Aplikasi Turunan untuk Nilai Maksimum dan Minimum

Nilai Maksimum &

Minimum

Aplikasi Turunan

Nilai ektrim:

• Ekstrim maximum

• Ekstrim minimum

Tempat terjadinya nilai ekstrim di yaitu pada titik kritis. Titik Kritis ada 3 jenis yaitu :

1.Ujung-ujung selang atau end points [a,b]

2.Titik Stationer x=c, f’(c)=0

3.Titik Singular x=c, f’(c) tidak ada

APLIKASI TURUNAN

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Teorema A - Teorema keberadaan maks-min (max-min existence theorem)

Jika fungsi f kontinu pada interval tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b].

APLIKASI TURUNAN

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Teorema

Teorema B - Teorema Titik Kritis

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang berisi titik c. Jika f(c) adalan nilai ekstrim, maka c harus merupakan titik kristis. Titik c

tersebut haruslah salah satu dari:

Titik ujung dari I Titik stasioner dari f Titik singular dari f

APLIKASI TURUNAN

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Teorema

Dari teorema A dan B, kita dapat menyimpulkan prosedur sederhana untuk menentukan nilai maksimum/minimum suatu fungsi kontinu f pada interval tertutup I.

Langkah 1: Carilah titik-titik kritis f pada I

Langkah 2: Hitunglah f pada setiap titik kritis.

Yang terbesar diantara nilai nilai ini adalah nilai maksimum, yang terkecil adalah nilai minimum.

APLIKASI TURUNAN

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Teorema

CONTOH SOAL

• Tentukanlah titik-titik kritis serta nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut :

1. f(x)= -2x

³

+3x

²

pada [ -1/2,2]

2. f(x)= x

³

- 3x+1

3. f(x)= x/1+ x

²

pada [-1,4]

Uji Turunan: Lokal Maksimum & Lokal Minimum

UJI TURUNAN PERTAMA

•Jika f’(c) mengalami perubahan (+) menjadi (-) maka f(c) adalah lokal maksimum

•Jika f’(c) mengalami perubahan (-) menjadi (+) maka f(c) adalah lokal minimum

UJI TURUNAN KEDUA

•f’’(c) > 0 maka f(c) adalah minimum lokal

•f”(c) < 0 maka f(c) adaalah maksimum lokal

CONTOH SOAL

• Dengan menggunakan uji turunan pertama dan uji turunan

kedua,tentukan titik tercapainya nilai maksimum atau minimum lokal utuk fungsi berikut:

4. f(x) =1/3x

³

- x

²

-3x+4

5. f(x)= 1/4x

⁴

+X

³

– 2x

²

6. f(x)= 1/4x

⁴

– x

³

CONTOH APLIKASI TURUNAN PADA KEHIDUPAN SEHARI-HARI

7. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari,dengan biaya (4x- 160+2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum perhari

penyelesaian pekerjaan tersebut adalah…

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari

f(x) = -2x³ + 3x² pada [-½, 2] !

Fungsi f( ) = ^□(64&2/3) kontinu di mana-mana. 𝑥 𝑥 carilah nilai-nilai maksimum dan minimumnya

pada [-1,2].

Tentukanlah titik kritis - titik kritis dari fungsi f,

dengan f(x) = −2x³ + 3x² di [−1, 2] !

Carilah nilai-nilai maksimum & minimum dari f(x)

= x³ pada [-2, 2] !

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi ( )=2 ^3+15 ^2+36 dalam interval 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

1≤ ≤5 ! 𝑥

Nilai stasioner dari fungsi f(x)= x3 - x2 - 8x

diperoleh pada…..

Thank You

Q&A