Solusi dan Penyelesaian. Persamaan Lingkaran. Solusi 6. (a) m = 8 (b) m = ±2 (c) m = 1 (d) m > 10. (b) di luar lingkaran (c) di dalam lingkaran

(1)

Solusi dan Penyelesaian

Persamaan Lingkaran

# Ralat Soal --- tidak ada ---

Bagian A Solusi

Solusi 1. (a) 𝑥2_{+ 𝑦}2_{= 13 (b) 𝑥}2_{+ 𝑦}2₌1 5 Solusi 6. (a) 𝑚 = 8 (b) 𝑚 = ±2 (c*) 𝑚 = 1 (d*) 𝑚 > −10 Solusi 2. (a) (𝑥 + 1)2_{+ (𝑦 − 2)}2_{= 9}

(b*) tidak ada persamaan lingkaran yang Solusi 7. (a) pada keliling lingkaran

memenuhi (b) di luar lingkaran (c) di dalam lingkaran

Solusi 3. (𝑥 − 2)2_{+ (𝑦 − 3)}2_{= 25} _{Solusi 8. (a)}3√74

2 −

7√2

2 . (b*) 0

Solusi 4. (a) pusat : (−1,1); jari-jari = 1 Solusi 9*. (a) 1 (b) 2

(b*) pusat : (1 2, − 1 2); jari-jari = 3√2 2 Solusi 10. (a) 𝑝 = 0 ⋁ 𝑝 = −4 (b*) 𝑝 <18₅ Solusi 5*.

(a) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan real. ( 𝑟2_{= −1 → 𝑟 = √−1 )}

(b) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan positif. ( 𝑟2_{= 0 → 𝑟 = 0 )}

(c) Iya, pusat : (−3₂,7

2).

Bagian B Penyelesaian

Penyelesaian 2b.

Persamaan lingkaran yang pusatnya (2,1) adalah (𝑥 − 2)2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 𝑟}2_.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jari-jari dari lingkaran ini adalah jarak dari (2,1) (titik pusatnya) dan garis 𝑦 = 1, yang mana bentuknya sama dengan 𝑦 − 1 = 0.

𝑟 = |0 × 2 + 1 × 1 − 1 √02_{+ 1}2 | = 0

Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0, jadi tidak ada persamaan lingkaran yang

(2)

Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 2𝑥2₊

2𝑦2_{− 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat.}

2𝑥2_{+ 2𝑦}2_{− 2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0} 𝑥2_{+ 𝑦}2_{− 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0} 𝑥2_{− 𝑥 + 𝑦}2_{+ 𝑦 = 4} 𝑥2_{− 𝑥 + (−}1 2) 2 + 𝑦2_{+ 𝑦 + (}1 2) 2 = 4 + (−1 2) 2 + (1 2) 2 (𝑥 −1₂)2+ (𝑦 +1 2) 2 = 4 + (−1 2) 2 + (1 2) 2 (𝑥 −1₂)2+ (𝑦 +1 2) 2 =9 2

Dari bentuk di atas, diperoleh letak pusat lingkaran adalah (𝟏

𝟐, − 𝟏 𝟐) dan jari-jarinya √ 9 2= 3 √2= 𝟑√𝟐 𝟐 . Penyelesaian 5a.

Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 2𝑥 + 2 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat.}

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 2𝑥 + 2 = 0} 𝑥2_{+ 2𝑥 + 𝑦}2_{= −2} 𝑥2_{+ 2𝑥 + (}2 2) 2 + 𝑦2_{= −2 + (}2 2) 2 (𝑥 + 1)2_{+ 𝑦}2_{= −1}

Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟2_{= −1 yang berarti 𝑟 = √−1. Perhatikan bahwa √−1 bukan bilangan real,}

padahal jari-jari lingkaran haruslah bilangan real. Karena jari-jarinya bukan bilangan real, bentuk 𝑥2₊

𝑦2_{+ 2𝑥 + 2 = 0 bukan persamaan lingkaran.}

Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥2₊

𝑦2_{+ 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat.}

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0} 𝑥2_{+ 4𝑥 + 𝑦}2_{− 6𝑦 = −13} 𝑥2_{+ 4𝑥 + (}4 2) 2 + 𝑦2_{− 6𝑦 + (−}6 2) 2 = −13 + (4 2) 2 + (−6 2) 2 (𝑥 + 2)2_{+ (𝑦 − 3)}2_{= 0}

Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟 = 0. Perhatikan. Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0. Karena jari-jarinya bukan bilangan positif, bentuk 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0 bukan persamaan}

lingkaran.

(3)

Penyelesaian 5c.

Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥2₊

𝑦2_{− 7𝑦 + 3𝑥 = −10, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat.}

𝑥2_{+ 𝑦}2_{− 7𝑦 + 3𝑥 = −10} 𝑥2_{+ 3𝑥 + 𝑦}2_{− 7𝑦 = −10} 𝑥2_{+ 3𝑥 + (}3 2) 2 + 𝑦2_{− 7𝑦 + (−}7 2) 2 = −10 + (3 2) 2 + (−7 2) 2 (𝑥 +3 2) 2 + (𝑦 −7 2) 2 =9 2

Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa bentuk 𝑥2_{+ 𝑦}2_{− 7𝑦 + 3𝑥 = −10 adalah persamaan}

lingkaran yang pusatnya terletak di titik (−3 2,

7 2).

(Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 5a dan Soal 5b.)

Penyelesaian 6c.

Supaya bentuk 𝑥2_{+ 𝑚𝑦}2_{+ 2𝑥 + 2𝑦 = 2 adalah persamaan lingkaran, maka koefisien 𝑥}2_{dan 𝑦}2_haruslah

sama. Diperoleh 𝑚 = 1.

Selanjutnya akan dibuktikan apakah bentuk 𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 2𝑥 + 2𝑦 = 2 adalah persamaan lingkaran atau}

bukan. Dengan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh bahwa jari-jari lingkaran dengan persamaan itu adalah 2.

Sehingga nilai 𝒎 = 𝟏 benar.

(Catatan : Pembuktikan apakah bentuk 𝒙𝟐_{+ 𝒚}𝟐_{+ 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐 adalah persamaan lingkaran atau bukan}

diserahkan kepada pembaca.)

Penyelesaian 6d.

Supaya bentuk 2𝑥2_{+ 2𝑦}2_{− 4𝑥 − 8𝑦 = 𝑚 adalah persamaan lingkaran, maka jari-jarinya haruslah}

bilangan positif. 2𝑥2_{+ 2𝑦}2_{− 4𝑥 − 8𝑦 = 𝑚} 𝑥2_{+ 𝑦}2_{− 2𝑥 − 4𝑦 =}𝑚 2 𝑥2_{− 2𝑥 + 𝑦}2_{− 4𝑦 =}𝑚 2 𝑥2_{− 2𝑥 + (−}2 2) 2 + 𝑦2_{− 4𝑦 + (−}4 2) 2 =𝑚 2+ (− 2 2) 2 + (−4 2) 2 (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 2)}2₌𝑚 2+ 5

Dari bentuk di atas, diperoleh 𝑟2₌𝑚

2 + 5. Perhatikan bahwa nilai 𝑟

2_{harus lebih besar dari nol, jadi}

diperoleh 𝑚 2 + 5 > 0 𝑚 + 10 > 0 𝑚 > −10 Jadi, 𝒎 > −10.

(4)

Untuk menghitung jarak antara titik (−1₂,1

2) dan lingkaran dengan persamaan 𝑥

2_{+ 𝑦}2_{+ 5𝑥 + 7𝑦 = 6,}

pertama hitung jarak antara titik tersebut ke pusat lingkaran, lalu dikurangi jari-jari lingkarannya. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 𝑥2₊

𝑦2_{+ 5𝑥 + 7𝑦 = 6, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat.}

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 5𝑥 + 7𝑦 = 6} 𝑥2_{+ 5𝑥 + 𝑦}2_{+ 7𝑦 = 6} 𝑥2_{+ 3𝑥 + (}5 2) 2 + 𝑦2_{− 7𝑦 + (}7 2) 2 = 6 + (5 2) 2 + (7 2) 2 (𝑥 +5 2) 2 + (𝑦 +7 2) 2 =98 4

Dari bentuk di atas diperoleh titik pusat lingkaran terletak di (−5

2, − 7 2) dan jari-jarinya √ 98 4 = 7√2 2 .

Jarak antara titik (−1 2, 1 2) dan (− 5 2, − 7 2) adalah √(− 5 2− (− 1 2)) 2 + (−7 2− 1 2) 2 = 2√5. Karena 2√5 <7√2 2 ,

yang berarti jarak titik (−1

2, 1

2) dengan pusat lingkaran lebih kecil daripada jari-jari lingkaran, dapat

disimpulkan bahwa titik (−1₂,1

2) berada di dalam lingkaran. Jadi, jarak titik (− 1 2,

1

2) dengan lingkaran

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 5𝑥 + 7𝑦 = 6 adalah 0.}

Banyaknya Titik Potong yang Terbentuk oleh 1 Garis dan 1 Lingkaran

Gambar : www.teknosains.com

Pada gambar (i), garis k tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 0.

Pada gambar (ii), garis l menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 1 (titik A). Pada gambar (iii), garis m memotong lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2 (titik B dan C). Penyelesaian 9a.

Substitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan lingkaran (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 2.}

(𝑥 − 1)2_{+ (−𝑥 − 1)}2_{= 2}

𝑥2_{− 2𝑥 + 1 + 𝑥}2_{+ 2𝑥 + 1 = 2}

2𝑥2_{= 0}

Dari persamaan di atas, diperoleh nilai 𝑎 = 2, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan.

𝐷 = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐}

= 02_{− 4.2.0}

= 0

(5)

Substitusikan 𝑥 = 0 ke persamaan lingkaran (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 2.}

(0 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 2}

1 + 𝑦2_{− 2𝑦 + 1 = 2}

𝑦2_{− 2𝑦 = 0}

Dari persamaan di atas, diperoleh nilai 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan.

𝐷 = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐}

= (−2)2_{− 4.1.0}

= 4 > 0

Karena 𝐷 > 0 maka garis 𝑦 = −𝑥 memotong lingkaran (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 2.}

Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2. (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 9a.)

Substitusikan garis 3𝑥 − 𝑦 = 6 yang sama dengan 𝑦 = 3𝑥 + 6 ke persamaan lingkaran𝑥2_{+ 𝑦}2_{= 𝑝.}

𝑥2_{+ (3𝑥 − 6)}2_{= 𝑝}

𝑥2_{+ 9𝑥}2_{− 36𝑥 + 36 − 𝑝 = 0}

10𝑥2_{− 36𝑥 + (36 − 𝑝) = 0}

Dari persamaan di atas diperoleh nilai 𝑎 = 10, 𝑏 = −36, 𝑐 = 36 − 𝑝. Agar garis 3𝑥 − 𝑦 = 6 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran dengan persamaan 𝑥2_{+ 𝑦}2_{= 𝑝, maka nilai 𝐷 haruslah}

kurang dari 0. 𝐷 = 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0} (−36)2_{− 4.10. (36 − 𝑝) < 0} 1296 − 1440 + 40𝑝 < 0 40𝑝 < 144 𝑝 <18 5 Jadi, 𝒑 <𝟏𝟖 𝟓.

Solusi dan Penyelesaian. Persamaan Lingkaran. Solusi 6. (a) m = 8 (b) m = ±2 (c*) m = 1 (d*) m > 10. (b) di luar lingkaran (c) di dalam lingkaran