(2.9 Diferensial dan Hampiran, 3.1 Maksimum dan Minimum, 3.2 Kemonotonan dan Kecekungan, 3.3 Ekstrem Lokal dan Ekstrem
Pada Selang Buka)
Ifronika
1 Sasaran Pengajaran
1. Menggunakan diferensial untuk menentukan nilai hampiran suatu fungsi 2. Menentukan Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi
3. Menentukan selang kemonotonan dan kecekungan dari suatu fungsi 4. Menentukan nilai ekstrem lokal suatu fungsi
2 Materi Kuliah
2.9
Diferensial dan Hampiran
Misalkan titik P (x0, y0) pada grafik y = f (x) dan misalkan fungsi f mempunyai turunan di x0.
x0
y = f (x)
P (x0, y0•)
x y
x0 x0+ ∆x
y = f (x)
P (x0, y0•)
∆x
∆y dy
x y
Diperoleh turunan dari fungsi f di titik x0 adalah f0(x0) = lim
∆x→0
f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x .
Jika ∆x → 0 (cukup kecil)
f (x0+ ∆x) − f (x0)
∆x ≈ f0(x0) f (x0+ ∆x) − f (x0) ≈ f0(x0)
∆y ≈ ∆xf0(x0).
Pada ruas kiri diperoleh ∆y dan pada ruas kanan kita disebut dy. Jadi untuk ∆x cukup kecil dy dapat menjadi hampiran bagi ∆y.
Definisi[Diferensial]
Misalkan f mempunyai turunan di x dan definisikan dx := ∆x sebagai diferensial peubah bebas x, maka diferensial peubah tak bebas y didefinisikan sebagai
dy := f0(x)dx.
Contoh.
Tentukan dy jika 1. y = x3+ 2x + 5 2. √
x3+ 2x + 1 3. sin(x2 + x)
Hampiran Perhatikan bahwa
dy
dx = f0(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x .
Jika ∆x → 0 (cukup kecil)
f (x + ∆x) − f (x)
∆x ≈ f0(x0) f (x + ∆x) − f (x) ≈ f0(x)
∆y ≈ ∆xf0(x).
Untuk dx := ∆x dan dy ≈ ∆y, diperoleh
∆y = f (x + ∆x) − f (x) f (x + ∆x) = f (x) + ∆y
≈ f (x) + dy
= f (x) + f0(x)∆x = f (x) + f0(x)dx.
Jadi f (x + ∆x) ≈ f (x) + f0(x)dx.
Contoh Hampiri nilai √ 4.1.
Jawab. Misalkan y = f (x) =√
x, maka f0(x) = 1 2√
x. Diketahui
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f0(x)∆x, sehingga
√x + ∆x ≈√
x + 1 2√
x∆x.
Dari soal, untuk x = 4 diperoleh ∆x = 0.1. Jadi
√4.1 ≈ √
4 + 1 2√
4(0.1) = 2 + 1
4(0, 1) = 2 + 0.025 = 2.025.
Latihan
1. Dengan menggunakan differensial taksirlah a) √
35.9 b) √3
27.1
2. Sebuah bola plastik mempunyai diameter 20 cm. Bila tebal bola tersebut 0.4 cm, taksirlah volume udara bola tersebut menggunakan differensial.
3. Dari hasil pengukuran suatu kubus, diperoleh panjang sisinya adalah 11.4 cm dengan error ±0.05. Taksirlah volume kubus tersebut dan tentukan hampiran nilai error volume tersebut.
Catatan: Eror relatif (∆V
V ≈ dV V .)
3.1 Maksimum dan Minimum
Definisi Misalkan I adalah daerah definisi dari fungsi f dan c ∈ I,
i) Nilai f (c) disebut nilai maksimum global dari fungsi f apabila f (c) ≥ f (x) untuk setiap x ∈ I.
ii) Nilai f (c) disebut nilai minimum global dari fungsi f apabila f (c) ≤ f (x) untuk setiap x ∈ I.
iii) f (c) disebut nilai ekstrem global dari fungsi f di I apabila f (c) nilai maksimum global atau nilai minimum global dari fungsi f .
Contoh 1. Diberikan fungsi f (x) = x2, x ∈ [−2, 1].
-2 1
4
y = x2
x y
Nilai maksimum global dari fungsi f adalah f (−2) = 4 dan nilai minimum global dari fungsi f adalah f (0) = 0.
Contoh 2. Diberikan fungsi f (x) = 1
x, x ∈ (0, ∞).
−2 1
y =x1
x y
fungsi f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada (0, ∞).
Contoh 3. Diberikan fungsi f (x) = 1
x, x ∈ [1, 3].
1
1 3
y =x1
x y
Nilai maksimum global dari fungsi f adalah f (1) = 1 dan nilai minimum global dari fungsi f adalah f (3) = 1
3.
Teorema (Eksistensi Nilai Ekstrem)
Jika fungsi f kontinu pada [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a, b].
Catatan: Teorema di atas mengatakan bahwa kekontinuan fungsi f pada selang tutup meru- pakan syarat cukup untuk eksistensi nilai ekstrem.
Fungsi tidak kontinu pada selang tutup mungkin saja mempunyai nilai ekstrem. Perhatikan contoh berikut.
Contoh.
f (x) =
−1, x = 0 x, 0 < x ≤ 1 x + 1, 1 < x ≤ 2
1
−1 1 2
•
•
◦•
•◦
x y
Nilai maksimum fungsi f adalah f (2) = 3 dan nilai minimumnya adalah f (0) = −1.
Namun demikian fungsi yang tak kontinu pada selang tutup tidak menjamin eksistensi nilai ekstrem. Perhatikan contoh berikut.
Contoh
f (x) =
1, x = 0 x, 0 < x < 2 2, 1
1 2 1
2
• •
◦•
•◦
x y
Fungsi f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
Teorema (Titik Kritis) Misalkan I adalah daerah asal dari fungsi f dan c ∈ I. Jika f (c) adalah nilai ekstrem maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan
i) Titik ujung selang, atau
ii) Titik stasioner f , yakni titik dimana f0(c) = 0 atau iii) Titik singular f , yakni titik dimana f0(c) tidak ada
Catatan: Teorema di atas mengatakan, untuk menentukan nilai ekstrem suatu fungsi terlebih dahulu mencari titik-titik kritisnya.
1. Kasus 1 (titik ujung selang) dapat dilihat kembali contoh fungsi f (x) = x2 untuk x ∈ [−2, 1].
2. Kasus 2 (titik stasioner) dapat dilihat dari contoh yang sama pada kasus 1.
3. Kasus 3 ( titik singular) perhatikan contoh berikut.
Contoh. Diketahui f (x) = |x − 1|, x ∈ [−1, 2].
−1 1 2
1 2
y = |x − 1|
x y
Nilai maksimum fungsi f adalah f (−1) = 2 dan nilai minimumnya adalah f (1) = 0 dengan x = 1 adalah titik singular.
Contoh. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f (x) = −2x3+ 3x2+ 1, x ∈ [−1, 2].
Latihan.
Tentukan nilai ekstrem dari fungsi-fungsi di bawah ini.
1. f (x) = x2+ 4x + 4, x ∈ [−4, 0].
2. g(x) = 1
1 + x2, x ∈ [−3, 1].
3. h(x) =
(5x − x2/2, 0 ≤ x ≤ 2 6x − x2, 2 < x < 6.
3.2 Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi[kemonotonan]
Misalkan I adalah daerah definisi dari fungsi f .
1. Fungsi f dikatakan naik pada selang I apabila untuk setiap x1, x2 ∈ I dengan x1 < x2 berlaku f (x1) < f (x2).
2. Fungsi f dikatakan turun pada selang I apabila untuk setiap x1, x2 ∈ I dengan x1 < x2 berlaku f (x1) > f (x2).
3. Fungsi f naik atau turun pada selang I dikatakan monoton pada I.
Perhatikan ilustrasi berikut ini.
x1 x2
f (x1) f (x2)
y = f (x)
f naik
x y
x1 x2
f (x2) f (x1)
y = f (x)
f turun
x y
Selanjutnya, bagaimana kita dapat menentukan suatu fungsi naik atau turun tanpa perlu menggambarkan grafik fungsinya? Perhatikan bahwa f0(x) memberikan kemiringan dari garis singgung f di titik x. Sehingga jika f0(x) > 0 maka garis singgung f akan membesar sehingga f akan naik dan jika f0(x) < 0 maka garis singgung f akan semakin mengecil sehingga f akan turun. Perhatikan teorema berikut ini.
Teorema[Kemonotonan Fungsi]
Misalkan fungsi f kontinu pada selang [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).
1. jika f0(x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f0(x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b].
Perhatikan ilustrasi berikut.
c y = f (x)
y = f (x)
turun naik
− +
x y
c y = f (x)
y = f (x)
f0(x) < 0 f0(x) > 0
f turun f naik x y
Contoh. Diketahui f (x) = x3− 3x2+ 2. Tentukan selang kemonotonan dari fungsi f . Jawab. Diketahui f (x) = x3− 3x2+ 2. Diperoleh f0(x) = 3x(x − 2). Perhatikan nilai f0(x) berikut
+ − +
0 2
f0(x) :
Diperoleh f naik pada selang (−∞, 0] dan [2, ∞) serta f turun pada selang [0, 2].
2
−2 2
y = x3− 3x2+ 2
x y
Dari Teorema kemonotonan, kondisi f0 menjadi syarat cukup suatu fungsi untuk monoton (naik atau turun). Tetapi fungsi yang monoton(naik) tidak menjamin f0 positif atau fungsi yang monoton(turun) tidak menjamin f0 negatif.
Perhatikan grafik f (x) = x3 berikut.
2
−2 2
y = x3
x y
Definisi[Kecekungan]
Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a, b).
1. Jika f0 naik pada I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I.
2. Jika f0 turun pada I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.
y = f (x)
y = f (x)
f0 naik, cekung ke atas x y
y = f (x)
f0 turun, cekung ke bawah x y
Teoreama[Kecekungan Fungsi]
Misalkan f mempunyai turunan kedua pada selang buka I.
1. Jika f00(x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I.
2. Jika f00(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.
Contoh. Diketahui f (x) = x3− 3x2+ 2. Tentukan selang kecekungan dari fungsi f .
Jawab. Diketahui f (x) = x3 − 3x2+ 2. Sehingga diperoleh f0(x) = 3x2− 6x dan f00(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). Perhatikan nilai f00(x) berikut
− +
1 f00(x) :
Diperoleh fungsi f cekung ke bawah pada selang (−∞, 1) dan f cekung ke atas pada selang (1, ∞).
1 2
−2 2
y = x3− 3x2+ 2
• x
y
Definisi[Titik Belok]
Misalkan f kontinu pada c. Titik (c, f (c)) disebut titik belok dari fungsi f jika f cekung ke atas disekitar kiri c dan cekung ke bawah disekitar kanan c (atau sebaliknya). Perhatikan ilustrasi berikut ini.
c1 c2
(c1, f (c• 1))
(c2, f (c• 2))
x y
Titik (c1, f (c1)) dan titik (c2, f (c2)) merupakan titik belok.
Dari ilustrasi di atas dapat dilihat bahwa kandidat dari titik belok adalah titik dimana f00(x) = 0 atau f00(x) tidak ada.
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh. Diketahui f (x) = x4. Diperoleh f0(x) = 4x3 dan f00(x) = 12x2. Sehingga f00(x) = 12x2 = 0 untuk x = 0. Jadi titik (0, 0) adalah kandidat titik belok dari fungsi f . Perhatikan nilai f00(x) berikut
+ +
0 f00(x) :
Karena f00(x) tidak berubah tanda dikiri dan di kanan x = 0, maka titik (0, 0) bukan meru- pakan titik belok.
−4 −2 2 4
2 4
y = x4
x y
Selanjutnya perhatikan kembali contoh berikut.
Contoh. Diketahui f (x) = x3− 3x2+ 2. Tentukan titik belok dari fungsi f .
Jawab. Diketahui f (x) = x3 − 3x2+ 2. Sehingga diperoleh f0(x) = 3x2− 6x dan f00(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). Perhatikan nilai f00(x) berikut
− +
1 f00(x) :
Diperoleh titik belok dari fungsi f adalah (1, 0).
1 2
−2
2 y = x3− 3x2+ 2
• x
y
3.3 Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi[Maksimum dan Minimum Lokal]
Misalkan I derah definisi dari fungsi f dan c ∈ I.
1. Nilai f (c) disebut nilai maksimum lokal f jika terdapat δ > 0 sehingga f (c) ≥ f (x) pada I ∩ (c − δ, c + δ).
2. Nilai f (c) disebut nilai minimun lokal f jika terdapat δ > 0 sehingga f (c) ≤ f (x) pada I ∩ (c − δ, c + δ).
3. Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrem lokal.
Perhatikan ilustrasi berikut.
c1 c2 c3 c4
maks lokal
min lokal maks lokal
min lokal
x y
Dari ilustrasi di atas, terlihat fungsi f mungkin mempunyai nilai ekstrem lokal di beberapa titik kritisnya.
Teorema[Uji Turunan Pertama]
Misalkan f kontinu pada I = (a, b) dan c ∈ I.
1. Jika f0(x) < 0 disekitar kiri c (x < c) dan f0(x) > 0 disekitar kanan c (x > c), maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.
2. Jika f0(x) > 0 disekitar kiri c (x < c) dan f0(x) < 0 disekitar kanan c (x > c), maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
3. Jika f0(x) bertanda sama disekitar kiri dan kanan c maka f (c) bukan merupakan nilai ekstrem lokal.
Perhatikan ilustrasi berikut.
1. f0(x) < 0 disekitar kiri c (x < c) dan f0(x) > 0 disekitar kanan c (x > c), sehingga f (c) merupakan nilai minimum lokal.
c min lokal f0< 0 f0> 0
f0(c) = 0
x y
c min lokal f0< 0 f0> 0
f0(c) tidak ada
x y
2. f0(x) > 0 disekitar kiri c (x < c) dan f0(x) < 0 disekitar kanan c (x > c), sehingga f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
c maks lokal
f0> 0 f0< 0
f0(c) = 0
x y
c maks lokal
f0> 0 f0< 0
f0(c) tidak ada
x y
3. f0(x) bertanda sama disekitar c sehingga f (c) bukan nilai ekstrem lokal.
c
tidak ada nilai ekstrem
f0> 0 f0> 0
f0(c) tidak ada
x y
Contoh. Tentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi-fungsi berikut.
1. f (x) = x3− 12x 2. f (x) = x4/3− 4x1/3 Teorema[Uji Turunan Kedua]
Misalkan f0(x) dan f00(x) ada untuk setiap x ∈ (a, b), c ∈ (a, b) dan f0(c) = 0.
1. Jika f00(c) < 0, maka f (c) adalah nilai maksimum lokal.
2. Jika f00(c) > 0, maka f (c) adalah nilai minimum lokal.
Contoh. Tentukan nilai ekstem lokal dari fungsi f (x) = x3− 3x2+ 2.
Jawab. Diketahui f (x) = x3− 3x2+ 2.
Diperoleh f0(x) = 3x2− 6x dan f00(x) = 6x − 6. f0(x) = 3x2− 6x = 0 untuk x = 0 dan x = 2.
Diperoleh f00(0) = −6 < 0 dan f00(2) = 6 > 0.
Jadi, berdasarkan uji turunan kedua, nilai maksiumum lokal dari f adalah f (0) = 2 dan nilai minimum lokal dari f adalah f (2) = −2.
1 2
−2 2
y = x3− 3x2+ 2
•
•
x y
Latihan.
1. Tentukan nilai ekstrem lokal dari fungsi-fungsi berikut.
(a) f (x) = x3− 6x2+ 2.
(b) f (x) = 13x3 − 2x + 1.
(c) f (x) = x4− 2x3.
2. Diketahui f0(x) = (x − 1)2(x − 2)2(x − 3)(x − 4). Tentukan semua nilai x yang menye- babkan fungsi f mencapai nilai maksimum lokal dan minimum lokal.