BAHAN PROYEK KALKULUS DIFERENSIAL
“NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM”
Disusun Oleh:
HERVANNY CHUSWATUN HASANAH (K1321045)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN AKADEMIK 2021/2022
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM Maksimum dan Minimum
Dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim?
Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali terjadi pada titik-titik ujung. Titik dimana fungsinya bernilai nol dinamakan titik stasioner, sedangkan titik dimana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung, titik stasioner, dan titik singular dinamakan titik -titik kritis.
Titik-titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut :
Definisi
Misalkan 𝑆, daerah asal 𝑓, mengandung titik 𝑐. Kita katakan bahwa
(i) 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆;
(ii) 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆;
(iii) 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim 𝑓 pada 𝑆 jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;
(iv) fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif
Teorema A (Teorema Keberadaan Maks-Min)
Jika 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.
Teorema B (Teorema Titik Kritis)
Misalkan 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, 𝑐 adalah salah satu dari
(i) titik ujung dari 𝐼;
(ii) titik stasioner dari 𝑓; yakni titik dimana 𝑓’(𝑐) = 0; atau (iii) titik singular dari 𝑓; yakni titik dimana 𝑓’(𝑐) tidak ada
Contoh :
Carilah titik-titik kritis, nilai maksimum dan minimum dari ( ) pada
, Penyelesaian :
Titik-Titik Kritis
a) Titik-titik ujung adalah
dan 2 b) Titik stasioner
( ) ( ) ( )
( )
Jadi, titik stasionernya adalah 0 dan 1 c) Titik singular tidak ada
Jadi, titik-titik kritisnya adalah
, 0, 1 dan 2.
Nilai Maksimum dan Minimum Telah diperoleh
, 0, 1 dan 2 sebagai titik-titik kritis.
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jadi, nilai maksimum adalah 1 (dicapai di ) dan nilai minimum adalah 4 (dicapai di 2).
Kemonotonan dan Kecekungan
Jika kita mengamati grafik berikut, kita mengatakan turun di kiri dan naik di kanan .
Turunan Pertama dan Kemonotonan
Dari teorema di atas dapat ditentukan di mana suatu fungsi naik dan di mana suatu fungsi turun.
Pada grafik yang cekung ke atas garis singgung bergerak searah jarum jam (kemiringan bertambah) dan pada grafik yang cekung ke bawah garis singgung bergerak berlawanan jarum jam ( kemiringan berkurang ).
Contoh :
Jika ( ) , tentukan dimana naik dan dimana turun!
Penyelesaian :
Pertama-tama kita mencari turunan ( )
’( ) ( )( ) kita perlu menentukan nilai yang memenuhi
( +1)( ) 0 dan juga yang memenuhi ( +1)( )
Diperoleh titik-titik pemisah adalah 1 dan 2 dimana titik-titik ini membagi sumbu atas tiga interval yaitu ( , ), ( , ) ( , ). Dengan menggunakan titik-titik
𝑥 𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) Definisi
Misalkan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :
(i) 𝑓 naik pada 𝐼 jika, untuk setiap pasangan bilangan 𝑥 dan 𝑥 dalam 𝐼, (ii) 𝑓 turun pada 𝐼 jika, untuk setiap pasangan bilangan 𝑥 dan 𝑥 dalam 𝐼, (iii) 𝑓 monoton murni pada 𝐼 jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau turun pada 𝐼
Teorema A (Teorema Kemonotonan)
Misalkan 𝑓 kontinu pada interval 𝐼 dan terdiferensial pada setiap titik-dalam dari 𝐼.
(i) Jika 𝑓’(𝑥) untuk semua titik-dalam 𝐼, maka 𝑓 naik pada 𝐼.
(ii) Jika 𝑓’(𝑥) untuk semua titik-dalam 𝐼, maka 𝑓 turun pada 𝐼.
uji , , , dapat disimpulkan bahwa ’( ) pada interval pertama dan terakhir, lalu ’( ) pada interval tengah. Jadi menurut Teorema A, naik pada ( , ) ( , ), sedangkan turun pada ( , ).
Turunan Kedua dan Kecekungan
Misal kontinu pada . Titik ( , ( )) dikatakan titik belok dari grafik jika cekung ke atas di satu sisi dari dan cekung ke bawah di sisi lainnya.
Dengan mempertimbangkan teorema kecekungan dan gambar di atas, kita bisa menduga bahwa titik-titik dimana ( ) dan dimana ( ) tidak ada adalah calon titik dimana terjadi perubahan kecekungan.
Contoh :
Tentukan dimana ( ) ( ) cekung ke atas atau cekung ke bawah, dan titik beloknya (jika ada)
Penyelesaian :
( ) ( )
( ) , agar terdefinisi
Titik stasioner saat g terdefinisi ( )
Teorema B (Teorema Kecekungan)
Misalkan 𝑓 terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka 𝐼.
(i) Jika 𝑓”(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼.
(ii) Jika 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼.
Definisi
Misalkan 𝑓 terdiferensiasi pada interval terbuka 𝐼. Kita katakan bahwa 𝑓 (dan grafiknya) cekung ke atas pada 𝐼 jika 𝑓’ menaik pada 𝐼 dan kita katakan bahwa 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 jika 𝑓’ menurun pada 𝐼.
Titik singular saat g tidak terdefinisi
( ) tidak terdefinisi saat
Menentukan cekung ke atas atau cekung ke bawah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
Berdasarkan turunan kedua tersebut, diduga titik perubahan kecekungan saat ( ) dan ( ) tidak ada.
( ) saat dan ( ) tidak ada saat Jadi kita harus menguji kecekungan pada selang-selang ( , ) , ( , ) , ( , ) seperti berikut :
Selang
Nilai Uji
Tanda ( ) ( )
( ) ( ) Kesimpulan Cekung ke atas Cekung ke bawah Cekung ke bawah Maka, cekung ke atas pada selang ( , ) dan cekung ke bawah pada selang ( , ) ( , ).
Menentukan titik belok
Pada fungsi ( ) ( ) , terjadi perubahan kecekungan yang awalnya cekung ke atas menjadi cekung ke bawah pada .
Titik belok ( ) ( , ( )) ⟹ ( , ( ))
( ) ( ) ( ( )) ,
Jadi, titik belok ( ) ( ) adalah ( , , ).
Uji Ekstrim Lokal
Teorema titik kritis berlaku dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal. Titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal..
Contoh :
Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari ( ) pada ( , ) Penyelesaian :
( )
( ) ( )( )
Titik-titik kritis hanyalah dan . Ketika kita gunakan titik-titik uji , dan , kita ketahui bahwa ( )( ) pada ( , ) dan ( , ) serta
Definisi
Misalkan 𝑆, daerah asal 𝑓 memuat titik 𝑐. Kita katakan bahwa :
(i) 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐 sedemikian rupa sehingga 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
(ii) 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal 𝑓 jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐 sedemikian rupa sehingga 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum 𝑓 (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
(iii) 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Teorema A (Uji Turunan Pertama)
Misalkan 𝑓 kontinu pada interval terbuka (𝑎, 𝑏) yang memuat sebuah titik kritis 𝑐.
(i) Jika 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓.
(ii) Jika 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam (𝑎, 𝑐) dan 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓.
(iii) Jika 𝑓 (𝑥) bertanda sama pada kedua pihak 𝑐, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim lokal 𝑓.
( )( ) pada ( , ). Berdasarkan uji turunan pertama dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah nilai maksimum lokal dan ( ) adalah nilai minimum lokal.
Terdapat uji ekstrim lain yang bisa digunakan. Uji ini melibatkan penghitungan turunan kedua pada titik-titik stasioner tetapi tidak berlaku pada titik- titik singular.
Contoh :
Gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal ( ) Penyelesaian :
( )
( ) ( )( )
( )
Diperoleh titik-titik kritis dan . Karena ( ) dan ( ) , maka berdasarkan uji turunan kedua dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah nilai maksimum lokal dan ( ) adalah nilai minimum lokal.
Contoh Soal yang Berkaitan dengan Nilai Maksimum dan Minimum
1. Tentukan volume terbesar kotak terbuka yang dapat dibuat dari sepotong kertas karton berbentuk persegi dengan panjang sisi 24 cm dengan memotong persegi yang sama pada tiap pojoknya kemudian dilipat ke atas masing-masing sisinya.
Penyelesaian :
Misalkan adalah panjang sisi persegi kecil sehingga panjang dan lebar kotak menjadi ( )cm.
Nyatakan volume kotak ( ) sebagai fungsi terhadap variabel ( )
( ). ( ).
( ).
( ) Teorema B (Uji Turunan Kedua)
Misalkan 𝑓 dan 𝑓 ada pada setiap titik interval terbuka (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐, dan misalkan 𝑓 (𝑐) .
(i) Jika 𝑓 (𝑐) , maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓.
(ii) Jika 𝑓 (𝑐) , maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓.
Volume kotak akan maksimum apabila ( ) ( )
( )( ) atau
Substitusikan ke persamaan : Untuk
( ) ( ) ( ) . . .
dan
Untuk
( ) ( ) ( ) . . .
Jadi, volume terbesarnya adalah 1.024 cm3.
2. Suatu perusahaan kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi berukuran panjang sisinya 12 m. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan volume terbesar!
Penyelesaian :
Misalkan adalah ukuran sisi-sisi persegi dari keempat sudutnya. disini adalah ukuran pemotongan di keempat sudutnya. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran ( ), ( ), dan .
Nyatakan volume kotak ( ) sebagai fungsi terhadap variabel ( )
( ). ( ).
( ).
( )
Keterangan :
Gambar (a) menyatakan karton
Gambar (b) menyatakan kotak kardus yang terbentuk
Volume kotak akan maksimum apabila ( ) ( )
( )( ) dan
Substitusikan ke persamaan : Untuk
( ) ( ) ( ) .
dan
Untuk
( ) ( ) ( )
Dari substitusi di atas diperoleh bahwa volume kotak akan maksimum pada saat .
Jadi, ukuran pemotongan sudut karton agar diperoleh kotak kardus dengan volume terbesar adalah sebesar 2 m.
