ANALISIS PENERAPAN TURUNAN, DAN NILAI MAX MIN DALAM PERMASALAHAN YANG BERKAITAN DENGAN LAJU DAN NILAI OPTIMASI

ANALISIS PENERAPAN TURUNAN, DAN NILAI MAX MIN DALAM PERMASALAHAN YANG BERKAITAN DENGAN LAJU DAN NILAI

OPTIMASI

Disusun oleh:

1) Apriliza Vina Hasanah (K1321015)

2) Asma' Hanifah (K1321019)

3) Citra Tiara Ningati (K1321029) 4) Ririn Dwi Is Yuliyanti (K1321071) 5) Shafaningtyas Santika Dewi (K1321075) 6) Tamara Febriana Salsabiela (K1321077) 7) Zahroh Fatkhiyatul Mufarikhah (K1321081) 8) Ahyar Aulia Fiqri (K1321083)

Disusun untuk Memenuhi Tugas Proyek Pada Mata Kuliah Kalkulus Differensial

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2021

ii DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL ... i

DAFTAR ISI ... ii

DAFTAR TABEL ... iiiii

DAFTAR GAMBAR ... iiv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 2

BAB II KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN ... 3

A. Kajian Teori ... 3

1. Turunan ... 3

1.1 Sejarah Turunan ... 3

1.2 Garis Singgung ... 4

1.3 Kecepatan Rata – rata dan Kecepatan Sesaat ... 5

1.4 Definisi Turunan ... 6

1.5 Aturan Pencarian Turunan ... 6

1.6 Turunan Tingkat Tinggi ... 8

1.7 Kecepatan dan Percepatan ... 9

2. Nilai Maksimum dan Minimum ... 9

2.1 Definisi ... 9

2.2 Eksistensi Nilai Maksimum dan Minimum ... 10

2.3 Titik Kritis ... 10

2.4 Kemonotonan ... 11

2.5 Kecekungan ... 11

2.6 Titik Balik ... 12

2.7 Nilai Maksimum dan Minimum Lokal ... 12

B. Pembahasan ... 13

BAB III PENUTUP ... 18

A. Simpulan ... 18

B. Saran ... 19

DAFTAR PUSTAKA ... 20

iii DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Tabel Turunan ... 9

iv DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Garis Singgung ... 4

Gambar 2. 2 Grafik Garis Singgung ... 4

Gambar 2. 3 Contoh Grafik ... 5

Gambar 2. 4 Gambar Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat ... 5

Gambar 2. 5 Gambar Garis Singgung Horizontal ... 10

Gambar 2. 6 Grafik Titik Balik ... 12

Gambar 2. 7 Gambar Tabung ... 14

Gambar 2. 8 Gambar Struktur Tabung ... 15

1 BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kalkulus berasal dari Bahasa latin yakni Calculus yang merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga.

Kalkulus merupakan ilmu tentang perubahan. Kalkulus menurut beberapa ilmuwan dipercaya sebagai penemuan terbesar dari semua cabang matematika karena muncul untuk memenuhi kebutuhan matematika pada abad ke-17. Kebutuhan untuk menghubungkan percepatan, kecepatan, dan jarak yang ditempuh oleh benda-benda yang bergerak, untuk menghubungkan kemiringan kurva-kurva dengan laju perubahan, untuk mencari harga-harga maksimum dan minimum yang dapat diambil oleh sebuah fungsi (jara-jarak terbesar dan terkecil dari sebuah planet ke matahari), dan untuk mencari panjang kurva-kurva, luas-luas daerah yang dibatasi oleh berbagai kurva, olume-volume yang diselubungi oleh berbagai permukaan dan pusat- pusat gravitasi dari benda-benda yang saling Tarik menarik (George B. Thomas and Finney, 1993).

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus, dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukan pengkajian tentang limit. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Sewaktu Issac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibiniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus, hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak.

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterblikan dari pengintegralan.

2 Turunan mempunyai fungsi aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Nweton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda dengan gaya yang diberikan kepada benda. Persamaan-persamaan yang melibatan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam, turunan, dan perampatannya (generalization) sering muncul dala berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

Saat ini, kalkulus sudah banyak diaplikasikan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK). Contohnya dalam bidang astronomi penggunaan kalkulus terutama kalulus diferensial yang berkaitan dengan laju akan sangat berguna dalam menentukan kecepatan atau bahkan percepatan minimum dan maksimum yang dibutuhkan suatu pesawat ulang-alik untuk lepas landas. Selain itu, penggunaan kalkulus diferensial juga sangat diperlukan dalam masalah nilai optimasi untuk meminimalkan penggunaan suatu material yang biasanya sangat dibutuhkan dalam bidang industri. Dalam hal ini, kalkulus diferensial dapat digunakan sebagai sebuah “alat” yang dapat membantu memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan laju ataupun optimasi.

Dengan pesatnya perkembangan zaman, pengaplikasian kalkulus bagi kehidupan pasatinya akan lebih beragam. Oleh karena itu, akan dibahas penerapan kalkulus diferensial dalam menyelesaiakn masalah yang berkaitan dengan laju yaitu dalam menentukan percepatan maksimum dan minimum suatu pesawat ulang-alik dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dnegan nilai optimasi yaitu cara meminimalkan penggunaan material bahan dalam hal industri minyak.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, dapat ditentukan rumusan masalah sebagai berikut:

“Bagaimana penerapan Kalkulus Diferensial dalam memecahkan masalah kehidupan sehari- hari yang berkaitan dengan laju dan nilai optimasi?”

3 BAB II

KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN

A. Kajian Teori 1. Turunan

1.1 Sejarah Turunan

Orang pertama yang merumuskan secara eksplisit gagasan limit dan turunan ialah Sir Isaac Newton pada tahun 1960. Tetapi Newton mengakui bahwa “jika saya telah melihat lebih jauh dibandingkan orang lain, itu disebabkan saya berdiri di pundak raksasa”. Dua raksasa tersebut adalah Pierre Fermat (1601- 1665) dan guru Newton di Cambrige, Isaac Barrow (1630-1677). Newton terbiasa dengan metode yang digunakan oleh orangorang ini untuk mencari garis singgung dan metode mereka memainkan peranan dalam perumusan akhir Newton tentang kalkulus. Gottfried Wilhelm Leibniz lahir di Leipzig tahun 1646. Ia mempelajari hukum, teologi, filsafat, dan matematika di universitas setempat, lulus dengan gelar sarjana pada tahun 17 tahun. Kajian tentang matematikanya secara serius belum dimulai sampai tahun 672, saat ia melakukan tugas diplomatik di paris. Ia membangun mesin hitung dan bertemu dengan para ilmuwan, seperti Huygens, yang mengarahkan perhatiannya terhadap perkembangan mutakhir matematika dan sains. Leibniz mencoba mengembangkan logika simbolik dan sistem notasi yang akan menyederhanakan penalaran logika. Khususnya, versi kalkulus yang ia terbitkan tahun 1684 menetapkan notasi dan aturan guna pencarian turunan yang kita gunakan sekarang. Sayangnya, kericuan akan kecenderungan timbul tahun 1690 antara pengikut Newton dengan pengikut Leibniz mengenai siapa yang pertamatama menemukan kalkulus. Leibniz dituduh melakukan penjiplakan oleh anggota Royal Society Inggris. Faktanya adalah bahwa masing-masing menemukan kalkulus sendiri-sendiri. Newton adalah yang pertama kali sampai pada versinya tentang kalkulus, tetapi karena takut akan perdebatan, tidak segera menerbitkannya. Sehingga catatan kalkulus Leibniz tahun 1684 merupakan yang pertama kali diterbitkan.

4 1.2 Garis Singgung

Gagasan Euclides tentang garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva di satu titik benar untuk lingkaran, tetapi tidak memuaskan untuk kurva lain.

Lihat gambar dibawah ini.

Gambar 2. 1 Garis Singgung

Gagasan bahwa garis singgung kurva pada titik P sebagai garis yang merupakan aproksimasi terbaik terhadap kurva di sekitar titik P adalah gagasan yang lebih baik, tapi masih kurang jelas secara matematis. Misalkan P adalah titik pada kurva dan Q titik berdekatan yang dapat dipindah – pindahkan pada kurva. Garis yang melalui P dan Q disebut garis sekan (tali busur). Garis singgung (garis tangen) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan jika Q bergerak kearah P sepanjang kurva. Lihat gambar dibawah ini.

Gambar 2. 2 Grafik Garis Singgung

Misalkan terdapat suatu kurva dengan grafik dari persamaan . Misal P mempunyai koordinat dan titik di dekatnya mempunyai

koordinat . Tali busur memiliki gradien

.

) (x f y ))

( , (c f c

P Q

)) ( ,

(c h f c h

Q   PQ

h c f h c PQ f

m  (  ) ( )

5

Gambar 2. 3 Contoh Grafik

1.3 Kecepatan Rata – rata dan Kecepatan Sesaat

Misalkan suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan , menunjukkan jarak ( berarah ) benda terhadap titik asal setelah waktu dan sering disebut sebagai fungsi posisi. Pada interval sampai dengan perubahan posisi adalah . Sehingga kecepatan rata – rata pada interval ini adalah

Vrata – rata = 𝒇 (𝒂+𝒉) −𝒇 (𝒂) 𝒉

Gambar 2. 4 Gambar Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat )

(t f s

t t a

h a

t   f(ah) f(a)

Definisi

Garis singgung terhadap kurva pada titik adalah garis yang melalui dengan kemiringan

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau ) (x f

y P(c,f(c)) P

h c f h c m f

mgsP h h

) ( ) lim (

lim0 talibusur 0



 

  

 

6 1.4 Definisi Turunan

Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.

 Turunan fungsi f di c dinotasikan dengan f’(a).

 Jika suatu fungsi memiliki turunan di c, maka fungsi f terdiferensil di c.

 Pencarian turunan disebut diferensiasi.

1.5 Aturan Pencarian Turunan a. Aturan Fungsi Konstanta

Bukti :

Untuk 𝑓 (𝑥) = 𝑘, maka 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = lim

ℎ→00 = 0 Definisi

Jika benda bergerak di sepanjang garis lurus dengan posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat a adalah

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau

h

a f h a v f

v

h h

) ( ) lim (

lim

0 rata-rata[a,a h] 0 a

pada



 



  

 

Definisi Turunan di Suatu Titik

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki turunan di 𝛼 jika limit berikut ada : 𝑓(𝑐) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

Bentuk Ekuivalen

Jika 𝑥 = 𝑎 + ℎ sehingga ketika ℎ → 0 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡 𝑥 → 𝑐, maka turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik c dinyatakan sebagai berikut :

𝑓′(𝑐) = lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(x)

= 0; yakni,

Dx (k) =0

7 b. Aturan Fungsi Satuan

Bukti :

𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑥 + ℎ − 𝑥

ℎ = lim

ℎ→0

ℎ ℎ= 1 c. Aturan Pangkat

Bukti :

𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

(𝑥 + ℎ)^𝑛− 𝑥^𝑛 ℎ = lim

ℎ→0

𝑥^𝑛+𝑛𝑥^𝑛−1ℎ+^{𝑛(𝑛−1)}₂ 𝑥^𝑛−2ℎ²+⋯+𝑛𝑥ℎ^𝑛−1+ℎ^𝑛−𝑥^𝑛 ℎ

= lim

ℎ→0

ℎ[𝑛𝑥^𝑛−1+^{𝑛(𝑛−1)}₂ 𝑥^𝑛−2ℎ+⋯.+𝑛𝑥ℎ^𝑛−2+ℎ^𝑛−1]

ℎ

Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol. Jadi 𝑓^′(𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1.

d. Aturan Kelipatan Konstantan

Bukti :

Misalkan F(x) = k. f(x). Maka 𝐹^′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑘. 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑘. 𝑓(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0𝑘.𝑓(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)

ℎ = 𝑘. lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘.𝑓(𝑥)

ℎ

= 𝑘. 𝑓′(𝑥) e. Aturan Jumlah

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1; yakni, Dx (x) = 1

Jika f(x) = 𝑥^𝑛, dengan n suatu bilangan bulat positif maka f’(x) = n𝑥^𝑛−1; yakni,

Dx (𝑥^𝑛) = 𝑛𝑥^𝑛−1

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan maka

(𝑘𝑓)^′𝑥 = 𝑘. 𝑓′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

8

‘Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan - turunan’

f. Aturan Selisih

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan sebagai :

“Turunan dari suatu selisih adalah selisih dari turunan - turunan”

g. Aturan Kali

h. Aturan Bagi

Untuk aturan pangkat, bagaimana jika pangkat 𝒏 merupakan bilangan bulat negatif, yaitu 𝒏 < 𝟎 atau −𝒏, turunan dari fungsi. 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛 . Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛 = ¹

𝑥^𝑛, sehingga dengan menggunakan teorena untuk aturan bagi diperoleh :

𝑓^′(𝑥) = 0(𝑥^𝑛) − 𝑛𝑥^𝑛−1(1) 𝑥^2𝑛

= −𝑛𝑥^𝑛−1

𝑥^2𝑛 = −𝑛𝑥^−𝑛−1 Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = −𝑛𝑥^−𝑛−1 1.6 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan terhadap f mengahasilkan sebuah fungsi baru f'. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f'akan diperoleh f" ( dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f"akan diperoleh fungsi f'''dan disebut turunan ketiga. Cara penulisan untuk turunan dari y  f(x) adalah sebagai berikut :

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓. 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓

𝑔)

′

(𝑥) =𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔²

9

Tabel 2. 1 Tabel Turunan

1.7 Kecepatan dan Percepatan

Berdasarkan definisi kecepatan sesaat, maka dengan menggunakan notasi Leibniz dapat dituliskan menjadi :

Misalkan, kita menggunakan lambing v(t) untuk kecepatan pada saat t 𝑣(𝑡) =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan. Percepatan mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu. Jika percepatan dinyatakan oleh a, maka :

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 =𝑑²𝑠 𝑑𝑡²

2. Nilai Maksimum dan Minimum 2.1 Definisi

Fungsi 𝑓 dikatakan memiliki maksimum relatif pada 𝑥₀ jika 𝑓 (𝑥₀) ≥ 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam beberapa interval terbuka yang berisi 𝑥₀ dan 𝑓(𝑥) terdefinisi. Dengan kata lain, nilai 𝑓 pada 𝑥₀ lebih besar dari atau sama dengan semua nilai 𝑓 pada titik terdekat. Demikian pula, 𝑓 dikatakan memiliki minimum relatif pada 𝑥₀ jika 𝑓(𝑥₀) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam beberapa

Turunan ke- Notasi f' Notasi y' Notasi D_x Notasi Leibniz

1 f'(x) y' Dxy

dx dy

2 f''(x) y ''

xy D2

2 2 dx y d

3 f'''(x) y' ''

xy D3

3 3 dx y d

4 f(4)₍x₎ y(4) Dx4y

4 4 dx y d .

. .

n f n(x) y(n) ny

Dx

dxn ny d

10 interval terbuka yang mengandung 𝑥₀ dan 𝑓(𝑥) terdefinisi. Dengan kata lain, nilai f pada 𝑥₀ kurang dari atau sama dengan semua nilai f pada titik terdekat.

Dengan extremum relatif 𝑓 yang dimaksud baik relatif maksimum atau relatif minimum 𝑓. (Ayres, 2009)

Misal 𝑆, domain 𝑓, berisi titik 𝑐. Dikatakan bahwa

i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝑆;

ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝑆;

iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim f pada S jika itu adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

iv. Fungsi yang ingin dimaksimalkan atau minimalkan adalah fungsi objektif.

(Purcell, 2014)

Teorema: Jika 𝑓 memiliki extremum relatif pada titik 𝑥₀ di mana 𝑓 ′(𝑥₀) terdefinisi, maka 𝑓 ′(𝑥₀) = 0.

Jadi, jika f dapat dibedakan pada titik di mana ia memiliki ekstrem relatif, maka grafik 𝑓 memiliki garis singgung horizontal pada saat itu. Dalam Gambar 2.5, ada garis singgung horizontal pada titik A dan B di mana 𝑓 mencapai nilai maksimum relatif dan nilai minimum relatif, masing-masing. (Ayres, 2009)

Gambar 2. 5 Gambar Garis Singgung Horizontal

2.2 Eksistensi Nilai Maksimum dan Minimum

Teorema: Jika 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana. (Purcell, 2014)

2.3 Titik Kritis

Teorema: 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 yang berisi titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) nilai ekstrim, maka 𝑐 harus menjadi titik kritis. Artinya, salah satu 𝑐 adalah

11 i. Titik akhir dari 𝐼

ii. Titik stasioner 𝑓 yaitu, titik di mana 𝑓′(𝑐) = 0 atau

iii. Titik tunggal dari 𝑓 itu adalah, titik di mana 𝑓′(𝑐) tidak ada. (Purcell, 2014)

2.4 Kemonotonan a. Definisi

𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 (terbuka, tertutup, atau tidak). Dikatakan bahwa

i. 𝑓 naik pada 𝐼 jika, untuk setiap pasangan angka 𝑥₁ dan 𝑥₂ dalam 𝐼, 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂)

ii. 𝑓 turun pada 𝐼 jika, untuk setiap pasang angka 𝑥₁ dan 𝑥₂ dalam 𝐼, 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂)

iii. 𝑓 monoton murni pada 𝐼 jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau 𝑓 turun pada 𝐼.

(Purcell, 2014) b. Teorema:

Misalkan 𝑓 kontinu pada interval 𝐼 dan terdiferensial di setiap titik di dalam 𝐼.

i. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 di dalam 𝐼, maka 𝑓 naik pada 𝐼.

ii. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 di dalam 𝐼, maka 𝑓 turun pada 𝐼.

(Purcell, 2014) 2.5 Kecekungan

a. Definisi:

Misal 𝑓 terdiferensial pada interval terbuka 𝐼. Dikatakan bahwa 𝑓 (serta grafiknya) cekung atas pada 𝐼 jika 𝑓′ naik pada 𝐼, dan dikatakan bahwa 𝑓 cekung bawah pada 𝐼 jika 𝑓^′ turun pada 𝐼. (Purcell, 2014)

b. Teorema:

Misal 𝑓 terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka 𝐼.

i. Jika 𝑓^′′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼.

ii. Jika𝑓^′′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼 maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼. (Purcell, 2014)

12 2.6 Titik Balik

a. Definisi

Misal 𝑓 kontinu di 𝑐. Dikatakan (𝑐, 𝑓(𝑐)) titik infleksi (titik balik) dari grafik 𝑓 jika 𝑓 cekung atas di satu sisi 𝑐 dan cekung bawah di sisi lain.

Grafik pada Gambar 2.6 menunjukkan sejumlah kemungkinan titik balik.

(Purcell, 2014)

Gambar 2. 6 Grafik Titik Balik

Titik balik pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah titik di mana kecekungan berubah, yaitu, kurva cekung ke atas di satu sisi dan cekung ke bawah di sisi lain titik. Jadi, jika 𝑦" ada dalam interval terbuka yang berisi 𝑥₀, maka 𝑦" < 0 di satu sisi 𝑥₀ dan 𝑦 " > 0 di sisi lain 𝑥₀. Oleh karena itu, jika 𝑦"

kontinu pada 𝑥₀, maka 𝑦" = 0 pada 𝑥₀. (Ayres, 2009) b. Teorema

Teorema: Jika grafik 𝑓 memiliki titik balik pada 𝑥₀ dan 𝑓" ada dalam interval terbuka yang berisi 𝑥₀ dan 𝑓" kontinu pada 𝑥₀, maka 𝑓"(𝑥₀) = 0.

(Ayres, 2009)

2.7 Nilai Maksimum dan Minimum Lokal a. Definisi

Misal 𝑆, domain 𝑓, berisi titik 𝑐. Kami mengatakan bahwa

i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓 jika ada interval (𝑎, 𝑏) yang mengandung 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) nilai maksimum 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆;

ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓 jika ada interval (𝑎, 𝑏) yang mengandung 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) nilai minimum 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆;

iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim lokal 𝑓 jika 𝑓(𝑐) adalah maksimum lokal atau nilai minimum lokal. (Purcell, 2014)

b. Teorema Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal

Misal 𝑓 kontinu pada interval terbuka (𝑎, 𝑏) yang berisi titik kritis 𝑐.

13 i. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua

𝑥 pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓.

ii. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓.

iii. Jika 𝑓^′(𝑥) memiliki tanda yang sama di kedua sisi 𝑐, maka 𝑓′(𝑥) bukan nilai ekstrim lokal 𝑓. (Purcell, 2014)

c. Teorema Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal

Misalkan 𝑓 terdiferensialkan dua kali pada setiap titik di (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐, dan 𝑓^′(𝑐) = 0

i. Jika 𝑓^′′(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal dari 𝑓.

ii. Jika 𝑓^′′(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum local dari 𝑓.

(Purcell, 2014) B. Pembahasan

1. Teleskop ruang angkasa Hubbis diluncurkan pada 24 April oleh peswat ulang – alik luar angkasa Bernama Discovery. Persamaan kecepatan dari pesawat ulang – alik selama misi, dari lepas landas pada t = 0 sampai roket pendorong dilepaskan pada t

= 126 s diberikan sebagai :

𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡³− 0.09029𝑡²+ 23.61𝑡 − 3.083

(Dalam kaki per detik). Dengan menggunakan model ini, perkiraan nilai maksimum dan minimum dari percepatan pesawat ulang – alik saat lepas landas dan saat melepaskan roket pendorongnya.

Solusi :

Kita diminta untuk menilai ekstrim bukan dari fungsi kecepatan yang diberikan, melainkan dari fungsi percepatan. Jadi pertama kita perlu membedakan unutuk menemukan percepatan :

𝑎(𝑡) = 𝑣^′(𝑡) = ^𝑑

𝑑𝑡(0.001302𝑡³− 0.09029𝑡²+ 23.61𝑡 − 3.083)

= ^𝑑

𝑑𝑡(0.001302𝑡³) − ^𝑑

𝑑𝑡(0.09029𝑡²) + ^𝑑

𝑑𝑡(23.61𝑡) − ^𝑑

𝑑𝑡(3.083) = 3(0.001302𝑡²) − 2(0.09029𝑡) + 23.61 − 0

𝑎(𝑡) = 0.003906𝑡²− 0.18058𝑡 + 23.61

Kita sekarang menerapkan metode interval tertutup pada fungsi kontinu a pada interval 0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Turunannya adalah

𝑎^′(𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058

14 Satu – satunya bilangan kritis yang terjadi Ketika 𝑎^′(𝑡) = 0 :

𝑡₁ = 0.18058

0.007812≈ 23.12

Mengevaluasi 𝑎(𝑡) pada bilangan kritis dan pada titik akhir, kita mendapatkan - 𝑎(𝑡) = 0.003906𝑡²− 0.18058𝑡 + 23.61

𝑎(0) = 0.003906(0²) − 0.18058(0) + 23.61 = 23.61

- 𝑎(𝑡₁) ≈ 21.52

- 𝑎(𝑡) = 0.003906𝑡²− 0.18058𝑡 + 23.61

𝑎(126) = 0.003906(126²) − 0.18058(126) + 23.61 = 0.003906(15876) − 0.18058(126) + 23.61 = 62.011656 − 22.75308 + 23.61

= 62.87

Jadi percepatan maksimum adalah 62.87 𝑓𝑡/𝑠² dan percepatan minimum adalah 21.52 𝑓𝑡/𝑠²

2. Sebuah tabung dapat digunakan untuk menampung 1L minyak. Carilah dimensi (jari-jari dan tinggi) yang bisa meminimalkan biaya pengeluaran yang digunakan untuk pembuatan besi tersebut

Solusi :

Gambar sebuah tabung dimana r adalah jari-jari dan h adalah tinggi (keduanya dalam centimeter)

Gambar 2. 7 Gambar Tabung

Untuk meminimalkan biaya dari besi, kita minimalkan luas permukaan total dari tabung (atas, bawah, dan samping).

15

Gambar 2. 8 Gambar Struktur Tabung

Dari gambar di atas kita dapat melihat bahwa kedua sisinya terbuat dari lembaran pesergi panjang dengan dimensi 2𝜋𝑟 𝑑𝑎𝑛 ℎ. Jadi, luas permukaannya adalah 𝐴 = 2𝜋𝑟² + 2𝜋𝑟ℎ

Untuk mengeliminasi h kita menggunakan fakta bahwa volume yang diberikan adalah 1L, dimana kita bisa mengkonversinya menjadi 1000 𝑐𝑚³. Maka diperoleh V = 𝜋𝑟²ℎ = 1000

Maka diperoleh ℎ =¹⁰⁰⁰

𝜋𝑟² . lalu subtitusikan ke dalam persamaan A maka diperoleh 𝐴 = 2𝜋𝑟² + 2𝜋𝑟 (¹⁰⁰⁰

𝜋𝑟²) = 2𝜋𝑟²+²⁰⁰⁰

𝑟

Sehingga diperoleh fungsi yang ingin kita minimalkan adalah 𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟²+²⁰⁰⁰

𝑟 𝑟 > 0

Untuk menentukan jari-jari silinder agar meminimalkan banyaknya material yang dibutuhkan untuk memproduksinya dimodel kan dengan mencari r sedemikian hingga fungsi A(r) minimum

Untuk mencari fungsi A(r) minimum : Mencari titik kritis

- Titik ujung (tidak ada karena merupakan selang terbuka) - Titik stasioner yaitu yakni A’(r) = 0

𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟²+²⁰⁰⁰

𝑟

𝐴^′(𝑟) = 4𝜋𝑟 − 2000𝑟⁻² 𝐴^′(𝑟) = 0 ^4𝜋𝑟3

𝑟² −²⁰⁰⁰

𝑟² = 0

16 ^{4(𝜋𝑟3−500)}

𝑟² = 0 4(𝜋𝑟³− 500) = 0 𝑟³ =⁵⁰⁰

𝜋

𝑟 = √500 𝜋³ ⁄

- 𝐴^′(𝑟) tidak terdefinisi pada saat x = 0, tetapi 0 ∉ (0, ∞) sehingga A tidak memiliki titik singular

Kemudian 𝐴^′(𝑟) = 0 ketika 𝜋𝑟³ = 500, jadi satu-satunya titik kritis adalah 𝑟 =

√500 𝜋⁄

3

Akan dilihat apakah A nilai maksimum atau minimum menggunakan uji turunan kedua

Missal f terdiferensialkan dua kali pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang membuat c dan missal f’(c) = 0

i. jika f”(c) < 0 maka f(c) nilai maksimum local ii. jika f”(c) > 0 maka f(c) nilai minimum local

𝐴^′′(𝑟) = 4𝜋 − 4000𝑟⁻³ = 4𝜋 −⁴⁰⁰⁰

𝑟³

Maka, 𝐴^′′(√500 𝜋³ ⁄ ) = 4𝜋 − ⁴⁰⁰⁰

√500 𝜋⁄

3 3 > 0

Sehingga 𝐴 (√500 𝜋³ ⁄ ) adalah nilai minimum lokal

Karena 𝑟 = √500 𝜋³ ⁄ adalah satu-satunya titik kritis, maka 𝐴 (√500 𝜋³ ⁄ ) merupakan nilai minimum global

17 Harga dari h sama dengan 𝑟 = √500 𝜋³ ⁄ adalah

ℎ =1000

𝜋𝑟² = 1000

𝜋(500 𝜋⁄ )^2/3 = 2√500 𝜋

3

= 2𝑟

sehingga untuk meminimalkan biaya pengeluaran, jari-jarinya harus

√500 𝜋⁄

3 𝑐𝑚 dan tingginya harus sama dengan dua kali radius yang berarti tingginya hrus sama dengan diameter

18 BAB III

PENUTUP A. Simpulan

1. Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.

2. Aturan Pencarian Turunan : 1. Aturan Fungsi Konstanta 2. Aturan Fungsi Satuan 3. Aturan Pangkat

4. Aturan Kelipatan Konstantan 5. Aturan Jumlah

6. Aturan Selisih 7. Aturan Kali 8. Aturan Bagi

3. Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian.

Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba.

4. Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi y = f(x), kita ikuti langkah-langkahnya seperti berikut :

i. Syarat stationer : f’(x) = 0.

ii. Tentukan jenis stationernya(maksimum, belok, atau minimum) menggunakan turunan kedua.

iii. Menghitung nilai maksimum atau minimum yang diminta dengan substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal.

19 B. Saran

Berdasarkan kesimpulan makalah diatas kami memberikan saran yaitu:

1. Diharapkan pembaca untuk dapat mengetahui penerapan kalkulus diferensial terutama dalam menentukan turunan

2. Peneliti selanjutnya diharapkan dapat memperluas lagi kajian tentang penerapan kalkulus diferensial dalam bidang turunan

20 DAFTAR PUSTAKA

Asyhar, B., 2014. Aplikasi Turunan (Derivatif) Dalam Permasalahan Analisis Keuntungan Maksimum. Al-Khwarizmi: Jurnal Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, 2(1), pp.1-14.

Ayres, Frank dan Elliot Mendelson. 2009. Schaum’s Calculus (5^th Edition). New York: The McGraw-Hill Companies. Tersedia dari http://libgen.rs/

Palobo, Markus. 2020. Kalkulus Diferensial: Pendekatan Blended Learning. Yogyakarta:

Deepublish.

Purcell, Edwin J dkk. 2013. Calculus Early Transcendentals: Pearson New International Edition. Edinburgh: Pearson. Tersedia dari https://z-lib.org/

Setiawan. 2009. Kalkulus. Yogyakarta: PPPPTK Matematika