BAB II
LANDASAN TEORI
A. Segitiga Datar
1. Pengertian Segitiga
Diberikan tiga buah titik A, B, dan C yang tidak segaris. Titik A dihubungkan dengan titik B, titik B dihubungkan dengan titik C, dan titik C dihubungkan dengan titik A. Bangun yang terbentuk disebut segitiga.
AB, BC, dan AC disebut sisi segitiga ABC. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Ketiga sisi segitiga saling berpotongan dan membentuk sudut, yaitu A, B, dan C. Jadi, sebuah segitiga memiliki tiga titik sudut, tiga sisi dan tiga sudut.
2. Jenis Segitiga
Bentuk segitiga ditentukan oleh panjang sisi dan besar sudut yang dimiliki, sebagai berikut :
A B
C
a. Jenis segitiga ditinjau dari besar sudut-sudutnya
Ditinjau dari besar sudut-sudutnya, segitiga dibedakan menjadi tiga yaitu :
1) Segitiga lancip yaitu segitiga yang besar tiap sudutnya kurang dari 90º.
2) Segitiga tumpul yaitu segitiga yang besar salah satu sudutnya lebih dari 90º.
3) Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang besar salah satu sudutnya 90º.
b. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya
Ditinjau dari panjang sisi-sisinya, segitiga dibedakan menjadi tiga yaitu :
1) Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
2) Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang.
3) Segitiga sembarang yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang satu sama lain.
Segitiga Lancip Segitiga Tumpul Segitiga Siku-Siku
3. Aturan Cosinus
Aturan cosinus dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan cosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut. (Wikipedia, 2011)
Aturan kosinus menyatakan bahwa : r adalah sisi yang berhadapan dengan sudut .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi q dan sisi p :
Gambar 3 : Jenis Segitiga menurut Panjang Sisi-sisinya
Gambar 4 : Segitiga Sembarang
Segitiga Sama Sisi Segitiga Sembarang Segitiga Sama Kaki
ditentukan panjang sisi yang lain. Jika panjang ketiga sisi diketahui, dapat ditentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dari aturan kosinus dapat diperoleh :
i. r2 q2 p22.qp.cos
Aturan kosinus :
B. Bola
Tempat kedudukan titik – titik yang berjarak r dari titik tetap P dinamakan permukaan bola atau bola. Lihat gambar 1, P adalah pusat bola dan r adalah jari – jari bola.
Misalkan titik A pada permukaan bola. Garis yang menghubungkan A dengan P, lanjutannya akan memotong permukaan bola pada titik A1. Titik A1 dinamakan titik lawan dari A, sebaliknya titik A dinamakan titik lawan dari A1.
•
P
Gambar 5
P = Pusat bola ; r = jari – jari bola r
A1
A
•
P
Gambar 6
Irisan permukaan bola dengan bidang datar yang melalui pusat bola, dinamakan lingkaran besar.
Irisan permukaan bola dengan bidang yang berjarak dari pusat bola lebih kecil dari jari – jari bola, dinamakan lingkaran kecil.
C. Segitiga Bola
Segitiga bola terjadi jika tiga buah lingkaran besar pada permukaan sebuah bola saling berpotongan. Ketiga titik potong merupakan titik-titik sudut dengan sisinya yang berhadapan dengan sudut-sudut segitiga bola tersebut. Dari sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga bola dapat
P •
L
Gambar 7
L = Lingkaran besar
•
P LI
Gambar 8
ditentukan penurunan rumus-rumus pokok untuk suatu segitiga bola yang menunjukkan unsur-unsur yang terdapat pada segitiga bola. (Ali, 1997)
Sisi-sisi p, q, r dan sudut – sudut P, Q, R satuannya adalah derajat. Dalam segitiga bola bila diketahui 3 hal maka 3 lainnya dapat dicari dengan rumus-rumus segitiga bola.
1. Aturan Sinus
Jika sebuah segitiga bola dengan sisi-sisi p, q, r dan sudut-sudut P, Q, R seperti pada gambar berikut :
P
Q R
O
r q
p
P
Q R
p
r q
Gambar 9 : Segitiga Bola
r q
R
P
Q
Maka dalam segitiga bola PQR akan berlaku hubungan :
r R q
Q p
P
sin sin sin
sin sin
sin
Pada segitiga TUW :
TW = TU sin P ... (1) Pada segitiga TVW :
TW = TV sin Q ... (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
TU sin = TV sin Q ... (3) Pada segitiga OTU :
TU = OT sin q ... (4) Pada segitiga TVO :
TV = OT sin p ... (5) Dari persamaan (3), (4) dan (5) diperoleh :
TU sin = TV sin Q
OT sin q . sin P = OT sin p . sin Q sin q . sin P = sin p . sin Q
Gambar 10 : Segitiga Bola
P R
O
U
W T
V
p
r q
Melalui cara yang sama, maka dapat dibuktikan :
Dari persamaan (6) dan (7) terbukti bahwa :
(Hanafiah dkk, 1992)
2. Aturan Cosinus
Berikut ini ditunjukkan pembuktian rumus-rumus pokok untuk suatu segitiga bola PQR. Rumus-rumus ini menunjukkan hubungan antara unsur-unsur yang terdapat pada segitiga bola.
(1) Rumus Cosinus untuk sisi – sisi segitiga bola. cos p = cos q . cos r + sin q sin r . cos P cos q = cos p . cos r + sin p sin r . cos Q cos r = cos p . cos q + sin p sin q . cos R (2) Rumus Cosinus untuk sudut – sudut segitiga bola.
cos P = cos Q . cos R + sin Q sin R . cos p cos Q = cos P . cos R + sin P sin R . cos q cos R = cos P . cos Q + sin P sin Q . cos r
Pada gambar diatas (segitiga bola PQR), kedudukan segitiga bola PQR dibuat sedemikian rupa, sehingga busur QR, busur PR dan busur PQ masing-masing dinyatakan sebagai sisi p, q, r. Pada titik P dibuat garis singgung, masing-masing untuk sisi q dan sisi r, yang digambarkan oleh garis PS dan garis PT. Garis OS dan OT masing-masing merupakan garis yang melewati bola di Q dan di R. Besar sudut SOT sama dengan panjang sisi p, besar sudut POT sama dengan panjang sisi q dan besar sudut POS sama dengan panjang sisi r. Dari gambar segitiga bola diatas, diperoleh :
Gambar 11 : Segitiga Bola PQR
O
T
S
P
R Q
POS
= sisi r
tan r = OP
PS
PS = OP tan r
cos r = OS OP
sec r = OP OS
OS = OP sec r ... (1)
Gambar 12 :Segitiga SOP
Gambar 13 : Segitiga TOP
O
P S
r
O
P
T
POT Dari segitiga SPT diperoleh :
SPT
Dari segitiga SOT diperoleh :
SOT
Maka dari persamaan (3) dan (4) diperoleh : 2
cospcosr.cosqsinr.sinq.cosP (Terbukti)
Langkah lebih lanjut dengan cara yang sama seperti yan diuraikan diatas dan menggilir kedudukan P,Q dan R. Sehingga diperoleh persamaan-persamaan serupa diatas.
D. Sistem Koordinat
Letak suatu benda pada suatu bidang datar dapat ditentukan dengan dua garis lurus yakni menggunakan kordinat x dan kordinat y. Akan tetapi pada permukaan yang tidak datar seperti pada bola langit tentu tidak dapat ditentukan dengan dua garis lurus, melainkan dengan garis lengkung (busur) sesuai dengan bentuk bola langit (Azhari, 2004). Dibawah ini akan diuraikan mengenai cara menentukan letak di bola langit, yakni :
1. Sistem Koordinat Ekuator
Gambar 14 : Sistem Koordinat Ekuator
Ekuator b’’
γ
P
α
B
δ
KLU
Jika khatulistiwa di bumi atau bidang ekuator bumi diperpanjang, maka akan memotong bola langit sehingga menjadi lingkaran khatulistiwa langit, yang bisa disebut ekuator langit. Setiap titik pada ekuator langit berjarak 90° dari kedua kutub langit (Salam, 2001).
Bola langit dengan ekuator langit dan bujur sehingga melalui (titik Aries) disebut sistem koordinat ekuator. Titik Aries adalah titik perpotongan antara lingkaran ekliptika dengan lingkaran ekuator langit (Shadiq, 1994).
2. Sistem Koordinat Ekliptika
Dalam sistem koordinat ekliptika, lingkaran ekliptika menjadi lingkaran dasar utama, sedangkan titik asalnya adalah titik Aries seperti yang digunakan dalam sistem koordinat ekuator (Azhari, 2004).
Gambar 15 : Sistem Koordinat Ekliptika
KLU
KLS
Ekliptika
B
b’
β
λ
Lingkaran ekliptika adalah lingkaran semu tahunan matahari (Shadiq, 1994). Kemiringan sudut ekliptika terhadap bidang ekuator sebesar 23,5º (Ali, 1997). Titik Aries adalah titik perpotongan antara lingkaran ekliptika dengan lingkaran ekuator langit (Shadiq, 1994). 3. Sistem Koordinat Horizon
Dalam sistem koordinat horizon, lingkaran horizon merupakan dasar utama. Lingkaran horizon adalah hasil perpotongan bidang horizon dengan bola langit. Titik kutub pada sistem koordinat horizon adalah zenith (Z) dan nadir (N). Posisi benda langit pada sistem ini ditentukan oleh azimuth dan altitude/tinggi.
E. Deklinasi Matahari
Deklinasi matahari merupakan data yang cukup penting selain lintang dan bujur tempat. Deklinasi matahari adalah jarak matahari
Gambar 16 : Sistem Koordinat Horizon
Z
S
N U
B
b’ h
dengan equator langit diukur sepanjang lingkaran deklinasi. Lingkaran
waktu deklinasi biasanya diberi tanda huruf Yunani δ (delta). Deklinasi sebelah utara equator diberi tanda positif ( + ) dan sebelah selatan equator diberi tanda negatif ( + ).
Harga deklinasi Titik Kutub Langit Selatan adalah – 90o dan titik Kutub Langit Utara adalah 90o. Lambang deklinasi adalah : (baca :delta) (Salam, 2001: 9). Deklinasi matahari berubah sewaktu – waktu selama satu tahun, tetapi pada tanggal – tanggal yang sama, bilangan deklinasi itu kira – kira sama pula. (Ali, 1997)
F. Edaran Harian Matahari
Matahari merupakan sebuah bintang putih kekuning-kuningan dengan diameter 1.390.000 km dan berada pada jarak 150.000.000 km dari bumi (Anonim, 2007)
Edaran harian matahari terdiri dari gerak harian dan tempuan harian, yang dijelaskan sebagai berikut :
1. Gerak harian
2. Tempuan harian
Perjalanan matahari menurut arah timur barat bukanlah suatu gerak yang sesungguhnya, tetapi disebabkan oleh perputaran bumi sekeliling porosnya yang berlaku dalam waktu 24 jam menurut arah barat – timur. Karena perputaran sekeliling poros itu, gerak setiap titik diatas bumi berlaku didalam suatu bidang yang tegak lurus pada poros bumi (Ali,1997).
3. Tinggi Matahari
Yang dimaksud tinggi matahari adalah ketinggian posisi
”matahari yang terlihat” pada awal atau akhir waktu shalat diukur
dari horizon. Tinggi matahari biasanya diberi tanda “hΘ ” atau
hanya ditulis “h” saja, singkatan dari “high”, yang berarti
ketinggian, sedangkan “Θ” adalah tanda matahari (Shadiq, 1994) Selisih antar ketinggian yang tampak oleh pengamat dan
ketinggian yang sebenarnya disebut “sudut refraksi”.Besarnya
Berikut ini disajikan gambaran mengenai edaran harian matahari.
Keterangan :
A : Posisi matahari terbit
B : Posisi matahari berkulminasi (berada di titik zenith) C : Posisi matahari terbenam
Gambar 17 : perjalanan matahari dari terbit hingga terbenam tepat di equator langit ( = 0)
KLS KLU
Timur
Barat
Lingkaran ufuk Matahari berkulminasi
Zenith
Nadir
A B
G. Posisi Matahari dengan Segitiga Bola
Keterangan : M = Matahari
m = Bayangan matahari Ts = Timur sesungguhnya Bs = Barat sesungguhnya t = Sudut Waktu
h = Tinggi
δ = Deklinasi
φ = Lintang
Gambar 18 : Gambar Posisi Matahari dengan Segitiga Bola
Z
N
S U
KLU
KLS Horizon Ekuator Bs
m
Ts
M
90º - φ
90º - h
90º - δ
t
H. Aplikasi Rumus Segitiga Bola dalam Edaran Harian Matahari
Dari turunan rumus segitiga bola maka akan diperoleh aplikasi rumus segitiga bola dalam edaran harian matahari, yaitu : 1. Sudut waktu benda langit
Bahwa yang dimaksud dengan sudut waktu benda langit adalah jarak antara suatu benda langit dengan titik kulminasinya .
(Shadiq, 1994)
Rumus sudut waktu benda langit :
Gambar 19 : Aplikasi rumus segitiga Bola dalam Edaran harian matahari
U S
Edaran Harian Matahari
2. Tinggi benda langit
Bahwa yang dimaksud dengan tinggi benda langit adalah busur pada lingkaran vertikal yang diukur dari titik perpotongan antara lingkaran horizon dengan lingkaran vertikal ke arah objek (benda langit). (Azhari,2004)
Rumus tinggi benda langit :
t h
