SISTEM
KOORDINAT
1.WIRA LESTARI
2.YESI EKA PERTIWI 3.SUTRIA RAMADHANI
4.RESKI OKTAVIANI 5.SELVY AFNY PUTRI
6.SRI MULIANDANI Kelompok 1
MODUL 7
28. SELVY AFNY PUTRI HAL 7.5 – 7.14
A. SISTEM BILANGAN REAL B. SISTEM KOORDINAT
KARTESIUS
SISTEM BILANGAN REAL DAN KOORDINAT
A. SISTEM BILANGAN REAL
Himpunan bilangan real adalah himpunan
bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional
Apa itu himpunan
bilangan
real?
Apakah kamu tahu
apa itu himpunan?
HIMPUNAN
Yang termasuk himpunan
Kumpulan hewan berkaki dua
Kumpulan huruf vokal
Jadi, himpunan adalah kumpulan objek-objek (abstrak atau konkret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya
harus jelas
HIMPUNAN
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf
kapital
A, B, C, D, dan seterusnya Simbol “{...}”
Anggota (elemen) himpunan
biasanya
menggunakan huruf kecil
a, b, c, d, dan seterusnya.
Lambang anggota elemen suatu himpunan adalah
“” (baca:
anggota/elemen)
“” (baca: bukan anggota/elemen)
HIMPUNAN Contoh:
• Himpunan huruf vocal V = {a, i, u, e, o}
• Himpunan bilangan asli N = { 1, 2, 3, …}
• Himpunan bilangan bulat Z = { …, -2, -1,
0, 1, 2, …}
HIMPUNAN BILANGAN
Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan Real
Himpunan bilangan irrasional
Himpunan bilangan Rasional
1. BILANGAN ASLI (N)
Himpunan bilangan asli atau disebut juga himpunan bilangan bulat positif dapat ditulis
sebagai ….
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BILANGAN ASLI
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}
Contoh:
Tuliskan bilangan asli yang kurang dari 15!
Penyelesaian:
Himpunan bilangan asli kurang dari 15
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14 }
2. Bilangan cacah (W)
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang bukan negative atau himpunan bilangan
asli ditambah 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BILANGAN ASLI
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}
no
l
Contoh himpunan bilangan cacah:
1. B adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
2. A adalah himpunan bilangan cacah
kelipatan 2 A = {2, 4, 6, 8, 10, … }
3. Bilangan Bulat (Z)
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan asli (bilangan bulat positif), nol dan
lawannya (bilangan bulat negatif)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Bilangan bulat negatif
Bilangan bulat negatif
nol
Z = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Penulisan bilangan bulat
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Untuk membaca bilangan bulat negatif di awali dengan kata negative di depan dan ditulis dengan tanda ( - ).
Contoh:
Bilangan -1 dibaca negatif satu Bilangan -5 dibaca negatif lima
Bilangan -10 dibaca negatif sepuluh
Bilangan bulat
negatif Bilangan bulat
positif
4. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
Contoh:
, , 5 = = , 3 =
a, b , b 0
Keterangan:
a = penyebut b = pembilang himpunan
= bilangan bulat
Bentuk desimal dari bilangan rasional
Bentuk desimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian terhadap pembilang oleh penyebut menghasilkan bilangan di belakang koma yang tervatas serta berakhir dengan pengulangan bilangan nol, dan berulang tidak terbatas.
Contoh:
=
0,571428571428571
….
= 0,8750…
(bilangan di belakang koma terjadi pengulangan 571428 dan tidak terbatas)
(bilangan di koma tidak berulang dan berakhir dengan pengulangan
bilangan nol)
5. Bilangan Irasional (H)
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
Contoh:
, , ,
=
A, b , b 0
Bilangan rasional
Bentuk desimal dari bilangan Irrasional
Bentuk desimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan di belakang koma yang tidak berulang dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol.
Contoh:
= 2,645713110645… (bilangan di belakang koma tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak
berakhir dengan pengulangan bilangan nol
= 6,0827625302982…. (bilangan di belakang
koma tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol)
6. Bilangan Real (R)
Gabungan bilangan rasional dengan bilangan irasional.
Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.
R
N W
Z Q
H
Keterangan:
N = bilangan asli
W = bilangan cacah
Z = bilangan bulat
Q = bilangan rasional
R = bilangan real
H = bilangan
Irrasional
Kerapatan
Diantara dua bilangan real sembarang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan real lain dapat hyga di rumuskan (x+y) Sehingga dapat dikatakan bahwa diantara dua bilangan real
sembarang yang lain terdapat bilangan rasional maupun irrasional.
Contoh:
Tentukan kerapatan antara 2 dan 3 Jawab:
(2 + 3) = = 2,5
B. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Pengertian Sistem Koordinat Kartesius
Di dalam ilmu matematikasistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan posisi atau letak dari sebuah titik/lokasi/benda pada bidang datar.
Apa itu sistem koordinat kartesius?
Y
Garis X
horizontal (sumbu x)
Garis vertikal (sumbu y)
Sistem koordinat kertesius
dilukiskan oleh dua buah garis
Titik nol/titik
asal
Garis horizontal atau yang disebut juga sumbu x terdiri dari x positif dan x
negatif,
Y
X positif
digambarkan posisinya di sebelah kanan angka 0
X negatif
digambarkan posisinya di sebelah kiri angka 0
X
Garis vertikal atau yang disebut juga sumbu y
Terdiri dari y positif dan y negatif
Y
y positif
digambarkan posisinya di sebelah atas angka 0
y negatif
digambarkan posisinya di sebelah bawah angka 0
X
Untuk menuliskan sebuah titik pada sistem koordinat
kartesius adalah sebagai berikut:
Misalkan titik A yang terletak pada sistem koordinat
kartesius, maka cara
penulisannya adalah A (x,y)
Cara penulisan sistem koordinat kartesius
Y
X
A
(x,y) y
absis ordina x
t
Y
X
Menentukan koordinat sebuah titik pada bidang koordinat kartesius
1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 5
-1
4 3 2 1
-4 -2 -3 -1
A (-3, 3)
B (2, 4)
C (-2,
-3) D (3,
-4)
Y
X
Menentukan letak/posisi sebuah titik koordinat pada bidang koordinat
kartesius
1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 5
-1
4 3 2 1
-4 -2 -3 -1
L (- 2,4)
K (4,1)
M (-4, -2)
N (2, -4)
Diketahui koordinat
Titik K (4,1), L (- 2,4), M (-4, -2), N (2, -4)
Gambarkan titik-titik
tersebut pada bidang
koordinat kartesius
Y
X
Menghubungkan beberapa titik koordinat pada bidang koordinat
kartesius menjadi sebuah bidang datar
1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 5
-1
4 3 2 1
-4 -2 -3 -1
S (-
3,4) P (3,4)
R (-3,-
4) Q (3,
-4)
P (3,4) Q (3, -4)
R (-3,- 4)
S (-3,4)
RUMUS JARAK
15.YESI EKA VERTIWI
(HAL 7.15 – 7.18 )
856792317
RUMUS JARAK
Ketika dua titik dihubungkan dengan garis lurus bagian garis antar dua titik disebut ruas garis (a line segmen).
Panjang ruas garis tersebut menunjukkan jarak antara dua titik di dua ujung ruas garis tersebut .
Theorema Pytagoras dapat digunakan
untuk menentukan Panjang ruas garis
yang tidak sejajar dengan sumbu
koordinat.
CONTOH SOAL
Tentukan jarak antara titik A (2,3) dan B (2,5)
0
y
1 x
1 2
2 3
3 4 4
5 5
6
6 B(5,5 )
A(2,3 )
C(5,3)
CONTOH SOAL
Pertama, gambarlah garis horizontal melalui A (2,3) dan garis vertical melalui B(5,5). Kedua garis tersebut berpotongan di C (5,3) hingga terbentuk segitiga siku- siku ABC.
Dari gambar dapat diketahui Panjang ruas garis : AC = 5 – 2 = 3 BC = 5 – 3 = 2
Berdasarkan teorema Phytagoras : (AB)² = (AC)² + (BC)²
(AB)² = 3² + 2² (AB)² = 9 – 4 (AB)² = 13 (AB) =
Jadi jarak antara titik A dan B adalah
PERSAMAAN LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik (x,y) pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik (x,y) terhadap titik pusat disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan r.
Jika titik pusat lingkaran P(a,b) dan jarak
titik-titik Q(x,y) terhadap titik pusat P
berjarak r, maka dengan rumus jarak kita
akan memperoleh hubungan antara titik
Q(x,y), P(a,b) dan r.
0
y
x
r
Lingkaran dengan Pusat P(a,b)
P(a,b C )
Q(x,y)
Gambar diatas merupakan duplikat segitiga pada lingkaran.
Hubungan antara titik Q(x,y), P(a,b)
dan r dapat ditunjukkan dengan
menerapkan Theorema Pytagoras.
r² = (x-a)² + (y-b)² r =
Q(x,y)
r
P(a,b) C
(x-a)
(y-b)
CONTOH SOAL
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2,3) dan melalui titik A(4,5).
Jari-jari lingkaran adalah : r =
r = r = r =
LANJUTAN
Gambar lingkaran
dengan pusat P(2,3) dan melalui A(4,5)
0
x
r P(2,3)
A(4,5)
y
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah : r² = (x-a)² + (y-b)²
² = (x – 2)² + (y – 3)² 8 = (x – 2) + (y – 3)²
21. WIRA LESTARI
Halaman 7.18 – 7.25
E. SISTEM KOORDINAT KUTUB F. HUBUNGAN KOORDINAT
KUTUB DENGAN KOORDINAT
KARTESIUS
E. Sistem Koordinat Kutub
Sistem koordinat kutub adalah suatu system koordinat 2- dimensi dimana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu arah yang telah ditetapkan.
Dalam system koordinat kartesius, tempat kedudukan titik pada bidang ditunjukkan oleh pasangan terurut bilangan real (x,y). Makna ini berlaku juga sebaliknya yaitu
pasangan terurut bilangan rasional (x,y).
Sinar garis tetap, atau Sumbu kutub
.
Kutub atau Titik asal
P (r,)
r
y
x
o �
Sinar garis OP
Titik P adalah titik sebarang pada
bidang (Lihat gambar). Dalam system koordinat kutub, titik P terletak pada jarak r satuan dari titik asal/kutub, dan sinar garis OP membentuk sudut
terhadap sumbu kutub.
Sudut bernilai positif jika arah pengukuran sudut berlawanan
dengan arah pergerakan jarum jam dan bernilsi negative jika arah pengukuran sudut searah dengan pergerakan jarum jam.
CONTOH SOAL:
Gambarkan koordinat kutub :
a. P (r, b. P (r, -) c. P (r, )
y
P (r, )
r
P (r, -)
40 0
-
P (r, -)
Gambar 7.16
Koordinat r pada titik P(r,
aris yang membentuk sudut dengan sumbu kutub.
Dengan panjang yang sama, nilai r negative jika merupakan kepanjangan dari sinar garis OP
(dengan arah yang berlawanan arah sinar garis OP
yang membentuk sudut dengan sumbu kutub melalui kutub).
F. HUBUNGAN KOORDINAT DENGAN KOORDINAT KARTESIUS
Jika sumbu-sumbu pada system koordinat kutub dan system koordinat kartesius dihimpitkan
Hingga saling menutupi, maka letak suatu titik pada system koordinat kutub yang ditandai dengan
pasangan teurut ( r, ) dan titik pada system
koordinat kartesius yang ditandai dengan pasangan terurut (x,y) dapat dihubungkan oleh persamaan
berikut:
Pada segitiga OPR dengan rumus Pythagoras terdapat hubungan:
sin = y = r sin Cos = x = r cos
= =
y
P(x,y) P (r,
x R y
x o
Hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius tersebut diatas
berlaku pada seluruh kuadran pada bidang kartesius. Penentuan besarnya sudut kuadran dapat menggunakan sifat fungsi tangen di setip kuadran, yaitu:
Pada kuadran I, nilai x positif dan nilai y positif sehingga tan = nilai tan positif
Pada kuadran II, nilai x negative dan nilai y positif sehingga tan = nilai tan positif
Pada kuadran III, nilai x negative dan nilai y negatif sehingga Tan = tan = nilai tan positif
Jika diketahui titik-titik koordinatnya
P (4,4)
Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub!
Diketahui koordinat cartesius P (4,4), maka digunakan rumus dan perhitungannya sebagai berikut:
r = + r = Tan =
= arctan 1 =
Jadi koordinat kutubnya dari P (4,4) adalah P= ()
1
2
Diketahui Koordinat Kartesius:
4
A
(x,y)
4
√ 3
r
Ubahlah ke Koordinat Kutub:
Titik A ( 4,4)
Maka : r =
Tan =
PENYELESAIAN:
Titik A ( 4,4) r =
r = r =
r = 8
tan =
tan =
tan
4
tan
Jadi A ( 4,4) <==> A(8, )
3
Diketahui Koordinat Kutub :
B (r,
12
150
o
Titik A ( 12, )
Maka : x = r.
cos
y = r.
sin
Titik A ( 12,
= 12. cos
= 12. – cos = 12. - = -
y = r. sin
= 12. sin = 12. sin = 12.
y = 6
PENYELESAIAN:
Jadi B (12, ) B (-6
6. SUTRIA RAMADHANI
KB 2.Persamaan linear
7.33-7.39
• Persamaan linear adalah persamaan dari ilmu aljabar di mana persamaan ini sukunya mengantung konstanta dengan variable tunggal.
• Kenapa bisa disebut linear ?
• Karena tiap hubungan matematis di gambarkan dengan garis lus dalam suatu koordinat kartesius
Apa itu persamaa
n linear?
SIFAT-SIFAT PERSAMAAN LINEAR
Penjumlahan, pengurangan,perkalian dan pembagian bilangan kedua
ruas tidak mengubah persamaan nilai
Persamaan jika di pindaha ruas maka penjumlahan berubah jadi
pengurangan. Jika perkalian berubah menjadi pembagian
dan sebaliknya
BERIKUT INI PENUANGAN AIR DI TANGKI
-10- -9- -8- -7- -6- -5- -4- -3- -2- -1-
1 09
8 7 6 5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Volum air (Liter)
Waktu (Menit)
Waktu Volum Relasi
0 31 31 = 0 + 31 31 = 10(0)+31
1 41 41 = 10 + 31 41 = 10(1)+31 2 51 51 = 20 + 31 51 = 10(2)+31 3 61 61 = 30 + 31 61 = 10(3)+31 4 71 71 = 40 + 31 71 = 10(4)+31 5 81 81 = 50 + 31 81 = 10(5 )+31
Dan seterusnya
x f(x) f(x)= 10x = 31
RUMUS DAN CONTOH
Dik : nilai x pada persamaan 10x + 10
= 10x – 5
Di tanya : berapa nilai x ? Jawab
10x + 10 = 5 x -5 10x – 5 x = -5 -10 5 x = -15 x = -
x = -3
Jadi, Nilai x adalah -3
Bentuk Umum fungsi linear
y = ax + b
PENGERTIAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
•
Persamaan linear dua variable adalah dua persamaan dari linear dua variabel.Kedua variable mempunyai hubungan dan bisa memiliki satu penyelesaian
•
Langkah – langkah untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan persamaan linear dua variabel :•
- melakukan pergantian setiap besaran di dalam masalah dengan variabel dan di nyatakan•
dengan simbol atau huruf•
- Membuat suatu model matematika dari suatu masalah•
- mencari solusi yang tepat dari permasalahan dan menggunakan metode persamaan linear dua•
variabelPENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
•
Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel adalah pasangan terurut dari bilangan (x,y) yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar.•
Contoh : persamaan y = x+ 2 pada (-6,-1) y = x+ 2•
-6 = (-1) + 2= - + 2
=
•
Karena hasilnya tidak sama maka (-6,-1) bukan lah penyelesaian dari persamaan y
= x+ 2
MENGGAMBAR PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
• MENGGAMBARKAN PERSAMAAN LINEAR Y = X+ 2
•
X y = x+ 2 Solusi -
4
(-4)+ 2 = 0
(-4,0) -
2 (-2)+ 2 =
1 (-2,1)
0 (0)+ 2 = 2
(0,2) 2 (2)+ 2 =
3 (2,3)
4 (4)+ 2 =
4 (4,4)
X Solusi
- 4
(-4,0) -
2 (-2,1)
0 (0,2)
2 (2,3)
4 (4,4)
-4 -3 -2 -1
-1 -2 4 3 2 1 0
1 2 3 4
(- 4,0)
(- 2,1)
(0,2)
(2,3)
(4,4)
y
x
y = x+ 2
Penjelasan persamaan linear dua variabel
• Himpunan bilangan real adalah himpunan pengganti untuk x dan y, maka
setiap solusi dari persamaan merupakan koordinat titik titik pada garis, maka penyelesaian y = x+ 2 maka di sebut dengan persamaan garis
•
Koordinat gambar dari persamaan yang ekuivalen dengan
ax + by = c, x dan y € {Bilangan real}
Dimana a, b, c adalah bialngan real dengan a dan b kedua nya tidak sama dengan nol
berupa garis lurus
Titik potong garis terhadap sumbu –x dan -y
Intercept adalah menggambar garis dengan hanya menentukan dua titik yang merupakan titik-titik potong garis dengan sumbu-sumbu koordinat.
Intercept –y (x=0)
Intercept –x (y=0)
Intercept –y Intercept –x 0,2
1,0
Contoh soal titik potong garis terhadap sumbu –x dan -y
Persamaan 4 x -4 y
= 8 Jawab
y = 0 maka 4x - 4y = 8 4x-4 (0)=8 4x=8 x = 2
x-intercept adalah (2,0)
Gambar kedua titik pada bidang koordinat pada garis 4 x – 4 y = 8
Persamaan 4 x -4 y
= 8 Jawab
x = 0 maka 4x - 4y = 8 4(0) - 4y = 8 -4y = 8 y= 2
y-intercept adalah (0,2)
y
2,0 x 0,2
3. SRI MULIANDANI
7.39 –
7.46
Kemiringan (Slope) atau Gradien Garis
• Gambar disamping adalah :
1. Garis lurus yang memotong sumbu –x pada x=2 dan sumbu –y pada y = 4
2. Garis yang menanjak dari kiri ke kanan yaitu menanjak 2 satuan untuk setiap pergerakan 1 satuan ke kiri ke kanan x
y
(2,0)
o
(0,-4)
Garis 4x – 2y = 8
Pengertian Kemiringan (Slope)
Kemiringan (Slope) atau Gradien garis merupakan ukuran dari Langkah pada gambar sebelumnya
Gradien Garis Lurus merupakan laju perubahan dari koordinat –y dari suatu titik pada suatu garis lurus
terhadap koordinat -x
CONTO H
1. Gambarkan persamaan garis y= 2x
Jawab :
y = 2x
x y
2 4
1 2
0 0
-1 -2
-2 -4
2 2 2 2 1
1 1 1
2 4
O
-2 -1 1 2
-2
-4
y
x (2,4)
(-2,-4)
(1,2)
(-1,-2)
(0,0)
y = 2x
Garis y =
A 2x
B
Untuk semua bilangan real m , gambar dalam bidang koordinat dari persamaan
y = mx
Adalah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik asal (0,0)
2. Tentukan Gradien Garis yang melalui titik (, ) = (-3,2) dan (, ) = (2,5). Gambarkan!
(-3,2) 2
5
(2,5)
O -3 2
x y
(2 –(-3)) = 5
(5 - 2)= 3
Garis dengan Gradien
Jawab :
Gradien : m = = =
Jika kita ubah titik (, ) = (2,5) dan (, ) = (-3,2), maka Hasilnya adalah
m = = =
Hal ini menunjukkan bahwa urutan penamaan dari titik memberikan hasil yang sama
Gradien artinya yaitu untuk :
• Setiap gerakan 5 satuan ke kanan menyebabkan garis bergerak ke atas 3 satuan atau
• Setiap gerakan 5 satuan ke kiri menyebabkan garis bergerak ke bawah 3 satuan
KESIMPULAN GRADIEN GARIS LURUS
1. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas
2. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu –x adalah nol, karena arah garis vertical tidak ada 3. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah
4. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu –y tidak terdefinisi, karena arah garis horizontal tidak ada (menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak didefinisikan). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu –y tidak mempunyai gradien
5. Misalnya garis lurus k gradiennya dan garis lurus j gradiennya . Jika garis k dan garis j saling tegak lurus, maka gradien-gradiennya menunjukkan hubungan
- dengan ≠ 0 atau . = -1
6. Garis-garis lurus yang sejajar (parallel ) mempunyai gradien yang sama
y
x
(a)
y
x
Gradien positif
Gradien nol
x y
Gradien negatif
y
x
Gradien tidak terdefinisi
(b) (c) (d)
Macam-macam Gradien Garis
CONTO
3. Tentukan gradien garis yang melalui titik-titik (-2,2) dan (3,2). Gambarkan garis
H
tersebut!
Jawab :
Umpamakan (, ) = (-2,2) dan (, ) = (3,2) maka
gradien garis :
m = = = = 0
-2 3
2 (3,2
)
Gradien =
y 0
x (-
2,2)
o
3. Tentukan gradien garis yang melalui titik (3,2) dan (3,-3). Gambarkan garis tersebut!
Jawab :
Umpamakan (, ) = (3,2) dan (, ) = (3,-3) maka gradien garis :
m = = = = tidak didefinisikan
-2
-3
3 (3,2 )
Gradien = tidak di definisikan
y
x
(3,-3) o
Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Titik dengan Gradien Tertentu
Jika (, ) adalah titik pada garis dan (, ) adalah titik laon pada garis yang sama, maka gradien dari (, ) ke (, ) adalah
Diubah bentuk menjadi = m ()
Dengan demikian = m ()
Adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (, )
m =
CONTO H
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,1) dan gradien 3 Jawab :
= m ()
y – 1 = 3 (x-2) y – 1 = 3 x-6
y = 3x-5
Menentukan Persamaan Garis dengan y-intercept dan Gradien Diketahui
y
1 2 x
-4 -2 -2 -1
o (0,
0) (1, 2)
(2, 4) 2
4
(-1,- 2) (-2,- 4)
y= 2x
1 2
y= 2x
y
x
(0, 4)
y= 2x + 4
(0, 0)
Garis y = 2x dan y = 2x +4
Untuk menentukan y-intercept, ganti x dengan 0 pada setiap persamaan garis
y = 2x y = 2x + 4
y = 2 (0) y = 2 (0) + 4
y = 0 y = 4
Jika garis memotong sumbu –y(y-intercept) di b, maka titik potong tersebut adalah (0,b)
Persamaan garis yang melalui titik (0,b) dengan gradien m adalah
y – b = m (x-0) y – b = mx
y = mx + b
y
-intercept
y = mx + b
Merupakan persamaan garis dengan m adalah gradien dan b adalah titik potong garis
terhadap sumbu-y (y-intercept)
CONTO H
Berikut ini contoh persamaan garis bentuk y = mx + b
Persamaan garis gradien y-intercept
y = mx + b m b
y = 3x +5 y = -2x – 4
y = - x + -
y = 12 0 12
X = 5 tidak ada tidak ada
RESKI OKTAVIANI 7.47-7.54
B. PERTIDAKSAMAAN
LINIER
•
Contoh 7.30Tentukan gradien dan y- intercept dari persamaan 3x+2y = 6
Jawab :
Persamaan tersebut diubah menjadi bentuk y = MX + B.
• 3x + 2y = 6
• 2y = -3x + 6
• Y = ( - ) x + 3
•
DIPEROLEH :
A. GRADIEN = (-).
B. Y- INTERCEPT = 3. (GARIS
TERSEBUT MEMOTONG SUMBU -Y DITITIK (0.3)).
•
UNTUK MEMBUKTIKAN (- ) BENAR GRADIEN DARI GARIS 3X + 2Y = 6, KITA GUNAKAN TITIK LAIN YAITU (-2, 6) DAN (4, -3).
APAKAH TITIK (-2,6) DAN (4, -3) BERADA PADA GARIS?
(-2,6):3(-2) + 2(6) = 6 DAN 6 = 6 (BENAR)
(4,-3) 3(4) + 2(-3) = 6 DAN 6 = 6(BENAR).
SEKARANG APAKAH BENAR -GRADIEN GARIS?
M = = = ( ) (BENAR)
•
l 0 -2
-3_
l l
2 4
x 3 -
6 - y
(0, 3) (-2, 6)
Y=(-) x+3
Gambar 7.37 Garis -Y=(-) x+3
GARIS-GARIS SEJAJAR DI GAMBARKAN SEBAGAI GARIS-GARIS PADA BIDANG DATAR YANG TIDAK BERPOTONGAN, BERAPAPUN JARAK ANTAR GARIS-
GARIS TERSEBUT.
DUA GARIS SALING SEJAJAR JIKA DAN HANYA JIKA
1. KEDUA GARIS TERSEBUT MEMILIKI GRADIEN YANG SAMA
2. KEDUA GARIS TERSEBUT MEMILIKI Y -INTERCEPTBYANG BERBEDA.
CONTOH 7.31
TUNJUKKAN APAKAH GARIS 9X+6Y= 2 DAN 3X = 10-2Y SEJAJAR?
JAWAB :
BENTUK KEDUA GARIS DIUBAH MENJADI Y= MX+B,
YAITU:
9X+6Y= 2 6Y = -9X+2 Y=(-)X + Y = (- )X +
•
3x = 10 – 2 y 2y= -3x +10 y =(-)x + y= (-)x+ 5
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS YANG MELALUI DUA TITIK
(, ) DAN (, ) ADALAH TITIK TITIK PADA SATU GARIS DAN (X, Y) ADALAH TITIK LAIN PADA GARIS YANG SAMA DENGAN GRADIEN. GRADIEN GARIS DARI ( , ) KE (X,Y) ADALAH DAN GRADIEN GARIS DARI ( , ) KE (, ) ADALAH , YAITU
= DAN =
•
KARENA TITIK (X,Y), (, ) DAN (, )
TERLETAK PADA GARIS YANG SAMA MAKA GRADIEN GARIS DARI (, ) KE (X,Y) SAMA DENGAN GRADIEN GARIS DARI (, ) KE (, ) SEHINGGA DIPEROLEH
= ATAU =
•
= Atau =
Merupakan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan (, )
CONTOH 7.33
TENTUKAN PERSAMAAN GARIS YANG MELALUI TITIK (2, -3) DAN (5, 1) JAWAB : PERSAMAAN GARIS YANG DIMAKSUD ADALAH
= DAN DISEDERHANAKAN MENJADI
= ATAU Y +3 = (X-2) Y = X- - 3 ATAU Y = X-
•
B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR
GAMBAR 7.3 9
MENGGAMBARKAN GARIS Y= X-2.
Y
X
-2 - 0 (A)
2 I Y= X-2
(B)
GAMBAR 7.39
GAMBAR Y = X-2 DENGAN WILAYAH (A) DAN (B)
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DALAM X DAN YDAPAT DITULIS DALAM SALAH SATU BENTUK-BENTUK BERIKUT:
1. AX + BY < C 2. AX + BY > C 3. AX + BY ≤ C 4. AX + BY ≥ C
DIMANA A, B, DAN C ADALAH BILANGAN REAL DAN A DAN B TIDAK KEDUANYA NOL.
CO NTOH 7.34 :
A. 3AX-2Y < 6 B. 4X + Y > 8 C. X + 5Y ≤ 10 D. X ≥ 5
HIMPUNAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah pasangan terurut dari bilangan real yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi pernyataan yang bernilain benar.
Contoh 7.35
APAKAH TITIK (3,2) DAN (5,1) merupakan penyelesaian dari 3x – 2y < 6?
Jawab :
Untuk titik (3 , 2) x diganti dengan 3 dan y diganti dengan 2 sehingga 3 (3) -2 (2)
< 6 ↔9 -4 < 6 (benar)
Dengan demikian (3, 2) adalah penyelesaian dari 3x – 2y < 6.
Untuk titik (5, 1) silahkan anda coba!
•
Gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah setengah bidang koordinat untuk menunjukkan bahwa setengah bidang koordinat merupakan himpunan, penyelesaian pertidaksamaan linear yang diberikan blm, setengah bidang koordinat tersebut diarsir.Berikut langkah menggambarkkan himpunan penyelesaian vdari ax + by < c.1. Gambar garis batas ax + by = c dengan bentuk putus-putus•
L, merupakan batas dari setengah bidang yang memuat himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.•
2. Gunakan titik sebarang p (a, b) untuk menguji (biasanya yang lebih mudah digunakan adalah titik (0,0) ) dimana p adalah suatu titik pada salah satu dari setengah bidang. Gantikan x dengan abdan y dengan b pada pertidaksamaan yang diberikan.•
3. Jika (a, b) adalah salah satu solusi dari ax + by < c, arsirlah daerah setengah bidang yang memuat p (a, b). Jika (a, b) bukan solusi dari ax +by < c, arsirlah daerah setengah bidang yang tidak memuat p ( a,b)langkah diatas dapat digunakan untuk bentuk pertidaksamaan lainnya•
(1) ax +by > c ; (2) ax + by ≤ c ; (3) ax + by ≥ cContoh 7.38 :
Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x+3y < 6jawab :
1. Gambarkan garis batas 2x+ 3y = 6 ( secara tidak putus putus, karena lambang pertidaksamaan nya memuat sana dengan "≤") dengan menentukan titik potong garis terhadap sumbu - x dan
sumbu -y , yaitu :titik potong garis terhadap sumbu -x ,y = 0 x = 3 dititik (3,0)titik potong garis terhadap sumbu -y, x = 0 y = 2 dititik (0, 2)garis 2x +3y = 6 membagi bidang koordinat menjadi dua bagian.
2. Gunakan titik (0,0) untuk menguji apakah setengah bagian bidang koordinat vyang memuat titik (0,0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x+ 3y ≤ 6 yang dimaksud(0,0) 2 (0) +3(0) ≤6 0 ≤ 6 ( benar)jadi benar bahwa setengah bagian bidang koordinat yang memuat titik (0,0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤6, yang dimaksud
3.Karena (0,0) adalah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤6 setengah bagian daerah bidang koordinat terarsir yang memuat (0,0) adalah gambar dari himpunan penyelesaian yang diinginkan (perhatikan gambar 7.42)
0 y
x (3,0) (0,2)
2x +3y
≤6
2x+ 3y
= 6
Gambar 7.42
PENYELESAIAN 2X + 3Y ≤6
TERIMA
KASIH
