persamaan lingkaran itu!
8. Ulangi pertanyaan soal Nomor 7 untuk lingkaran yang melalui titik-tititk (1, 2), (3, 1), dan (−3, −1)!
9. Bentuk kuadrat ax2+bx+c mempunyai nilai −1 untuk x = 1, mempunyai nilai 4 untuk x = 2, dan mempunyai nilai 17 untuk x = 3. Carilah nilai a, b, dan c!
10. Bentuk kuadrat px2+qx+r mempunyai nilai 1 untuk x = 0, mempunyai nilai 6 untuk x = 1, dan mempunyai nilai 2 untuk x = −1. Carilah nilai p, q, dan r!
