Matematika Integral

(1)

Makal

“

BAGU BAGU BAGU BAGUBAGUBAGU BAGU BAGU

S

JL. D

h matemati

Integral

I

n

t

e

g

r

a

l

”

Di Susun Oleh: Di Susun Oleh:

GELIS PRATAMA PUTRA GELIS PRATAMA PUTRA GELIS PRATAMA PUTRA GELIS PRATAMA PUTRAGELIS PRATAMA PUTRAGELIS PRATAMA PUTRA GELIS PRATAMA PUTRA GELIS PRATAMA PUTRA

XII IPA 4 / 07 XII IPA 4 / 07

AN 3 SIDOARJO

R

R... WAHIDIN NO. 130

. WAHIDIN NO. 130

WAHIDIN NO. 130

SIDOARJO

www.sman3sda.sch.id www.sman3sda.sch.id

a

(2)

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME

Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya,yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika

sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini.tentang integral ini.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber. tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber. Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini. pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis menerima berbagai saran dan kritikan

menerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Sidoarjo,Nove

Sidoarjo,November mber 20102010 Penulis Penulis

(3)

3 3

DAFTAR ISI

INTEGRAL INTEGRAL KATA PENGANTAR ... 2 KATA PENGANTAR ... 2 DAFT

DAFTAR AR ISI ISI ... .... 33 BAB

BAB I PENDAHULUAN I PENDAHULUAN ... . 44 A.

A. LATAR BELAKANG ... 4LATAR BELAKANG ... 4 B.

B. TUJUTUJUAN AN ... ... 44 BAB

BAB II II MATERI MATERI POKOK POKOK ... . 55 A.

A. PENGERTIAN INTEGRAL ... 5PENGERTIAN INTEGRAL ... 5 B.

B. INTEGRAL TAK TENTU ... 6INTEGRAL TAK TENTU ... 6 1.

1. Penyelesaian cara biasa ... 7Penyelesaian cara biasa ... 7 2.

2. Penyelesaian cara subtitusi ... 8Penyelesaian cara subtitusi ... 8 3.

3. Integral Parsial ... 8Integral Parsial ... 8 C.

C. Integral Tertentu ... 9Integral Tertentu ... 9 D.

D. Integral Luas Daerah ... 11Integral Luas Daerah ... 11 1.

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ... 11Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ... 11 2.

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x... 12Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x... 12 3.

3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi KurvaMenentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Y=F(X) Dan SumbuDan Sumbu X X ... ... 1414 4.

4. Luas Daerah yanLuas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva g Terletak Diantara 2 Kurva ... ... 1515 E.

E. Menentuka Volume Benda Putar ... 17Menentuka Volume Benda Putar ... 17 1.

1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ...Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ... 17... 17 2.

2. Menentukan Volume Benda Putar yang Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y diputar Mengelilingi Sumbu y ... 18... 18 3.

3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva... 20Volume Benda Putar antara Dua Kurva... 20 BAB III PARADE LATIHAN SOAL ... 22 BAB III PARADE LATIHAN SOAL ... 22

A.

A. ParaParade de Soal Soal ... ... 2222 B.

B. Kunci jawaban ... 27Kunci jawaban ... 27 BAB

BAB IV IV PENUPENUTUP ...TUP ... ... 2828 A.

A. RangRangkumakuman n ... ... 2828 B.

(4)

4

BAB

I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematikauniversal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis mendaji salah satu

secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk

termasuk ilmu ilmu alam, alam, teknik, teknik, kedokteran/medis, kedokteran/medis, dan dan ilmu ilmu sosial sosial seperti seperti ekonomi,ekonomi, dan

dan psikologi. psikologi. Matematika Matematika terapan, terapan, cabang cabang matematika matematika yang yang melingkupi melingkupi penerapanpenerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan

temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru,

disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawanteori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika

juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk murni, atau matematika untuk perkembaperkembangan matematika itungan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni

latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika

dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integralintegral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki

tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan.batasan –batasan.

Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian

juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian.. Dengan mengajarkan MatematikaDengan mengajarkan Matematika khususnya dalam hal

khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat mintegral diharapkan peserta didik dapat menerapkanenerapkannya dalam kehidupannya dalam kehidupan sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan

sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebihpendidikan pada tingkat yang lebih tinggi.

tinggi.

B. TUJUAN

Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta didik adalah sebagi berikut :

didik adalah sebagi berikut : 1.

1. Agar Peserta Agar Peserta didik dapat didik dapat memahami konmemahami konsep intrgral sep intrgral tak trentu dan tak trentu dan integral tenintegral tentu.tu. 2.

2. Agar peserta Agar peserta didik dapadidik dapat menghitung t menghitung Integral tak tenIntegral tak tentu dan integrtu dan integral tentu dari al tentu dari fingsifingsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 3.

3. Agar peserta dAgar peserta didik dapat idik dapat menggunakmenggunakan an Integral untuk menghitung luas Integral untuk menghitung luas daerah di daerah di bawahbawah kurva dan volume benda putar.

kurva dan volume benda putar. 4.

4. Membantu peMembantu peserta didik serta didik dalam memahadalam memahami dan mengumi dan menguasai materi Integasai materi Integral.ral. 5.

(5)

B

Mind Map Mind Map

A. PENGERTIAN INTE

Integral dapat di artikan s Integral dapat di artikan s menyusul ditemukannya masal menyusul ditemukannya masal bagaimana menyelesaikan mas bagaimana menyelesaikan mas integral adalah

integral adalah

‘‘

∫∫

’’

.. Agar lebih dapat di m

Agar lebih dapat di mengertiengerti F F11(x) = x(x) = x22+ + 5x 5x – – 6 6 mama F F22(x) = x(x) = x22+ + 5x 5x + + 12 12 mama F F33(x) = x(x) = x22+ + 5x 5x + + mama

Pada fungsi-fungsi yang Pada fungsi-fungsi yang sama.

sama.

Operasi dari F(x) menja Operasi dari F(x) menja sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x Tu Tu

Y

Int Int Pengertian

Pengertian CaraCara integral integral

p

paarrssiiaal l ssuubbttiittuussii

B

II

MATERI

POKOK

RAL

bagai k

bagai kebalikan ebalikan dari proses dari proses diferensiasi. Intdiferensiasi. Int h dalam diferensiasi di mana matematikawa h dalam diferensiasi di mana matematikawa alah yang berkebalikan dengan solusi difere alah yang berkebalikan dengan solusi difere perhatikan pernyataan berikut :

perhatikan pernyataan berikut : ka ka FF11’(x) = 2x + 5’(x) = 2x + 5 ka ka FF22’(x) = 2x + 5’(x) = 2x + 5 ka ka FF33’(x) = 2x + 5’(x) = 2x + 5

berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan i F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangk i F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangk ) disebuit dengan INTEGRAL (anti

) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan)turunan)

unan Turunan unan Turunan

Y’

Y”

Y’

Y”

gral Integral gral Integral

Integral

biasa biasa aplikasi aplikasi panjang panjang busur busur luas luas v v 5 5 egral ditemukan egral ditemukan n harus berpikir n harus berpikir siasi. Lambang siasi. Lambang / derivatif yang / derivatif yang n untuk operasi n untuk operasi lume lume

(6)

6

B. INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak t

Integral tak tentu atau antidentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi erivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegrapengintegralan suatu flan suatu fungsiungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.

tentu ini disebut integral tak tentu.

Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral : Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral :

•



 = 

=  

•

  (()) (())

 ==   (())

  (())

•





 =

 =











•





 =

 =









Integral Tak Tentu dari Fungsi

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Trigonometri

Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat kembali turunan

fungsi-kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagfungsi trigonometri sebagaimana diperlihaimana diperlihatkan dalam tabel atkan dalam tabel berikutberikut

Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa: Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa:

F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trig

dari fungsi-fungsi trigonometri daponometri dapat dirumuskan sebat dirumuskan sebagai berikut agai berikut ::

No

F(x)

F’(x)

=

f(x)

1

1 Sin

Sin x

x

Cos

Cos x

x

2

2 Cos

Cos x

x

-Sin

-Sin x

x

3

3 Tan

Tan x

x

Sec

22

x

4

4 Cot

Cot x

x

-Cosec

22

x

5

5 Sec

Sec x

x

Tan

Tan x.Secx

x.Secx

6

6 Cosec

Cosec x

x

-Cot

-Cot x.Cosec

x.Cosec x

x

 

 =

 =   

 



 = 

=   

 

 







 =

 =   

 









 =

 = 

+c+c  

  =

 =   

(7)

7

Sedangkan aturan integral tak tentu

Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudutdari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :

ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :

Dalam penyelesaianny

Dalam penyelesaiannya integral tak a integral tak tentu memiliki 3 tentu memiliki 3 cara penyelesaian :cara penyelesaian :

1.

1. PenyelesaiaPenyelesaian n cara cara biasabiasa Secara umum:

Secara umum: jika

jika



′ ′

==



_

atauataudy=y’dx dy=y’dx makamaka

 =  =

 =  = 



Jadi dapat disimpulkan :

Dengan

x≠-1

Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi trigonometri, maka : trigonometri, maka : = =



 == 







  

= =



 ==





 

 

Contoh soal : Contoh soal : 1. 1.

   





 == 







 ==

_















==

11 11



33

==



33



33 







2. 2.

((3

3 11)) == (

(



 )

) = 

 = 







 





_{ =}

_{ = 11}

   11 



 

 



((   )) =

 =



_



((  ))  

 



(( 

 )) =

 =



_



((   )) 

 







((   ))

 ==



_



((  )) 

 







((  

  ))  == 







((   )) 

 



((   ))

((   ))

 ==

_



((  )) 



 



(  )

(  )

((  

  )) =

 =



_



((   )) 

(8)

8

2.

2. Penyelesaian Penyelesaian cara cara subtitusisubtitusi

Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi ada 2 yaitu salah satu bagian

ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanydimisalkan dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harusa yang lain (termasuk dx) harus diubah dalam du.

diubah dalam du. Bentuk umumnya:

Bentuk umumnya:

(())..(())



Misal

 = ()

dandan

 = 



(())

didapatdidapat Contoh:

Contoh: 1.

1.

((



 ))



 = 

Misal :

  =

= 



 

dandan

 = 

Di dapat :

((



 ))





 =

 = (())



 =

 =



_





  ==



_

((



 ))



2.











 = 

Misal :

  ==





dandan



 ==







Di dapat :











 =

 =





 ==









   ==





((





)) 

3.

3. Integral Integral ParsialParsial

Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi Integral.

operasi Integral.

Bentuk rumus : Bentuk rumus :

Bagian

Bagian uu dikerjakan operasi turunan dan bagiandikerjakan operasi turunan dan bagian dydy dikerjakan operasi integral, dengan bentukdikerjakan operasi integral, dengan bentuk





lebih sederhana dari bentuklebih sederhana dari bentuk





..

(())



(9)

9 9 Contoh : Contoh : 1. 1.

3

3 =

 = 

= =



  



= =

((33))















((3

3)) ==





 

 









= =







 







2. 2.

∫ ∫

((33 x x++11))cos 2cos 2 x dx = ... x dx = ... Diferensial Integral Diferensial Integral 3x 3x + + 1 1 Cos Cos 2x2x 3 3





sin 2xsin 2x 0 0





_

Cos 2xCos 2x

∫ ∫

((33 x x++11))cos 2cos 2 x dx = x dx = 11 / / ₂₂(3x +1)sin 2x - (-(3x +1)sin 2x - (-33 / / ₄₄cos 2x) + Ccos 2x) + C =

= 11 / / ₂₂(3x +1)sin 2x +(3x +1)sin 2x + 33 / / ₄₄cos 2x) + Ccos 2x) + C

C. Integral Tertentu

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.

Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.

Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integra

Sebab berbeda dengan integral tak tentu l tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentuyang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil

) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.integral dan menghasilkan nilai tertentu.

Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut :

sebagai berikut :

Jika f kontinu pada [a,b], maka

Jika f kontinu pada [a,b], maka (( )) [[ (( )])] F F ((bb)) F F ((aa)) a a b b x x F F dx dx x x f f b b a a − − = = = =

∫ ∫

dengan F antiturunandengan F antiturunan sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.

sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f. u = 3x dan du = 3 dx

u = 3x dan du = 3 dx dv = cos 2x dan v = dv = cos 2x dan v =



(10)

10

Suatu fungsi

Suatu fungsi f f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadiyang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n n bagian yangbagian yang sama dengan lebar.

sama dengan lebar.

Jika di dalam subinterval

ke-Jika di dalam subinterval ke-I I [x[xi-1i-1, x, xii] dan ada, maka limit ] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan denganitu dapat dinyatakan dengan

yang didefinisikan sebagai integral tertentu

yang didefinisikan sebagai integral tertentu f f daridari a a sampaisampai b b

SIFAT : SIFAT :

Jika f(x)

Jika f(x)≥≥0 dalam interval a 0 dalam interval a ≤≤x x ≤≤b, maka b, maka ≥≥0 0 Jika f(x)

Jika f(x)≤≤0 dalam interval a 0 dalam interval a ≤≤x x ≤≤0, maka 0, maka ≤≤0 0

Contoh : Contoh : 1. 1.

   = 

 = 

 



















= 

= 11  





=

= 1

1





..  ((

_



  33))

 ==

=x



–3x)



=={{(())



–3()}–{(1)



–3(1)}

=={{88--}}–– {{--33}}

==11 ==33

∫ ∫

bb a a

dx

x

f

((

))

f

xx

ii n n ii n n

∆

=

∑

= = ∞ ∞ → →

))

((

1 1

lim

ε

∫ ∫

< < < < + + = = = = = = b b a a cc a a b b cc b b a a b b a a b b a a b b cc a a dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x f f k k dx dx x x kf kf dx dx x x f f ,, )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( 0 0 )) ((

∫ ∫

− − = = ± ± = = ± ± b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x g g dx dx x x f f dx dx x x g g x x f f )) (( )) (( )) (( )) (( )) )) (( )) (( ((

(11)

11

D. Integral Luas Daerah

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2. sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2. Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap anggota

anggota L. L. Tampaknya Tampaknya masuk akal masuk akal untuk untuk mendefinisikan mendefinisikan ‘luas ‘luas daerah’ daerah’ di bawdi bawahah kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L, kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L, yakni sup L.

yakni sup L.

1.

1. Menentukan Luas Menentukan Luas Daerah Daerah di di Atas Atas Sumbu-xSumbu-x

Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis

Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b ,x=a, dan raris x=b , dengan F(x)

(12)

12

Contoh : Contoh : 1.

1. Hitunglah Hitunglah luas yluas yang dang dibatasi oleibatasi oleh kurvah kurva y=x y=x , sumbu, sumbuXX, garis, garisx=1 x=1 dan garisdan garis x= x= !!

Jawab : Jawab :

jadi,

jadi, luasny luasny adalah adalah satuan satuan luasluas

2.

2. TentukanTentukanlah luas lah luas daerah yang daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sudan sumbu ymbu y Jawab: Jawab: = -{8-16} = -{8-16} = 8 SL = 8 SL 2.

2. Menentukan Luas Menentukan Luas Daerah Daerah di di Bawah Bawah Sumbu-xSumbu-x

Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva

Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y=f(x) y=f(x) , sumbu, sumbu x,x, garisgaris x= x= , dan, dan garis

garis x=b,x=b, dengandengan F(x)≤ F(x)≤ pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahaspada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah sebagai

(13)

13

Contoh : Contoh :

1. Tentukanlah

1. Tentukanlah luas luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh garis garis , , sumbu sumbu x, x, garis garis x=4, x=4, dandan sumbu y.

sumbu y. Jawab: Jawab:

Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah

(2-8) (2-8)

2.

2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbuHitunglah luas daerah di bawah sumbu X X _{yang dibatasi oleh kurva}_{yang dibatasi oleh kurva y=-x}_{y=-x , sumbu}_{, sumbu X}_X dan_dan garis

garis x= x= .. Jawab: Jawab:

(14)

14 14 3. 3. 3. 3.3.3. 3.

3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi KurvaMenentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Y=F(X) Dan SumbuDan SumbuXXXXX X X X

Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [

garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], maka luas daerah T adalahmaka luas daerah T adalah sebagai berikut:

sebagai berikut:

Contoh : Contoh :

1.

1. Tentukan luTentukan luas daerah as daerah yang dibayang dibatasi oleh tasi oleh kurva y=f(x)= kurva y=f(x)= - sin x, 0- sin x, 0≤≤xx≤≤2 2 dadan sn sumumbu bu x.x. Jawab:

Jawab:

luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0

0≤≤xx≤≤2 2 dadan sun sumbmbu x au x adadalalah :h : = = = = = = = = = =

(15)

15

2.

2. Hitunglah Hitunglah luas daeluas daerah yrah yang dibataang dibatasi oleh si oleh kurva y=4kurva y=4x-xx-x22, sumbu X, garis x=0, , sumbu X, garis x=0, dan garisdan garis x=6! x=6! Jawab: Jawab: L L11== L L22==

Jadi, luas total

Jadi, luas total adalah:adalah:

4.

4. Luas Luas Daerah yang Daerah yang Terletak Diantara Terletak Diantara 2 2 KurvaKurva

Luas Daerah

Luas Daerah U pada gaU pada gambar diatas mbar diatas adalahadalah

L(U) = Luas ABEF –

L(U) = Luas ABEF – Luas ABCDLuas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a,

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a, x=b, dan y=0 sehinggax=b, dan y=0 sehingga

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0 Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0 sehingga

sehingga

Dengan demikian, luas daerah U

(16)

16

Contoh: Contoh:

1.

1. Tentukan Tentukan Luas daeLuas daerah yanrah yang dibatasi g dibatasi oleh kuoleh kurvarva Jawab:

Jawab:

Sebelum mencari luasnya, kita t

Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahulientukan terlebih dahuli titik poting kedua kurva

titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batastersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas

atas dan batas bawhnya:bawhnya:

Sehingga batas-batasbnya adalah

Sehingga batas-batasbnya adalah , maka luasnya adalah:, maka luasnya adalah:

= = 2.

2. Tentukan Luas Tentukan Luas daerah daerah yang yang diarsir diarsir !!

Jawab:

Jawab: Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= xCari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 22- 2x- 2x Sebelum mencari luasnya, kita tentukan t

Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli titikerlebih dahuli titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas bawhnya:

dan batas bawhnya: 3x = x 3x = x22- 2x- 2x x x22- 5x = 0- 5x = 0 x(x - 5) = 0 x(x - 5) = 0

didapat titik potong di x = 5 dan x = 0

(17)

17

E. E. Menentukan Volume

Menentukan Volume Benda Putar

Benda Putar

Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis : Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis :

Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan

Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan sebagai berikut:sebagai berikut:

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka

jari-jari

jari-jari yang yang dimaksud dimaksud merupakan merupakan sebuah sebuah fungsi fungsi dalam dalam misalnya misalnya f(x).f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai :

Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai :

1.

1. Menentukan Menentukan Volume BenVolume Benda Putar da Putar yang Diputyang Diputar Mengear Mengelilingi sumbu Xlilingi sumbu X

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a<b, maka f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a<b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu X adalah :

R mengelilingi sumbu X adalah :

Contoh: Contoh:

1.

1. Tentukan volum benda putar Tentukan volum benda putar jika daerah yang jika daerah yang dibatasi oleh kurvadibatasi oleh kurva

Jawab: Jawab:

V

(18)

INTEGRAL Matematika INTEGRAL Matematika 18 18 e e 2.

2. Volume benda Volume benda putar yang putar yang terjadi jika daerah terjadi jika daerah yang dibatasi kurva yang dibatasi kurva y=xy=x22dan y= xdan y= x22dandan y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x s

y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360°ebesar 360° Jawab :

Jawab :

2.

2. Menentukan Menentukan Volume BenVolume Benda Putar da Putar yang diputayang diputar Mengelilingi r Mengelilingi Sumbu ySumbu y

Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang yang mengelilingi sumbu

yang mengelilingi sumbu X X saja, namun dapat pula menentukan volume benda putarsaja, namun dapat pula menentukan volume benda putar sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu

sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu Y Y . Untuk Itu perhatikan daerah yang. Untuk Itu perhatikan daerah yang dibatasi kurva x=f(y

dibatasi kurva x=f(y), ), sumbu y, garis x=a, dan sumbu y, garis x=a, dan garis x=b yang diputar dgaris x=b yang diputar dengan sumbuengan sumbu Y Y

sebesar 360

sebesar 360oo. Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang. Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang diputar mengelilngi sumbu

(19)

19

Contoh: Contoh: 1.

1. TeTentuntukakan n vovolulume me bebendnda a puputatar r jijika ka dadaererah ah yayang ng didibabatatasi si ololeh eh kukurvrva a yy , , susumbmbu u y,y, garis x=2, dan y=-1 diputar 360

garis x=2, dan y=-1 diputar 360ooterhadap sumbu x!terhadap sumbu x! Jawab :

Jawab :

2.

2. Hitunglah Hitunglah volume volume benda benda putar putar yang yang terjadi terjadi jika jika daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi kurva kurva ,, sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360

sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360oo.. Jawab : Jawab : V= V= = = = = = = Jadi

(20)

20

3.

3. Volume Volume Benda Benda Putar Putar antara antara Dua KurDua Kurvava

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang k

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu dan nonnegativ sedemikian sehinggaontinu dan nonnegativ sedemikian sehingga untuk [

untuk [,b,b]. ]. L L adalah adalah daerah daerah yang yang di di batasi batasi dan dan garisgaris x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360oo _,,

maka volume benda yang ter j

maka volume benda yang ter jadi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.adi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.

Contoh : Contoh :

1.

1. Hitunglah Hitunglah volume volume benda benda putar putar yang yang terjadi terjadi jika jika daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi kurva kurva dandan di putar mengelilingi sumbu X

di putar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh.satu putaran penuh. Jawab:

Jawab:

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut. Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut.

Sehingga

Sehingga batas-batbatas-batas as daerahnya daerahnya adalah adalah dan dan dengan dengan dem,ikian dem,ikian volumevolume yang dimaksud adalah:

yang dimaksud adalah: V= V= = = = = = = Jadi

(21)

21

2.

2. Tentukan Tentukan volume volume benda benda putar putar jika jika daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh kurva kurva , , sumbusumbu x, garis x=0, dan garis x=4

x, garis x=0, dan garis x=4 diputar 360diputar 360ooterhadap sumbu yterhadap sumbu y Jawab: Cari Titik Potong

Jawab: Cari Titik Potong

dan garis x=4 dan garis x=4

Substitusi

Substitusi x=4 x=4 ke ke persamaan persamaan sehingga sehingga diperolediperolehh

Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0. Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0.

Ubah

Ubah persamaan persamaan menjadi menjadi persamaan persamaan dalam dalam variabel variabel y y sehinggasehingga

Jadi,

(22)

22

BAB III PARADE L

ATIHAN SOAL

A. Parade Soal

1.

1. Nilai Nilai daridari

 ((33

_



33  ))



adalah...adalah... a. 12 a. 12 b. 16 b. 16 c. 10 c. 10 d. d. 66 e. e. 44 2. Jika

2. Jika

 (()) == ((



   ))



dandan

 (()) =

= 

makamaka

 (()) ==

... a. a.









 



    

b. b.









 



    

c. c.









 



    

d. d.









 



    

e. e.









 



    

3. Jika

  

 

dandan

 ((

_



  33)) = 1

 = 1

, maka nilai, maka nilai b b adalah...adalah... a. a. 22 b. b. 33 c. c. 44 d. d. 55 e. e. 66 4. Jika

4. Jika

 ((1 1 )) = 

_



 = 

maka nilaimaka nilai



adalah...adalah... a. a.

3

b. b.



c. c.



d. d.

11

e. e.



_

5.

5. Nilai Nilai daridari

 (





(



)

adalah…adalah… a. a.

1

1 







b. b.

11 



_



c. c.



 







d. d.

 



_



e. e.

 







6.

6. Luas bidLuas bidang yang yang dang dibatasi olibatasi oleh graeh grafikfik

 = 



 

dan sumbudan sumbu x x adalah…adalah… a. a.







b. b.

_





c. c.







d. d.

_







_{}

(23)

23

7.

7. Daerah Daerah yang yang bi bi batasi batasi oleh oleh kurva kurva yan yan diputar diputar mengalilingimengalilingi su

sumbmbu- u- sesejajauh 3uh 36060oo. Volume benda yang terjadi . Volume benda yang terjadi adalah...adalah... a. a. b. b. c. c. d. d. e. e. 8.

8. Lua Lua daerah daerah yang yang terbatterbatas as dibawah ini dibawah ini adalah..adalah....

a. a. b. b. c. c. d. d. 22 e. e. 11 9.

9. Panjang Panjang busur busur kurva kurva dari dari sampai sampai adalah...adalah... a. a. b. b. c. c. d. 16 d. 16 e. e. 10.

10. LuaLuas s daedaerah rah yayang ng dibdibataatasi si ololeh eh sumsumbu bu kurkurva va , , dadan n kurkurvava adalah... adalah... a. a. 33 b. 36 b. 36 c. 54 c. 54

(24)

24

11.

11.Hasil dariHasil dari

 ((

_









))



adalah...adalah...

a.





b.





c.





d.







e.







12. Luas daerah pada kuadran I yang

12. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurvadibatasi oleh kurva

  =

= 



    33

, garis, garis

   33    = 

= 

, dan sumbu, dan sumbu



adalah..adalah.. a. a.









b. b.





_



c. c.









d. d.

33 





e. e.









13. Hasil 13. Hasil

∫ ∫

== ... 2 2 1 1 cos cos .. 2 2 x x xdxxdx a.

a. 4x 4x sin sin ½ ½ x x + 8 + 8 cos cos ½ ½ x x + + CC b.

b. 4x 4x sin sin ½ ½ x x – – 8 8 cos cos ½ ½ x x + + CC c.

c. 4x 4x sin sin ½ ½ x x + 4 + 4 cos cos ½ ½ x x + + CC d.

d. 4x 4x sin sin ½ ½ x x – – 8 8 cos cos ½ ½ x x + + CC e.

e. 4x 4x sin sin ½ ½ x x + 2 + 2 cos cos ½ ½ x x + + CC 14. Nilai

14. Nilai

∫ ∫

x x..sin(sin( x x22 ++11))dxdx==... a. a. cos cos ( ( xx22+ 1 ) + C+ 1 ) + C b. b. cos cos ( ( xx22+ 1 ) + C+ 1 ) + C c. c. –½ –½ cos cos ( ( xx22+ 1 ) + C+ 1 ) + C d. d. ½ ½ cos cos ( ( xx22+ 1 ) + C+ 1 ) + C e. e. 2cos 2cos ( ( xx22 + 1 ) + C+ 1 ) + C 15.

15.Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurvaVolume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

  =

= 



 11

dandan sumbu

sumbu

 

daridari

 = 1

sampaisampai

  =

= 11

dipurar mengelilingi sumbudipurar mengelilingi sumbu

 

sejauh 360sejauh 360oo_adalah.._adalah..

a. a.

_





b. b.

_





c. c.







d. d.







e. e.



_



(25)

25

16.

16.Nilai Nilai dari dari adalah...adalah...

a. a. b. b. c. c. d. d. e. e. 17.

17.Daerah Daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh kurva kurva dan dan garis garis diputardiputar men

mengelilingelilingi sgi sumbumbu u sejauh sejauh 360360 . Vo. Volume lume bendbenda pa putar utar yang yang terjaterjadi adi adalahdalah.... a. a. b. b. c. c. d. d. e. e. 18.

18.

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a.

22

_//

₃₃

b.

b. 33

c.

3 3 1 1 5 5

d.

3 3 2 2 6 6

e.

e. 99

(26)

26

19.

19.Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a.

2 2 1 1 4 4

b.

6 6 1 1 5 5

c.

6 6 5 5 5 5

d.

6 6 1 1 13 13

e.

6 6 1 1 30 30 20.

20.

Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

a.

a. 55

b.

3 3 2 2 7 7

c.

c. 88

d.

3 3 1 1 9 9

e.

3 3 1 1 10 10

(27)

27 27

B. Kunci jawaban

1. 1.

B

2. 2.

A

3. 3.

D

4. 4.

A

5. 5.

B

6. 6.

D

7. 7.

C

8. 8.

D

9. 9.

B

10. 10.

B

11. 11.

C

12. 12.

B

13. 13.

A

14. 14.

C

15. 15.

C

16. 16.

B

17. 17.

D

18. 18.

D

19. 19.

C

20. 20.

D

(28)

28 28

BAB IV PENUTUP

A. Rangkuman

I.

I. Integral Integral tak tak tentutentu

Beberapa aturan dalam penyelesaian integral: Beberapa aturan dalam penyelesaian integral:

•



 = 

=  

•

  (()) (())

 ==   (())

  (())

•





 =

 =











•





 =

 =









Integral trigonometri

Fungsi-fungsi integral trigonometri: Fungsi-fungsi integral trigonometri:



 Penyelesaian cara biasaPenyelesaian cara biasa  

 =

 =   

 

 =

 =  

 

 







 =

 =   

 









 =

 = 

+c+c  

 =

 =   

 



((  

  )) =

 =

_





((  

  )) 

 

 



((  )) =

 =



_



((   )) 

 







((   ))

 ==

_





((  

  )) 

 

 







((

 )) =

 =



_



((   )) 

 



((  

  ))

((  

  ))

 ==







((   ))  

 

(

(  ))((

 )) =

 =

_





((  

  )) 

 





_{ =}

_{ = 11}

   11 



 

(29)

29



 Penyelesaian cara subtitusiPenyelesaian cara subtitusi

Misal

 = ()

dandan

 = 



(())

didapat :didapat :



 Integral ParsialIntegral Parsial

Bagian

Bagian uu dikerjakan operasi turunan dan bagiandikerjakan operasi turunan dan bagian dydy dikerjakan operasi integral,dikerjakan operasi integral, dengan bentuk

dengan bentuk





lebih sederhana dari bentuklebih sederhana dari bentuk





.. II.

II. Integral Integral TertentuTertentu 1.

1. Bentuk Bentuk umum umum integral integral tertentu tertentu

(()) = 



 = (()) ()

()



Rumus-rumus integral tertentu: Rumus-rumus integral tertentu:



(()) =

 =  (())











(

((()) (()))



)



(

((()) (()))



)



(

((()) = 



 = 



(())

 =

= (())











(())



 = 

 =   



(30)

30

 

_



(()) = 

 =  (())

_



di mana f fungsi genapdi mana f fungsi genap

 

_



(()) = 

 = 

di mana f fungsi ganjildi mana f fungsi ganjil 2.

2. Rumus Rumus Luas Luas Daerah (L) Daerah (L) yang teyang terletak rletak a.

a. Di Di atas atas sumbu sumbu xx

(()) =

=(())







b.

b. Di Di bawah bawah sumbu sumbu xx

(()) ==  (())

_



c.

c. Di Di atas dan atas dan di di bawah bawah sumbu xsumbu x

(()) ==  (()) 

_



  (())

_



d.

d. Di Di antara antara 2 2 kurvakurva

() = (

() = ((()) (()))



)



3.

3. Volume Volume Benda Putar Benda Putar (V) (V) yang Diputar yang Diputar Mengelilingi Mengelilingi a. a. Sumbu Sumbu xx

 =

 = (

((())))





_



b. b. Sumbu Sumbu yy

 =

 =   (())









c.

c. Sumbu Sumbu x dax dan diban dibatasi kurva tasi kurva f(x) dan f(x) dan g(x)g(x)

(()) = 

=   (())









 (((())))



_

d.

d. Sumbu y Sumbu y dan dibatasi dan dibatasi kurva f(y) kurva f(y) dan dan g(y)g(y)

(

() = 

) =   (())







((())))

(



_

(31)

31

B. Rekomendasi

Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran matematika pada umumnya dan integral pada khususnya :

matematika pada umumnya dan integral pada khususnya : 

 Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering diHendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering di beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di

beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagiberikan tidak terlalu menyulitkan bagi peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa

peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa menyelesaikan tugas denganmenyelesaikan tugas dengan baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini.

baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini. 

 Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikanguru memberikan pembelajaran yan

pembelajaran yang merata bagi g merata bagi seluruh siswa di kelas. seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihakDan hendaknya pihak guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian sudut kelas yang lainnya

sudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam prosessering terbengkalai sehingga dalam proses pembelajaran bagia

pembelajaran bagian sudut kelas n sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik.tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik. 

 Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak mHendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenisemberikan jenis-jenis soal yang terlalu rumit/susah dan t

soal yang terlalu rumit/susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soalerkesan sangat berbeda dengan soal-soal latihan yang sederhana dan

latihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehinggadiberikan selama proses pembelajaran. Sehingga soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh peserta didik.

(32)

32

Terkadang bukanny