BAHAN PROYEK KALKULUS DIFFERENSISAL
“NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM”
Disusun Oleh :
Arfi’ah Nur Rachmawati Nim: K1321O17
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2021
Definisi
Misal 𝑆 daerah asal dari 𝑓 dan memuat titik c. Dikatakan bahwa
(1) 𝑓(𝑐) nilai maksimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 (2) 𝑓(𝑐) nilai minimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 (3) 𝑓(𝑐) nilai ekstrim dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau minimum (4) Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif
Gambar berikut adalah ilustrasi yang menunjukkan tempat-tempat di mana sustu fungsi mungkin mencapai nilai maksimum dan minimum.
Selanjutnya titik di mana fungsinya bernilai nol di namakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung selang, titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis. Titik-titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut :
Teorema A Teorema Keberadaan Maks-Min
Jika f kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di selang tersebut.
Teorema B Teorema Titik Kritis
Misalkan 𝑓 didefinisikan pada interval 𝑙 yang memuat titik c. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis ; dengan kata lain, c adalah salah satu dari
(i) Titik ujung dari 𝑙;
(ii) Titik stasioner dari 𝑓; yakni titik di mana 𝑓′(𝑐) = 0; atau (iii) Titik singular dari 𝑓; yakni titik di mana 𝑓′(𝑐) tidak ada.
Berdasarkan kedua teorema diatas, untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi kontinu di selang tutup dapat dilakukan dengan langkh-langkah sebagai berikut :
1. Cari titik-titik kritis dari fungsi 𝑓 pada selang tutup yang ditentukan 2. Cari nilai 𝑓 pada titik-titik kritis
3. Nilai yang paling besar pada uji titik kritis merupakan nilai maksimum dan yang kecil menjadi nilai minimum
Contoh 1 :
Cari nilai maksimum dan minimum dari 𝑓(𝑥) = −2𝑥3+ 3𝑥2 pada [−1
2, 2]
Penyelesaian :
Menentukan titik-titik kritis dari 𝑓 [−1
2, 2] adalah titik-titik ujung.
Untuk mencari titik stasioner maka :
𝑓′(𝑥) = −6𝑥2+ 6𝑥 = 0 untuk x, diperoleh 0 dan 1.
Tidak ada titik-titik singular. Jadi titik-titik kritisnya adalah −1
2, 0, 1, dan 2
Titik-titik kritis dari 𝑓 adalah −1
2, 0, 1, dan 2 Nilai 𝑓 pada titik-titik tersebut adalah : 𝑓 (−1
2) = 1, 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = −4
Berdasarkan nilai 𝑓 pada titik kritis, bisa ditentukan pada selang −1
2≤ 𝑥 ≤ 2 Nilai maksimum 𝑓 adalah 1 (dicapai di −1
2 dan 1) Nilai minimum 𝑓 adalah -4 (dicapai di 2)
Contoh 2 :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari 𝑓(𝑥) = 𝑥3 pada [−2,2]
Penyelesaian :
Menentukan titik-titik kritis dari 𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2, yang terdefinisi pada (-2,2) dan 0 hanya ketika 𝑥 = 0.
Maka titik kritisnya adalah 𝑥 = 0 serta titik-titik ujung 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 2.
Titik-titik kritis dari 𝑓 adalah 0, -2 dan 2 𝑓(−2) = −8, 𝑓(0) = 0, 𝑓(2) = 8
Berdasarkan nilai 𝑓 pada titik kritis, bisa ditentukan pada selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 Nilai maksimum 𝑓 adalah 8 (tercapai di x = 2) dan
Nilai minimum 𝑓 adalah -8 (tercapai di x = -2) Kemonotonan dan Kecekungan
Dari grafik tersebut dapat dikatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di kanan c.
TEOREMA A | teorema kemonotonan
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 naik pada I.
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 turun pada I.
Definisi :
Misal f dapat didiferensialkan pada selang selang buka I . Jika f ' naik pada I dikatakan f cekung ke atas di I dan jika f ' turun pada I dikatakan f cekung ke bawah di I.
Misal f kontinu pada c . Titik (c, f (c)) dikatakan titik belok dari grafik f jika f cekung ke atas di satu sisi dari c dan f cekung ke bawah di sisi lainnya. Gambar berikut menunjukkan beberapa kemungkinan :
Contoh :
Tentukan dimana fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥
1+𝑥2 naik, turun, cekung ke atas atau cekung ke bawah dan titik beloknya ( jika ada ).
Penyelesaian
TEOREMA B | kecekungan
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I.
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke atas pada I.
2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke bawah pada I.
Uji Ekstrim Lokal
Definisi :
Misal S adalah daerah asal f dan cS . Kita katakan bahwa
i. f (c) nilai maksimum lokal f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga f (c) f (x) , x I S
ii. f (c) nilai minimum lokal f pada S f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga f (c) f (x) , x I S
iii. f (c) nilai ekstrim lokal f pada S jika f (c) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal
Contoh Masalah
Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.
Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah?
TEOREMA| uji turunan pertama
misal 𝑓 kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :
1. Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka (𝑐) adalah nilai maksimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
2. Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka (𝑐) adalah nilai minimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
3. Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏) atau Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka (𝑐)bukan nilai ektrim lokal f pada (𝑎, 𝑏)
TEOREMA | uji turunan kedua
Misal 𝑓 dan 𝑓′ dapat diferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik c dengan 𝑓 ′ (𝑐) = 0, maka
1. Jika (𝑐) > 0 maka (𝑐) adalah nilai minimum lokal 2. Jika (𝑐) < 0 maka (𝑐) adalah nilai maksimum local
Penyelesaian
Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah 𝑥 cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi (30 − 2𝑥) cm. perhatikan juga bahwa interval nilai 𝑥 yang mungkin adalah 0 < 𝑥 < 15.
Nyatakan volume kotak/balok (V) sebagai fungsi terhadap variabel 𝑥 V(𝑥) = 𝑝𝑙𝑡
= (30 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)𝑥 = 4𝑥3− 120𝑥2+ 900𝑥
Volume balok akan maksimal apabila 𝑉′(𝑥) = 0 𝑉′(𝑥) = 0
12𝑥2− 240𝑥 + 900 = 0 𝑥2− 20𝑥 + 75 = 0 (𝑥 − 15)(𝑥 − 5) = 0
Diperoleh 𝑥 = 15 (tidak memenuhi) atau 𝑥 = 5 Untuk 𝑥 = 5, diperoleh
𝑉(5) = 900(5) − 120(5)2+ 4(5)3 = 4.500 − 3000 + 500 = 2000
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah 2000 𝑐𝑚3
