Sistem Bilangan Riil

SISTEM BILANGAN REAL

TIM TPB Universitas Mataram 2016

N: Bilangan Asli Z: Bilangan Bulat Q: Bilangan Rasional R: Bilangan Real

N  Z  Q  R

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol

Operasi Bilangan Real

• Dua bilangan real x dan y dapat dijumlahkan untuk memperoleh bilangan real baru x+y.

• Dua bilangan real x dan y dapat dikalikan untuk memperoleh bilangan real baru xy atau ditulis xy.

• Operasi penjumlahan dan perkalian tersebut mempunyai sifat-sifat yang dikenal dengan sifat-sifat medan

Sifat-sifat Medan

1) Hukum komutatif : x+y = y+x dan xy=yx.

2) Hukum asosiatif: x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz)=(xy)z.

3) Hukum distributif: x(y+z) = xy + xz.

4) Elemen-elemen identitas:

 Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x.1 = x.

5) Invers (balikan):

 Setiap bilangan Real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x yang memenuhi x + (–x) = 0

 Setiap bilangan Real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga kebalikan) yaitu x⁻¹ yang memenuhi x. x⁻¹ = 1.

• Berdasarkan sifat-sifat medan, operasi pengurangan dan pembagian dapat didefinisikan dengan

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + −𝑦 dan

𝑥

𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦⁻¹

Sifat-sifat Urutan

1. Trikotomi.

Jika x dan y adalah bilangan bilangan real, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y

2. Ketransitifan

Jika x < y dan y < z  x < z 3. Penambahan

x < y  x + z < y + z 4. Perkalian

x < y  xz < yz untuk z positif x < y  xz > yz untuk z negatif

Desimal

• Bilangan rasional dan irrasional dapat ditulis sebagai suatu desimal.

• Contoh - rasional

3

4 = 0,75 ¹

8 = 0,125

13

11 = 1,181818 … ³

7 = 0,428571428571 … - irrasional

2 = 1,4142135623 … 𝜋 = 3,14159265535 …

Bilangan Real

Bilangan Irrasional (desimal tak

berulang)

Bilangan

Rasional

(desimal

berulang)

Kerapatan

• Di antara dua bilangan real yang berbeda,

terdapat bilangan rasional dan irrasional yang tak terhingga banyaknya.

• Bilangan rasional dan irrasional rapat sepanjang garis real.

• Setiap bilangan mempunyai tetangga rasional dan irrasional yang cukup dekat dengannya yang saling berkaitan tak terpisahkan dan menggerombol bersama-sama

Ketaksamaan

• Contoh:

2x – 11 < 5 x² – x – 6  0

• Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat ketaksamaan berlaku.

• Himpunan penyelesaian suatu ketaksamaan terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan.

Interval Bilangan Real

• Suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang

terletak di antara keduanya.

• Interval bilangan real dibedakan menjadi interval terbuka dan interval tertutup.

• Terdapat beberapa jenis interval bilangan real.

Menyelesaikan Ketaksamaan

1. menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu ketaksamaan

2. mengalikan kedua pihak dari suatu

ketaksamaan dengan suatu bilangan positif

3. mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negatif tetapi kemudian harus membalik arah tanda ketaksamaan.

• Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan 2𝑥 − 5 < 3𝑥 − 2.

Penyelesaian: 2𝑥 − 5 < 3𝑥 − 2

 2𝑥 < 3𝑥 + 3 (tambahkan 5)

 − 𝑥 < 3 (tambahkan −3𝑥)

 𝑥 > −3 (kalikan dengan −1)

Himpunan penyelesaian: −3, ∞ = 𝑥 𝑥 > −3

-3 0

• Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan 𝑥² − 𝑥 − 6 ≤ 0.

Penyelesaian:

𝑥² − 𝑥 − 6 ≤ 0

𝑥 − 3 𝑥 + 2 ≤ 0 (faktorkan)

(+) (-) (+)

-2 3

Himpunan penyelesaian:

−2, 3 = 𝑥 −2 ≤ 𝑥 ≤ 3

Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat

• Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x|

didefinisikan dengan

• Misal: | 4 | = 4 , | − 4 | = −(−4) = 4 , | 0 | = 0

• Secara Geometri:

|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.

|x – y| = jarak diantara x dan y

• Sifat-sifat nilai mutlak

• Ketaksamaan yang memuat nilai mutlak

Penyelesaiannya menggunakan teorema berikut

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian ketaksamaan 3𝑥 − 5 ≥ 1

• Contoh 2.

Tentukan penyelesaian ketaksamaan 𝑥 − 2 ≥ 3

• Akar Kuadrat

𝑥

²

= 𝑥

• Kuadrat

𝑥

²

= 𝑥

²

𝑥 < 𝑦  𝑥

²

< 𝑦

²

Sistem Koordinat Kartesius

• Sistem koordinat merupakan suatu cara untuk menentukan letak suatu titik di dalam grafik

• Sistem koordinat Kartesius, titik digambarkan dalam suatu bidang yang terbagi menjadi

empat daerah (kuadran) oleh dua garis saling tegak lurus (sumbu-sumbu koordinat) dan berpotongan di titik asal. Tiap titik P dinyata- kan dengan sepasang bilangan yang dinama- kan koordinat-koordinat Kartesius. Misal titik P(a,b), maka a merupakan koordinat x (absis) dan b merupakan koordinat y (ordinat)

Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

Misal diketahui titik 𝑃 𝑥₁, 𝑦₁ dan 𝑄 𝑥₂, 𝑦₂

• Rumus Jarak

𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥₂ − 𝑥₁ ² + 𝑦₂ − 𝑦₁ ²

• Rumus Titik Tengah

𝑥₁+𝑥₂

2

,

^𝑦1+𝑦2

2

Garis Lurus

• Kurva yang paling sederhana adalah garis lurus, dimana persamaannya secara umum:

y=mx + c

• m disebut dengan gradient/kemiringan yang

menunjukkan rasio kenaikan (perubahan tegak) dengan run (perubahan mendatar).

• Persamaan garis yang melalui sebuah titik P(x₀,y₀) adalah :

𝑦 − 𝑦

₀

= 𝑚 𝑥 − 𝑥

₀

• Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x₀,y₀) dan Q(x₁,y₁) adalah :

) (

) (

0 0

0 0 1

0 0 1

0 1

0 1

0 0

x x

m y

y

x x x

x

y y y

y

x x

y y

x x

y y







 

 





 





0 1

0

dimana, 1

x x

y m y



 

• Contoh : Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada

gambar berikut :

1 3 2

5

8 



  m

• Garis Sejajar adalah dua garis lurus yang memiliki gradien yang sama

• Garis tegak lurus adalah dua garis lurus yang berpotongan dimana kemiringannya saling

berkebalikan negatif.

𝑚₁ ∙ 𝑚₂ = −1 𝑚₁ = − ¹

𝑚₂

• Contoh: Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6)

Penyelesaian:

Dua garis saling tegak lurus, maka m₁m₂=–1.

Dari, garis 3x+y=9, maka diperoleh, m₁= –3, dengan demikian,

dan persamaan garisnya adalah

3

2  1 m

17 3

1 18

3

) 1 3(

6 1

















 y x

x y

x y

Grafik Persamaan

• Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri titik- titik di bidang yang koordinat (x,y)-nya memenuhi persamaan tertentu.

• Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah : (1) Bilamana mungkin tentukanlah pula titik potongnya

dengan sumbu koordinat.

(2) Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

(3) Buatlah diagram pencar titik-titik di bidang

(4) Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus

Contoh :

Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x² + 4x – 15 Penyelesaian:

Untuk x=0, y=–15, sehingga titik potong dengan sumbu y adalah (0,–15)

Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat,

4x² + 4x – 15 =0, (2x + 5)(2x – 3) = 0

dimana akar-akarnya adalah : x1=–2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di (–2,5,0) dan (1,5,0)

Sumbu simetri,

Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di (–0,5,–16)

Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut, x –3 –2 –1 0 1 2

--- y 9 –7 –15 –15 –7 9 Sketsa grafik sebagai berikut

5 , ) 0

4 ( 2

4  

 x 

a=4> 0

Titik potong

Sumbu simetri