RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

INTEGRAL

A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU

Jika kita mengambil buku dari tempatnya maka kita dapat mengembalikannya lagi ke tempat semula. Operasi yang kedua ”menghapus” operasi yang pertama. Kita katakan bahwa dua operasi tersebut adalah operasi balikan (invers). Dalam matematika banyak sekali ditemukan pasangan operasi invers, yaitu penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Sekarang kita akan mengkaji operasi invers dari derivatif yaitu antiderivatif.

1.1. Definisi

F(x) dinamakan antiderivatif dari suatu fungsi f(x) dalam interval [a, b] jika untuk setiap titik dalam interval tersebut berlaku:

 

 

'

F

x



f x

. 1.2. Contoh:

Misal diberikan fungsi f(x) = x5. Dari definisi di atas maka F(x) =

6 6 x , karena berlaku:

 

6 '

1

6 1 5

'

.6.

6

6

x

F

x





_



_



x





x





pada

(



,



)

. Perhatikan bahwa jawaban tersebut ternyata bukan satu-satunya jawaban yang benar, karena berlaku F(x) =

6 6 x + 7 maupun F(x) = 6 6 x _

7 juga jawaban yang benar, sehingga untuk

contoh ini jawaban umumnya adalah F(x) =

6

6 x

+ c.

Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:



f(x)dx = F(x) + c.

Integral tersebut dinamakan “integral tak tentu”, karena hasilnya masih memuat c (suatu konstanta).

Dalam hal ini:

a) f(x) disebut sebagai integran.

b) F(x) disebut sebagai elemen integrasi. c) c disebut sebagai konstanta integrasi.

Secara umum, anti derivative dapat kita nyatakan sebagai berikut:

B. Rumus-rumus Dasar

Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada integral tak tentu:

1.

1 , 1 1 n n x x dx c n n      



2.

dx

x dx

1

ln

x

c

x













3.



b dxbx c

4.



sin x dx cosx c

5.

sin



mx n dx



1 cos



mx n



c m     



6.



cos x dxsinx c

7.

cos



mx n dx



1 sin



mx n



c m    



8.



tan x dx ln cosx c

9.



cot x dxln sinx c

10.



sec x dxln secxtanx c

11.

2 2 sec tan cos dx xdx x c x   





12.

₂ co sec2 cot sin dx xdx x c x    





13.

sin

cos

1

sin

1

1

m m

x

xdx

x c

m











14.

cos

sin

1

cos

1

1

m m

x

xdx

x c

m



 







15.



sec tan x x dxsecx c

16.



csc cot x x dx cscx c

17.

x x e dx e c



18.



 c a a dx a x x ln

19.

1 ₂ arctan 1x  x c



20.

₂dx ₂ 1arctanx c a a a x  



21.



     a x c x a a x a dx ln 2 1 2 2

22.









x

x

c

dx

arcsin

1

2

23.

2 2

arcsin

dx

x

c

a

a

x









24.

2

arcsec

1

dx

x c

x x









25.













a

x

x

a

c

x

dx

2 2 2 2

ln









f (x)dx

f(x)

C

Contoh: a)

_

_x5 _... Jawab: Perhatikan bahwa:     



_{x dx}n 1 _xn 1 _{c, syarat n -1} n 1 Dengan demikian,      



_{x dx}5 1 _x5 1 _c 1_x6 _c 5 1 6 b)



2x23x 4dx ...  Jawab: Perhatikan bahwa:     



_{ax dx}n a _xn 1 _{c, syarat n -1} n 1 Dengan demikian, 2 2 3 3 2 2x 3x 4dx x x 4x c 3 2      



Latihan: 1.

_

x ... 2.



x 3 ...  3.



2x 4 ...  4.

_

_x2 _... 5.



x3 ... 6.



_4x5_... 7.

_

_x12 _... 8.



 5 9 x ... 9.



 3 4 5x ... 10.



_x2_{3x ...} 11.



x2  x 4 ... 12.



_2x2_{3x 2 ...}  13.



_4x3_3x2_{2x ...} 14.



4x55x42x6... 15.



_2x7_x8_2x9_...

Contoh:

C. Integral Substitusi

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral adalah metode substitusi, yaitu sebagai berikut: a)



x x



25 dx ...



4  Jawab: Perhatikan bahwa:







 







 2 2 d x 5 d x 5 2x xdx dx 2

Dari sini akan kita peroleh:















 











             







4 4 2 2 4 2 2 4 1 2 5 2 x x 5 dx x 5 xdx x 5 d x 5 1 x 5 c 4 1 1 _{x 5 c} 5 b)

_

x 3x2



35 dx ...



4  Jawab:





4 2 3 x 3x 5 dx ...



Substitusi 3 du 2 2 1 U 3x 5 9x x dx du dx 9       Sehingga diperoleh:









          



_{2 3} 4



₄ 4 1 5 5 3 1 x 3x 5 dx U du 9 1 1 U c 9 4 1 1_{U c} 45 1 _{3x 5 c} 45 Cara lain: Perhatikan bahwa:







 







 3 3 2 2 d 3x 5 d 3x 5 9x x dx dx 9

.

Dari sini akan kita peroleh:





n



f(x)



n 1 f '(x) f(x) dx c n 1     









 





 





 











                









4 4 2 3 3 2 3 4 3 4 3 3 4 1 3 5 3 x 3x 5 dx 3x 5 x dx d 3x 5 3x 5 9 1 3x 5 d 3x 5 9 1_. 1 _{3x 5 c} 9 4 1 1 _{3x 5 c} 45 Latihan: 1.



_{2x 3x}2



3_{1 dx ...}



2  2.





x 3 x





26x dx ...



4  3.





2x25x



6



20x 25 dx ...



 4.



_2x1₂_



2x2x dx ...



8  5.









_  _  1 2 2 1 3x 15 x 5x dx ... 2 6.





_18x2_{2 3x}



3_{x dx ...}



9  7.





_3x2_{2 x}



3_{2 dx ...}



1₂  8.





3x 2 3x





24x dx ...



7  9.







     



10 2 x x 5 5x dx ... 2 10.

_



_2x2_5x





_{4x 5 dx ...}



 D. Integral Parsial

Ada bentuk integral yang tidak mudah untuk diselesaikan dengan metode substitusi, yaitu bentuk



u dv. Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini, kita menggunakan metode parsial. Sebelumnya kita misalkan y = uv.

Perhatikan bahwa:

 

 

      y uv d uv dy dv du u v dx dx dx dx d uv u dv v du

Contoh:

 

     













d uv u dv v du uv u dv v du uv v du u dv

Dengan demikian, kita peroleh aturan untuk menyelesaikan integral parsial, yaitu sebagai berikut:

a)



3x sinx dx ...

Jawab:

Secara singkat penyelesaian integral tersebut adalah sebagai berikut:

















              











3x sinx dx 3 x sinx dx 3 x sinx dx 3 xd cosx 3 x cos x cos x dx 3 x cos x sin x c 3x cos x 3sin x c

Dengan demikian diperoleh:

_

3x sinx dx 3x cos x 3sinx c  . b)

_

x cosx dx….

Jawab:



misal : U = x dan dV = cos x dx dU = dx dan V = cos x dx V = sin x  









Dengan rumus: UdV = UV VdU

x cos x dx = x.(sin x) sin x dx = x.sin x + cosx+c

Cara lain:





x cos x 1 0 sin x - cos x Turunkan Integralkan

Maka diperoleh:



x cos x dx = x.sin x + cos x + c Latihan: 1.



2x sin 7x dx ...

 

 2.



3x cos 3x dx ...

 

 3.



x sin dx ...x  2 4.



3x sin2x dx ... 5.



x sin x-1 dx ...

 

 6.

_

_{2x sin x +1 dx ...}



2



 7.



x cos dx ...x  5 8.



x cos 1-x dx ...

 

 9.



5x cos 1-_ x₂_ dx ... 10.



_{x +1}2  2xe dx ... 11.



xe dx ...x  12.



_xe2x-1 _{dx ...} 13.



_{2x e dx ...}2 3x  14.



2x e dx ...3 5x  15.



_{2x e dx ...}5 -x  E. Integral Tertentu

Integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu memiliki batas untuk variable integrasi x, biasanya dinotasikan dengan:

 



b a f x dx

+

_

Contoh:

Teorema:

Jika f adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a,b], maka berlaku

 

_

 

_ 

 



 



b b a a f x dx F x F b F a

dengan F adalah antiderivatif dari f, yaitu F’(x) = f(x).

Sifat-sifat integral tertentu: a)

_

 

 a a f x dx 0 b)



 

 



 

b a a b f x dx f x dx c)



 





 





 

  c b b a c a f x dx f x dx f x dx, a c b d)

_

 



_

 

b b a a

k f x dx k f x dx

dengan k adalah konstanta.

e)



_

 



 

_ 



 





 

b a a a b b f x g x dx f x dx g x dx a)



 1 0 x dx ...

Jawab:

   _ _     



1 2 1 0 0 2 2 1 x dx x 2 1 1 1 0 2 2 1 0 2 1 2 b)







 2 0 3x x-2 dx ...

Jawab:





    _  _     _  _{ }  _     



2



2 2 0 0 2 3 2 0 3 2 3 2 3x x-2 dx 3x -6x dx x 3x 2 3.2 0 3.0 4 0 4

Aplikasi dari integral tertentu ini beberapa di antaranya untuk menghitung luas daerah di antara dua kurva dan menghitung volume benda putar. Kedua hal tersebut akan dibahas di sini.

5.1. Luas Daerah

Secara umum, langkah-langkah untuk menghitung luas daerah di antara dua kurva y1 dan y2 yaitu sebagai berikut:

a) Membuat sketsa kurva y1 dan y2 yang meliputi selang [a,b] yang diinginkan.

b) Memperhatikan selang tempat kurva verada, apakah di atas sumbu x atau di bawah sumbu y. c) Menghitung luas daerah di atas dan di bawah sumbu x dengan menggunakan integral tertentu

dengan cara terpisah. Jika ada yang hasilnya negatif maka harus dimutlakkan agar mendapatkan hasil yang positif, karena tidak mungkin luas hasilnya negatif.

d) Menjumlahkan hasil keduanya sehingga didapatkan luas total.

Perhatikan kedua gambar di bawah ini!









d kanan kiri c d 2 1 c L x x dy L x x dy    













b atas bawah a b 2 1 a L y y dx L y y dx    





Contoh:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y sinx, y cos x  dan sumbu x untuk 0 x 2    adalah… Jawab: 4 2 4 0

Luas sin xdx cos xdx

 











2.

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x seperti gambar adalah 32. Ordinat puncak parabola adalah …

Jawab:

4 L a b 3          4 Luas 2 b 3 8b 32 3 8b 96 96 b 8 b 12

3. Luas daerah yang dibatasi kurva y  x2 6x 5 dan sumbu x adalah… Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat:

2 D D Luas 6a  Syarat:

1. Jika kedua kurva dipotongkan akan menghasilkan persamaan kuadrat 2. Batas integral adalah titik potong

Persamaan: 2 y  x 6x 5          2 2 D b 4ac 6 4( 1)( 5) 36 20 16

Sehingga luasnya adalah:

2 16 16 32 L 6 1 3   

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y sin2x , sumbu x dan garis x 6    dan garis x 3   adalah… Jawab:

 

 

 

 

                 _{ }  _{ }            _  _{ }  _{ }   _{ }                  _  _{ }  _{ }   _{ }         



6



3 6 3 0 0 0 0 6 3 2 3 3 L sin2xdx sin2xdx 1 1 cos2x cos2x 2 2

1_cos2. 1_cos2.0 1_cos2. 1_cos2.0

2 2 2 2

1_cos 1_cos0 1_cos 1_cos0 2 2 2 2           _ _{ }  _{ }  _ _{ }  _                   _{  }  _        1 1 1 1 1 1 . .1 . .1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 4 2 1 3 4 4 1

5. Luas yang dibatasi garis y 1 2  dan kurva 2 2 x y 1 x 

 dapat dinyatakan sebagai integral tertentu,

yaitu … Kunci: 1 2 2 0 1 x _dx 1 x  



          2 2 2 2 2 x 1 x 1 2 2x x 1 x 1 x 1

Luas daerah yang diarsir adalah:

        







1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 x Luas 2 dx 2 x 1 1 x 2 dx 2(1 x ) 1 x _dx 1 x

Contoh:

5.2. Volume Benda Putar

Perhatikan kedua hal berikut:

1. Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p x q, maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila diputar terhadap sumbu x.

2. Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r x s, maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2 terhadap sumbu y

1. Daerah D dibatasi oleh kurva y sinx , 0 x   dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Jawab: 1 2

2

Volume benda putar:

s 2 2 2 1 r s 2 2 jauh dekat r V (x ) (x ) dy V (x ) (x ) dy     _  _     _  _





q 2 2 2 1 p q 2 2 jauh dekat p V (y ) (y ) dx V (y ) (y ) dx     _  _     _  _





2 0 0 2 0 v sin x dx 1 _{cos2x dx} 2 1_x 1_sin2x 1 2 2 2             _{ }  _      





Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 12

2

satuan volume.

2. Daerah bidang datar yang dibatasi y 1 x

 , sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terbentuk adalah …

Kunci: 28 3 





1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2 0 1 3 0 v (y 1) dy 4 1 dy 1 y y 15y 3 4 8 1 15 3 3 2 2 28 3            _  _             _{ } _      





Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 28

3 satuan volume.

Latihan:

1) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis x = 0, x = 2 dan absis x! 2) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x(x-2), x = 0, x = 3 dan absis x! 3) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva y = x2 + 2 dan y = 5 – 2x!

4) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah … 5) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu y dan sumbu x adalah … 6) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 6 – x adalah …

7) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x + 3 adalah …

8) Diberikan f(x) = (x – 2)2 - 4 dan g(x) = -f(x). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah 9) Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 di kuadran I, garis y = 2 – x dan garis y = 4

adalah …

10) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 1, sumbu x, garis x = -1 dan x = 2 adalah … 11) Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = 10x, y2 = 4x dan x = 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu x.

Volume benda putar yang terjadi adalah …

12) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2

1

4

x

y

 

, sumbu x, sumbu y dan diputar mengelilingi sumbu x adalah …

13) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2

1

y



x



dan sumbu x dari x = -1 sampai x = 1, diputar mengelilingi sumbu x

3600

adalah …

14) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2

9

y

 

x

dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y

3600

adalah …

15) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2

2

1

1.

_

cos x sin xdx 3 … Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat:

n 1 n a U aU dx c U' n 1     



Syarat: a k U'  Sehingga: 4 3 4 cos x sin x cos x sin xdx c cos x 4 1 sin x c 4     



2. Jika df(x) _x3 _x3 dx    dan f(1) 11 20   , maka 2 1 f(x)dx



… Jawab: Diketahui: 3 3 df(x) _{x x} dx    Maka: 3 3 4 2 f(x) x x dx 1 1 x x c 4 2       



Akan dicari nilai c:

                         4 2 11 f(1) 20 1_.1 1_{.1 c} 11 4 2 20 1 1 11 c 4 2 20 1 11 c 4 20 11 1 c 20 4 11 5 c 20 20 6 3 20 10

Sehingga diperoleh persamaan:

4 2 1 1 3 f(x) x x 4 2 10        _   _       _   _{ }   _         _   _{ }   _        



2 1 5 1 0 1 1 1 3 f(x)dx x x x 20 2 10 32 1 6 1 1 3 20 4 10 20 2 10 32 5 12 1 10 6 20 20 20 20 20 20 25 5 20 20 20 20 1

3. Turunan pertama dari f(x) adalah 3

4 ₁ x  , jika f(1) =5, maka f(2) = … Jawab: Diketahui: 1 3 4 f (x) 1 x  _{ } Maka: 2 f(x)_{ }2x _{ }x c Jika f(1) =5, maka: 5     2 1 c c 6

Sehingga diperoleh persamaan:

2 f(x)_{ }2x _{ }x 6 Nilai f(2) adalah:      1 2 1 f(2) 2 6 2 7

4. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan _3x2_{5x 2 0}  _{, maka}

p q (5 3x)dx 



… Jawab: Diketahui:

factor prima dari 42: 2, 3, 7p = 3

Akar positif dari persamaan _3x2_{5x 2 0  adalah x = 2 q = 2}





   _  _     _  _     



3 p 2 2 q 3 (5 3x)dx 5x x 2 27 15 10 6 2 1 2 2 5. Jika f(x) ax b  , 1 0 f(x)dx 1



dan 2 1 f(x)dx 5



, maka a+b = … Jawab: Diketahui: f(x) ax b  Jika 1 0 ax b dx 1 



, maka: 1 2 0 a_{x bx} a _{b 1...(i)} 2 2  _  _{  }     Jika 2 1 ax b dx 5 



, maka: 2 2 1 a_{x bx} 3_{a b ...(ii)} 2 2  _  _ _         

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

3_{a b 5} 2 1_{a b 1} 2 a 4 b 1         Sehingga a + b = 3

6. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) sama dengan 2x - 5. Jika kurva ini melalui titik (4,7), maka kurva tersebut memotong sumbu y di titik …

Jawab:

Diketahui gradien = 2x – 5 dan melalui titik (4, 7), maka persamaan kurvanya:

2

f(x)

_

2x 5 dx x 5x c

f(4) 16 20 c 7     c 11

Jadi persamaan garisnya adalah _{f(x) x} 2_{5x 11}

Persamaan kurva memotong sumbu y x 0

2

f(0) (0) 5(0) 11 11

  

7. Untuk interval x 8 8

 

   , nilai

_

1 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx 2  4  6   ... Jawab:

2 4 6

1 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx ..    



Persamaan merupakan deret geometri tak hingga, maka:

  _     2 2 2 a S 1 r 1 1 tan 2x 1 sec 2x cos 2x Jadi: 2 4 6 2

1 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx cos 2xdx cos2xdx 1 sin2x k 2        







8. Daerah D dibatasi oleh grafik, fungsi y 1 x

 , garis x =1, garis x = 4 dan sumbu x. Jika garis x = c memotong daerah D sehingga menjadi daerah D dan D1 2 yang luasnya sama, maka c = …

Jawab:

 

1

 

1 2 2 1 1 2 2 x 4 1 x p 4 1 p x dx x dx 2x 2x 2 p 2 2 4 2 p  _    _        





3 1 p p 2 2 4    9. Jika b a x cos dx c,c 0 c  _{ } _{ }    



, maka b 2 a x sin dx 2c 



… Jawab:

b a b b a a x cos dx c c x x cos dx c cos dx c c c  _{ } _         







Sehingga b b 2 a a x 1 1 x sin dx cos dx 2c  2 2 c









b b a a 1 1 x x cos dx 2 2 c 1 _{b a} 1_c 1_{(b a c)} 2 2 2   _{ }         



10.

Luas daerah yang diarsir adalah … Jawab:                1 2 sin2x 0 2 sin2x 1 1 1 sin2x sin2x 2 2 2x 6 x 12

















          _  _        _  _       _  _      _  _      



12 12 0 0 0 L 1 2 sin2xdx x cos2x cos2. 0 cos2.0 12 12 cos 0 cos2.0 12 6 cos30 cos0 12 1 3 (1) 12 2 1 3 1 12 2

1. Hasil dari





_x3_{2 dx ....}



 2. Hasil dari





4x23x 2 dx ....



 3. Hasil dari





_4x2_{3x 2}



5



_{8x 3 dx ....}



 4. Hasil dari





4x23x 2



5



24x 9 dx ....



 5. Hasil dari





_x2_{8x dx ....}



 6. Hasil dari





x28x



3



x 4 dx ....



 7. Hasil dari





_2x2_{x dx ....}



 8. Hasil dari





2x2x



4_x₄1_dx .... 9. Hasil dari





0 5 2 3 1 x x 2 dx ....   



10. Hasil dari





cos x sinx dx2



adalah….

11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) x 26x 5 , sumbu x, x = 2 dan x = 4 adalah…. 12.





2 0 1 cos x sin xdx   



… 13. Jika





a b 3 2 0 0 1 3 x dx , 2x 3 dx 4 2 10  





dan a,b > 0, maka nilai _a2_{2ab b} 2_{ …}

14. Gradien garis singgung fungsi y = f(x) di setiap titik P(x,y) sama dengan dua kali absis titik P tersebut. Jika grafik fungsi melalui (0,1), maka f(x) = …

15. Luas daerah yang dibatasi kurva _yx2_{3x 4 , sumbu x, garis x = 2 dan x = 6 adalah …}

16. Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y4x x 2 serta garis yang melalui (4,0) dan puncak parabola, maka luas D adalah …

17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi y cos x dan turunannya pada interval 3

2 x 2 _{ }  adalah … 18. Jika df(x) x3 x3 dx    dan f(1) 11 20   , maka 2 1 f(x)dx



… 19. Diketahui df(x) 3_x dx  . Jika f(4) = 19, maka f(1) = …

20. Turunan pertama fungsi f(x) adalah 3 4 ₁ x  . Jika f(1) = 5, maka f(2) = … 21. Jika 1 0 f(x) ax b, f(x)dx 1 

_

 dan 2 1 f(x)dx 5



maka a + b = … 22. Diketahui _{f(x) x dx}2



. Jika f(2) 19 3

  , maka kurva itu memotong sumbu x pada …

23. _  _   



3 1 3 dx x ...

24. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x – 2 = 0, maka





p

q

5 3x dx



= ...

25. Volume benda putar bila daerah dibatas oleh kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar mengelilingi sumbu y adalah …

26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu x adalah …

27. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu X seperti pada gambar di bawah adalah ...

28. Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7 dan y = 13 – x2 adalah ...

29.   





_{x dx}n 1 _xn 1 _c

n 1 , dengan c bilangan tetap, berlaku ...

30. Luas daerah antara kurva y = (x + 1)3, garis y = 1, garis x = -1 dan x = 2 dapat dinyatakan sebagai ...

31. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah … 32. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu x dan sumbu y adalah … 33. Jika b > 0 dan memenuhi persamaan 2



b



3 2





0

3b x 3bx dx 0, maka nilai dari a2 _{-2a + 1 adalah …}

34. Hasil dari





3sin2x dx ....



 35. Hasil dari





3sin2x dx3



3 ....

0 3

y = x + 2 Y

36. Hasil dari





8sin3x dx2



2.... 37. Hasil dari

_



5cos6 x d x



.... 38. Hasil dari



3cos 5x 3 dx ....







 39. Hasil dari





3sinx 2cos x dx ....



 40. Hasil dari



_2sin3x1₂cos2x dx ...._  41. Hasil dari



_{3sin x cos xdx ....}5 

42. Hasil dari



5sin x cos xdx ....6  43. Hasil dari



3x cos xdx .... 44. Hasil dari



4x sin 2x dx ....

 

 45. Hasil dari



_{2xe dx ....}x 

46. Hasil dari



7x e dx ....2 2x  47. Nilai dari     _   _  _        



6 0 2sin x cos x dx .... 3 3 48. Nilai dari  



0 2cos2x cos xdx .... 49. Nilai dari









 2 3 0 2 2x 1 dx .... 50. Nilai dari   



1 2 1 8x 2x 1dx ....