Sistem Persamaan Linear Page | 1
BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Standar Kompetensi
3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel
Kompetensi Dasar
3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya
Sistem Persamaan Linear Page | 2 A. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Sistem persamaan linear adalah suatu sistem persamaan yang variabel-variabel dari persamaan tersebut berpangkat satu. Sistem persamaan linear 2 variabel dan 3 variabel dapat diselesaikan dengan : substitusi, eliminasi, gabungan sliminasi-substitusi dan determinan matriks.
1. Persamaan Linear dengan dua variabel
Bentuk umum persamaan linear axbyc dengan a, b dan c anggota bilangan real dan a, b ≠ 0.
Pasangan (x1, y1) yang mememnuhi persanaan linear di atas, sehingga
c by
ax1 1 , disebut penyelesaian dari persamaan libear tersebut. Penyelesaian persamaan axbyc dapat di peroleh dengan memasukan nilai sembarang terhadap salah satu variabelnya kemudian menentukan nilai variabel yang lainnya.
Himpunan semua bilangan (x1, y1) yang memenuhi persamaan axbyc, disebut himpunan penyalesaian dari persamaan axbyc, dan selanjutnya ditulis HP.
Contoh 1:
Tentukan himpuan penyelesaian persamaan 4x + y = 4
Penyelesaian:
Buat tabel terlebih dahulu
HP = { ...(0, 4), (1, 0), (2, -4), (3, -8), (4, 12)... } 4x + y = 4 x Y (x, y) 0 4 (0,4) 1 0 (1,0) 2 -4 (2,-4) 3 -8 (3,-8) 4 -12 (4,-12)
Sistem Persamaan Linear Page | 3
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear adalah : 1 1 1x b y c a 2 2 2x b y c a ,
dengan a1,a2,b1,b2,c1danc2 merupakan konstanta.
Jika c1 0 ,c2 0 maka system persamaan disebut persamaan homogen, tetapi apabila c10 ,c2 0 maka sistem persamaan disebut persamaan
non-homogen. Contoh : Homogen : 0 x 2 y 5 0 y 6 x 2 Non-homogen : 2 y 4 x 5 8 y x 3
Untuk menyesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai berikut:
a. Metode Grafik
Untuk memahami cara menentukan HP SPLDV dengan metode grafik simak contoh berikut:
3 y x 1 y x
Buat tabel untuk masing persamaan
`
Terlihat bahwa dua garis berpotongan di titik (2, -1). Jadi, Hp = {(2, -1)} x + y = 1 X Y (x, y) 0 1 (0,1) 1 0 (1,0) 2 -1 (2,-1) 3 -2 (3,-2) 4 -3 (4,-3) x - y = 3 x Y (x, y) 0 -3 (0,-3) 1 -2 (1,-2) 2 -1 (2,-1) 3 0 (3,0) 4 1 (4,1)
Sistem Persamaan Linear Page | 4 Agar lebih jelas, lakukan kegiatan berikut!
Eksplorasi
Dengan menggunakan metode grafik, carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.
a. 0 y x 2 y x Lengkapi tabel! x + y = 2 x - y = 0 x y (x, y) x y (x, y) 0 ... ... 0 ... ... 1 ... ... 1 ... ... 2 ... ... 2 ... ... 3 ... ... 3 ... ... Grafik Grafik persamaan x + y = 2 dan x - y = 0 diperlihatkan oleh gambar di samping. Kedua garis berpotongan di titik (..., ...). Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah {(..., ...)} b. 2 y x 1 y x Lengkapi tabel! x + y = 1 x + y = 2 x Y (x , y) x y (x , y) 0 ... ... 0 ... ... 1 ... ... 1 ... ... 2 ... ... 2 ... ... 3 ... ... 3 ... ...
Sistem Persamaan Linear Page | 5
Grafik
Grafik persamaan
x + y = 1 dan 2x + 2y = 2
diperlihatkan oleh gambar di samping. Kedua garis itu sejajar. Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah .... c. 2 y 2 x 2 1 y x Lengkapi tabel! x + y = 1 2x + 2y = 2 x Y (x , y) x y (x , y) 0 ... ... 0 ... ... 1 ... ... 1 ... ... 2 ... ... 2 ... ... 3 ... ... 3 ... ... Grafik Grafik persamaan x + y = 1 dan x + y = 2 diperlihatkan oleh gambar di samping.
Kedua garis itu berhimpit. Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah ....
Sistem Persamaan Linear Page | 6 Dengan mengunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar dan dua garis berhimpit, banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian SPLDV 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a
Dapat ditetapkan sebagai berikut (i) Jika 2 1 2 1 b b a a
dengan a2, b2 ≠ 0 maka SPLDV mempunyai tepat satu
pasang anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dalam hal ini
grafik a1x + b1y = c1 berpotongan dengan grafik a2x + b2y = c2. Sistem persamaan linear ini dikatakan Konsisiten (bergantung linear). (ii) Jika 2 1 2 1 2 1 c c b b a a
dengan a2, b2, c2 ≠ 0 maka SPLDV ini tidak
mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Sering
dikatakan himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah himpunan kosong yang ditulis { }. Dalam hal ini grafik a1x + b1y = c1 sejajar dengan grafik a2x + b2y = c2 dan sisitem persamaan linear ini dikatakan tidak konsisiten.
(iii) Jika 2 1 2 1 2 1 c c b b a a
dengan a2, b2, c2 ≠ 0 maka SPLDV ini mempunyai
tak hinggga banyaknya penyelesaian. Dalam hal ini grafik
a1x + b1y = c1 berhimpit dengan grafik a2x + b2y = c2 dan sisitem persamaan linear ini dikatakan sangat konsisiten (bergantung
linear). Latihan Kompetensi 1
1. Carilah himpunan penyelesaian tiap SPLDV berikut dengan metode grafik. a. 0 y x 2 y x g. 0 6 y 2 x 0 3 y x b. x 2 y 3 y x h. 2 y x 2 y x c. 0 2 y x 0 10 y x i. 0 2 y x 0 4 y x 2 d. 5 y x 3 y x j. 0 3 y 3 x 0 3 y 3 x e. 0 8 y 2 x 0 6 y x 2 k. 0 y 2 x 3 0 12 y 2 x 3 f. 0 7 y x 0 1 y x 2 l. 0 2 y x 2 0 2 y x 4
2. Untuk tiap SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya anggota dalam himpunan penyelesaiannya (tepat satu anggota, tidak memiliki anggota, atau memiliki anggota tak hingga banyaknya)
a. 2 y x 1 y x d. 1 y x 3 y 3 x 3 g. 0 1 x 0 3 x b. 0 y x 6 y x e. 1 y x 4 y 2 x 2 h. 0 1 x 0 y x c. 1 y x 2 y 2 x 2 f. 0 2 y x 0 4 y x i. 2 y 2 x 6 y 6 x 3
Sistem Persamaan Linear Page | 7
b. Metode Substitusi
Penyelesaian system persamaan dengan metode substitusi adalah dengan mengganti variabel persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang lainnya.
Contoh 2:
Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode Subtitusi: 1 y x 2 y 3 x 2 Penyelesaian Misalkan ) 2 ( 1 y x ) 1 ( 2 y 3 x 2
Pilih salah satu pasangan, ambil persamaan (2) untuk dinyatakan y sebegai fungsi x x – y = 1 y = x - 1 ...(3) substitusi (3) ke (1) : 2x + 3y = 2 2x + 3(x - 1) = 2 2x + 3x - 3 = 2 5x = 5 x = 1 Substitusi x = 5 ke (3): y = 1 – 1 = 0 Jadi, Hp = {1 , 0} c. Metode Eliminasi
Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan linear, dengan cara menyamakan konstanta variabel yang dihilangkan serta menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh 3:
Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi: 5 y x 3 8 y 3 x 2 Penyelesaian: Misalkan ) 2 ...( 5 y x 3 ) 1 ( ... 8 y 3 x 2
Kita eleminasi variabel y untuk menentukan x. 2x + 3y = 8 1 2x + 3y = 8
3x + y = 5 3 9x + 3y = 15 - -7x = -7 x = 1
Sistem Persamaan Linear Page | 8 Untuk menentukan y elelminasi x.
2x + 3y = 8 3 6x + 9y = 24 3x + y = 5 2 6x + 3y = 10 -
7y = 14 y = 2 Jadi, Hp = {1 , 2}
d. Metode Gabungan Eliminasi-Substitusi
Selain cara substitusi dan eleminasi, ada pula gabungan antar kedua cara ini yaitu cara elaminasi-substitusi. Cara ini diterapkan secara
bersamaan, mula-mula kita terapkan cara eleminasi setelah
mendapatkan nilai variabel pertama, untuk mendapatkan nilai variabel kedua kita gunakan metode substitusi.
Contoh 4:
Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi-subtitusi: 300 y 4 x 7 850 y 5 x 4 Penyelesaian Misalkan ) 2 ..( ... 300 y 4 x 7 ) 1 .( ... 850 y 5 x 4 Proses eleminasi
Untuk menentukan nilai x kita eleminasi y. -4x + 5y = 850 4 -16x + 20y = 3400 7x - 4y = -300 5 35x - 20y = -1500 - 19x = 1900 x 100 19 1900 x Proses substitusi Subtitusi x = 100 ke (1): -4x + 5y = 850 -4 (100) + 5y = 850 -400 + 5y = 850 5y = 850 + 400 y = 250 5 1250 Jadi Hp = {100 , 250}
Sistem Persamaan Linear Page | 9
Latihan Kompetensi 2
1. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode substitusi lalu tuliskan HP-nya a. 7 y x 2 x y 2 b. 10 y 2 x 3 10 y x c. 22 y 8 , 0 x 5 , 1 1 y 6 , 0 x 5 , 0 d. 6 p 2 m 3 p 4 m 3 e. 5 t k 3 5 k 3 t f. 1 y 6 1 x 4 1 1 y 3 2 x 2 1 g. 7 y 1 x 2 1 y 3 x 5 h. 3 1 9 y 1 x 3 2 3 y 2 x
2. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode eleminasi lalu tuliskan HP-nya a. 5 y x 2 0 3 y x b. 5 2 y 2 x 1 2 y 4 x c. 7 y 8 , 0 x 5 , 1 2 y 6 , 0 x 5 , 0 d. 3 1 2 y 1 x 4 1 y 6 x 2 e. 6 y 4 x 6 1 y 3 x 4
3. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode eleminasi-substitusi lalu tuliskan HP-nya
a. 5 y x 17 5 y x 5 b. 3 y 3 x 4 7 y 4 x 2 c. 12 y 4 x 2 18 y 6 x 3 d. 6 y 4 x 6 1 y 3 x 4 e. 3 y 4 x 4 1 y 8 x 1 2 1
4. Persamaan garis ax + by = 5 melalui titik (3, 1) dan (2, -1). Tentukan persamaan garis tersebut.
5. Usia Buyung tiga kali usia Viona. Jika kelahiran mereka berselang 10 tahun, tentukan usia keduanya.
6. Lebar persegi panjang adalah setengan panjangnya. Jika persegi panjang tersebut 80 cm. Tentukan luasnya.
7. Dua bilangan jika dijumlahkan menghasilkan 30. Jika lima kali bilangan yang satu dikurangkan dua kali bilangan yang lain hasilnya asalah -8. Tentukan kedua bilangan itu.
8. Sebuah truk tipe tertentu bermassa satu ton lebih berat dari rata-rata mobil sedan. Dua truk dan tiga sean bermassa delapan setegan ton. Tentukan mass kedua tipe kendaraan tersebut.
Sistem Persamaan Linear Page | 10 9. Sebuah toko busana menggelasr pekan diskon. Semua jenis sepatu dijual dengann harga sama, begitu juga semua jenis baju. Erlin membali 2 pasang sepatu dan 5 baju dan membayar Rp 180.000,00. Diana membeli 3 pasang sepatu dan 7 baju dan membayar Rp 259.000,00. Tentukan SPLDV pada soal ini, lalu tentukan harga sepasang sepatu dan sebuah baju.
10. Jika suatu persegi panjang tiap sisinya diperpanjang 1 dm maka luasnya menjadi 410 cm2 lebih besar, akan tetapi jika lebarnya dikurangi dm
2 1 dan panjangnya ditambah dm 2 1
maka luasnya berkurang 30 cm2. Berapakah pajang dan lebar persegi panjang tersebut?
Tugas!
Perhatikan SPLDV dalam bentuk umum: 1 1 1x b y c a 2 2 2x b y c a
dengan a1,a2,b1,b2,c1danc2 adalah bilangan real.
a) Dari persamaan a1xb1yc1, nyatakan y sebagai fungsi x
b) Dari hasil a), substitusikan variabel y ke persamaan a2xb2yc2 kemudian tunjukan bahwa:
1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a b c b c x
c) Dari hasil b), substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang diperoleh pada a) kemudian tunjukkan bahwa:
1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c a c a y
Dari soal ini dapat disimpulkan bahwa penyelesaian SPLDV:
2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a adalah 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c a c a , b a b a b c b c
Sistem Persamaan Linear Page | 11 B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Bentuk Umum : 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1,d2, d,3 R
Menyelesaikan SPLTV berarti menenmukan nilai variabel x, y, dan z yang mememnuhi ketiga persamaan linear tersebut. Penyelesaian dari SPLTV adalah HP = {(x, y, x)}. Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear 3 variabel menggunakan metode :
a. Metode Substitusi Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 3y - 5z = 13 - 5y + z = -1 3z = 12 Penyelesaian Misalkan : 2x + 3y - 5z = 13 ...(1) - 5y + z = -1 ...(2) 3z = 12 ...(3) dari (3): 3z = 12 z = 4 ... (4) substitusi (4) ke (2): -5y + z = -1 -5y + 4 = -1 -5y = -5 y = 1 ... (5) substitusi (4) dan (5) ke (1): 2x + 3y – 5z = 13 2x + 3(1) – 5(4) = 13 2x + 3 – 20 = 13 2x = 30 x = 15 Jadi, Hp = {(15, 1, 4)}
Sistem Persamaan Linear Page | 12
b. Metode eleminasi + substitusi Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 8y + z = 2 x + 7y – 3z = - 14 2x – 3y + 2z = 3 Penyelesaian Misalkan: 4x + 8y + z = …... (1) x + 7y – 3z = - 14 ... (2) 2x – 3y + 2z = 3 ... (3)
Dari (1) dan (2) dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z = 2 x 3 12x + 24y + 3y = 6
x + 7y – 3z = - 14 x 1 x + 7y – 3z = - 14 +
13x + 31y = - 8 ……(4)
Dari (1) dan (3) dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z = 2 x 2 8x + 16y + 2z = 4
2x – 3y + 2z = 3 x 1 2x – 3y + 2z = 3 -
6x + 19y = 1 …… (5)
Dari (4) dan (5) dieliminasi x
13x + 31y = - 8 x 6 78x + 186y = - 48 6x + 19y = 1 x 13 78x + 247y = 13 - - 61y = - 61 y = 1 y = 1 disubstitusikan ke (4) 13x + 31y = - 8 13x + 31(1) = - 8 13x = - 39 x = - 3 y = 1 dan x = -3 disubstitusikan ke (1) 4x + 8y + z = 2 4 (-3) + 8 (1) + z = 2 - 12 + 8 + z = 2 z = 2 – 8 + 12 z = 6 Jadi, Hp = {(-3 , 1 , 6)} Latihan Kompetensi 3
1. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut ini. a. 10 z y x 0 z y x 4 z y x d. 4 z y x 2 1 z y x 13 z y x b. 10 z y x 2 4 z y x 1 z y 2 x e. 6 z y 3 x 2 6 z 4 y x 3 8 z 4 y x 5 c. 3 z y x 2 1 z 3 y 2 x 2 z 8 y 3 x 3 f. 3 z y x 3 10 z y 2 x 4 1 z 3 y 3 x 5
Sistem Persamaan Linear Page | 13 2. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut ini.
a. 26 z 6 , 0 y 8 , 0 x 1 , 0 0 z 4 , 0 y 5 , 0 x 2 , 0 46 z 2 , 0 y 3 , 0 x 5 , 0 c. 1 z 6 y 2 x 8 2 z 3 y 4 x 4 1 z 3 y 2 x 4 b. 2 z 5 1 y 3 2 x 2 1 4 z 5 2 y 3 1 x 2 3 1 z 5 1 y 3 1 x 2 1 d. 1 z 4 y 8 x 2 0 z 12 y 4 x 1 1 z 4 y 2 x 1
3. Satu unit pekerjaan dapat diselesaikan oleh Wildan, Triadin dan Yayat bersama-sama dalam waktu 6 jam. Jika diselesaikan oleh Wildan dan Triadin bersama-sama pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dalam waktu 8 jam. Sedangkan jika diselesaikan oleh Traidin dan Yayat secara bersama-sama dapat selesai dalam waktu 10 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh masing-masing orang jika pekerjaan itu diselesaikan secara individu?
4. Pada suatu segitiga, besar sudut terbesar 600 lebih dari sudut terkecilnya dan sudut terbesar ditambah sudut menengah sama dengan lima kali sudut terkecil. Berapakah jumlah sudut terkecil dengan sudut menengah?
5. Suatu hari Viona, Silvi, dan Tiha pergi ke pasar Viona membeli 1 kg apel, 2 kg mangga, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp35.000,00, Silvi membeli 4 kg Apel, 3 kg mangga dan 5 kg jeruk dengan harga Rp107.000,00, sedangkan Tiha membeli 2 kg apel, 1 kg mangga dan 2 kg Jeruk dengan harga Rp 46.000,00. Tentukan harga masing-masing tiap kilogramnya.
C. Sistem Persamaan Satu Linear dan Satu Kuadrat (SPLK). Sistem persamaan linear kuadratmempunyai bentuk umum:
kuadrat bagian r qx px y linear bagian b ax y 2
a, b , c , d , e , f , p , q , r bilangan real. a ≠ 0 dan p ≠ 0
Secara geometrik SPLK digambarkan sebagai garis dan parabola, angota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax +b dengan parabola y = px2 + qx + r. Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari SPLK ditentukan oleh nilai diskriminan
D = (q –a)2 – 4p(r – b) persamaan kuadrat hasil substitusi, yaitu px2+ (q – a)x + (r – b) = 0.
Sistem Persamaan Linear Page | 14 1) Jika D > 0, maka SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan
penyelesaiannya
2) Jika D = 0, maka SPLK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya
3) Jika D < 0, maka SPLK tidak mempunyai himpunan penyelesaian. Dikatakan Hp = { }
Secara geometris anggota-anggota himpunan penyelesaian ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px2 + qx + r. Kedududkan garis parabola ditentukan oleh diskriminan persamaan kuadrat px2+ (q – a)x + (r – b) = 0 hasil substitusi garis dan parabola.
1) Jika D > 0, maka garis memotong parabola di dua titik berlainan
2) D = 0, maka garis memotong parabola tepat disebuah titik. Dalam hal demikian dikatakan menyinggung parabola
3) D < 0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut, kemudian buatlah sketsa tafsiran geometrisnya.
2 x 3 x y 1 x y 2 Penyelesaian a. Misalkan ) ii ( ... 2 x 3 x y ) i ( ... 1 x y 2
Substitusikan (i) ke (ii): x - .... = x2 – 3x + .... x2 – x - 3x + .... = 0 x2 – 4x + .... = 0
Jenis penyelesaiannya selidiki dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac
= (....)2 – 4 (1) (....) = .... – 12
= ...
D > 0 maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
Sistem Persamaan Linear Page | 15 x2 – 4x + .... = 0 (x - ....)(x - ....) = 0 x = .... atau x = .... Untuk x = ... diperoleh y = .... – 1 = .... (..., ...) Untuk x = .... diperoleh y = .... – 1 = .... (..., ...) Jadi, Hp = {(..., ...), (..., ...)}
Tafsiran geometerisnya garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – x – 2 di dua titik, yaitu (..., ...) dan (..., ...). perhatikan gambar.
Latihan Kompetensi 4
1. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut ini , kemdian gambarlah sketsa grafik dari tafsiran geometrisnya.
a. 2 x y 3 x 2 y e. 1 x y 2 x 2 y 2 b. 2 x y 6 x y f. 3 x 4 x y 2 x 2 y 2 c. x 3 x y 0 y x 2 g. 1 x y 1 y 2 x 2 d. 4 x 5 x y 1 x y 2 h. 3 x 2 x y 4 x y 2
Sistem Persamaan Linear Page | 16 2. Diketahui SPLK x 4 x y 0 1 y x 2 2
a) Tentukan bhwa sisitem persamaa linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
b) Carilah himpunan penyelesaiannya itu.
3. Carilah nilai a, agar SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. a. x 3 x y a x y 2 c. 1 x x 2 1 y 1 ax y 2 b. 2 x 2 1 y a x y 2 d. 1 x ax y 2 ax y 2
4. Carilah batas-batas nilai n, agar SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. 5 x 4 x y n x 2 y 2 b. 0 nx 2 y 1 y 2 x 3 2
Sistem Persamaan Linear Page | 17
