MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH

1

MATEMATIKA

INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH

A. DEFINISI INTEGRAL TENTU

Bentuk integral f x dx f x c

_∫

’( ) = ( )+ disebut sebagai integral tak tentu karena hasil dari pengintegralannya masih berupa fungsi. Integral tentu adalah bentuk pengintegralan di mana hasil integralnya berupa nilai tertentu. Bentuk umumnya adalah

f x dx f x f x a x b a b a b ’( ) = ’( )dx f(x)=

]

= (b) f(a)− = =

∫

∫

Di mana : x = a dinamakan batas bawah x = b dinamakan batas atas B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

Apabila f(x), g(x) terdefi nisi pada selang [a, b], maka:

1. f x dx f x x a b a b a b ( ) g(x)± ( )dx g( )dx

(

)

= ±

∫

∫

∫

4. f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) = ( ) + ( )

∫

∫

∫

2. k f x dx k f x a b a b ( ) = ( )dx

∫

∫

5. _{f x dx f x dx} b a a b ( ) = − ( )

∫

∫

3. f x dx c c ( ) = 0

∫

KELA S XII - KURIKULUM GAB UN G A_N

Sesi

N

05

2

CONTOH SOAL

1. Nilai dari 2 5 0 2 x− dx

(

)

∫

adalah .... Jawab: 2 5 5 2 5 2 0 5 0 6 0 2 2 0 2 2 2 x− dx x x

(

)

=

(

−

)

_ =

(

− ⋅

)

−

(

− ⋅

)

= −

∫

2. Nilai dari 3 5 1 4 x+ x x dx

(

)

∫

adalah .... Jawab: 3 5 3 5 3 5 3 1 4 1 2 3 2 1 4 1 2 1 4 3 2 1 4 x x x dx x x dx x dx x dx x +

(

)

=  +      = + =

∫

∫

∫

∫

11 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 ₅ 2 1 4 5 3 2 3 5 2 5 dx x dx x x

∫

+

∫

= ⋅         + ⋅          ==

(

)

_{ +}

(

)

_ =

(

−

)

+

(

−

)

= + = 2 2 16 2 64 2 14 62 76 1 4 2 1 4 x x x x 3.

_∫

sin2x cosx ⋅ dx= 0 6 π .... Jawab: sin2x cosx ⋅ =

(

+

)

= +

∫

∫

∫

dx x x dx x dx 0 6 0 6 0 6 1 2 3 1 2 3 1 2 π π π sin sin sin siin cos cos cos x dx x x 0 6 0 6 0 6 1 2 1 3 3 1 2 1 6 9 π π π

∫

= −       + −

(

)

_ = − 00 0 1 2 30 0 1 6 1 2 1 2 3 1 2 3 1 4 3 ° − °

(

)

−

(

° − °

)

= −  −    = −

3

sin2x cosx ⋅ =

(

+

)

= +

∫

∫

∫

dx x x dx x dx 0 6 0 6 0 6 1 2 3 1 2 3 1 2 π π π sin sin sin siin cos cos cos x dx x x 0 6 0 6 0 6 1 2 1 3 3 1 2 1 6 9 π π π

∫

= −       + −

(

)

_ = − 00 0 1 2 30 0 1 6 1 2 1 2 3 1 2 3 1 4 3 ° − °

(

)

−

(

° − °

)

= −  −    = −

cos cos cos

4. Diketahui f(x) dx 1 3 6

∫

= dan g(x) dx 3 1 4

∫

= maka nilai 2f(x) 3g(x)

_∫

(

−

)

dx 1 3 adalah .... Jawab: 2f(x) 3g(x) −

(

)

= − = −

∫

∫

∫

∫

dx f x dx g x dx f x dx g 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) x dx f x dx g x dx 1 3 1 3 3 1 2 2 3 2 6 3 4 12 1

∫

∫

∫

= − −      = ⋅ − ⋅ −

( )

= + 22 24 = 5. Diketahui f(x) dx 2 5 7

∫

= dan 3f(x) dx 1 2 9

∫

= . Nilai dari 4f(x) dx 1 5

∫

adalah .... Jawab: 3f(x) f(x) f(x) dx dx dx 1 2 1 2 1 2 9 3 9 3

∫

∫

∫

= = = Maka 4f(x) dx f(x) dx f x dx x dx 1 5 1 5 1 2 2 5 4 4 4 3 7

∫

∫

∫

∫

= =  +      =

[

+ ( ) f( )

]]

= 40

4

6. Diketahui f x x x x ( ) , , = + ≤ + >     3 2 0 2 x 0 maka nilai f(x) dx₋

∫

₂ = 4 .... Jawab: f(x) dx f x dx x dx x dx x − − −

∫

∫

∫

∫

∫

= + =

(

+

)

+

(

+

)

2 4 2 0 0 4 2 0 0 4 3 2 2 ( ) f( ) ddx x x x x = +       +_ + __ = −

(

)

+  +   − 3 2 2 2 3 2 0 2 16 3 8 2 2 0 0 4 x −       = + = 0 6 16 3 34 3 7. Jika 2x+2

_∫

(

)

dx= a 1

12 , maka nilai a yang memenuhi adalah .... Jawab: 2x+2

(

)

= +

(

)

 = +

(

)

−

(

+ ⋅

)

= + − =

∫

dx x a a a a a a 1 2 1 2 2 2 12 2 12 2 1 2 1 12 2 15 0 x aa+ a

(

5

)

(

−3

)

=0 8. _{Hitunglah nilai x 2}

_∫

_{− dx=} 1 4 .... Jawab: x x x x x x x x x x − = − − ≥ − −

(

)

− <     ⇒ − = − ≥ − <    2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 , , , , maka x 2 − =

(

−

)

+

(

−

)

=

(

−

)

_{ + −}

(

)

_ =

∫

dx

∫

x dx

∫

x dx x x x x 1 4 1 2 2 4 2 1 2 ₂ 2 4 2 2 2 2 44 4 2 1 16 8 4 4 1 8 7 −

(

)

− −

(

)

  +_

(

−

)

− −

(

)

_ = − + =

5

x 2 − =

(

−

)

+

(

−

)

=

(

−

)

_{ + −}

(

)

_ =

∫

dx

∫

x dx

∫

x dx x x x x 1 4 1 2 2 4 2 1 2 ₂ 2 4 2 2 2 2 44 4 2 1 16 8 4 4 1 8 7 −

(

)

− −

(

)

  +_

(

−

)

− −

(

)

_ = − + = C. LUAS DAERAH

Salah satu aplikasi dari integral tertentu adalah menghitung luas daerah di bawah kurva atau di antara kurva. Suatu daerah di bawah kurva dapat dihitung menggunakan integral dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Batas-batas daerah tersebut diketahui. Daerah yang dapat dihitung luasnya perlu diketahui:

a. Batas kiri dan kanannya, b. Batas atas dan bawahnya.

Bentuk-bentuk batas daerah bisa berupa fungsi konstanta, fungsi linier atau nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat). Bila salah satu batas belum diketahui, maka perlu dicari terlebih dahulu sehingga luas daerah dapat dihitung.

2. Gambar daerah bila daerah tersebut masih dinyatakan dalam bentuk batas-batasnya. Kemampuan menggambar kurva atau garis sangat diperlukan agar dapat menghitung luas daerah.

3. Gunakan formula yang tepat untuk menghitung jenis-jenis daerah tertentu. Perhatikan gambar-gambar daerah dan rumus yang bersesuaian.

a. Bentuk Daerah Jenis 1 Bentuk yang pertama adalah: y a b x = a x = b y = f(x) y = g(x) bawah atas kir i kanan x y a b y = f(x) x L f x g x dx a b =

_∫

[

( )− ( )

]

L f x dx a b =

_∫

( )

6

CONTOH SOAL

1. Hitunglah luas daerah di bawah ini!

y x 1 4 y = x Jawab: L dx L x x L satuan luas = =        =

∫

x 1 4 1 4 2 3 14 3

2. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2_{, sumbu x, dan 1 < x < 3adalah ....}

Jawab:

Gambar daerah dengan teknik plot titik:

X Y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Menghasilkan gambar Batas atas: y = x2

Batas bawah: sumbu x Batas kiri: x = 1 Batas kanan: x = 3 4 y 9 y = x2 1 -2 -1 1 2 3

7

L x dx L x L satuan luas = =   =

∫

2 1 3 3 1 3 1 3 26 3

3. Hitunglah luas daerah berikut!

y y 6 6 2 y = -x + 6 y=1x − x+ 2 4 6 2 Jawab:

Batas atas: y = -x + 6, Batas bawah: y=1x − x+

2 4 6

2 _.

Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6.

L x x dx L x x dx L =

(

− +

)

− −       _ =  −    =

∫

∫

6 1 2 3 1 2 0 6 0 6 2 2 4x+6 33 2 1 6 3 2 36 1 6 216 0 18 2 3 0 6 x x L L satuan l −        = ⋅ − ⋅   −

( )

= uuas

8

4. Luas daerah yang dibatasi oleh y x y= 3 =1x x=

2 2

, , dan adalah .... Jawab:

Plot titik untuk y = x3 _{Plot titik untuk y x y=} 3 ₌1_{x x=}

2 2 , , dan X Y X Y -2 -8 0 0 -1 -1 2 1 0 0 1 1 2 8 Gambar kurva -2 1 2 8 1 y y = x3 x -1 -8 y= 1x 2

Batas atas y = x3_{, Batas bawah y x y=} 3 ₌1_{x x=}

2 2

, ., dan Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2.

L x dx x x =  −    = −       = ⋅ − ⋅   

∫

3 0 2 4 2 0 2 4 2 1 2 1 4 1 4 1 4 2 1 4 2 x  −

( )

= 0 3 satuan luas

9

5. Perhatikan gambar daerah berikut!

6 y = 6 – x

6 4

y = x

Luas daerah arsiran di atas adalah .... Jawab:

Batas atas: y= −6 x dan y= x, Batas bawah: sumbu x {y = 0}. Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6.

Karena daerah memiliki 3 batas atas maka daerah harus dibagi menjadi 2, tepatnya oleh x = 4. Daerah 1 4 y = x L x dx x x satuan luas 1 0 4 0 4 2 3 16 3 = =   =

∫

Daerah 2 y = 6 – x 4 6 L x dx x x s 2 4 6 2 4 6 6 6 1 2 36 18 24 8 18 16 2 =

(

−

)

= −       =

(

−

)

−

(

−

)

= − =

∫

aatuan luas Luas total L L L satuan luas = + = + = 1 2 16 3 2 22 3

10

6. Luas daerah yang dibatasi y = x2 _{+ 1, y = 7 – x di kuadran 1 adalah ....}

Jawab:

Plot titik untuk y = x2 _{+ 1 Plot titik untuk y = 7 – x}

X Y X Y -2 5 0 7 -1 2 1 6 0 1 1 2 2 5 Gambar kurva A 1 -1 -2 2 x 5 y 7

Titik A adalah titik potong fungsi y = x2 _{dan y = 7 – x. Koordinatnya bisa langsung didapatkan}

bila gambar grafi knya presisi. Bila khawatir dengan ketidakakuratan titik bisa didapatkan dengan substitusi y y x x x x x x = + = − + − = +

(

)

(

−

)

= 2 2 1 7 6 0 3 2 0 x = -3 x= 2 Maka

Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2.

11

L x x dx x x dx x x x = _

(

−

)

−

(

+

)

_ =

(

− −

)

= − −   

∫

∫

7 1 6 6 1 2 1 3 2 0 2 2 0 2 2 3    = − −   −

( )

= 0 2 12 2 8 3 0 22 3 satuan luas b. Bentuk Daerah Jenis 2

Bentuk daerah jenis kedua adalah y x x = g(y) y = b y = a x = f(y) b a L f y g y dy f y g y dy y a y b a b =

[

−

]

=

[

−

]

= =

∫

( ) ( )

∫

( ) ( ) x a b y x = f(y) L f y dy f y dy y a y b a b = = = =

∫

( )

∫

( )

12

CONTOH SOAL

1. Luas daerah gambar di bawah ini adalah ....

y 9

x x= y

Jawab:

Batas kanan: x= y, Batas kiri: sumbu y (x = 0). Batas atas: y = 9, Batas bawah: y = 0.

L y dy dy y satuan luas y y = = =    = = =

∫

∫

y 0 9 1 2 0 9 3 2 0 9 2 3 18

2. Luas daerah yang dibatasi oleh x = y + 6 dan x = y2 _{adalah ....}

Jawab:

Plot titik untuk x = y2 _{Plot titik untuk x = y + 6}

Y X Y X -2 4 (4, -2) 0 6 (6, 0) -1 1 (1, -1) 1 7 (7, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) 2 4 (4, 2)

13

Gambar kurva x = y2 y x B A -2 2 x = y + 6

Dari gambar nampak jelas batasnya, yaitu: Batas kanan: x = y + 6, Batas kiri: x = y2_.

Batas atas: y = 3, Batas bawah: y = -2.

L y y dy y y y =

(

(

+

)

−

)

= + −   = + −   − − + −

∫

6 1 2 6 1 3 9 2 18 9 2 12 8 2 2 3 2 3 0 9 33 27 2 22 3 125 6     = − −    = satuan luas

c. Rumus Cepat Mencari Luas

Rumus cepat dapat digunakan pada daerah-daerah yang memiliki kondisi sebagai berikut:

1. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat, atau 2. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear. Dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus:

L D D a =

6 2

14

Dimana a, b, dan c didapatkan dari proses sebagai berikut:

1. Bila fungsinya y = f(x) dan y = g(x), maka buat fungsi selisihnya y = f(x) – g(x). Bila fungsinya x = f(y) dan x = g(y) , maka buat fungsi selisihnya x = f(y) – g(y). 2. Jangan sederhanakan fungsi selisihnya, kemudian tentukan a, b, dan c. 3. Tentukan D kemudian substitusikan ke formula luas: L D D

a =

6 2

CONTOH SOAL

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 _{– 3x – 10 dengan y = x + 2 ....}

Jawab:

Syarat dipenuhi, karena daerah dibatasi oleh 2 fungsi, yaitu satu fungsi kuadrat y = x2 _{– 3x}

– 10 dan fungsi linier y = x + 2. Membentuk fungsi selisih

y x x x y x x =

(

− −

)

− +

(

)

= − − 2 2 3 10 2 4 12 a c D b ac D D = = − = − = − = − ⋅ ⋅ −

( )

= 1 4 12 4 16 4 1 12 64 2 , b ,

Maka luas daerahnya L D D a L = = ⋅ = 6 64 64 6 1 256 3 2 2 satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 _{+ 2y – 1 dengan x = -y}2 _{+ 7y – 3.}

Jawab:

Memenuhi syarat. Daerah dibatasi oleh dua fungsi kuadrat. Membentuk fungsi selisih

x y y y y x y y =

(

+ −

)

− − +

(

−

)

= − + 2 2 2 2 1 7 3 2 5 2

15

a = 2, b = -5, c = 2 maka D = b2 _{– 4ac = 9}

Maka luas daerahnya L D D a = = ⋅ = 6 9 9 6 2 9 8 2 2 satuan luas

LATIHAN SOAL

1.

_∫

₍

_{x+1 2}

₎

₍

_x−3

₎

_dx= 1 3 .... A. 26 3 B. 25 3 C. 23 3 D. 22 3 E. 21 3 2. 2 2 1 4 _{x x} x dx + ₌

∫

.... A. 442 15 B. 441 15 C. 432 15 D. 412 15 E. 402 15 3. Bila f(x) 1 6 7

∫

dx= dan 3f(x) 6 4 6

∫

dx= maka 2f(x) 4 1

∫

dx ....=

16

A. -16 B. -18 C. -20 D. -22 E. -24 4. Diketahui 2f(x) 2 3 10

∫

dx= , 1 2 2 2 3 g(x)

∫

dx= maka nilai dari f(x) g(x)

_∫

(

−

)

2 3 dx adalah .... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 5. 4 5 5 2 x dx a −

(

)

=

∫

, maka nilai a adalah .... A. 3

B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

6. Perhatikan gambar berikut!

8 x

y

y= 2x

Luas daerah arsiran diatas adalah .... satuan luas. A. 60 3 B. 61 3 C. 62 3 D. 64 3 E. 70 3

17

7. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 _{+ 2, sumbu x, dan 2 < x < 3 adalah ....}

A. 30 3 satuan luas B. 28 3 satuan luas C. 27 3 satuan luas D. 26 3 satuan luas E. 25 3 satuan luas 8. Perhatikan gambar berikut!

y x 2 y = x y x = 12

Luas daerah arsiran di atas adalah .... satuan luas. A. 4 B. 3 C. 5 2 D. 2 E. 1

9. Luas daerah pada gambar di bawah adalah .... satuan luas.

2

2

y = 2 – x y = x2

18

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

10. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 – x2 _{dengan y = 3x – 1 adalah .... satuan luas.}

A. 323 6 B. 342 6 C. 343 6 D. 360 6 E. 376 6

19

KUNCI JAWABAN

LATIHAN SOAL

1. D 6. D 2. A 7. E 3. B 8. E 4. B 9. C 5. A 10. C