BAB 1 : SISTEM BILANGAN RIIL
Pendahuluan Sistem Bilangan Riil
Selain itu, perbandingan kurang dari atau sama dengan (≤) dan lebih besar atau sama dengan (≥) didefinisikan sebagai berikut. 𝑥 ≤ 𝑦 jika dan hanya jika 𝑥 − 𝑦 negatif atau nol;. Untuk permasalahan pada kategori pertama, dimana kita ingin memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi yang berada pada interval tertutup.
Bilangan Real, Selang, dan Pertidaksamaan
Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat
Bidang Koordinat
Pada sumbu x, dari nol ke kanan dan seterusnya merupakan bilangan positif, sedangkan dari nol ke kiri dan seterusnya merupakan bilangan negatif. Pada sumbu y, dari nol ke atas adalah bilangan positif, dan dari nol ke bawah adalah bilangan negatif.
Garis
Seperti pada Gambar 6 di atas, kemiringan garis diasumsikan kita ambil suatu titik, misalnya titik A (3,1) dan titik F (-2,6), demikian. Kemiringan garis yang menghadap ke kanan adalah positif, karena kemiringan garis yang menghadap ke kiri adalah negatif.
Grafik dan Persamaan
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai derajat tertinggi pada suatu fungsi atau persamaan dua (tentu saja mempunyai titik belok), rumus umumnya adalah 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 dengan 𝑎2≠ 0. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi dalam interval tertentu disebut nilai ekstrim suatu fungsi selang.
BAB 2 : FUNGSI dan LIMIT
Fungsi
Konsep fungsi pertama kali digunakan oleh Leibniz pada tahun 1673 untuk menyatakan ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lain. Di bawah ini beberapa contohnya. Apa jadinya jika kita memasukkan nilai yang bukan merupakan anggota daerah asal ke dalam fungsi 𝑓(𝑥).
Operasi-Operasi Pada Fungsi
Terdapat banyak fungsi yang boleh dibuat, fungsi yang paling mudah ialah fungsi yang mempunyai domain yang sama, contohnya 𝑓(1) = 3, 𝑓(0) = 3, 𝑓(−1) = 3 dan seterusnya.
Grafik Fungsi
Sebenarnya ada cara yang bisa digunakan untuk menentukan gambaran umum grafik suatu persamaan kuadrat dengan melihat nilai penentunya. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda (artinya grafiknya akan memotong sumbu x di dua titik). Jika D = 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real kembar (artinya grafiknya akan memotong sumbu x di satu titik).
Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar imajiner/bukan real/negatif (artinya grafiknya tidak memotong sumbu x). Nilai 𝑎 (koefisien 𝑥2) dapat menggambarkan grafik fungsi kuadrat yang terbuka ke atas atau ke bawah. Fungsi trigonometri adalah fungsi sudut yang digunakan untuk menghubungkan sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga.
Pengantar Limit
Untuk mendefinisikan konsep garis singgung agar dapat diterapkan pada kurva selain lingkaran, kita harus melihatnya dari sudut pandang yang berbeda. Jika titik Q digerakkan sepanjang kurva menuju titik P, maka garis potong akan berputar menuju “posisi batas”. Namun untuk mendapatkan error yang lebih kecil dan mendekati hasil sebenarnya maka luas/partisi/celah tersebut dibagi menjadi berhingga-hingga yang lebih kecil lagi, kemudian dengan cara yang sama yaitu menjumlahkan masing-masing luas bidang tersebut.
Lebih jauh lagi, jika 𝑓 diterapkan pada masukan apa pun yang cukup dekat dengan 𝑝, hasilnya adalah keluaran yang (secara sewenang-wenang) mendekati 𝐿. Jika masukan yang mendekati 𝑝 dipetakan ke keluaran yang sangat berbeda, fungsi 𝑓 dikatakan tidak mempunyai batas. Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep dasar dalam perhitungan dan analisis, tentang perilaku suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Teknik Perhitungan Limit
Limit fungsi 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 yang didekati nilai 0 dari arah kiri atau kanan, dan didekati nilai +∞ atau −∞ adalah sebagai berikut. Sehingga batasan-batasan berikut ini dapat disimpulkan dengan mudah menganalisis hasil batasan sebagai berikut. Demikian pula untuk polinomial berbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑐0+ 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛, jika didekati dengan limitnya, derajat tertinggi berperan dalam penghitungan.
Bagilah bilangan dan penyebutnya dengan 𝑥 pangkat tertinggi penyebutnya, yaitu pada soal pangkat tertingginya adalah 1, sehingga dibagi dengan 𝑥. Cara cepat untuk mendapatkan limit fungsi rasional untuk 𝑥 → +∞ atau 𝑥 → −∞ adalah dengan menghilangkan semua suku polinomial kecuali suku dengan pangkat tertinggi menurut rumus polinomial limit untuk 𝑥 → +∞ atau 𝑥. Sama halnya dengan limit suatu fungsi rasional, limit yang mengandung akar-akar juga mempunyai akibat yang sama, yaitu limit ditempatkan setelah akar fungsi tersebut.
Limit Sebagai Suatu Pendekatan
Secara umum, tidak ada jaminan bahwa setiap fungsi yang didekati dengan suatu limit mempunyai nilai limit, misalnya untuk 𝑥 → 𝑥0+, 𝑥 → 𝑥0− atau 𝑥 → 𝑥0. Kedua istilah batas kiri dan batas kanan di atas biasanya dinyatakan dalam bentuk batas dua sisi dengan cara dituliskan. Namun kedua ekspresi tersebut memiliki dua karakter yang berbeda, dan tidak ada notasi khusus untuk menggabungkannya menjadi bentuk dua sisi.
Jika salah satu limitnya tidak ada, atau kedua limit satu sisinya ada, tetapi nilainya berbeda, maka disimpulkan limit dua sisi itu tidak ada, dan jika ditulis.
Kontinuitas
Nilai ekstrem suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup sering kali terjadi di titik akhir. Jadi jika nilai ekstrimnya terletak pada interval (−2,0), maka nilai tersebut berada pada titik dimana turunannya nol. Tentukan nilai maksimum dan minimum 𝑓 pada interval tertutup tertentu dan tunjukkan di mana nilai tersebut muncul.
Karena nilai ini berada pada interval [0,7], maka nilai maksimum terjadi pada salah satu titik berikut. Fungsi 𝐹 disebut antiturunan dan antidiferensial atau integral dari fungsi 𝑓 pada interval 𝐼, jika memenuhi 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam 𝐼. Diketahui fungsi kontinu non-negatif 𝑓 pada interval [𝑎, 𝑏], tentukan luas antara grafik yang dibatasi oleh fungsi 𝑓 dan interval [𝑎, 𝑏], pada sumbu 𝑥 seperti ditunjukkan pada Gambar 5.1.
BAB 3 : TURUNAN
Laju Perubahan
Laju perubahan adalah laju yang nilainya bisa positif atau negatif tergantung pada kenaikan atau penurunan nilai antara dua titik data. Misalnya laju perubahan terhadap waktu, atau dengan istilah lain dapat dikatakan laju perubahan jarak (𝑠) terhadap waktu (𝑡). Misalkan perubahan panjang sisi persegi berubah ketika 𝑥 = 4 cm, maka perubahan panjang sisi persegi panjang menjadi (𝑥 + 4).
Turunan Fungsi Aljabar
Tambahan pula, apabila kecerunan garis itu menghampiri 𝑥 dari arah kanan dan apabila garis bersilang 𝑥 menghampiri dari arah kiri, maka secara umumnya ia boleh ditulis sebagai
Turunan Fungsi Trigonometri
Teknik Turunan
Aturan Rantai
Turunan Fungsi Implisit
Jika 𝑓′(𝑥) mempunyai tanda yang sama pada kedua sisi 𝑐, maka 𝑓(𝑐) bukan merupakan ekstrem lokal dari 𝑓. Tes turunan kedua untuk ekstrem lokal). Langkah-langkah yang harus dilakukan ketika menghadapi soal menggunakan soal interval tertutup berhingga maksimum atau minimum meliputi: Kotak yang dipotong sebesar 𝑥 Karena kotak dengan sisi 𝑥 dihilangkan dari setiap sudut, maka persegi yang dihasilkan berukuran (10 − 2𝑥)(20 − 2𝑥)x (Gambar 4.14.
Karena ruas kanan (4.5.1) adalah polinomial 𝑥 kontinu pada interval tertutup [0,5], maka metode dari subbagian sebelumnya dapat digunakan untuk mencari nilai maksimum. Penggunaan permasalahan maksimum dan minimum dimana kita ingin memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi dalam bentuk interval tertutup dapat diselesaikan. Tentukan besar segi empat untuk mendapatkan luas maksimum, dengan asumsi posisi segitiga seperti pada Gambar 4.16.
BAB 4 : APLIKASI TURUNAN
Laju yang Berkaitan
Pada mulanya diasumsikan gelas tersebut penuh air, maka anak menyerap air dari gelas tersebut dengan laju 3 dm3/menit. Jadi kedalaman air di dalam gelas berkurang dengan kecepatan sekitar 0,141 dm/menit (tanda minus menunjukkan bahwa air di dalam gelas berkurang). Sebuah kapal pengangkut minyak mengalami kebocoran dan minyak yang tumpah menyebar ke lautan berbentuk lingkaran dengan radius yang selalu bertambah dengan kecepatan konstan 2 m/s.
Lantainya licin, maka tangga digeser sehingga bagian bawah tangga menjauh dari dinding dengan kecepatan 3 m/s padahal bagian bawah tangga berjarak 4 m dari dinding. Sebuah batu yang dijatuhkan ke dalam kolam yang tenang menghasilkan riak melingkar yang radiusnya bertambah dengan kecepatan 2 m/s. Jika tali ditarik melewati winch dengan kecepatan 24 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, berapa kecepatan perahu mendekati dermaga jika tali berada pada jarak 125 m.
Selang Naik, Selang Turun, dan Kecekungan Fungsi
Sebuah rudal antipesawat ditembakkan lurus tegak lurus lintasan pesawat sehingga akan menghancurkan pesawat di titik P. Saat itu pesawat bergerak sejauh 2 mil dari titik P, dan rudal terletak 4 mil dari titik P terbang. pada kecepatan 1200 mil/jam. Fungsi naik, turun, dan konstan digunakan untuk menggambarkan perilaku fungsi dengan interval dari kiri ke kanan sepanjang grafik.
Fungsi 𝑓 meningkat pada suatu interval jika grafik mempunyai garis singgung dengan kemiringan positif dan menurun jika grafik mempunyai kemiringan negatif dan konstan jika grafik mempunyai kemiringan nol. Tentukan interval terbuka yang menyebabkan fungsi berikut cekung ke atas dan interval terbuka yang menyebabkan fungsi tersebut cekung ke bawah.
Nilai Ekstrim
Jika terdapat interval terbuka yang memuat 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum, maka 𝑓(𝑐) disebut maksimum lokal 𝑓, atau dapat dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai maksimum lokal di (𝑐, 𝑓(𝑐 )) . Jika terdapat interval terbuka yang memuat 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) merupakan nilai minimum, maka 𝑓(𝑐) disebut minimum lokal 𝑓, atau dapat dikatakan bahwa 𝑓 mempunyai minimum lokal di (𝑐, 𝑓(𝑐 )) . Teorema titik kritis berlaku seperti yang disebutkan, dengan ekspresi nilai ekstrem lokal, buktinya pada dasarnya sama.
Titik akhir, titik stasioner, dan titik tunggal) merupakan kandidat titik dimana ekstrem lokal dapat terjadi.
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Aplikasi Masalah Maksimum & Minimum
Gunakan titik kritis yang dihitung untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan nilai maksimum dan minimum. Subbab ini memberikan metode untuk merepresentasikan fungsi rasional sebagai penjumlahan dari fungsi rasional sederhana yang dapat diintegrasikan dengan metode yang telah dipelajari sebelumnya. Jadi bentuk penguraian pecahan parsialnya adalah 𝑥. 𝑥 Perkalian silang antara besaran dengan penyebut bentuk faktornya.
Pada subbab sebelumnya kita telah membahas konsep integral tertentu, namun belum membahas cara menghitungnya. Teorema Dasar Kalkulus I membahas tentang perhitungan integral dengan batas bawah dan batas atas berupa nilai atau angka. Catatan: Jika integralnya kontinu, maka turunan integral tertentu terhadap batas atasnya sama dengan nilai integral pada batas atasnya.
BAB 5 : INTEGRASI
Konsep Dasar Integral
Turunan atau diferensial merupakan materi kalkulus yang sering digunakan dalam bidang teknik dan ekonomi. Dan tentunya integral sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari, misalnya sering dijumpai pada bidang-bidang tak beraturan yang tidak dapat dihitung dengan rumus-rumus yang telah diketahui sebelumnya, seperti luas persegi, segitiga, lingkaran, dan lain-lain. Pada bagian ini memberikan pemahaman tentang luas yang akan ditunjukkan dengan menghitung luas menggunakan batas-batas dan dikembangkan menggunakan definisi luas pada kurva tertentu.
Jika fungsi 𝑓 kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] positif dan negatif, maka nilai integral tentu 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai. Integralnya negatif sepanjang interval [2,4], jadi integralnya adalah negatif luas trapesium yang diarsir pada gambar berikut.
Integral Tak Tentu
Maka untuk menyelesaikan pecahan integral diperlukan suatu metode untuk mendapatkan ruas kiri jika ruas kanannya diketahui. Oleh karena itu, faktorkan penyebutnya di ruas kanan dan asumsikan ada konstanta yang tidak diketahui, misalnya A dan B sehingga Metode alternatif untuk memperoleh A dan B dilakukan untuk menghasilkan ruas kanan dan 𝑥 dengan pangkat yang sama ditambahkan untuk memperolehnya.
Teorema dalam aljabar tingkat lanjut menyatakan bahwa setiap fungsi rasional 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) yang derajat pembilangnya lebih kecil dari derajat penyebutnya dapat dinyatakan dengan . Ekspresi 𝐹1(𝑥) + 𝐹2(𝑥) + ⋯ + 𝐹𝑛(𝑥) di ruas kanan persamaan pertama disebut pecahan parsial, dan semua ruas kanan disebut penguraian pecahan parsial di sebelah kiri. -sisi tangan. Untuk menentukan nilai 𝐴 dan 𝐵, samakan nilai konstanta kiri dan kanan, sehingga menjadi.
Integral dengan Subsitusi
Integral Tertentu
Kurva adalah segitiga yang alasnya berukuran 1 dan tinggi 1, sehingga luas segitiga geometri bidang adalah 12.
Teorema Fundamental Kalkulus Pertama
Teorema Fundamental Kalkulus Kedua
