KENNETH CHRISTIAN NATHANAEL

1. Sistem Bilang Real

2. Fungsi dan Grafik 3. Limit dan Kekontinuan 4. Limit Tak Hingga 5. Turunan Fungsi

6. Turunan Fungsi Trigonometri 7. Teorema Rantai

8. Turunan Tingkat Tinggi 9. Fungsi Implisit

10. Kemotonan Kurva 11. Nilai Ekstrim 12. Dalil L Hopital 13. Integral Tak Tentu 14. Notasi Sigma 15. Integral Tentu 16. Luas Daerah

17. Volume Benda Putar 18. Panjang Kurva 19. Fungsi Invers

20. Fungsi Logaritma Eksponen 21. Fungsi Invers Trogonometri 22. Fungsi Hiperbolik

23. Fungsi Invers Hiperbolik 24. Limit Bentuk Tak Tentu 25. Integral Tak Wajar 26. Barisan Bilangan 27. Deret Tak Hingga 28. Deret Berganti Tanda

29. Konvergen Mutlak dan Bersyarat 30. Deret Kuasa

31. Deret Taylor Maclaurin

32. Turunan Integral Deret Kuasa 33. Order Persamaan Differensial 34. Persamaan Differensial Orde Satu 35. Peubah Terpisah

36. Persamaan Differensial dengan Koefisien Terpisah 37. Persamaan Differensial Orde Dua

38. Persamaan Differensial Orde Dua Tidak Homogen 39. Permukaan

40. Integral Rangkap 2 41. Integral Rangkap 3 42. Volume Pusat Massa

SISTEM BILANGAN REAL

Bilangan real, dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real ℜ dapat digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan ℜ = ( -∞,∞ ) . Sedangkan himpunan bagian dari garis bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasikan dengan himpunan sebagai berikut.

Garis bilangan : Interval dan himpunan

a b

{

}

[ , ]a b = x a| ≤ ≤x b ( , )a b =

{

x a| < <x b

}

{

}

[ , )a b = x a| ≤ <x b ( , ]a b =

{

x a| < ≤x b

}

{

}

( , )b ∞ = x x| >b [ , )b∞ =

{

x x| ≥b

}

{

}

(−∞, )a = x x| <a (−∞, ]a =

{

x x| ≤a

}

Pertidaksamaan

Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut.

Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

A x B x C x D x ( ) ( ) ( ) ( )

< , A(x), B(x), C(x) dan D(x) : suku banyak. ( tanda < dapat digantikan oleh ≤ ≥ >, , ).

Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi pertidaksamaan.

Cara mencari solusi pertidaksamaan aljabar sebagai berikut :

1. Nyatakan pertidaksamaan tersebut sehingga didapatkan salah satu ruasnya menjadi nol, A x B x C x D x ( ) ( ) ( ) ( )

− < 0 . Kemudian sederhanakan bentuk ruas kiri, misal P x Q x ( ) ( ) <0 . 2. Cari dan gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dari P(x) dan Q(x).

3. Tentukan setiap tanda ( + atau - ) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Interval dengan tanda ( - ) merupakan solusi pertidaksamaan.

Contoh :

Tentukan himpunan solusi dari pertidaksamaan berikut : 1. 1 1 1 − − ≥ + x x 2. 1 3 1 2 + + > − − x x x x Jawab : 1. 1 1 1 − − ≥ + x x 0 1 1 1 ≥ − + + x x

(

)(

)

₀ 1 1 1 1 1 _≥ − + − − + x x x x 0 1 2 ≥ − x x

Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0 dan 1. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu :

--- --- ++++

0 1

Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak

Secara geometris, nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Notasi yang digunakan adalah :

x x x x x = ≥ − <    , , 0 0

Sifat-sifat nilai mutlak : 1. x = x2 2. | x | < a ⇔ -a < x < a 3. | x | > a ⇔ x < -a atau x > a 4. | x + y | < | x | + | y | ( ketidaksamaan segitiga ) 5. | x y | = | x | | y | 6. x y x y = | | | | 7. | |x <| |y ⇔ x2 < y2 Soal latihan

( Nomor 1 sd 25 ) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

1. 4x - 7 < 3x + 5 2. 3x < 5x + 1 < 16 3. 6≤ x2+ <x 20 4. − <5 x4 −x2− <5 1 5.

x

x

+

−

≤

5

2

1

0

6.

6

5

0

x

− + ≤

x

7.

2

3

4

x

<

x

−

8.

1

1

3

2

x

+

≥

x

−

9. x x x − − + < 2 1 1 1 10. x x + >5 6 11.

x

+ <

1

4

12.

2

x

− >

7

3

13.

x

− <

2

3

x

+

7

14. x−1 ≤5 15. x x x − ≥1 ₊6 1 16. 2x+ <3 4x−5 17. 2(x−1)2 − − ≤x 1 1 18. 3

(

x−1

)

2 +8 x− ≤1 3 19. 3x+ ≥1

(

3x+1

)

2−6 20. 3 2 1 4 − + ≤ x x 21. x x 2 −1 ≤1 22. 1 4 1 7 |x− |< |x+ | 23. 1 3 1 4 0 |x− |−|x+ |≥ 24. 2 3− +x 3x+ ≥1 2 25. x− +2 3x− ≥1 1

( Nomor 26 sd 27 ) Tentukan nilai x yang mungkin agar berikut menghasilkan bilangan real : 26. x2+ −x 6 27. x x + − 2 1 28. Selesaikan : x−32−4|x− =3| 12

FUNGSI DAN GRAFIK

Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B.

Notasi : f : A → B x → f(x) = y

Himpunan A disebut Domain / daerah asal dari f(x), dinotasikan D_f , sedang

{

y f x| ( )= y x A, ∈ ⊆

}

B disebut Range / daerah hasil dari f(x) dinotasikan Rf .

Beberapa macam fungsi dan sifat-sifat yang dimiliki akan dibahas berikut.

Fungsi Polinom

Bentuk umum fungsi polinom order atau pangkat n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan oleh

f x( )=a₀+a x₁ +a x₂ 2+ +... a x_n n

dengan a_n ≠0. Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu : • Fungsi konstan : f(x) = a0.

• Fungsi Linear : f x( ) =a₀+a x₁ . ( f(x) = x : fungsi identitas ) • Fungsi Kuadrat : f x( ) =a₀ +a x₁ +a x₂ 2

Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling banyak n buah pembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan pembuat nol fungsi polinom dapat digunakan aturan horner.

Fungsi Rasional

Bentuk umum fungsi rasional adalah f x p x q x ( ) ( )

( )

= dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom. Fungsi rasional f(x) tidak terdefinisi pada nilai x yang menyebabkan penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0. Sedangkan pembuat nol dari pembilang atau p(x) tetapi bukan pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional f(x).

Contoh:

Tentukan nilai x yang menyebabkan fungsi

4 2 3 ) ( 2 2 − + − = x x x x

f sama dengan nol

Jawab :

Permbuat nol pembilang, x = 2 dan x = 1. Pembuat nol penyebut, x = -2 dan x = 2. Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = -2.

Fungsi bernilai mutlak

Bentuk dasar fungsi bernilai mutlak dinyatakan oleh f(x) = | x |. Grafik fungsi f(x) simetris terhadap sumbu Y dan terletak di atasdan atau pada sumbu X. Secara umum fungsi bernilai mutlak dapat dinyatakan oleh :

C f C D A A A x x g A x x g x g x f = ∪    ∈ − ∈ = = ; , ) ( , ) ( ) ( ) ( Contoh :

Tentukan nilai x agar grafik fungsi f(x)= x2 +1 terletak di bawah garis y = 2. Jawab :

Dicari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, f(x)= x2+1 <2. Menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak x2+1 <2 ⇔

( )

x2 +12 <4 didapatkan

( )( )

x2+3 x2−1 <0. Sebab x2 + 3 definit positif yaitu selalu bernilai positif untuk setiap x real maka x2 – 1 < 0. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah –1 < x < 1 atau | x | < 1.

Fungsi banyak aturan

Fungsi ini merupakan bentuk pengembangan dari fungsi bernilai mutlak, untuk fungsi dengan dua aturan dinyatakan oleh:

f C C A A D A x x f A x x f x f ∪ =    ∈ ∈ = ; , ) ( , ) ( ) ( 2 1

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap bila f(x) = f(-x) untuk setiap x di domain f(x) [ grafik f(x) simetris terhadap sumbu y ]. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil bila f(x) = - f(-x) untuk setiap x di domain f(x) [ grafik f(x) simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu ]. Bila suatu fungsi bukan merupakan fungsi genap maka belum tentu merupakan fungsi ganjil.

Contoh :

Manakah diantara fungsi berikut yang merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya 1. f(x)=x2 −2 2. x x x f( ) 2 2₋ = 3. f(x)=x2 −2x+1 Jawab :

1. Fungsi genap sebab f(−x)=

( )

−x 2−2= x2−2= f(x) 2. Fungsi ganjil sebab ( )

( )

2 2 ( )

2 2 x f x x x x x f =− − =− − − − = − 3. Bukan keduanya Fungsi Trigonometri

Bentuk dasar dari fungsi trigonometri diberikan berikut • f(x) = sin x ; f(x) = csc x

• f(x) = cos x ; f(x) = sec x • f(x) = tan x ; f(x) = cot x

Sedangkan beberapa persamaan atau identitas yang berlaku pada fungsi trigonometri diberikan : 1. sin (-x ) = - sin x 2. cos ( -x ) = cos x 3. tan ( -x ) = - tan x 4. csc ( -x ) = - csc x 5. sec ( -x ) = sec x 6. cot ( -x ) = cot x 7. sin ( π/2 - x ) = cos x 8. cos ( π/2 - x ) = sin x 9. tan ( π/2 - x ) = cot x

11. cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y 12.

(

)

y x y x y x tan tan 1 tan tan tan − + = +

13. sin ( x - y ) = sin x cos y – sin y cos x 14. cos ( x - y ) = cos x cos y + sin x sin y

15.

(

)

y x y x y x tan tan 1 tan tan tan − − = −

16. sin 2x = 2 sin x cos x

17. cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2x 18. x x x 2 tan 1 tan 2 2 tan − = 19. sin2x+cos2x=1 20. 2 sin 2 sin 2 cos cosx− y=− x+y x−y 21. 2 cos 2 sin 2 sin sin x+ y= x+y x−y 22. 2 cos 2 cos 2 cos cosx+ y = x+y x−y 23.

(

)

(

)

2 cos cos sin sin x y= x−y − x+y 24.

(

)

(

)

2 sin sin cos sin x y = x+ y + x− y 25.

(

)

(

)

2 cos cos cos cosx y = x+ y + x−y Fungsi Periodik

Fungsi f(x) disebut fungsi periodik jika ada bilangan real positif p sehingga berlaku f(x+p) = f(x) untuk setiap x di domain f(x). Nilai p terkecil disebut periode dari f(x). Fungsi dasar trigonometri merupakan fungsi periodik dengan periode,

• f(x) = sin x = sin ( x + 2π ) = f( x + 2π ) • f(x) = cos x = cos ( x + 2π ) = f( x + 2π ) • f(x) = tan x = tan ( x + π ) = f( x + π )

Translasi ( Pergeseran )

Bila grafik fungsi f(x ) digeser ke kanan ( searah atau sejajar sumbu x ) sepanjang k maka hasil pergeseran merupakan grafik dari fungsi f( x - k ). Bila grafik fungsi f(x) digeser ke atas ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a maka hasil pergeseran merupakan grafik fungsi f(x) + a.

Fungsi Komposisi

Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai ( g o f ) ( x ) = g ( f (x) )

Sebagai catatan bahwa tidak semua fungsi dapat dilakukan komposisi. Agar dapat dilakukan komposisi antara fungsi f dan g yaitu g o f maka syarat yang harus dipenuhi adalahR_f I D_g ≠ ∅ Contoh : Diketahui fungsi x x x g x x f − = − = 1 ) ( dan 1 ) ( .

1. Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x). 2. Apakah g o f terdefinisi ? Bila ya tentukan rumusannya. 3. Apakah f o g terdefinisi ? Bila ya, tentukan rumusannya. Jawab :

1. Domain , D_f =(−∞,1) ; D_g =(−∞,1)∪(1,∞). Range, R_f =(0,∞) ; R_g =ℜ 2. Sebab R_f ID_g=(1,∞) maka g o f terdefinisi dan rumusannya yaitu:

( )

(

)

(

)

x x x g x f g x gof − − − = − = = 1 1 1 1 ) ( ) (

3. Sebab, R_gID_f =(−∞,1) maka f o g terdefinsi dan rumusannya yaitu :

( )

(

)

x x x x f x g f x fog − − =       − = = 1 1 1 ) ( ) ( Sifat-sifat : 1. f o g ≠ g o f 2. ( f o g ) o h = f o ( g o h ) 3. D_{g o f} ⊆ D_f dan D_g ⊆R_f 4. Bila D_g =R_f maka D_gof =D_f

Soal Latihan 1. Diketahui : f x x x x x ( ) , , = > ≤     1 ₃ 2 3 . Hitung : a. f( -4)

b. f(0) c. f( t2 + 5 )

2. Nyatakan fungsi berikut tidak dalam nilai mutlak.

a. f(x) = | x | + | 3x + 1 | b. f(x) = 3 + | 2x - 5 | c. f(x ) = 3 | x - 2 | - | x + 1 |

3. Tentukan domain dan range dari :

a. f x( )= 2x+3 b. g x x ( )= − 1 4 1 c. h x( )=

(

x+1

)

−1 d. f t( )=t − 2 3 ₄ e. g(u) = | 2u + 3 | f. h y( )= − 625−y4 g. f x x x x ( )= cos( + ) − + 1 2 2 3 1

4. Gambarkan grafik dari fungsi berikut :

a. f(x) = x2 - 1 b. f x( )= −

(

x 2

)

2 c. f x( ) =

(

x−2

)

2 −1

d. f x( )= + −

[

x 2

]

2 e. f(x) = | x -2 | + 2

a. f x x g x x ( )= 2 −1 ; ( )= 2 b. f x( )= 16−x2 ; g x( )= −1 x2 c. f x x x g x x ( )= ; ( ) +1 = 2 d. f x( )= x−4 ; g x( ) | |=x

6. Tentukan domain dan range dari soal di atas.

7. Hitung ( fog ) (x). bila f x

x x x x x x g x x ( ) , , , ; ( ) = ≤ − < ≤ >      = 5 0 0 8 8 3 8. Carilah f(x), bila : a. f x( + =1) x2+3x+5 b. f x x x (3 ) 1 2 = + c. g x( )= 2x−1 dan (gof)( )x = x2 d. g x( )= x+5 dan (gof)( )x =3| |x e. g x x

( )

fog x x x ( )= +5 ; ( )= 1 4− 2 F. g x( )= x2 ;

( )

fog x

( )

= ax2+b

LIMIT DAN KEKONTINUAN

Pengertian dan notasi dari limit suatu fungsi, f(x) di suatu nilai x = a diberikan secara intuitif berikut.

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan

lim ( )

x a

f x L

→ + =

(1) Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan

lim ( )

x a

f x l

→ − =

(2) Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan dinotasikan

lim ( )

x→a f x = L

(3) Sedangkan bila L ≠ l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada.

Bentuk (1) dan (2) disebut limit sepihak, . Sedangkan bentuk (3) mengisyaratkan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan ( 1) sama dengan nilai limit kiri ( 2 ).

Sifat-sifat limit:

Misal lim ( ) lim ( )

x→af x = L dan x→ag x = G . Maka : 1. lim

[

( ) ( )

]

x→a f x +g x = +L G 2. lim

[

( ) ( )

]

x→a f x −g x = −L G 3. lim

[

( ) ( )

]

x a f x g x LG → = 4. lim ( ) ( ) , x a f x g x L G bila G → = ≠ 0

5. lim ( ) lim ( ) x a n x a n n f x f x L

→ = → = untuk L > 0 bila n genap.

Sebagai catatan bahwa sifat-sifat di atas juga berlaku untuk limit sepihak.

Contoh :

Selesaikan limit fungsi

    < ≥ + = 1 , 2 1 , 1 ) ( 2 x x x x x f bila ada 1. lim ( ) 1 x f x→ + 2. lim ( ) 1 x f x→ − 3. lim ( ) 1 x f x→ Jawab : 1. lim ( ) lim

( )

2 1 2 1 1 = + = + + _→ → f x x x x 2. lim ( ) lim 2 2 1 1 = = − − _→ → f x x x x

3. Sebab limit kiri sama dengan limit kanan maka limit fungsi ada dan lim ( ) 2

1 = → f x x Contoh : Selesaikan 4 2 3 lim 2 2 2 − + + − → x x x x Jawab :

(

)(

)

(

)(

)

4 1 2 1 lim 2 2 1 2 lim 4 2 3 lim 2 2 2 2 2 = − + = − + + + = − + + − → − → − → x x x x x x x x x x x x

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). Secara lebih jelas, f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku :

2. lim ( )

x→a f x

ada, yakni : lim ( ) lim ( )

x a x a f x f x → + = → − 3. lim ( ) ( ) x a f x f a → =

Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di x = a dan titik x = a disebut titik diskontinu. Secara geometris, grafik fungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu grafik fungsi sembarang dengan mengerakkan pensil kita di kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut sebelum selesai maka akan kita dapatkan fungsi kontinu.

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a lim ( ) ( )

x a f x f a → + =    _

3. f(x) kontinu kiri di x = b lim ( ) ( )

x b f x f b → − =    _

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ ℜ maka dikatakan f(x) kontinu atau kontinu dimana-mana .

Contoh :

Tentukan nilai k agar fungsi

    − ≥ + − < + + + = 1 , 2 1 , 1 1 2 ) ( 2 2 x x x x kx x x f kontinu di x = -1. Jawab : Nilai fungsi di x = -1, f( -1 ) = 3.

Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka nilai limit kiri juga sama dengan 3. Untuk itu pembilang dari bentuk

1 1 2 2 + + + x kx x

harus mempunyai faktor x + 1. Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut didapatkan,

1 2 2 1 2 1 1 2 2 + + − + − + = + + + x k k x x kx x

. Dari sisa pembagian ( -2k + 2 ) sama dengan nol maka didapatkan k = 1. Soal Latihan 1. Diketahui : f(x) = x x x x x 2 2 1 1 2 1 + ≤ − + >     , , a. Hitung x f x → −1

lim

( ) dan x f x →1+

lim

( ) b. Selidiki apakah x f x →1

lim

( ) ada, jika limit ini ada tentukan nilainya.

2. Diketahui g(x) = x− −2 3 , hitung ( bila ada ) : x

a. x g x →2−

lim

( ) b. x g x → +2

lim

( ) c. x g x →2

lim

( ) 3. Diketahui f(x) = x x − − 2

2 , hitung ( bila ada ) : a. x f x → −2

lim

( ) b. x f x → +2

lim

( )

c.

x f x →2

lim

( ) 4. Diketahui f(x) = 2 3 2 3 3 5 3 x a x ax b x b x x − < − + − ≤ ≤ − >      , , ,

, tentukan nilai a dan b agar

x f x →−3

lim

( ) dan x f x →3

lim

( ) ada. 5. Diketahui f(x) = x x 2 1 1 − ≤ − + > −    ,

6. Agar fungsi f(x) = x x ax b x x x + < + ≤ < ≥      1 1 1 2 3 2 , , ,

, kontinu pada R, maka a + 2b =

7. Tentukan a dan b agar fungsi f(x) =

ax bx x x x x 2 4 2 2 2 4 2 + − − < − ≥     , , , kontinu di x = 2

8. Tentukan nilai a, b dan c agar fungsi berikut kontinu di x = 1.

f x ax x x x b x x c x ( ) ; ; ; = − − − > = − + <        2 1 1 1 1 1

9. Tentukan nilai k agar membuat fungsi berikut kontinu :

a. f x x x k x x ( ) , , = − _>≤  7 2 1 1 2 b. f x k x x x k x ( ) , , = ≤ + >     2 2 2 2 c. f x x x k x x k ( ) ; ; = − < ≤ >     2 _{7 0} 6

10. Carilah titik diskontinu dari fungsi a. f x x x x ( )= + + 2 3 3 c. f x x x ( )= − − 2 3 4 8 b. f x x x ( ) | | = − − 2 2

LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA

Dalam sub bab ini pengertian limit tak hingga dan limit di tak hingga secara formal tidak diberikan seperti halnya pada pengertian limit di suatu titik pada pembahasan terdahulu. Secara intuisi diberikan melalui contoh berikut.

Misal diberikan fungsi f x

( )

x =

− 1

1. Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga ( ∞ ) untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( -∞ ) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut : lim ( ) lim ( ) x x f x dan f x →1− = −∞ →1+ = ∞ Bila

( )

(

)

f x x = − 1

1 2 maka didapatkan _x→lim₁− f x( )= ∞dan_x→lim₁+ f x( ) = ∞ atau dituliskan lim ( )

x

f x

→1 = ∞

. Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak hingga, yaitu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga (∞ ).

Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga diilustrasikan berikut. Misal diberikan fungsi f x

( )

x

= 1. Maka nilai fungsi akan mendekati nol bila nilai x menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan :

0 ) ( lim dan 0 ) ( lim = = −∞ → ∞ → f x x f x x

Secara umum, limit fungsi dari f x

( )

xn n B

= 1 , ∈ + untuk x mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan :

lim lim

x→∞xn = x→−∞xn = 1

Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal f x p x q x ( ) ( )

( )

= dengan p(x) dan q(x) merupakan polinom maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang, p(x) dan penyebut, q(x) dengan x pangkat tertinggi yang terjadi.

Contoh : Hitung lim x x x → + + − 3 3 3 Jawab :

Nilai dari pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat kecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil.

Jadi =−∞ − + + → x x x 3 3 lim 3 Soal Latihan

Hitung limit berikut ( bila ada ) : 1. lim x x x → + + − 3 3 3 2. lim x x x → + − 3 3 3 3. lim x→2+ x2 − 3 4 4. lim x→2x2 − 3 4 5. lim x x x → − − − 1 3 ₁ 1 6. lim x x x → + − − 1 3 1 1 7. lim x x x →∞1+ 2 8. lim x x x →−∞ + − 2 2 1 1 9. lim x x x x →∞ + + 2 1 10. lim x x x →−∞ − − 1 1 3 11. lim x x x x →∞ − + + 2 3 1 2 2 12. lim x x x →∞ + 2 1 3 3

TURUNAN FUNGSI

Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x). Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat dinyatakan dengan : m y b x a f x f a x a PQ = ₋− = −₋ ( ) ( )

Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :

m f x f a x a x a = − − → lim ( ) ( )

Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:

f a f x f a x a x a ' ( ) = lim ( )− ( ) − →

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.

Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :

f a f a h f a h h '( ) = lim ( + −) ( ) →0 Notasi lain : f a df a dx dy a dx y a ' ( ) = ( ) = ( ) = ' ( )

Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena itu, didapatkan hubungan V a( )= f '( )a dan percepatan , A(x) , A a dV a

dx ( )= ( )

Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh

Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab :

Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x x

( )0 lim ( ) 0 0

= =

→

Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

f f h f h h h h h ' ( )0 lim (0 ) ( )0 lim | | 0 0 = + − = → → Karena − = ≠ = → − → + 1 1 0 0 lim | | lim | | h h h h h

h maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.

Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :

1.

( )

d x dx r x r R r r = −1 _; ∈ 2. d f x

(

g x

)

(

) (

)

dx d f x dx d g x dx ( )+ ( ) ( ) ( ) = + 3. d f x g x

(

)

(

)

( )

dx g x d f x dx f x d g x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 4.

(

)

(

)

( )

d dx g x d f x f x d g x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ₂− Soal latihan ( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan dy dx dari : 1. y x = −12 2 6

2. y x _x = −1 1₂ 3. y = x ( x2 + 1 ) 4. y=

(

x4+2x x

)(

3+2x2 +1

)

5. y=

(

3x2+2x x

)(

4 −3x+1

)

6. y x = + 1 3 2 9 7. y x x = − − 2 1 1 8. y x x x = − + + 2 3 1 2 1 2 9. y x x x x = − + + − 2 2 2 5 2 3 10. y x x x = + + − 5 2 6 3 1 2

( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang diberikan. 11. f x a x x x bx x ( ) ; ; = + ≤ < − ≥    3 0 1 1 2 ; x = 1 12. f x ax b x x x ( ) ; ; = − < − ≥    2 2 2 1 2 ; x = 2 13. f x x x ax b x ( ) ; ; = − < + ≥     2 _{1 3} 2 3 ; x = 3

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :

lim sin sin lim cos cos

x a x a

x a dan x a

→ = → =

Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :

( )

(

)

( )

d a dx a h a h h a h h h h d a dx a h h h a sin

lim sin sin lim

sin cos lim sin sin cos = + − =     +     = = → → → 0 0 2 2 2 2 2 1 Karena maka

Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:

(

)

( ) d a dx a h a h h a h h a h h cos

lim cos cos lim

sin sin sin = + − = − _ _ _ + _ = − →0 →0 2 2 2

Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan :

.d

( )

x

(

)

dx d dx x x x tan sec sin cos = = 2 2.d

(

x

)

(

)

dx d dx x x x cot csc cos sin = = − 2 3.d

( )

x

( )

dx d dx x x x sec sec tan cos = = 1

4.d

( )

x

( )

dx d dx x x x csc csc cot sin = = − 1

Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.

Teorema

Misal f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya. Bila lim ( ) lim ( )

x→∞ f x = x→∞ h x = L maka limx→∞ g x( )= L

Contoh

Hitung limit berikut ( bila ada ) 1. lim sin x x x →∞ a. lim cos sin x x x → + + 0 1 Jawab : a. Misal f x x x

( )= sin . Dari -1 ≤ sin x ≤ 1 maka −1≤ ≤ 1 x x x x sin . Karena lim lim x→∞ x x→∞ x − = = 1 1

0 maka lim sin

x

x x

→∞ =0 .

b. Bila x mendekati nol dari arah kanan maka 1 - cos x mendekati 2, sedangkan nilai sin x akan mengecil atau mendekati nol. Oleh karena itu, bila 2 dibagi dengan bilangan positif kecil sekali ( mendekati nol ) maka akan menghasilkan bilangan yang sangat besar ( mendekati tak hingga ). Jadi lim cos

sin x x x → + + = ∞ 0 1 Soal latihan

1. lim cos sin x x x → − + 0 1 2. lim cos x→∞ x 3. lim sin x→∞ x    1 4. lim sin x x x →∞    1 5. lim sin x→∞ +x    π 6 1

6. lim sin sin

x x x x →∞ +    −     1 7. lim cos x→ −∞ x − x  1  1

( Nomor 8 sd 10 ) Tentukan turunan pertama dari:

8. y x x = 1−sin cos 9. y x x = cos 10. y x x x = − tan sin cos

11. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik ( a,b ) dengan gradien m dinyatakan dengan : y - b = m ( x - a ). Sedangkan persamaan garis normal dari y = f ( x,y ) ( garis yang tegak lurus terhadap suatu garis singgung ) yang melalui titik ( a,b ) mempunyai persamaaan : y - b = -1/m ( x - a ). Tentukan persamaan garis singgung dan normal kurva berikut di titik yang diketahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu.

a. y = x2 - 2x di ( 0,0 ) b. y = tan x di x =

¼

π

12. Tentukan nilai a agar fungsi berikut kontinu di x = 0 a. f x x x x a x ( ) sin , = ≠ =     3 0 0 b. f x ax x x x a x ( ) tan , , = < + ≥     0 3 2 2 0

TEOREMA RANTAI

Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan cara mencari bentuk ekplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunakan metode atau aturan rantai.

Misal diberikan fungsi : y = f u x

(

( ) . Maka turunan pertama terhadap x yaitu :

)

( )

(

)

(

( )

)

_{( ) ( )}

dy dx d f u du d u x dx f u u x = = ' '

Bila y = f(u ) dengan u = v(x) maka turunan pertama dari y terhadap x dicari :

( )

( )

_{( )}

( )

₍

( )

₎

_{( ) ( ) ( )}

dy dx d f u du d u v dv d v x dx f u u v v x = = ' ' '

Metode penurunan di atas dikenal dengan teorema rantai.

Contoh

Cari turunan dari fungsi f(x)=sin

( )

3x Jawab:

Misal u(x) = 3x. Maka fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan f (x) =sin

( )

u . Turunan terhadap x yaitu f

( ) ( )

u u x

( )

x dx df 3 cos 3 ' ' = = Contoh

Cari nilai turunan pertama di x = 1 dari fungsi f (x)= tan π2x Jawab :

Misal v(x) = π x dan u(v)= v ,. Maka fungsi dapat dituliskan dengan f(x)=tanu. Turunan terhadap x,

( ) ( ) ( )

x x x v v u u f dx df 2 2 2 2 sec 2 ' ' ' π π π = = . Nilai turunan di x = 1, yaitu 2 ) 1 ( ' =π f Soal latihan

( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari 1. y=

(

2x−3

)

10 2. y= sin3x 3. y= cos 4

(

x2 −x

)

4. y x x = + −    1 1 2 5. y x x =  ₊−   _ cos 2 ₁ 4 6. y = sin x tan [ x2 + 1 ] 7. y = sin [ cos ( sin 2x ) ]

8. Hitung f ‘ ( 3 ) bila f x x x ( )= + +    2 _ 2 1 2

9. Hitung g ‘ (

½

) bila g t( )=cosπt sin2πt 10. Tentukan

( )

fog '

( )

1 bila f(x) = cos π x dan g x

x ( )= 1

2 11. Tentukan

( )

fog '

( )

−1 bila f x

x g x x x

( )= −1 1 dan ( )= 2 −4

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n-1).

Turunan pertama f x df x

( )

dx ' ( ) = Turunan kedua f x d f x

( )

dx " ( ) = 2 2 Turunan ketiga f x d f x

( )

dx " '( ) = 3 3 Turunan ke-n f ( ) x d f x

( )

dx n n n ( ) = Contoh :

Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x)= 1+x2 Jawab : Turunan pertama, 2 1 ) ( ' x x x f + =

Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi hasilbagi,

( )

2 32 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ) ( " x x x x x x f + = + + − + = Turunan ketiga,

( )

₁ 2 52 3 ) ( ' " x x x f + − =

Gerak Partikel

Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan oleh

Kecepatan, v(t)= s'(t) Percepatan, a(t) =s"(t)

Contoh :

Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan : s(t)=t3−2t2 +t−10 Tentukan :

a. Kapan partikel P berhenti ?

b. Besar percepatan P pada saat t = 2 Jawab :

a. Kecepatan, v(t)= s'(t)=3t2−4t+1. Partikel P berhenti berarti kecepatan sama dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1.

b. Percetapan, a(t) =s"(t) =6t−4. Untuk t = 2, maka a( 2 ) = 8

Soal Latihan

Tentukan turunan kedua dari 1. y= sin 2

(

x−1

)

2. y=

(

2x−3

)

4 3. y x x = +1 4. y= cos2

( )

πx

6. Tentukan nilai a, b dan c dari fungsig x( )= ax2+b x+c bila g (1) = 5, g ‘ (1 ) = 3 dan g “(1) = - 4

7. Tentukan besar kecepatan sebuah obyek yang bergerak pada saat percepatannya nol bila lintasan obyek dinyatakan dengan persamaan :

a. s = ½ t4 - 5 t3 + 12 t2. b. s= 1

(

t − t + t

)

10 14 60

4 3 2

8. Dua buah partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada saat waktu t jarak berarah dari titik pusat diberikan dengan s₁ dan s₂. Bilamana kedua partikel mempunyai kecepatan sama bila :

a. s₁ = 4 t - 3 t2 dan s₂ = t2 - 2 t

FUNGSI IMPLISIT

Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan fungsi implisit.

Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut.

Contoh : Tentukan dx dy bila y−4x+2xy=5 Jawab :

Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit,

x x y 2 1 5 4 + + = . Digunakan aturan penurunan didapatkan,

(

_{1 2}

)

2 6 x dx dy + − = Contoh : Tentukan nilai dx dy di ( 2,1 ) bila y−4x+2xy2 = −3 Jawab :

Bentuk fungsi dapat diubah menjadi fungsi eksplisit dalam y,

2 2 4 3 y y x − + = .

Menggunakan aturan penurunan didapatkan,

(

₂

)

2 2 2 4 4 2 2 y y y dy dx − + + =

Karena dy dx dx dy 1 = maka

(

)

4 2 2 2 4 2 2 2 + + − = y y y dx dy

. Nilai turunan di ( 2,1 ) atau y = 1,

2 1 = dx dy Contoh : Tentukan nilai dx dy di x = 1 bila y−4x+2x2y2 =−3 Jawab :

Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari x dan y berturut-turut dinyatakan dengan dx dan dy. Bila dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y ) maka kita lakukan scara bergantian, bisa terhadap x dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. Hasil turunan

dx dy

akan nampak bila masing-masing ruas dibagi oleh dx.

3 2 4 + 2 2 =− − x x y y 0 4 4 4 + 2 + 2 = − dx xdxy x ydy dy 0 4 4 4+ 2+ 2 = − dx dy y x y x dx dy

( ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan dx )

y x y x dx dy 2 2 4 1 4 4 + − =

Substitusi x = 1 ke fungsi didapatkan 2y2 +y−1=0 atau y = ½ dan y = -1. Untuk ( 1, -1 ) , =0 dx dy Untuk ( 1, ½ ), =1 dx dy Soal latihan

( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan turunan pertama dari 1. x2 - y2 = 1

2. 2 x y + 3 x - 2 y = 1 3. y+sin

( )

xy =1 4. x3−3x y2 +y2 = 0 5. tan ( x y ) - 2 y = 0

6. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit : x2 + xy + y2 - 3 y = 10. Tentukan a. Turunan pertama di x = 2

b. Persamaan garis singgung dan normal di x = 2

7. Tentukan persamaan garis singgung dan normal dari kurva berikut di titik yang diberikan. a. y x +x xy =2 ; ( 1,1 ) b. x3y + y3x = 10 ; ( 1,2 ) c. x2y2 + 3 xy = 10 y ; ( 2,1 ) d. sin ( xy ) = y ; ( ½ π, 1 ) e. y + cos ( xy2 ) + 3 x2 = 4 ; ( 1, 0 )

8. Sebuah kurva dinyatakan dalam persamaan implisit :

(

x+ y

)

3−2x+ =y 1. Tentukan :

a. dy dx

KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA

Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil De lhospital untuk menghitung limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga.

Definisi : Fungsi Monoton

Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f x

( ) ( )

₁ > f x₂ untuk x₁> x₂ ; x x₁, ₂ ∈I. Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila

( ) ( )

f x₁ < f x₂ untuk x₁> x₂ ; x x₁, ₂ ∈I. Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.

Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( α ) yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α . Bila sudut lancip (α < ½ π ) maka m > 0 dan m < 0 untuk α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :

1. Fungsi f(x) naik bila f ' ( )x >0 2. Fungsi f(x) turun bila f ' ( )x < 0

Contoh :

Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f(x)= x4 +2x3+x2−5 Jawab :

Turunan pertama, f '(x)=4x3+6x2 +2x.

Untuk f'(x) =4x3 +6x2 +2x >0, maka fungsi naik pada –1 < x < - ½ atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.

Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f ( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui titik tersebut.

Definisi : Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f ' ( ) naik pada x selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f ' ( ) turun pada selang I. x Oleh karena itu dapat disimpulkan :

1. Bila f " ( )x >0,x∈I maka f(x) cekung ke atas pada I dan 2. Bila f " ( )x <0,x ∈I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh :

Tentukan selang kecekungan dari fungsi :

x x x f + + = 1 1 ) ( 2 Jawab : Turunan pertama,

(

)

2 2 1 1 2 ) ( ' x x x x f + − + = Turunan kedua,

(

₁

)

3 4 ) ( " x x f + =

Cekung ke atas, f"(x)>0 pada selang x > -1 dan cekung ke bawah pada selang x < -1.

Soal Latihan

Tentukan selang kemonotonan dan kecekungan dari kurva berikut 1. f x( )=

(

x−3

)

3

2. f x( )= 2x3+9x2 −13 3. f x( )= x3−2x2+ +x 1 4. f x( )= 3x4−4x3+2 5. f x( )= x6−3x4

6. f x x x ( )= 2−₂ 7. f x x x ( )= + 2 2 ₁

NILAI EKSTRIM

Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0

[

f '

( )

a = 0 . Titik ( a, b ) disebut

]

titik ekstrim, nilai x = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.

Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk setiap x ∈ I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f(x) untuk setiap x ∈ I.

Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x) dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :

1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f'(x)dan f"(x)

2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' ( )x = 0 ), misalkan nilai stasioner adalah x = a

3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f " ( )a <0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai minimum bila f " ( )a >0 .

Contoh :

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f(x)= x4 +2x3+x2−5 Jawab :

Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f"(x)=12x2 +12x+2.

Untuk x = -1, f"(−1)= 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.

Untuk x = - ½ , f"(−1₂)=−1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum

( )

16 15 4 2 1 =− − f

Definisi : Titik Belok

Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya.

Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f "( )b =0 atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata “ syarat perlu “ mirip artinya dengan kata “ calon “, maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi.

Contoh

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. f x( )= 2x3−1

b. f x( )= x4 c. f x( )= x13 +₁ Jawab :

a. Dari f x( )= 2x3−1 maka f " ( )x =12 . x

Bila f " ( )x = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.

Untuk x < 0 maka f " ( )x <0 , sedangkan untuk x > 0 maka f " ( )x >0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

b. Dari f x( )=x4 maka f " ( )x =12x2.

Bila f " ( )x = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.

Untuk x < 0 dan x > 0 maka f " ( )x >0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

c. Dari f x( )= x13 +_{1 maka f x} x " ( ) = −2 9 5 3

. Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua

kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f " ( )x >0 , sedangkan untuk x > 0 maka f " ( )x <0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok

Asymtot

Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :

1. Asymtot mendatar 2. Asymtot tegak 3. Asymtot miring

Misal diberikan kurva y = f ( x ). Maka garis y = b disebut asymtot mendatar dari y = f ( x ) bila : lim ( )

x

f x b

→∞ = atau x lim ( )

f x b

→− ∞ = . Sedangkan garis x = a disebut asymtot

tegak bila berlaku salah satu dari : 1. lim ( ) x a f x → + = ∞ 2. lim ( ) x a f x → + = − ∞ 3. lim ( ) x a f x → − = ∞ 4. lim ( ) x a f x → − = − ∞ Contoh :

Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi

1 ) ( 2 2 − − = x x x f Jawab :

Asymtot datar, y = -1 sebab 1

1 lim ) ( lim 2 2 − = − − = ∞ → ∞ → x x x f x x atau lim ( )= −1 ∞ − → f x x

Asymtot tegak, x = -1 dan x = 1 sebab =∞

− − = + + _→− − → 1 lim ) ( lim 2 2 1 1 x x x f x x dan −∞ = − − = + + _→ → 1 lim ) ( lim 2 2 1 1 x x x f x x

Garis y = a x + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y = f ( x ) bila berlaku

(

)

[

]

[

(

)

]

lim ( ) lim ( )

miring dari fungsi rasional f x P x Q x ( ) ( )

( )

= [ pangkat P(x) = 1 + pangkat Q(x) ] dilakukan dengan cara membagi P(x) dengan Q(x) sehingga hasilbagi yang didapatkan merupakan asymtot miring dari f(x).

Contoh :

Carilah asymtot dari fungsi

1 3 2 ) ( 2 − − − = x x x x f Jawab :

Asymtot datar tidak ada sebab = ∞ ∞ → ( ) lim f x x atau =−∞ ∞ − →lim f(x) x .

Asymtot tegak, x = 1 sebab =∞

− − − = − − _→ → 1 3 2 lim ) ( lim 2 1 1 x x x x f x x .

Asymtot miring, y = x – 1 sebab

(

)

0

1 4 lim 1 1 3 2 lim 2 = − − =         − − − − − ∞ → ∞ → x x x x x x x Grafik Fungsi

Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu : selang kemonotongan, selang kecekungan, titik ekstrim dan jenisnya, titik potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titik belok ( bila ada ), semua asymtot ( bila ada ) dan titik lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahkan menggambarkan grafik.

Soal latihan

( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari kurva dengan persamaan berikut : 1. f x( )= x3−3x2+2 2. f x( ) = x3−3x+4 3. f x( )= −x sin ,x

(

< <x

)

2 0 2π 4. f x( )= cos2x,_− < <x _ 2 3 2 π π

5. f x( )= x + 4 4 1 6. f x( )= 3x4−4x3

( Nomor 7 sd 10 ) Tentukan titik belok dari kurva berikut ( bila ada ) 7. f x( )= 1x − x 6 2 3 8. f x( )= x+2 9. f x( )= x4+4 10. f x( )=x4 −6x3−24x2 + +x 2

( Nomor 11 sd 21 ) Cari semua asymtot dari fungsi berikut :

11. f x x x ( )= − 2 3 12. f x x x ( )= − 2 2 ₁ 13. 2 1 ) ( x x x f = − 14. f x

(

x

)

x ( )= −1 2 2 15. f x x x ( )= 2− 1 16. f x x x ( )= − 2 4 2 17. f x x _x ( )= + −2 3 1₃ 18. f x x x ( )= − 2 2 19. f x x x x ( )= − − + 2 2 3 2 20. f x

(

x

)

x ( )= −2 3 2

21. f x x x ( )= 4−

3 2

( Nomor 22 sd 28 ) Gambarkan grafik kurva berikut : 22. f x( )=x3−3x−1 23. f x( ) = x3−2x2+ +x 1 24. f x( ) =3x4−4x3+2 25. f x( ) = x6−3x4 26. f x( ) =3x5−5x3 +1 27. f x x x ( )= + 2 1 28.

(

)

f x x x ( )= + 3 8 2

DALIL DELHOSPITAL

Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit yaitu : 0

0, , .0 ∞

∞ ∞ dan∞ − ∞. Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh Delhospital.

Bentuk 0 0 dan

∞ ∞

Misal lim f(x) = lim g(x) = 0 atau lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka lim ( ) ( ) lim ' ( ) ' ( ) f x g x f x g x

= . Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk 0 0 atau

∞ ∞ maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan bentuk tak tentu tersebut. Penulisan lim mengandung maksud

∞ → −∞ → → → →a _{x a}+ _{x a}− x x x lim atau lim , lim , lim , lim . Contoh :

Hitung limit berikut a. lim cos x x x → − 0 2 1 2 b. lim x x x x →∞ + + 3 4 2 1 Jawab :

a. lim cos lim sin lim cos

x x x x x x x x → → → − = = = 0 2 0 0 1 2 2 2 2 4 2 2 2

b. lim lim lim lim

x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ + + = + = = = 3 4 2 3 2 2 1 3 2 4 6 12 6 24 0 Bentuk 0 . ∞∞

Misal lim f(x) = 0 dan lim g(x) = ∞. Maka lim f(x) g(x) merupakan bentuk 0 . ∞ . Untuk menyelesaikannya kita ubah menjadi bentuk 0

0 atau ∞

∞ yaitu : lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

( ) ( )

f x g x f x g x

g x f x

= ₁ = ₁ . Selanjutnya solusi dari limit tersebut diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya.

Contoh :

Hitung limit berikut

a. lim sec / x x x → −    π π 2 2 b. lim csc x x x →0 2 Jawab :

a. lim sec lim

cos lim sin

/ / / x x x x x x x x → − → →    = − = − = − π π π π π 2 2 2 2 2 1 ₁ b. lim csc lim

sin lim cos

x x x x x x x x x →0 = → = → = 2 0 2 0 2 0 Bentuk ∞∞ - ∞∞

Misal lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka untuk menyelesaikan lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(x) - g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya.

Contoh

Hitung lim csc

(

cot

)

x

x x

→0 −

(

)

lim csc cot lim

sin cos sin lim cos sin lim sin cos x x x x x x x x x x x x x → − = → − → →       = − = = 0 0 0 0 1 1 0

Sebagai catatan bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan menggunakan dalil Delhospital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit fungsi f(x) dengan f(x) bukan merupakan fungsi rasional. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh berikut.

Contoh

Hitung limit berikut : a. lim x x x x →−∞ − − 2 ₃ 1 b. lim x x x x →∞ + − +   2 2 1  Jawab: a. lim lim ( ) x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − − = − − − ₌ 2 2 2 3 1 3 1 1 b. lim lim x x x x x x x x x x x →∞ + − + →∞   2 2  = 2 _{+ +}− 2₊ = 2 1 1 1 1 2 Soal latihan

Hitung limit berikut ( bila ada ) 1. lim x x x →+∞ + − 2 1 2 5 2. lim x x x x →−∞ − − 4 2 1 2 3

3. lim x x x →+∞ − + 5 3 4 3 4. lim x x x →+∞ − + 3 5 6 2 3 5. lim x x x →+∞ − + 2 1 1 2 6. lim x x x →−∞ + + 2 1 1 2 2 7. lim csc x→02x x

8. lim cot

(

cos

)

x x x →0 − 2 1 2 9. lim x x x x →+∞ + −   2  10. lim x x x →+∞ + −   2 3  11. lim x x x x x →+∞ + − −   2 2  12. lim x x x x →−∞ − − −   2 3 2 3  13. l i m x x x x→ +∞ + − −   2 6 5  14. lim sin

( )

x ax ax →0 15. lim tan sin x x x →0 5 2 16. lim sin ( ) x x x →0 2 2 5 17. lim sin cos x x x →01−

18. lim sin cos x x x x →01− 19. lim cos cos x x x → − − 0 2 1 1 5 20. lim cos x x x →0 − 2 1

NOTASI SIGMA ( ΣΣ )

Notasi untuk sigma ( jumlah ) diberikan berikut :

n n i i a a a a = + + +

∑

= ... 2 1 1 dan k k k k nk n i nsuku = + + + =

∑

=1 ...₄₃₄ 4 42 1

Beberapa sifat dan rumus sigma diberikan berikut :

1.

∑

(

)

∑

∑

= = = + = + n i n i n i i i i i lb k a l b a k 1 1 1 ( sifat linear ) 2.

∑

(

)

= + + − = − n i n i i a a a a 1 1 1 1 3. ( )

[

i i

]

(n ) i n + − = + − = ∑ 1 2 2 1 2 1 1 4.

∑

= + = n i n n i 1 2 ) 1 ( 5.

∑

= + + = n i n n n i 1 2 6 ) 1 2 )( 1 ( 6.

∑

=     + = n i n n i 1 2 3 2 ) 1 ( 7.

∑

(

)

= − + + + = n i n n n n n i 1 2 3 4 30 1 9 6 ) 1 ( Soal Latihan

( Nomor 1 sd 10 ) Hitung nilai sigma berikut :

1. 2 2 1 6 i i

∑

= 2.

(

i

)

i + =

∑

1 2 1 6 3.

₍

( )

−

₎

+ =

∑

₂ 1 ₁ 2 4 i i i i 4. cosi i π =

∑

1 7 5. 1 1 1 1 40 k k k − +    =

∑

6.

(

2 2 1

)

1 10 k k k − − =

∑

7.

(

)

1 1 1 2 2 3 20 k k k + −       =

∑

8.

[

(i )( i )

]

i − + =

∑

1 4 3 1 10 9. 5 2 4 1 10 k k k ( + ) =

∑

10.

(

2 3

)

2 1 i i n − =

∑

( Nomor 11 sd 16 ) Nyatakan dalam notasi sigma deret berikut: 11. 1 + 2 + 3 +…+ 98 12. 2 + 4 + 6 + … + 100 13. 1 + ½ + 1/3 + … + 1/69 14. 1 - ½ + 1/3 - ¼ + … - 1/50 15. f c( )₁ + f c( ₂) ...+ +f c( _n) 16. f w( ₁)∆x+ f w( ₂)∆x+ +... f w( _n)∆x

INTEGRAL TENTU

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Materi pembahasan terdahulu yakni tentang integral tak tentu dan notasi sigma akan kita gunakan untuk mendefinisikan tentang integral tentu.

Pandang suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada suatu selang tutup [ a,b ]. Pada tahap awal akan lebih mudah untuk dapat dimengerti bilamana f(x) diambil selalu bernilai positif , kontinu dan grafiknya sederhana.

Pandang suatu partisi P pada selang [ a,b ] yang dibagi menjadi n sub selang ( dalam hal ini diambil yang panjangnya sama walaupun hal ini tidaklah mutlak ), misal

a= x₀< x₁< <.... x_n−1< x_n =bdan ∆x_k =∆x= x_k −x_k−1. Pada setiap sub selang

[

x_k−1,x_k

]

kita ambil suatu titik x_k ( titik sembarang namun untuk memudahkan penjelasan dipilih titik tengah selang ) yaitu x_k = xk −xk−1

2 .

Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran ∆x dan f x

( )

_k sebagai panjang dan lebarnya , sehingga luas tiap partisi adalah f x

( )

_k ∆x. Oleh karena itu didapatkan jumlah luas partisi pada selang [ a,b ] yaitu : f x

( )

_k x

k n ∆ =

∑

1 . Jumlah tersebut dinamakan jumlah Riemann untuk f(x) yang bersesuaian dengan partisi P. Maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) , garis x = a , garis x = b dan sumbu X akan didekati oleh jumlah Riemaan di atas bila diambil n → ∞. Dari sini dapat didefinisikan suatu integral tentu yaitu integral dari f(x) pada suatu selang [ a,b ] berikut.

Definisi : Integral Riemann

Misal fungsi f(x) kontinu pada selang [ a,b ], ∆x b a ∆

n x

k = − = lebar partisi dari

[ a,b ], a = x₀ , b = x_n , x_k = xk −xk−1

2 . Maka integral dari f(x) atas [ a,b ] didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann yaitu :

( )

( )

f x dx f x x f x x x _k n k a b n _k k n ( ) = lim = lim →

∑

_{= →∞ =}

∫

∑

∆ 0 ₁ ∆ ₁ ∆

Bila limit ada maka f(x) dikatakan integrabel ( dapat diintegralkan ) pada [ a,b ]. Integral ini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu.

Teorema

1. Misal f(x) fungsi terbatas pada [ a,b ] ( yaitu terdapat M ∈ ℜ sehingga | f(x) | ≤ M untuk setiap x ∈ [ a,b ]) dan kontinu kecuali pada sejumlah hingga titik pada [ a,b ]. Maka f(x) integrabel pada [ a,b ].

2. Bila f(x) kontinu pada [ a,b ] maka f(x) integrabel pada [ a,b ].

Contoh

Fungsi berikut tidak integrabel pada [ -2,2 ] :

f x _x x x ( ) , , = ≠ =     1 0 1 0 2

Tunjukkan ( dengan membuat grafik ) bahwa f(x) tidak terbatas pada [ -2,2 ]!

Teorema Dasar Kalkulus ( Pertama )

Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka

f x dx F b F a a b ( ) = ( )− ( )

∫

Contoh :

Selesaikan integral tentu berikut : a. sin 2

( )

2 x dx π π

∫

b. x x2 dx 1 1 +

∫

Jawab :

a. Misal u = 2x . Maka du = 2 dx. Untuk x =

½

π dan x = π maka u = π dan u = 2π.

( )

(

)

sin 2 1 sin cos cos cos

2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 x dx u du u π π π π π π π π

∫

=

∫

= − = − − = − b. Misal u = x2 + 1. Maka du = 2 x dx.

Dari bentuk integral tak tentu didapatkan : x x2 1 dx 1 u du u u C 2 1 3 + = = +

∫

∫

Jadi : x x2 dx

( )

x x

(

)

0 1 2 2 0 1 1 1 3 1 1 1 3 2 2 1 + = + + = −

∫

Teorema Dasar Kalkulus ( Kedua )

Misal f(x) kontinu pada [ a,b ]. Maka terdapat c ∈ ( a,b ) sehingga :

f x dx f c b a

a b

( ) ( ) ( )

∫

= −

Teorema ini disebut juga Teorema Nilai Rata-rata Integral dengan f( c ) merupakan nilai rata-rata integral dari f( x).

Contoh :

Tentukan nilai rata-rata fungsi f x( ) = x 2x2 +1 pada selang [ 0,2 ]. Jawab :

Misal u = 2 x2 + 1. Maka du = 4 x dx. Bila x = 0 dan x = 2 maka berturut-turut u = 1 dan u = 9. Jadi : Rata−rata = 1

∫

+ =

∫

= = − = 2 2 1 1 8 1 12 9 4 1 12 13 6 2 0 2 1 9 1 9 x x dx u du u u